DES PROGRESSIONS

52. On appelle progression, 1°. une suite plus ou moins nombreuse de termes dont la différence du prénier au deuxième est la même que celle du deuxième au troisième, que celle du troisième au quatrième, &ec.

Telles sont les suivantes :

Dans le premier exemple, la progression est croissante et dans le deuxième elle est décroissante. Ladifférence, qui est la même entre tous les termes consécutifs, est appelée raison de la progression.

2°. C’est aussi une suite de termes dont le rapport par quotient est le même entre tous les termes consécutifs «+ 8: 6: 12; 24: 48: 96 est une progression par quotient croissante ; «= 128: 64: 82: 16: 8: 4 est une

progression par quotient décroissante. Le quotient d’un terme quelconque divisé par celui qui le précède est appelé raison de la progression.

Dans le #remier de ces exemples, la raison est 2 ; car $=2et 129, &e..; et dans la deuxième la raison est à ; car =} et 5£=1, &e.

53. Les progressions par différence se nomment progressions arithmétiques ; on les fait précéder d’un trait horizontal placé entre deux points (+), et on place un point entre chaque terme de la progression ; les progressions par quotient se nomment progressions géométriques : on les fait précéder d’un trait horizontal placé entre quatre points(-+), on en sépare par deux points chaque terme de cette espèce de progression.

Des Progressions Arithmétiques.

54. Chaque terme d’une progression arithmétique est composé du premier plus autant de fois a raison qu’il y à de termes avant lui, si la progression est croissante, et moins autant de fois la raison, si la progression est décroissante. Ainsi, dans la progression + 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16., le deuxième terme 4 est composé du premier terme, ia raison qui est 2 ; le troisième 6 est composé du premier terme 2,42 fois la raison, parce qu’il y a deux termes avant lui. En effet, 24+2+2=6; le 8e terme 16 est composé du premier terme 2,47 fois la raison 2+(7 X2)=16.

De même dans la progression décroissante + 15. 12. 9. 6. 3. le 2e terme est composé du ler—la raison, qui est 3 En effet, 15—3—12 ; le troisième est composé du ler—2 fois la raison : 15—(348)=9 ; le

uotient récède

est 2 ; raison

nt proan trait lace un >s prons géornizontal ar deux ion.

que est on qu’il Dissante.

sion est 4, 6. 8.

posé du me 6 est , parce +2=6; +7 fois

raison, me esf 9 ; le

5e terme est composé du ler—4 fois la raison : 15—(3 X4)=3.

55. De ce qui précède on doit conclure ; 1°. que pour avoir un terme quelconque d’une progression arithmétique dont on connaît le premier terme, il faut multiplier la raison par un nombre égal à celui des termes qui doivent précéder celui qu’on cherche, et ajouter le produit au premier terme de la progression si elle est croissante, et au contraire l’en retrancher, si elle est décroissante.

Ainsi soit proposé le problème suivant :

Un escalier a 24 marches ; la première a 6 pouces de hauteur, et les autres 7 pouces chacune ; quelle est l'élévation de la dernière au-dessus du sol ?

Solution : La de. =tièrc marche est élevée au-dessus du sol de 23 fois 7 pouces-]-{ : 118, ou de 23 fois la raison de la pro-

gression qui est 7 pc «ce: -|- le premier terme qui égale 6 pouces, En opérant nous avons (23 X7)-6=R. 13. pi. 11 po.

Exemple pour une progression décroissante :

Un escalier a 24 marches de chacune 7 pouces ; la dernière est à 13 pi. 11 po. au-dessus du sol ; cn demande quelle est l’élévation de la première marche ?

Solution : La 24e marche est élevée au-dessus du sol de 23 fois 7 pouces, raison de la progression, + la hauteur de la première marche ; donc eu retranchant 23 fois 7 pouces de 13 pi. 11 pouces, le reste égalera l'élévation de la première marche.

Opération 13 pi. 11 po.—(7 X23)=6 pouces.

2°. Que pour avuir le premier terme d’une progression dort on connaît ie dernier terme et la raison, si la progre on est croissante, il faut soustraire de ce deruier terme le produit de la raison par le nombre de

termes qui précède le dernier, le reste égalera le premier : si la progression est décroissante, il faudra ajouter le produit au dernier terme.

8°. Que pour avoir la raison d’une progression il faut soustraire le plus petit des deux termes connus de l’autre, et diviser le reste par le nombre de termes compris entre ces deux termes connus,-1.

66. L’une des propriétés principales des progressions arithmétiques est que la somme du premier et du dernier terme est égale à celle du deuxième avec l'avant dernier, &c, En effet, soit la progression suivante de six termes :

Le dernier terme 18 se compose du premier terme 3 et de 5 fois la raison qui est aussi 8, c’est-à-dire de 3 +5 fois 8 ; mais le deuxième terme est composé du

premier terme 3 et d’une fois la raison, c’est-à-dire de 343 etle cinquième du premier<+-4 fois la raison, c’est-à-dire de 3-4 fois 3. En rapprochant ces termes nous aurons pour la somme du premier et du dernier 343<+5 fois 8=(5X3)+6—21 ; et pour celle du deuxième avec l’avant dernier 33-38-13 fois 4 ou 3 +35 fois 3 ou 6+ (5X3)=21 ; donc, &c.

Exercices sur les Progressions Arithmétiques.

P. 190. On demande le 18e. terme d’une progression arithmétique dont le ler. est 4 et la raison 5.

P. 191. Connaissant que le 18e. terme d’une progression arithmétique est 89 et que la raison est 5, on -demande le ler. terme.

P. 192. Un débiteur a 18 créanciers : il doit 89 sch. au dernier, la somme qu’il doit aux autres va en diminuant de 5 sch.; on demande combien il doit au premier?

ra le predra ajou-

ion il faut 18 de l’au- >8 COMPTIS

ogressions et du derrec. l’avant uivante de

er terme à -dire de 3 omposé du t-à-dire de la raison, ces termes du dernier celle du ois 4 ou à

tiques.

progression

d’une pron est 5, on

oit 89 sch.

, en dimiu premier?

P. 193. Un particulier a acquitté une dette en plusieurs paiements ; le premier a été de 4 sch. et le dernier de 89 sch.; chaque paiement augmentait de 5 sch.; on demande combien il a fait de paiement.

P. 194. Une dame charitable a donné tous les jours de l’année l’aumône à un pauvre ; le premier jour elle lui donna 10 sous, le second 25 ; en augmentant ainsi de 15 sous ; combien lui donna-t-elle le dernier jour?

P. 195. Un particulier voulant favoriser un jeune homme, lui donna le 1er. jour de l'an 10 sous ; on ne dit pas combien il lui donna les autres jours, mais on sait que le don du dernier jour montait à 54 sch. ; combien le jeune homme a-t-il reçu en tout ?

Des Progressions Géométriques.

57. Un terme quelconque d’une progression géométrique est composé du premier terme multiplié par la raison, élevée à une puissance marquée par le nombre de termes qui doit précéder celui qu’on cherche.

Pur exemple : soit la progression 223: 6: 12: 24: 48: 96, dont la raison est 2 ; le deuxième terme est composé du premier 3X2=6 ; le troisième est composé de deux fois 3 multiplié par la raison 2 ; donc3X 2X2=—12, c’est-à-dire du premier terme 3 multiplié par le carré (2X2) ou la deuxième puissance de la raison ; le quatrième est composé du troisième (3X2X 2) multiplié aussi par la raison 2 ; doncde 3X2X2X2, c’est-à-dire du premier terme 3 multiplié par le cube ou la troisième puissance de la raison ; on le démontrerait de même pour les autres termes ; donc, &c.