II. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR DE PLUS DE DEUX NOMBRES

107. Principe iv. On peut, dans la recherche du plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, remplacer deux d'entre eux par leur plus grand commun diviseur .

Soient les cinq nombres 36o, io8, 84, 64 et 18. Le plus grand commun diviseur entre 36o et 108 est 36; et il faut prouver que le plus grand commun diviseur des cinq nombres

36o, 108, 84, 64, 18 (I" groupe)

est le même que le plus grand commun diviseur des quatre

nombres

36, 84, 64, 18 (2^ groupe).

En effet, d'une part, tout diviseur commun aux cinq nombres du premier groupe, divisant 36o et 108, divise (lOi) leur plus grand commun diviseur 36 : il est donc diviseur commun aux quatre nombres du second groupe.

D'autre part, tout diviseur commun aux quatre nombres du second groupe, divisant 36, divise 36o et 108 qui sont ses multiples : il est donc diviseur commun aux cinq nombres du premier groupe.

Il résulte de ces deux propositions que les diviseurs communs sont les mêmes pour les deux groupes ; et, par conséquent, le plus grand commun diviseur du premier est aussi le plus grand commun diviseur du second. C. Q. F. D.