III. APPENDICE

140. Autre méthode pour former le plus petit multiple commun a plusieurs NOMBRES. On peut obtenir le plus petit multiple commun à plusieurs nombres sans décomposer ceux-ci en leurs facteurs premiers. La méthode repose sur le théorème suivant.

Théorème i. Si Von divise séparément deux nombres entiers par leur plus grand commun diviseur, on obtient leur plus petit multiple commun en multipliant par ce plus grand commun diviseur le produit des quotients obtenus.

Soient, par exemple, les deux nombres 84 et 52 ; leur plus grand commun diviseur est 4 : les quotients de 84 et Sa par 4 sont 21 et i3; de sorte que 84 = 21 X 4, et 52 = i3 X4- li faut prouver que le plus petit multiple commun à 84 et à 52 est le produit 21 X i3 X 4-

Or tout multiple commun à84 et à 52, étant multiple de 84 ou de (21X4), est égal au produit (21 X 4 y< k), k étant un nombre entier ; et ce produit, devant être multiple de 52 ou de (i3 X 4)» doit être divisible successivement par 4 et par i3. Comme la division du produit par 4 donne pour quotient (21 X 'î), il fautque (21 Xfe) soil divisible par i3; et comme i3 est premier (^06) avec 21, il faut (118) qu'il divise k. Par conséquent k est un multiple de i3, et l'on a : A; = i3 X «? n étant un nombre entier.

11 suit de là que tout multiple commun à 84 et à 52 est égal au produit

2iX4Xi3Xn.

D'ailleurs, quelle que soit la valeur entière donnée à n, le produit précédent est un multiple commun à 84 et à 52. Car on peut l'écrire sous l'une

des formes

(2iX4)X(i3X«)et(i3X4)X(2iXn), c'est à dire

84X(i3Xn) et 52X(2iX»),

lesquelles fendent la propriété évidente.

Ainsi, pour qu'un nombre soit multiple commun à 84 et à 02, il faut et

96 LIVRE H.— CÏIAPITRE III.

il suffit qu'il soit le produit des quatre facteurs 21, i3, 4 et îi, parmi lesquels n peut seul recevoir une valeur entière quelconque. D'où il rrsulte que le plus petit multiple commun correspond à la plus [lelile valeur entière de n, c'est-à-dire à n = i , et qu'il est égal à (2 1 X 1 3 X 4) • C'est ce qu'il fallait démontrer.

141. Remarques. 1o Le plus petit multiple commun (21 X i3 X4) pp'^îs'écrire sous l'une des deux formes (2iX4Xi3), (i3X4X2i), c'est-àdire (84X i3),(52 X21). // est donc égal au produit de Vun des deux nombres donnés par le quotient de la division de f autre par leur plus grand commun diviseur. C'est sous cette forme qu'on le calcule ordinairement.

2(> Il peut encore s'écrire (en le multipliant et le divisant successivement par 4), (21 X4X i3X4) : 4, ou (84x^2) • 4< ^l est donc le quotient obtenu en divisant le produit des deux nombres donnés par leur plus grand commun diviseur.

30 Et par suite, le produit de deux nombres entiers est égal au produit de leur plus petit multiple commun par leur plus grand commun diviseur.

40 Tout mulliple commun à deux nombres est multiple de leur plus petit multiple commun. Car tout multiple commun aux deux nombres 84 et 5a est égal à (21 X i3X4Xîi), c'est-à-dire au produit du plus petit multiple commun (21 X i3X4) par un nombre entier n.

4 42. Théorème ii. On peut, dans la recherche du plus pelit multiple commun à plusieurs nombres, remplacer deux quelconques d'entre eux par leur plus petit multiple commun.

Soient les nombres 12, 28, 48, 90, et 4^5. Le plus petit mulliple commun à 12 et à 28 est 84; et il faut prouver que les plus petits multiples communs aux deux systèmes

12, 28, 48, 90, 4<J5 '|er py^tcj^e

84, 48, 90, 4^5 2- système

sont les mêmes.

Or 1° tout mulliple commun aux cinq nombres du premier système, étant multiple commun a 12 et à 28, est (141 ,4*») mulliple de leur plus pelit multiple commun 84 : il est donc mulliple commun aux quatre nombres du second système.

2" Tout multiple commun aux quatre nombres du second système, étant multiple de 84, est multiple de 12 et de 28 (77, 2") : il est donc multiple commun aux cinq nombres du premier système.

11 résulte de ces deux propositions que les multiples communs sont les mêmes pour le premier et pour le second système : par conséquent le plus pelit multiple commun pour le premier est aussi le plus petit mulliple commun pour le second. C'est ce qu'il fallait démontrer.

143. IlÈGLli POUR TROUVER LE PLUS PETIT MULTIPLE COMMUN A PLUSIEURS

NOMBRES. Puisque l'on peut, dans la recherche du plus petit multiple commun à plusieurs nombres, remplacer deux d'entre eux par leur plus petit multiple commun, on diminue ainsi d'une unité le nombre des nombres sur lesquels on opère. Si l'on applique au second système le même procédé, c'est-à-dire si l'on remplace deux des nombres de ce système par leur plus petit multiple commun,, on obtient un troisième système dans lequel le nombre des termes est encore diminué d'une unité, et qui a le même plus petit multiple commun que les systèmes précédents. En continuant ainsi, on arrive nécessairement à un système de deux nombres dont le plus petit multiple commun est le plus petit multiple commun cherché. On opère ordinairement de la manière suivante :

12, 28, 48, 90, 4o5 lersystème.

84, 48, 90, 4o5 2« système.

336, 90, 4o5 3e système.

5o4o, 4o5 4^ système.

On cherche le plus petit multiple commun 84 des deux premiers nombres 12 et 28, puis le plus petit multiple commun 336 de celui qu'on vient de irouver^ 84, et d'un troisième nombre 48 ; et Von continue ainsij jusqu'à ce que le système soit réduit à deux nombres 5o4o et 4o5. Leur plus petit multiple commun 45360 est le plus petit multiple commun cherché.

144. Remarque. Tout multiple commun aux cinq nombres du premier système, étant multiple commun aux quatre nombres du second système, est, par la même raison, multiple commun aux trois nombres du troisième^ et, par suite, aux deux nombres du quatrième. Il est donc multiple du plus petit multiple commun. On peut donc énoncer ce théorème:

Tout nombre entier, divisible par plusieurs nombres, est divisible par leur plus petit multiple commun.

145. Théorème m. Si deux nombres a et b sont premiers entre eux; que Von forme la série naturelle des nombres

puis que Von multiplie chaque terme par a, ce qui donne la suite

en divisant par h chacun des termes de cette seconde suite, on obtient pour restes les divers termes de la série [i] , rangés dans un ordre quelconque.

En effet : i» aucun des restes ne peut être nul : car si, par exemple, le terme ka de la série [2] était divisible par b, comme b est premier avec a, il faudrait (148) que b divisai fe qui est plus petit que lui : ce qui est absurde.

2o Deux termes différents, ka, la, de la série [2] ne peuvent pas donner le même reste; car, si cela arrivait, leur différence {l — A;) a serait (81) divisible par le diviseur h : et comme b est premier avec a , il faudrait que b divisât {l — k), nombre plus petit que lui ; ce qui est absurde.

3» Chacun des restes est plus petit que le diviseur 6.

Il résulte de ces trois remarques, que les [b — i) restes obtenus sont tous différents, et sont, par suite, les termes delà série [ij.

Par exemple, 7 et 10 sont premiers entre eux. Si l'on multiplie par 10 les nombres delà suite

ce qui donne

et qu'on divise chacun de ces produits par 7, on obtient pour restes successifs

146. Théorème iv. Théorème de Fermât. Si un nombre premier p ne divise pas un nombre entier a , il divise a?"* — i. Considérons, en effet,, la série naturelle

I, 2, 3, 4 (P— i), [ij

et multiplions par a chacun de ses termes, ce qui donne la série

puis divisons par p ces divers produits. Si nous désignons les restes par

rj, Tg,... rp-i, nous aurons les égalités

-2a=pq^-]-r^, 3a = p(/34-r3,

et si nous multiplions membre à membre ces égalités, nous aurons

aX2aX3aX...X(p— i)a = Mp-i-ri r^ r^.., />,,

Mp désignant un multiple de p (82).

Or, le premier membre contient (p — i) fois le facteur a; d'ailleurs lè produit r^ r^r^. . . r^-^ est le produit (145) des (p — t) premiers nombres^

Donc l'égalité précédente peut s'écrire en intervertissant les facteurs ,