V. PUISSANCES

476. Théorème vn. L'erreur relalive du carré d'un nombre, approché par défjtut, est égale au double deV erreur dunombre, diminué du carré de cette erreur. L'erreur relative du carré d'un nombre, 'approché par excès, est égale au double de l'erreur dunombre, augm,enté du carré de cette erreur. Dans les deux cas, elle est à peu près égale au double de l'erreur du nombre; et on peut affirmer qu'elle est moindre que le double de la limite qu'on substitue à l'erreur du nombre.

Ce théorème est la conséquence immédiate du théorème iv (467), dans lequel on suppose égales les erreurs relatives des deux facteurs.

Théorème vrii. L'erreur relative du cube d'un nombre approché est à peu près égale au triple de l'erreur relative du nombre; elle est moindre que le triple de la limite qu'on substitue à cette dernière (^469) .

Théorème ix. L erreur relative d'une puissance d'u7i nombre approché est à peu près égale au produit de l'erreur relative du nombre par l'exposant de la puissance (469).

477. Applications : 1o Une toise vaut im, 949036. .. rcalculer la valeur de la toise carrée en mètres carrés, à un centimètre carré près. Le carré cherché aura un chiffre entier et 4 chiffres décimaux, c'est-à-dire cinq chiffres. Comme les deux facteurs commencent par i, il suffit de prendre 6 chiffres. On fait donc le carré de 1,94903, et Ton trouve (multiplication abrégée) 3,798715 par défaut, avec une erreur moindre que 0,000016. Le carré du nombre approché est donc compris entre 3,798715 et 3^798731. Le carré exact, plus grand que le carré approché, est donc compris entre 37,98715 et 3,798831. Ainsi l'q =3™q, 7988, à^omq,oooi près.

2" Un pouce vaut 2711^1^0699. ...: calculer la valeur du pouce cube, à un millimètre cube près. Le cube cherché aura cinq chiffres entiers. Pour que ces cinq chiffres soient exacts, il suffît que l'erreur relalive du cube soit

inférieure à — -, et, par suite, que l'erreur relative du nombre soit infé- 10»

rieure à g; il suffirait pour cela de prendre 7 chiffres (462) sur la gauche de ce nombre. Mais on peut abaisser cette limite, en remarquant que le nombre donné étant plus petit que 3o, son cube est plus petit que 27000^ ei,ù fortiori, que 3. 10*. Que Ton prenne 6 chiffres seulement dans le nombre, cenombre commençant par 27, son crreiu rchilive (461 ) est moindre que

r ; l'erreur relative du cube est donc moindre que :» ou r ;