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Les deux méthodes conduisent à la même règle : on multiplie la première valeur de la grandeur qui est de même espèce

270 LIVRE Vî.-— CHAPITRE II.

que IHnconnue par le rapport des deux valeurs de l'autre grandeur, en commençant par la seconde.

Avant d'exécuter les calculs, on simplifie l'expression de l'inconnue, en supprimant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Dans l'exemple ci-dessus,

383. Règle de trois simple et inverse. On a employé 28 ouvriers pour faire un ouvrage en 18 jours : si Von avait employé 32 ouvriers^ combien auraient-ils mis de jours à faire le même ouvrage ?

tableau.

La règle est simple, puisqu'il ne s'agit que de deux grandeurs ; elie est inverse, puisque, lorsque le nombre des ouvriers devient 2 fois, 3 fois plus grand, le nombre des jours employés devient, au contraire, 2 fois, 3 fois plus petit (380).

lo Méthode des rapports égaux. Puisque la proportionnalité inverse est constatée, le rapport des nombres de jours est inverse du rapport des nombres d'ouvriers (379). On a donc :

28 ~~ X' d'où

2o Méthode de réduction à runité. Puisque 28 ouvriers ont mis 18 jours à faire Fouvrage, un ouvrier mettrait à le faire 28 fois plus de temps, ou i8J x 28 ; et par conséquent 32 ouvriers mettront 32 fois moins de temps. Donc x = — r

TABLEAU

ogouv.

Les deux méthodes conduisent à la même règle : On multiplie la première valeur de la grandeur qui est de même espèce que Vinconnue par le rapport des deux valeurs de l'autre grandeur, EN COMMENÇANT PAR LA PREMIÈRE.

384. RÈGLE DE TROIS COMPOSÉE. On Sait que 2S ouvHer S, travaillant pendant i5 jours, lo heures par jour , 'ont creusé un fossé dont les dimensions étaient : 56o mètres de longueur, 6 mètres de largeur, et /imètres \ de profondeur ; combien 36o?ivriers, travaillante heures par jour, emploieront-ils de jours à creuser un autre fossé dont les dimensions sont : 780 mètres de longueur, 9 mètres de largeur^ et 3 mètres J de profondeur?

TABLEAU

28""^- loii o6o'°"- Q'-"'-' /H^'"'^- ijj 36 8 780 9 3f x

La règle est composée, puisqu'il s'agit de six grandeurs proportionnelles. Le procédé de résolution, quelle que soit la méthode employée, consiste à substituer au problème plusieurs règles de trois simples que Ton résout successivement. Et pour cela, on ne fait varier qu'une seule grandeur à la fois, en laissant les autres constantes; et Ton calcule l'effet que produit cette variation sur la grandeur dont on cherche la valeur.

Première méthode : rapports égaux. \^ 28 ouvriers ont fait un ouvrage en i5 jours : combien 36 ouvriers emploie-

272 LIVRE VI. — CHAPITRE il.

ront-ils de jours pour le faire? La règle est inverse : donc, en désignant par ^^ le nombre de jours, on a (383) :

[i] x, = rj ^g.

2o Ces 36 ouvriers emploient x^ jours en travaillant loheures par jour; s'ils ne travaillaient que 8 heures par jour, combien emploieraient-ils de jours? La règle est inverse; et, en désignant par x^ le nouveau nombre de jours, on a (383) :

. . lo y. 28 10

[2 J X^ — X^ >< -Q- — I OJ ><C ôTï ^X, "ô-*

3" Ces 36 ouvriers, travaillant 8 heures par jour, emploient x^ jours à faire un fossé qui a 56o mètres de longueur : s'ils creusaient, dans les mêmes conditions, un fossé de 780 mètres de longueur j combien emploieraient-ils de jours? La règle est directe ; et, en désignant par x^ le troisième nombre de jours, on a (382) :

ro-, 780 ^. 28 10 780

lô\ x.-X.X-^^-ibiX^X-jX-^'

4® Le fossé creusé en ^3 jours a 6 mètres de largeur : s'il avait 9 mètres de largeur; combien les ouvriers emploieraientils de jours? La règle est directe; et, en désignant par x^ le nouveau nombre de jours, on a (382) :

L4J 0?, - 0^3 X g — I JJ X 3g X -g- X v-^ X g-

5° Ce fossé de 6 mètres de largeur, creusé en x^ jours, a 4™| de profondeur ; pour lui donner, toutes les autres circonstances restant les mêmes, 3 J de profondeur , combien de jours seront nécessaires? La règle est encore directe; et, en appelant x ce nombre de jours, on a (382) :

X — Xj^ X^ / 1 '

rri r 28 10 780 0 ^3 1

[5] ^==,SjX3ëX^x|g^X^X^.

C'est le nombre de jours demandé.

Seconde méthode : réduction à ïunité. Reproduisons le tableau :

\^ Puisque 28 ouvriers^ travaillant 10 heures par jour, ont creusé un fossé de dimensions 56om^ 6'», 41'"^ ^n travaillant i5 jours, un ouvrier, dans les mômes conditions^ emploiera 28 fois plus de temps, ou 1 5^X28; et 36 ouvriers, dans les mêmes conditions, emploieront 36 fois moins de temps, ou t5JX28

Ce premier résul tat est indiqué par les deux lignes suivantes :

jouv. jçyh ■ ^QQ\or.s. glarg. 4 ^ prof. l5JX28,

2^ Puisque les 36 ouvriers, travaillant lo heures par jour, emploient ^, jours à creuser le premier fossé, ils emploieraient, en ne travaillant qu'une heure par jour, lo fois plus de jours, ou^iX 10 ; et, en travaillant 8 heures par jour, ils emploie-

. or ' ' 7 • ^iXlO l5JX 28X10

ront 8 lots moins de lours, ou -^-0 — ' ou tt-. ^ — ,

résultat indiqué ainsi :