II. CARACTÈRES DÉ DIVISIBILITÉ PAR CERTAINS NOMBRES
83. Premier genre de caractère. i° Un nombre est divisible par 2 ou par 5, lorsque, son chiffre des unités est lui-même divisible par 2 ou par 5.
En effet, un nombre quelconque peut toujours être considéré comme la somme de deux parties dont l'une renfermerait les unités simples du nombre, et l'autre l'ensemble de ses dizaines et unités supérieures. Par exemple, 738 est la somme do 73 dizaines et de 8 unités. Or une dizaine, étant égale à (2X5), est multiple à la fois de 2 et de 5 : il en est de même (77) d'un nombre quelconque de dizaines, qui est multiple de 10. Donc (76), si la deuxième partie du nombre, c'est-à-dire le chiffre des unités 8, est divisible par 2 ou par .5, le nombre total le sera également. C Q. F. D.
Si le chiffre des unités n'est pas divisible, le nombre total (79) ne l'est pas non plus, et les restes des deux divisions sont les mêmes. Ainei, dans l'exemple précédent, 8 est divisible par 2; divisé par 5, il donne le reste 3. Donc 738 est divisible par 2; mais, divisé par 5, il donne le reste 3.
84. 2" Un nombre est divisible par 4 ou par 25, quand le nombre formé par l'ensemble des deux derniers chiffres à droite est lui-même divisible par 4 ou par 25.
En effet, un nombre quelconque peut toujours être décomposé en deux parties dont l'une contiendrait les deux derniers chiffres, et l'autre les centaines et unités supérieures. Par exemple, 17352 est la somme de 173 centaines et de 52 unités.
Or une centaine^ étant égale à (4X25), esta la fois multiple de 4 et de 25; et il en est de même (77) de 178 centaines. Donc, si la seconde partie, 52, est divisible par 4 ou par 20, tout le nombre le sera. C. Q. F. D.
Si le nombre formé par les deux derniers chiffres n'est pas divisible par 4 ou par 25, le nombre total ne Test pas non plus, et les restes des deux divisions sont les mêmes. Ainsi, dans l'exemple précédent, 52 est divisible par 4; divisé par 25, il donne pour reste 2. Donc 17352 est divisible par 4; mais, divisé par 25, il donne pour reste 2.
85. 3»^ Un nombre est divisible par 8 ou par i25, quand le nombre formé par les trois derniers chiffres à droite est divisible par Sou par i25.
En effet, un nombre quelconque est toujours décomposable en deux parties dont Tune contiendrait les trois derniers chiffres, et l'autre les mille et unités supérieures. Par exemple, 37872 est égal à 37 mille plus 872 unités. Or un mille, étant égal à (8 X 125), est multiple à la fois de 8 et de 1 25 ; et il en est de même (77) de 37 mille. Donc si la seconde partie, 872, est divisible par 8 ou par i25, le nombre total le sera également. C. Q. F. D.
Si le nombre formé par les trois derniers chifï'res n'est pas divisible par 8 ou par i25, le nombre total ne l'est pas non plus, et les restes des deux divisions sont les mêmes. Ainsi, dans rexemple précédent, 872 est divisible par 8; divisé par i25, il donne pour reste 122. Donc 37872 est divisible par 12; mais, divisé par i25, il donne pour reste 122.
86. Remarque. On voit aisément quelle est la loi que suivent les diviseurs dans ce premier genre de caractère : 2 et 5 sont les deux facteurs de la base du système; 2, 4, 8..., sont les puissances successives de 2; 5, 25, i25..., sont les puissances successives de 5. Le nombre de chiffres, dont dépend la divisibilité, est égal à Texposant de la puissance : car 2 x 5= 10, 2^x5^= 10^ = 100, 2^ X 5^^ = 10^ — TOGO, etc.
87. Second genre de caractère, jo Un nombre est divisible par g, quand la somme de ses chiffres, pris avec leur valeur absolue, est elle-même divisible par 9.
Pour le prouver, on remarque d'abord qu'une puissance de 10 est un mulliple de 9, augmenté d'une unité; car^, en retranchant I d'une puissance de 10^ on obtient un nombre composé de 9.
On en conclut qu'un nombre formé d'un chiffre quelconque^ suivi de plusieurs zéros, est un multiple de 9, augmenté de ce chiffre. Car, par exemple, 6000 est égal à 6 fois 1000 : or, 1000 est un multiple de 9, augmenté d'un : donc 6000 est égal à 6 fois ce multiple, plus 6 fois i, c'est-à-dire à un multiple de 9, plus 6.
Cela posé, soit un nombre quelconque 476235. On peut, diaprés ce qui précède, former le tableau suivant :
400000 = mult. de 9 -H 4
70000 = mult. de 9 -i- 7
6000==: mult. de 9 -h 6
200 = mult. de 9 -j- 2
3 o = mult. de 9 -H 3
Si l'on ajoute toutes ces parties, en remarquant que la somme de plusieurs multiples de 9 est (76) un multiple de 9, on a
476235 = mult. de 9 -H (4 H- 7 -1-6 -4- 2 -4- 3 -}- 5).
Un nombre est donc toujours décomposable en deux parties dont l'une est un multiple de 9, et dont l'autre est la somme de ses chiffres pris avec leur valeur absolue. La première est divisible par 9 : si donc la seconde est divisible par 9, le nombre total Test également. C. Q. F. D.
Si la somme des chiffres n'est [)as divisible par 9, le nombre total ne l'est pas non plus, et les restes des deux divisions sont les mêmes (79).
Dans l'exemple précédent, la somme des chiffres est 27, nombre divisible par 9 : le nombre est donc divisible par 9. Dans le nombre 7836584768, la somme des chiffres est 62; la somme des chiffres de 62 est 8 : donc ce nombre n'est pas divisible par 9, et le reste de la division ost 8.
88. 2" Un nombre est ditisible par 'd, quand la somme de ses chiffres, pris avec leur valeur absolue^ est elle-même divisible par 3.
On vient de prouver, en effet, que tout nombre est décoin- {>osable en deux parties dont l'une est un multiple de 9, et dont l'aulre est la somme de ses chiffres. Or tout multij)le de 9 est (77, 2") muUipie de 3. Donc un nombre quelconque est décoinposable en deux parties : savoir un multiple de 3, et la somme de ses chiffres. Or la première partie est divisible par 3; si donc la seconde Test, le nond}re Test également.
Et si la somme des chiffres n'est pas divisible par 3, le nombre ne Test pas non plus, et les restes des deux divisions sont les mêmes (79).
Par exemple, 534 est divisible par 3; 275, divisé par 3, donne pour reste 2.
89. Troisième genre de caractère. Un nombre est divisible par II, quand la différence entre la somme des chiffres de rang impair et celle des chiffres de rang pair, pris avec leur valeur absolue et comptés en allant de droite à gauche, est o ou est divisible par 1 1 .
Pour le prouver, on remarque 1» qu'une puissance de 10 dont l'exposant est pair, comme 100, loooo, loooooo, etc, est un multiple de 1 1, augmenté d'une unité. Car, en retranchant i de cette puissance, on obtient un nombre composé d'un nombre pair de 9, comme 99, 9999^ 999999, etc. Or ce nombre peut être partagé en tranches de deux chiffres dont chacune est égale à 99, c'est-à-dire à 9 fois 11; chacune d'elles, prise avec sa valeur relative, est donc (77) un multiple de 11; et le nombre total, somme de ces multiples, est lui-même un multiple de 11.
On remarque 2° qu'une puissance de 10 dont l'exposant est impair, comme 10, 1000, looooo, etc., est un multiple de 11, diminué d'une unité. En effet, d'abord 10=11 — i. Puis, une puissance impaire étant une puissance paire multipliée par 10, on a, par exemple :
iooooo=iooooxio:=(multiple de ii-l-i)xio ^multiple de ii-i-io.
Or 10 est un multiple de ii moins i : donc enfin
iooooo=multiple de ii — i.
Il résulte de ces deux remarques qu'un nombre formé d'un chiffre quelconque suivi de zéros est un multiple de ii, augmenté ou diminué de la valeur absolue de ce chiffre, suivant que le nombre des zéros est pair ou impair. Ainsi :
6oooo==:mult. de 11-I-6, 6ooo^=mult. de 11— 6.
Cela posé, soit un nombre quelconque 872856. On peut, d'après ce qui précède, former le tableau suivant :
5o = mult. de 1 1 — 5
800 = mult. de 1 1 H- 8
2000= mult. de 1 1 — 2
70000 = mult. de 1 1 H- 7
3 o 0 o o o =: mult. de T I — 3
Si l'on ajoute toutes ces parties, on voit que
372856=mult. de 11+6—5-1-8—2+7—3,
égalité que Ton peut écrire
372856=mult. de 11 -i-(6+8-i-7)— (5+2+3);
car, pour additionner et soustraire des nombres, quel que soit leur ordre, il suffit d'additionner la somme de ceux qui sont à ajouter, et de soustraire ensuite la somme de ceux qui sont à retrancher.
Un nombre quelconque est donc égal à un multiple de 11, auquel on ajouterait la somme de ses chiffres de rang impair, et dont on retrancherait ensuite la somme de ses chiffres de rang pair. Si donc ces deux sommes sont égales, c'est-à-dire si leur différence est nulle, les deux opérations se détruisent, et le nombre est un multiple de 11 . Si la première somme surpasse la seconde d'un multiple de 11, les deux opérations se réduisent à ajouter au multiple de 11 leur différence qui est multiple de 11; etle nombre est encore un multiple de 1 1 (76), Si la seconde
somme, au contraire, surpasse la première d'un multiple de 1 1 , les deux opérations se réduisent à retrancher du mulliple de 1 1 leur différence qui est multiple de ii; et le nombre est encore (78) mulliple de ii.C. Q. F. D.
Exemples :
1« 347853 = muU. de ih-(3-h8h-4) — (5 + 7 + 3).
= mult. de T I + 1 5 — 1 5 = mult. de 1 1 . -2° 372856== mult. de 11 -h ((i-+- 8+ 7) — (5 + 2 + 3)
^muU.deii+21 — io==mult.deii+ii=mul(.dei i.
3° 758494 — mult.de ii + (4 + 4 + 5) — (9 + 8 + 7)
tr: mult. de 1 1 +1 3 — 24=mult.de 11 — 11 -:= mult. de 1 1 .
90. Reste DE LA DIVISION PAR 11. Si la différence des deux sommes n'est pas divisible par 11, le nombre se composant d'un multiple de 11, augmenté ou diminué d'un nombre qui n'est pas muUipîe de 11, n'est pas lui-même (79) divisible par II, Mais, pour trouver le reste de la division, il faut distinguer deux cas.
1° Cas où la somme des chiffres de rang impair surpasse la somme des chiffres de rang pair: par exemple, dans le nombre 837251946, la première somme (6+9+ 5 + 7 + 8) est égale à 35, la seconde (4 + 1 +2+3) est égale à 10, et leur différence est 25. On peut donc écrire :
837251946 = mult. de 11 + 35 — 10 = mult. de 11 +25.
Donc, en divisant le nombre par 11, on a le même reste (79) qu'en divisant 25 par 11, c'est-à-dire 3. Dans ce cas, le reste s'ohlient donc en divisant par 11 la différence des deuxsommes.
^'^ Gasoil la somme des chiffres de rang impair est inférieure à cette des chiffres de rang pair: par exemple, dans le nombre 273428593, la première somme (3+5 + 2+3 + 2) est égale à i5, la seconde (9+8 + 4 + 7) est égale à 28, et leur différence est i3. On peut donc écrire
273428593 = mult. deii+i5 — 28.
Comme on ne peut pas retrancher 28 de i5, on prend, dans le multiple de 11 qui précède, un multiple de 11 assez grand pour rendre la soustraction possible, soit 22; et le reste est encore (78) multiple de 11. On a ainsi ;
62 LiviŒ II.— cîiAriiKE 1.
273428593 = 1111111. de 11 + 22+ 10 — 28.
=:mult. de 11+37 — 28=niult.deii+9.
Le reste de la division est 9. x\insi, dans ce cas, le reste s'obtient en augmentant la somme des chiffres de rang impair d'un multiple de 1 1 assez grand pour la rendre supérieure à la somme des chiffres de rang pair, et en soustrayant ensuitecelte dernière somme du résultat.
Exemples: 1° Soit le nombre 348527 : les sommes sont 16 et i3y leur différence est 3 ; le reste de la division par 11 est 3.
2° Soit le nombre 857365; les sommes sont i3 et 21; on ajoute II à i3, ce qui donne 24; on retranche 21 de 24, le reste de la division est 3.
91. Divisibilité par un nombre quelconque. La méthode de démonsîration, commune h tous les caraclères de divisibilité, que nous venons d'exposer, consiste à décomposer h' nombre proposé en deux parties dont la première soit un multipie du diviseur que l'on considère. Quant à la seconde partie, de laquelle dépend exclusivement le caractère, elle doit, d'une part, se former facilement à l'aide des chiffres du nombre donné ; elle doit, de l'autre, fournir le reste de la division beaucoup plus promptement que si l'on divisait effectivement le nombre donné par le diviseur. Il suffirait donc de réunir ces conditions, dans le cas d'un diviseur déterminé, pour obtenir un caractère commode de divisibilité par ce diviseur.
Or, lorsqu'on divise les puissances successives de 10 par certains'nombres particuliers, on trouve des restes qui, comme ou le verra plus tard, peuvent se reproduire périodiquement, et fournir ainsi la solution du problême. Un exemple le fera comprendre. Cherchons un caractère de divisibilité par 7.
Comme 10=7+3, 100 qui vaut 10 fois 10, c'est-à-dire îe produit d'un multiple de 7 augmenté de 3 par lui-même, est égal à un multiple de 7 augmenté de 3 fois 3 (82), ou à un multiple de 7 augmenté de 3. De même 1000, qui vaut 10 fois 100, est égal au produit d'un multiple de 7 augmenté de -^ par un multiple de 7 augmenté de 3, c'est-à-dire à un multiple de 7 augmenté de 3 fois 2 ou de 6. On peut donc former le tableau suivant :
10 = mult. de 7 + 3
100 = mult. de 7 + 2
1000 = nnilt. de 7 + 6
dans lequel chaque reste s'obtient en multipliant le précédent par 3, et en divisant le produit par 7.
Mais on remarque que 6=7 — i ; donc 1000 est un multiple de 7 diminué de I. Par suite loooo, qui vaut 10 fois 1000, est un multiple de 7 diminué de 3 fois i, ou de 3 ; rooooo est un multiple de 7, diminué de 3 fois 3, ou encore un multiple de 7, diminué de 3 ; looopoo est un multiple de 7, diminué de 3 fois •>. ou de (>, ou encore un multiple de 7 augmenté de 1. Par conséquent ;
I = I 1000 = mult. de 7 — I
10 = mult. de 7 -H 3 loooo = mult. de 7 — 3
100 = mult. de 7 + i looooo = mult. de 7 — 2
Et, à partir de loooooo, la double série se reproduira :
loooooo = mult. de 7 + I ipoo^oo^oo =: mult. de 7 — i
looooooo = mult. de 7 + 3 10000000000 = mult. de 7 — 3
loooooooo = mult. de 7 •+- 2 looooooooooo 1= mult. de 7 — a
Et ainsi de suite. Par conséquent un nombre, formé par un chiffre quelconque suivi de zéros, est un multiple de 7, augmenté ou diminué du produit de ce chiffre par l'un des nombres i, 3, 2.
Cela posé, considérons un nombre quelconque 79.875.624.839.632, et partageons le en tranches de trois chiffres à partir de la droite. La première tranche 632, valant 2+3o+6oo, est un multiple de 7, augmenté de ('^ X i)4-(3 X 3) -}- (6 X ?•)• La seconde tranche 839 mille, valant (9 -|- 3o 4- 800) mille, est un multiple de 7, diminué de (9X1) + (3X3)-H(8x^). La troisième tranche 624 millions, valant (4 + 20 + 600) millions, est un multiple de 7, augmenté de (4 X i) + (2 X 3) + (6 X 2)' La quatrième, 875 billions, est un multiple de 7, diminué de (5 X i) + (7 X3) + (8X2). La dernière, 79 trillions, est un multiple de 7 augmenté de (9 X i) + (7 X 3). Le nombre total est donc un multiple de 7, augmenté des sommes de produits correspondant aux tranches de rang impair, et diminué des sommes de produits correspondant aux tranches de rang pair. On peut disposer ainsi le calcul :
nombre
multiplicateurs
K'^ tranche |3x3= 9
2'»nranche]3x3= 9
jsx 2 = 16
reste 6
j4Xi= 4
(5Xi= 5
3™e tranche|2 x3^ 6
4'nnranche 7 X3=:2i
^-^^ tranche î^^'"" ^ l7X3 = 2i
somme 76
somme 7 5
m LIVRE II. — CHAPITRE I.
La première somme vaul yS, la seconde 76. Donc le nombre est un multiple de 7, augmenté de 76 et diminué de 76, Si l'on emprunte 7 au multiple pour l'ajouter à yS et rendre la soustraction possible, on voit que le nombre est un multiple de 7, augmenté de 82 et diminué de 76. Donc
79875624839632 = mult. de 7 + 6 ;
donc le reste de la division de ce nombre par 7 est 6.
De là on conclut la règle suivante : On pa7'tage le nombre en tranches de trois chiffres à partir de la droite ; on multiplie les trois chiffres de chaque tranche^ le premier par i, le second par 3, le troisième par 2. On fait séparément la somme des produits correspondant aux tranches de rang impair^ et la somme des produits correspondant aux tranches de rang pair; et l'on retranche cette seconde somme de la première, après avoir augmenté celle-ci, s'il est nécessaire, d'un muliiple convenable de 7, poiir rendre la soustraction possible. La différence, divisée par 7, donne le reste de la division du nombre par 7. Si ce reste est n»/, le nombre donné est divisible par 7.
92. Application a la preuve de la multiplication. Supposons que l'on ait à contrôler le produit de 6548 par 724.
multiplication. preuve par 9. preuve par II.
6548 . . . reste 5 j ... reste 3 1
reste 2 [ reste 5
