ih 56o'«"s- 6'-s- 41p-f- i^i>$^^><L
o/- o r/' r- ,A i5JX 28X10
jO X o
3^ Ces 36 ouvriers, travaillant 10 heures par jour, emploient x^ jours à creuser un fossé ayant 56o mètres de longueur; si le fossé n'avait qu'wn mètre de longueur, ils emploieraient 56o fois
moins de jours, ou ^7^; mais comme il a 780 mètres de longueur y ils emploieront 780 fois plus de jours, ou -^r — , ou
i5JX 28x10x780 , , . , ,
— 777. — K — i^TT^ — ; ce que constate ce nouveau tableau: 36x8x56o ' ^
i5iX28xio
36ouv. gh ilonf. ^larg. 4JP'-of.
4° Le fossé, creusé en x^ jours, a 6 mètres de largeur. S'il
n'avait qu'un mètre de largeur, les ouvriers emploieraient
ce 6 fois moins de jours, ou -j. ; comme il a 9 mètres de largeur,
ils emploieront 9 fois plus de jours, ou ^ . ^ , c'est-à-dire
t5jX28x 10X780X9 ' 1, 1 V • 1-
^7. — r, — zr~- — -. — -, résultat que Ion indique ainsi :
36x8x^6oxt) ^ * ^
■yn o, o 1 , /^ r loi X28X 10X780
o^ Q Q ,, i5JX 28x10X780X9
^ ^ ^^ 3ox8x 060x6
5" Enfin le fossé, creusé en œ^^ jours, a 4 mètres j de profondeur. S'il n'avait qu'tm mètre de profondeur, le nombre de
jours serait divisé par 41? et serait y^; comme il a 3 meures J
de profondeur, le no^nbre de jours doit être multiplié par 3f ; il
est donc " ,, ■> ou — ry^ — ^^^ — ^,, ^ ,i — -•> cest ce 44 36x8X060X6x41
qu'indique ce dernier tableau :
.,.. 00, , f i5iX 28X10X780X9
^ ^^ 36x8x56ox6x4i
Tel est le nombre de jours cherché. On reconnaît que les deux méthodes conduisent au môme résultat, et l'on conclut la règle générale suivante : On multiplie la première valeur de la grandeur qui est de même espèce que Vinconnue par chacun des rapports des valeurs des autres grandeurs. On écrit d'ailleurs chaque rapport en divisant la seconde valeur par la première, ou la première par la seconde^ suivant que la grandeur dont il s agit est directement proportionnelle ou inversement proportionnelle à la grandeur de même espèce que l'inconnue.
Cette règle permet d^écrire immédiatement la solution du problème, sans faire d'autre raisonnement que celui qui a pour objet de constater la proportionnalité directe ou inverse des grandeurs qui varient.
Calcul. On a soin, avant d'effectuer les calculs, de simplifier l'expression de Tinconnue, en supprimant les facteurs communs aux deux termes. Dans l'exemple proposé, on aperçoit un grand nombre de facteurs communs; et Ton trouve, toutes réductions faites :
OOX2 72 72
Pour réduire J-J de jours en heures, il ne faut pas oublier qu'ici le jour est une journée de travail de 8 heures. Ainsi Y2dejour=j4 de 8''=^ d'heures— 4'' g. Et comme l'heure vaut 6o minutes, et la minute Go secondes, si l'on veut pousser le calcul jusqu'au bout (ce qui n'est pas utile ici), on a :
- d'heure = -- de 60™ = ^ = j'i^'oos.
Ainsi ^= 22j 4'' 33'" 20^
§ III. RÈGLE d'intérêt.
385. Définitions. L'intérêt d'une somme d'argent est le bénéfice qu'en retire celui qui la prêle pendant un certain temps. Ce bénéfice est dû par l'emprunteur, à titre de loyer de la chose prêtée.
La somme ainsi prêtée se nomme le capital.
On fixe ordinairement l'intérêt que doit produire une somme de 100 fr., prêtée pendant un an. Cet intérêt se nomme le taux. Si le taux est 5, on dit que le capital est placé à 5 pour cent par an, et on l'indique par les abréviations suivantes : a p. 100, o7o.
La loi fixe le maximum du taux à 5 pour les affaires civiles, à 6 pour les affaires commerciales. Exiger davantage, c'est faire l'usure.
Ui
L'intérêt est simple, quand la somme prêtée reste la même pendant toute la durée du prêt; il est composé, lorsqu'à la fin de chaque année on ajoute au capital les intérêts échus^ pour leur faire produire des intérêts pendant les années suivantes.
On admet comme évident, que Fintérêt simple d'un capital est proportionnel au capital, au taux et à la durée du prêt. Les problèmes d'intérêt sont donc des règles de trois.
386. Problèmes a résoudre. Les éléments d'une question d'intérêt sont le capital prêté, le taux, la durée du prêt et l'intérêt du capital. Lorsque l'on donne trois de ces quatre éléments^ on peut déterminer le quatrième. De là quatre problèmes principaux à résoudre. Nous ne nous occuperons d'abord que de l'intérêt simple.
387. Premier problème : calcul de l'intérêt. On a prêté 2648^ pour 200 jours, à 57o l'cin: à quel intérêt a-t-on droit'/
On dispose ainsi le tableau des données et de l'inconnue :
tableau.
loof en 365J rapportent 5\ 2648 200 X.
Puisque l'intérêt est proportionnel à la fois au capital et à la
durée du prêt, on applique la règle générale des règles de trois
composées (384) ; et, en désignant l'intérêt cherché par x, on
trouve :
fl] x = b'X — ^Xtj^i ou X= — jrr-^.
~ ^ 100 dd5 ôb'j X 100
Règle. On multiplie le capital par le nombre de jours du prêt, et par le taux; et Von divise le produit par 365oo.
Quand le taux est 5, on peut diviser les deux termes de la fraction par 5, et l'on a :
c'est-à-dire qu'o?i multiplie le capital par le nombre de jours du prêi^ et Von divise le produit par ']3oo. Le produit du capitalpar le temps se nomme le nombre, en style de banquier.
On simplifie d'ailleurs le calcul autant qu'on le peut: et Fon a ici :
FoRMtiLE. L'expression [i] de l'intérêt peut s'écrire
X = 2648X X Tt-rp-
Or jfô 6st l'intérêt d'un franc placé pendant un an; on le désigne par r. |^ est la durée du prêt, en prenant pour unité la durée de Tannée; on la désigne par t. Si, en outre, on représente le capital par c, et son intérêt par f , l'expression [ i] devien t :
fa] i=cxrxt.
C'est la formule générale des intérêts simples : Pour avoir l'intérêt d'un capital, on muUiplie le capital par le taux de Cintérêt d'un franc et par le temps évalué en fraction d'année.
388. Second problème : calcul du taux. A quel taux faut-il placer uns somme de 354o fr., pour qu'en 80 jours elle rapporte 40 fr. d'intérêt? Le problème est le même que le précédent : les données sont renversées.
3540^ en 80 jours rapportent 4o^ 100 365 X,
Le taux est un intérêt; il est proportionnel au capital et au temps: donc
loi , 100 365 4ox365xioo
[6] ^ = 4of X ^F7- X -ô— ' ou X= . . - / ô •
^ ^ 3540 ^ 80 3o4ox8o
En simplifiant cette expression, on trouve :
365o V ^ X = — 5- = of, 1 5 environ .
Formule. L'expression [3] peut s'écrire
100 or/ 80
La formule du taux est donc :
