IV. DIVISION

472. Théorème v. Lorsque le dividende est approché et le diviseur exacte Verreur relative du quotient est égale à l'erreur relative du dividende.

Soient A le dividende approché, a l'erreur absolue, -j—r l'erreur rela-

tive, A' le diviseur exact. L'erreur absolue du quotient t^(447) est — ; et,

par suite, l'erreur relalivedu quotient est R= —:•— = — = r. C.Q.F.D.

473. Théouème VI. Lorsque le dividende et le diviseur sont approchés, le premier par défaut, le second par excès, l'erreur relative du quotient est égale à la somme des erreurs relatives des deux termes, divisée par V unité augmentée de terreur relative du diviseur.

Soient A le dividende approché par défaut, a l'erreur absolue, '>' — j

l'erreur relative ; A' le diviseur approché par excès, a' l'erreur absolue, r'z= -- l'erreur relative. On a vu (447), que l'erreur absolue du quotient est

Aa'+A'a , . T. A'c'.+ Aa' A A'a4-Aa' —-r-, r- et par suite so» erreur relative R= -jm k :t7 = i — r r

- I - H- T-, I ' et comme — ^ , = » on en conclut :

A'+a' \A A'/ A'+«' i-hr

R=~^,(r + 0, ou 11=.'-^,. C.Q.F.D

On démontrerait de même que, si le dividende est approché par excès et le diviseur approché par défaut, l'erreur relative du quotient est égale à la somme des erreurs relatives des deux termes, divisée par Vunité diminuée de Verreur relative du diviseur.

On verrait encore que, .si le dividende et le diviseur sont approchés tous deux par exce^ ou lou^ deux par défaut^ Verriur relative du quotient est égale à la différence des erreurs relatives des deux termes divisée par l'unité, augmentée ou diminuée de l'erreur relative du diviseur.

Si enfin le dividende est exact, et le diviseur approché par excès ou par défaut, Verreur relative du quotient est égale à l'erreur relative du diviseur, divisée par V unité augmentée ou diminuée de cette erreur.

On doit remarquer que l'erreur r étant une petite fraction, le dénominateur (i+r') ou (i — r') est toujours très-peu différent de l'unité. Par conséquent, dans tons les cas, l'erreur relative du quotient est à peu près égale à la somme ou à la différence des erreurs relatives des deux termes. Si donc on remplace r et r', dans les applications, par des liniites supérieures, calculées d'après les règles du n" 462, on peut affirmer que, dans tous les caSi Verreur relative du quotient est moindre que la somme de ces limites.

Le théorème, qui seul est utile dans les applications, est donc le même pour la multiplication et pour la division ; les conséquences en sont donc les mêmes.

474. Applications. Première question. Deux nombres sont donnés avec une approximation indéfinie : combien doit-on prendre de chiffres dans chacun des deux nombres, pour obtenir m chiffres exacts du quotient?

On reproduit, mot pour mot, le raisonnement du n» 470; et l'on démontre qu'il suffit de prendre (m -f- i) chiffres dans chacun des nombres, s'ils commencent au moins par 2, et d'en prendre (m+ 2) dans celui qui commencerait par I .

Si, à l'inspection des deux nombres, on reconnaît que le premier chiffre du quotient est k , il suftit que son erreur relative soit moindre que

■; ; — - — :> et que, par suite, celles des deux nombres soient chacune

moindres que -r ;; — ^^rrï' Si donc le premier chiffre du quotient ne

surpasse pas 4, il suffit que chaque erreur soit moindre que

2(4+l)lO^

ou que — -; et pour cela, il suffît de prendre {m-\- 1) chiffres dans chacun des

nombres, quand même ils commenceraient par i. Exemple. Calculer, àoin,ooi près, le rayon d'un cercle dont la oirconfé-

rence est i/5. On sait que ce rayon est égal à • Comme |/5 est un

peu supérieur à 2^ et 27^ à 6, le quotient commencera par un chiffre de dixièmes, et il aura trois chiffres ; il suffira donc d'en prendre 4 au dividende et 4 au diviseur. Or^ on trouve 1^^= 2,287, par excès, et itz = 6,283, par défaut. La division donne o,356. . . , quotient trop fort d'une quantité inférieure h o,oor. Le rayon cherché est donc compris entre om,355. . . . et ora^356. . , . ^ il est donc om,356 à om,ooi près.

Si l'on emploie, pour exécuter le calcul, la méthode de division abrégée, on introduit une nouvelle erreur; on s'arrange pour qu'elle soit peu considérable, et de sens contraire à la première, afin d'être assuré de l'approximation demandée.

475. Applications. Seconde question. Deux nombres sont donnés avec m chiffres cxacls au moins. Sur combien de chiffres exacts peut-on compler dans le quotient ?

En reproduisant mot pour mot les raisonnements du no 471 , on démontre que, toutes les fois que les deuxnombres commencent au moins par 2, on peut compter sur l'exactitude des {m — i) premiers chiffres du quotient.

Si, à Vinspeclion des deux nombres, on reconnaît que le premier chiffre du quotient ne surpasse pas 4, quels que soient les premiers chiffres du dividende et du diviseur, on pourra encore compter sur [m — i) chiffres.

Car, dans ce cas, Terreur relative du quotient est moindre que — ^^irp» ou que - — -j;^^ ; elle est donc inférieure à — ^jj^^^ {k étant le premier

chiffre du quotient). Donc on peut compter sur les (m — i) premiers chiffres (463).

Exemple. La surface d'un trapèze S=452mq,583fi ; ses deux bases t=: 22^,487, />'=47ni,835: quelle est sa hauteur? Chacun des nombres est connu, à une unité près de l'ordre de son dernier chiffre.

On sait que la lormule est h= = -— : — -— • Le diviseur n avant

que 5 chiffres, on ne peut compter que sur 4 chiffres au quotient; d(^s lors,

les deux derniers chiffres du dividende sont inutiles; et il siifiitde diviser 452,58 par 35, i()i. On trouve /t=i2m^87, àoni,oi près.