V. DES SYSTÈMES DE NUMÉRATION EN GÉNÉRAL

20. Numération en général. La base d'un système de numération est le nombre qui exprime combien il faut d'unités d'un certain ordre pour former l'unité de l'ordre supérieur. Dans le système adopté, la base est dix. Mais on peut former des systèmes en choisissant arbitrairement la base ; et il n'eût peut-être pas été sans avantage de composer le système usuel avec une autre base.

Exposons succinctement le système duodecima/, dont la base est douze.

Les premiers nombres sont ; un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze.

L'unité du second ordre est la douzaine : elle vaut douze unités du premier ordre. L'unité du troisième ordre est la collection de douze douzaines; on peut la nommer centaine. Les unités du quatrième, du cinquième, du sixième ordre, sont le mille, la doazainede mille et la centaine de mille. Les suivantes sont le million, la douzaine de millions, la centaine de

millions ; le billion On n'oubliera pas que, malgré la ressemblance des

noms, une unité d'un certain ordre vaut douze unités de l'ordre inférieur. Ainsi la centaine vaut douze fois douze unités; le mille vaut douze centaines.. .. On n'introduira pas d'anomalie dans la nomenclature.

Les chifïres nécessaires à l'écriture sont d'abord ceux qui représentent les neuf premiers nombres, puis deux caractères particuliers a et p qui représentent dix et onze, et enfin le zéro. On convient que tout chiffre placé à la gauche d'un autre représente des unités de Tordre supérieur : et comme, dans un nombre quelconque, chaque ordre d'unités ne peut pas contenir plus de onze unités, les douze caractères suffisent pour écrire tous les nombres.

Les règles pour écrire eu chiffres uu nombre énoncé sont celles que nous avons données (nos 17 et 18).

Exemples : deux-cent dix-douze et liept millions , onze-cent quatredouze et dix mille, deux-douze et cinq unités, s'écrit : aay [34a oaS.

De même 5a o3y2 4^0 a3^ s'énonce cinq-douze et dix billions, Iroisduuze et onze millions, quatre-cent mille, dix-cent trois-douze et onze unités.

EXERCICES

I. Écrire en chiffres, dans le système décimal, les nombres suivants :

dix billions, trois cent quatre millions, deux mille, cent unités ; quarante-deux Irillions^ \\n^t millions, iïoïs unités; cent billions, soixante unités.

II. Énoncer les nombres suivants écrits dans le système décimal :

370025008802 ; 4oooo5oooo2 ; 67200000004.

III. Écrire en chiffres, dans le système duodécimal, les nombres : douze mille, sept-cent onze-douze et onze unités ;

trois-cent dix -douze et six millions, quatre-douze et dix unités,

IV. Énoncer les nombres suivants écrits dont le système dont la base est sept.

3o642o5 ; 4o3ooo526 ; 5oooooo2o.

V. On écrit des chiffres à la suite les uns des autres. Dire le nom de Tordre du 27^6 ou du 41™^ chiffre, à partir de la droite. (Réponse : centaine de septillions ; dizaine de duodécillions.)

Dire le rang qu'occupent dans le nombre les dizaines de trillions, les unités de quintillions. (Réponse : le i4™^, le ig^'^ rang.)

VI. On écrit la suite naturelle des nombres entiers sans séparer les chiffres :

Trouver la valeur absolue du 2583™e chiffre de cette suite, en allant de gauche à droite. (Rép. 7,)

Vil. Dans tout système de numération, le double du nombre qui précède la base et le carré de ce nombre s'écrivent avec les mêmes chiffres pris en ordre inverse. — Exemples : dans le système décimal, 2 fois 9 = 18, et 9 fois 9 = 8i ; dans le système duodécimal, 2 fois p = la, et p^ — ai.

(Rép. : On exprime les deux nombres à l'aide de la base et des unités simples qu'ils renferment.)