reste 4 ) « . . reste

47407^2 . . . reste 2 .... reste 5.

On sait (82) que, si l'on divise les deux facteurs 6548 et 724 par un même nombre, la différence entre le produit 47407^2 de ces facteurs elle produit des deux restes est un multiple du diviseur. Par suite (8i), en divisant le produit des deux nombres et le produit des deux restes par le diviseur, les deux opérations doivent donner le même reste.

D'après cela, pour faire la preuve de la multiplication, dite par 9, on cherche les restes de la division de chaque facteur et du produit par 9; et pour cela il suffit d'additionner les chiffres de chacun (87) , en retranchant 9 autant de fois que possible.

On trouve ainsi les restes 5^ 4, 2. On multiplie 5 par 4, et l'on divise le produit 20 par 9; on doit trouver le reste 2, qu'a donné le produit.

Pour faire la preuve de la multiplication par 11, on clierclie les restes de la division des deux facteurs et du produit par II (90); on trouve 3, 9, 5 : on fait le produit des deux premiers 3 et g, et on le divise par 11. Le reste 5 que Ton trouve doit être celui qu'a donné le produit,

93. Remarques. l^Si la preuve ne réussit pas, l'opération est inexacte. Si elle réussit, on ne peut pas affirmer que l'opération est exacte; mais Terreur, s'il y en a une, ne peut être qu'un multiple du diviseur. Il est donc utile de contrôler à la fois l'opération , comme nous Tavons fait ci-dessus , à l'aide des preuves par 9 et par 1 1 ; car, si elles réussissent toutes deux, Terreur, ne pouvant être qu'un multiple commun à 9 et à II, devient moins probable.

2° Le principe v (82), qui démontre les preuves précédentes, est général et s'applique à tout diviseur, à 7 par exemple. Si Ton choisit, en particulier, 9 et 11 , c'est parce qu'on obtient très-facilement les restes que fournissent ces diviseurs, et qu'en outre on emploie, pour les trouver, tous les chilTres des nombres. Les diviseurs 2 et 5, 4 et 25, etc., qui donnent aussi des restes faciles à calculer, ne remplissent pas la dernière condition ; et le contrôle qu'ils fourniraient, ne portant que sur le premier ou les deux premiers chiffres du produit , n'offrirait qu'une garantie insuffisante.

94. Application a la preuve de la division. Dans toute division, si Ton retranche le reste du dividende , on obtient pour différence le produit du diviseur par le quotient. On peut donc appliquer à la différence considérée comme produit, et au diviseur et au quotient considérés comme facteurs, les preuves démontrées dans les n°' précédents.

95. Caractères de divisibilité dans i'n système quelconque. Les caractères de divisibililé varient avec la base du système de numération dans lequel on opère. Mais les raisonnements qui les fournissent sont les mêmes dans tous les systèmes.

Considérons, en particulier, le système duodécimal.

^0 La base douze a pour diviseurs 2, 3, 4, 6. Un nombre est divisible par l'un de ces nombres, lorsque le chiffre des unités est lai-même divisible par ce facteur.

Un nombre est divisible par le carré de l'un de ces nombres, lorsque le nombre formé par les deux derniers chiffres à droite est divisible par ce carré.

Un nombre est divisible par le cube de l'un de ces nombres, lorsque le nombre formé par l'ensemble des trois derniers chiffres à droite est divisible par ce cube.

Les raisonnements sont ceux des nos 33^ 84, 85, 86.

2» Le nombre qui précède immédiatement la base est onze. Un nombre est divisible par onze, quand la somme de ses chiffres, pris avec leur valeur absolue, est divisible par onze.

Gomme onze est un nombre premier, il est le seul nombre qui, dans ce système, jouisse de cette propriété.

30 Le nombre qui suit immédiatement la base est treize (douze-un). Un nombre est divisible par ce diviseur, quand la différence entre la somme des chiffres de rang impair, en allant de droite à gauche, et la somme des chiffres de rang pair, est elle-même divisible par ce diviseur.

Les raisonnements sont ceux des nos 87, 89.

Enfin, lorsqu'un nombre n'est pas divisible par un des diviseurs précédents, le reste de la division s'obtient par la règle du cas correspondant dans le système décimal.

Exemple: Sp^Sajô est divisible par 2, par 3, par 6 ; il n'est pas divisible par 4, et cette dernière division donne pour reste 2.

Comme 76 représente 7 douzaines et 6 unités ou 90 unités dans le système décimal, le nombre est divisible par 3^ ou 9 : il n'est pas divisible par 4, par 16, par 36 ; et ces divisions donnent pour restes 2, a, 16 (douze-six).

La somme des chiffres est 3p : donc ie nombre divisé par onze donne pour reste 3.

La somme des chiffres de rang impair est 19 ; la somme des chiffres de rang pair est 22. Ajoutant douze-un à la première, ou a 2a: et la différence 2a — 22 est 8. Donc le nombre divisé par douze-un donne pour reste 8.

96. Remarque. Il est souvent commode de classer les nombres entiers par catégories, relativement à un diviseur donné.

Relativement au diviseur 2, les nombres sont pairs ou impairs. Ils sont tous renfermés dans les deux formules 2 A;, 2 /c-j- i, dans lesquelles k désigne un nombre entier quelconque.

Relativement au diviseur 3, les nombres sont divisibles par 3, ou la division par 3 donne le reste i ou le reste 2. Ils sont renfermés dans

trois catégories représentées par les trois formules, 3^, 3fc-f- i, 3/c+ i. Comme un multiple de 3 augmenté de 2 est aussi un multiple de 3 diminué de I, la dernière formule peut aussi s'écrire 3k — i.

Relativement au diviseur 4, les nombres sont de même renfermés dans les 4 formules, ik, 4/c + i, 4/C+2 et4& + 3, auxquelles on peut substituer les suivantes 4^, 4^4- 1> 4^ — 2, /ik — i.

Relativement au diviseur 5, on a les cinq formules 5A;, Sk-\-î, 5fc+2, 5fe + 3, 5/1-1-4) ou bien 5fe, Sk-j-i, 5/;+2, 6k — 2, 6k — i.

Et ainsi de suite.

EXERCICES

I. Un nombre est divisible par 6, lorsque le chiffre de ses unités, ajouté à 4 fois la somme de tous les autres, donne une somme divisible par 6.

IL Un nombre est divisible par 12, lorsqu'en ajoutant au nombre formé par les deux derniers chiffres à droite 4 fois la somme de tous les autres, on obtient une somme divisible par 12.

III. Un nombre est divisible par i5, lorsqu'en ajoutant au nombre formé par les deux derniers chiffres à droite 10 fois la somme de tous les autres, on obtient une somme divisible par i5.

IV. Un nombre est divisible par 33, lorsqu'en partageant le nombre en tranches de deux chiffres, à partir de la droite, la somme des tranches, prises avec leur valeur absolue, est divisible par 33.

(Rép. : On résout ces quatre questions en décomposant le nombre en deux parties dont l'une soit multiple du diviseur.)

V. Si, après avoir écrit un nombre quelconque, on en écrit un autre qui soit composé des mêmes chiffres pris dans un autre ordre, la différence de ces deux nombres est un multiple de 9.

VI. Quand un nombre n'est pas divisible par 3, le carré de ce nombre est toujours un multiple de 3, augmenté de i.

VII. Un nombre premier est toujours un multiple de 6, augmenté ou diminué d'une unité. La réciproque est fausse.

VIII. Si un nombre entier n'est pas divisible par 5, son carré est un multiple de 5, augmenté ou diminué d'une unité.

IX. Si un nombre n'est pas divisible par 7, son cube est un muliiple de T, auEçmenlé ou diminué d'une unité.

X. Si deux nombres ne sont, ni l'un ni l'autre, multiples de 5. la différence de leurs quatrièmes puissances est divisible par 5.

XL Si deux nombres ne sont, ni l'unniTautre, multiples dey, la différence de leurs sixièmes puissances est divisible par 7.

(Rép. : On démonlre ces divers ihéorèmes en s'appuyaut sur la remarque du n° 96.)

XII. Un nombre divisible par 4 est toujours la différence des carrés de deux nombres cnliers.

XIII. Un nombre simplement pair, c'esl-ii-dire double d'un nombre impair, ne peut être la différence de deux carrés entiers.

XIV. Une puissance quelconque d'un nombre entier est toujours la dif férence de deux carrés entiers.

XV. Tout nombre divisible par 4 est la somme de deux nombres impairs conscciilifs.

XVI. Un nombre simplement pair ne peut jamais être la somme d'une suile de nombres impairs consécutifs.

XVII. La différence entre les cubes de deux nombres entiers consécutifs est toujours égale à la somme de quatre carrés dont trois sont égaux entre eux.

(Rép. : On s'appuie, pour ces questions, sur des décompositions faciles à trouver.)

XVIII. La somme des carrés de deux nombres entiers ne peut èlre divisible par 7, que lorsque chacun des deux nombres est divisible par 7.

(Rép. : Remarque du n' 96.)