AA' A

467. Théorème iv. V erreur relative d'un produit de deux facteurs, approchés par défaut, est égcde à la somme des erreurs relatives des deux facteurs, diminuée du produit de ces erreurs.

NOTE SUR LES APPROXIMATIONS. 3 il

Soient A et A' les deux (acteurs, a et o.' leurs erreurs absolues, r = — '

a' r^ = —- leurserreurs relatives, R l'erreur relative du produit. On a vu (443)

que l'erreur absolue du produit est A'a + (A — a) a/. Son erreur relative est donc

„ aA'-|-a'(A — a) aA' 'A aa' a oJ ' a â.1

ou R^r-i-r'— ?;/. C.Q.F.D.

On démontrerait de même que, sî/esd^^ua:; nombres sont approchés par eœcès, l'erreur relaiive du produit est égale à la somme des erreurs relatives des facteurs, augmentée du produit de ces erreurs ^

El si Vundes deux nombres est approché par défaut, et Vautre par excès, on verrait que l'erreur relative du produit est égale à la différence des erreurs relatives des facteurs, augmentée ou diminuée du produit de ces erreurs.

468. Remarque. On doit remarquer que, chacune des erreurs r et r' étant une petite fraction, leur produit rr' est une petite fraction de chacune d'elles, négligeable devant leur somme. On peut donc dire que, dans les deux premiers cas, l'erreur relative du produit est à peu près égale à la somme des erreurs relatives des deux facteurs. Dans le dernier cas, elle est visiblement plus petite que cette somme .

Dans les applications, on substitue toujours aux erreurs relatives des facteurs des limites supérieures, que l'on calcule d'après les règles du no 462. Ces limites sont assez éloignées, pour qu'on puisse affirmer que, dans tous les cas, et quel que soit le sens de l'approximation., l'erreur relative du produit est plus petite que leur f,omme. Une faut pas perdre de vue cette remarque, qui rend rigoureux les raisonnements habituels dans les questions d'approximation.

469. Cas DE plus de deux facteurs. Si l'on désigne par r, r^, r", r"' . ., les limites supérieures que l'on substitue aux erreurs relatives des facteurs A, A^, A", A'", . . . , et par R l'erreur relative de leur produit, on a évidemment, dans tous les cas :

470. Applications: première question. Deux nombres sont donnés avec une approximation indéfinie : combien doit-on prendre de chiffres dans chaque facteur, à partir d'un premier chiffre significatif, pour obtenir m chiffres exacts au produit ?

Pour que le produit ait m chiffres exacts, il suffit que son erreur relative

soit moindre que — - (463) . Or celte erreur est moindre que la somme

des erreurs relatives des facteurs (468) ; il suffît donc que chacune de ces

dernières soit moindre que - — * ilsuffit, par conséquent (462), si chacun

des facteurs commence au moins par 2, de prendre (m + i) chiffres sur la gauche de chacun d'eux : et si l'un d'eux commençait par i, il suffirait de prendre (m + 2) chiffres sur sa gauche.

Ainsi, pour oblenir un produit de deux facteurs avec m chiffres exacts, il suffît de prendre un chiffre de plus sur la gauche de chaque facteur, s'ils commencent au moins par 2, et deux chiffres de plus sur la gauche du facteur qui commencerait par i, puis d'effectuer la multiplication.

Exemple : Calculer, à 0,001 près, la circonférence du cercle dont le rayon est égal à Y2. On sait que cette circonférence a pour expression 2 u Y2,

ouuyS» Gomme 7t est plus petit que 3, 2, et que yS est plus petit que 3, le produit est plus petit que 10; il aura donc un chifFre entier et trois chiffres décimaux, c'est-à-dire 4 chiffres. On devra donc prendre tc et yS, chacun avec 5 chiffres ; c'est-à-dire :i: = 3, 141 5, et yS = 2,8284, par défaut. En calculant exactement le produit de ces deux nombres, on trouverait 8 décimales, dont cinq seraient inutiles. On doit donc employer la multiplication abrégée : mais alors on commet une nouvelle erreur dont il faut tenir compte. On trouve, en disposant le calcul de manière à calculer les centmillièmes, que le produit, approché par défaut, est 8,88548, a^ec une erreur moindre que 0,00010. Le produit exact des deux nombres approchés est donc compris entre 8,88548 et 8,88558. Or le produit u V^ ^^t plus grand que ce dernier, de moins de 0,001 : il est donc compris entre 8,88548 et 8,88658. On peut donc dire que la circonférence cherchée est égale à 8,886 à 0,001 près.

Cas de plus de deux facteurs. Pour qu'un produit de 4 facteurs soit obtenu avec m chiffres exacts, il suffit que son erreur relative soit inférieure

à 1- : et par conséquent, que Terreur relative de chaque facteur soit inféio«» '^

rieure à - — * Il suffit, pour cela, de prendre (m+i) chiffres sur la gau- 4 10"»

che des facteurs qui commencent au moins par 4, et (m+2) chiffres sur la

gauche de ceux qui commenceraient par i, par 2 ou par 3.

Si l'on emploie ensuite la multiplication abrégée pour simplifier le calcul,

il faudra faire en sorte que la nouvelle erreur, que l'on introduira ainsi dans

le résultat, n'augmente pas beaucoup la première, de manière à être assuré

de l'approximation demandée.

471. Applications. Seconde q^estiq-s. Deux nombres sont donnés avec \n

chiffres exacts au moins ; sur combien de chiffres exacts peut-on compter

dans leur produit ?

On suppose qu'il y a m chiffres exacts dans celui des facteurs qui on

compte le moins. Si chacun d'eux commence au moins par un 2, leur

erreur relative est inférieure à r (462); l'erreur relative du nro-

duit est donc inférieure à -2 fois celle-ci, ou à — — rr (468); et, par suite, on

peut compter sur l'exactitude des (m— -i) premiers chiffres (463).

Si les deux facteurs commencent par i, leur erreur relative est moindre

que — ^~[j Terreur du produit est moindre que — ^^^^r^i» ou que p ^^^^2 '♦

mais, dans ce cas, chaque facteur étant moindre que 2 unités d'un certain ordre, leur produit est moindre que 4 unités d'un ordre déterminé, et commence par un chiffre inférieur à 4 : donc (463) on peut encore compter sur (m — i) chiffres exacts.

Si enfin l'un des facteurs commence par i, l'erreur relative du produit

est inférieure à ,„,+ — --»oua ;r-7>ou a- et, a pluslorte

raison, à — -— ^. On peut donc compter encore sur (m — i) chiffres exacts

(463), quand le premier chiffre du produit est inférieur à 6.

Ainsi, lorsque deux nombres sont donnés avec m chiffres exacts au moins, on peut compter au produit sur (m — i) chiffres exacts, à moins que l'un des facteurs ne commence par i, et que le premier chiffre du produit ne soit éga ou supérieur à 6.

Dans ce dernier cas, assez rare, onpeut compter siir (m — 2)chiffres exacts.

Car l'erreur relative du produit est toujours moindre que

Dans le cas de plusieurs facteurs, on calcule le nombre des chiffres exacts que renferme le produit des deux premiers facteurs, par suite le nombre des chiffres exacts que renferme le produit de ce produit par le troisième, et ainsi de suite.

Exemple. Onamesuré, àoni,oiprès, les dinitnsionsd'un champroctaugulaire; et l'on a trouvé la base & = 237ni,42, et lapiauteur /i=65"»,48. Calculer sa surface. On sait que la surface est égale à 6/j.

Les deux nombres étant donnés avec 4 chiffres au moins, et ne commençant ni l'un ni l'autre par i, on peut compter sur l'exactitude de 3 chiffres au produit; et, comme ce produit aura évidemment 5 chiffres entiers, on n'obtiendra sa valeur qu'à une centaine près. Ainsi, non-seulement

les quatre décimales du produit, mais les deux chiffres des dizaines et des unités pourront être fautifs; et il confient de ne pas les calculer tous. Si l'on emploie la multiplication abrégée, en dirigeant l'opération de manière à calculer les unités, on trouve que le produit approché est i5537 par défaut, avec une erreur moindre que i6. Le produit exact des deux nombres approchés est donc compris entre iSSSy et i5553 ; et le produit bh, qui diffère de ce dernier de moins d'une centaine en plus ou en moins, est compris entre 16437 et r5653. Donc 6/i=i55oo mètres carrés, à moins de 2 centaines près.

Pour obtenir une approximation meilleure, il faut prendre la peine de calculer, d'une manière plus précise, l'erreur relative du produit. On a

ici: R< r+- — 3<-— J 1-77 <— 3 — , ou R<- 5. Et,