DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

d05. Principe iv. Si l'on multiplie deux nombres par un même nombre, le plus grand commun diviseur des deux produits est le produit du plus grand commun diviseur des deux nombres par le multiplicateur. Par exemple, si Ton multiplie par 12 les deux nombres 5832 et 774 dont le plus grand commun diviseur est 18 (exemple n° 102), le plus grand commun diviseur des produits est (18 X 12). En effet, on sait que, si Ton multiplie deux nombres par un même nombre, le quotient de leur division ne change pas; mais le reste est multiplié par ce nombre (68). Par conséquent, si Ton multiplie par 12 les deux nombres 5832 et 774, et qu'on divise le premier produit par le second, le quotient est 7, comme auparavant, mais le reste est(4i4X 12). Si Ton divise ensuite (774X12) par(4i4Xi2), le quotient est i, mais le reste est(36oXi2). On voit donc que tous les restes sont les produits par 12 des restes de l'opération primitive : le nouveau plus grand commun diviseur est donc le produit par 12 du plus grand commun diviseur primitif. G. Q. F. D.

Il résulte de là que, si Von divise deux nombres par un même diviseur, le plus grand commun diviseur des quotients est le quotient du plus grand commun diviseur des deux nombres par le même diviseur. Car le plus grand commun diviseur entre (5832X12) et (774x12) étant le produit par 12 du plus grand commun diviseur entre 5832 et 774, il est clair que ce dernier est le quotient de la division du premier par 12.

406. Principe v. Si l'on divise séparément deux nombres par leur plus grand commun diviseur, les quotients obtenus sont premiers entre eux.

Soient, par exemple, les deux nombres 5832 et 774 ; on les divise par leur plus grand commun diviseur 18, et il faut prouver que les quotients 324 et 43 sont premiers entre eux. C'est qu'en effet, d'après le principe précédent, le plus grand commun diviseur des quotients est le quotient du plus grand commun diviseur primitif par lui-même, c'est-à-dire l'unité: les deux quotients sont donc premiers entre eux.