I.9..3. . . [p—i) {a/'-^ — T)=Mp

Ainsi p divise le premier membre de cette dernière égalité ; mais il est premier avec chacun des facteurs, 1,2,3... (p — i), puisqu'il est premier absolu : donc (120) il est premier avec leur produit : donc il divise le premier facteur (aP-* — i). Ce qu'il fallait démontrer.

Par exemple : 7 est un nombre premier qui ne divise pas lo; 7 divise io«—i, ou 999999. En effet, 999999 = 7X142857.

147. Théorème v. Théorème de Wilson. Si un nombre p est premier^ il divise le produit de tous les nombres entiers inférieurs à p, augmenté d'un. En d'autres termeSy h étant entier, on a :

iX2X3...X(p--i) = ^p.

Pour le prouver , considérons la série naturelle des nombres

et muîtiplions-en les termes par l'un d'eux, a; nous aurons une seconde

série

la, 2a, 3a, . . . (p — 2) o , (p — i) a. [2]

Comme p est premier^ il est premier avec a qui est plus petit que lui ; donc (i45), si l'on divise par p les termes de la série [2], les restes obtenus seront les termes delà série [i]. Et par conséquent, il y a, parmi ces produits, un terme et un seul, qui, divisé par p, donne pour reste i. Désignons ce terme par aa, de sorte que

ona == mp ■+■ 1 . [3]

Deux cas peuvent se présenter; a et a peuvent être égaux ou inégaux, i 0 Si a et a sont égaux, ils ne peuvent être égaux qu'à i ou à p — i . En effet, dans ce cas, l'égalité [3] se présente sous la forme

«2 — i=i7np, ou (a — i)(a+i)=wip.

Il faut donc que p, nombre premier, divise un des facteurs (a — i) ou

(a+i). Mais p nepeut diviser (a — i), qui est plus petit quep, à moins que

a=i; et il ne peut diviser (a + i), qui est plus petit que 2p, moins que

a-hi =p, ou a = p — I. Donc, dans ce cas, a et a sont égaux tous deux à i,

ou tous deux à (p — i.) 2° Si a et a sont inégaux, aucun d'euxne peut être égala i ouà (p — i).

En effet, si l'un d'eux, a, par exemple, était égal à i , la série [2] deviendrait

et ce serait manifestement le premier terme i X i, qui, divisé par p, donnerait pour reste i : par suite, on aurait a — i =a ; a serait égal à a. Si, au contraire, on avait a = p — i, la série [2] deviendrait

et ce serailmanifestemenl le dernier terme (p — i) {p — i), ou (p^ — 2p4-i), qui, divisé par p, donnerait le reste i ; on aurait donc a = p^i=a;aeta seraient encore égaux.

Ainsi, pour que a soit égal à a, il faut et il suffit qu'ils soient égaux tous deux à I, ou tous deux à (p — i).

Il résulte de là que, si a n'est égal ni à r, ni à (p — i), c'est-à-dire s'il est un des termes de la série,

a est aussi un terme de celle série^ aulre que a- Chacun des nombres de la suite [4] étantpris successivement pour a, on trouvera donc à lui associer, dans celte même suiie, un autre terme a, et un seul , lel que l'on ait :

aa = mp4-i. [3]

Les termes de la suite [4], qui sont en nombre pair, s'associent donc, deux par deux, d'une seule manière, pour remplir la condition [3]. Si l'on désigne ces groupes par a et a. 6 et ê, c et y, on a

o.a = mp -\- 1 , g & = m'p -\- I , Y c = m"i} + 1 .

Comme les premiers membres de ces égalités renferment tous les nombres de la série [4], une fois chacun, la multiplication, membre à membre,

donne (8'i)

2X3X4. ..X(p — 3) (p-2) = Mp+i , [5]

Mp désignant un nouveau multiple de p.

Multiplions enfin les deux membres par i et par (p — i), et nous aurons

iX2X3X4...X(p— 2)(p-i) = (Mp-|-i).(p— i)=:À;p — i^

ou

iX2X3X4...X(p — 2)(p— i)4-i=A'p.

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Exemple : soit pzr:ii3. Dans le produit

2X3X4X5x(^X7X8X9XioXir,

TnÉOBlE ÉLÉMENTAIRE DES NOMBRES PREMIERS. 101

les nombres associés dont le produit, divisé par i3, donne i pour reste» sont : 2 et 7, 3 et 9, 4 et 10, 5 et 8, G et ii. Le produit des 12 premiers nombres est 39916800; divisé par t3, il donne 3070623 pour quotient et i pour reste.

Remarque. Cette propriété appartient exclusivement aux nombres premiers; car, si p n'est pas un nombre premier, il admet un diviseur premier, qui, étant un des termes de la suite [i], divise nécessairement le produit

iX 2 X3x (p — i); ce facteur ne divise donc pas la somme

Il X 2 X 3. . . X (p — i)| + 1 ; et par suite, p ne saurait la diviser.

148. Thkorémk VI. Si N est un nombre entier premier avec a; que Von considère la suite illimilée

I, a, a\ a\ aK .., [r]

et qu'on divise chaque terme par N ; les restes

se reproduisent périodiquement. Si Von désigne pir a'' la plus petite puissance de a, qui, divisée par N, donne le reste i,/a période des restes comprend h termes distincts ; et les seules puissances de a, qui fournissent le reste i , sont celles dont les exposants sont multiples de h.

En effet, le diviseur N, étant premier avec a, est premier avec toutes ses puissances (121) : donc il n'en divise aucune : donc aucun des restes [2] ne peut être nul. D'aillours, chacun de ces restes est moindre que le diviseur N : par conséquent, après avoir divisé par ce diviseur (N — i) termes consécutifs au plus de la série [i] , on doit retrouver un des résultats précédemment obtenus. Si Ton désigne par a"*et a" deuxpuissances qui, divisées par N, fournissent le même reste, leur différence (a" — a'"), ou a'^{û^~'^ — i) est un multiple du diviseur (81); mais N est premier avec a"* : donc N divise (a«— ♦» — i). Donc a"*-"*, divisé parN, donne pour reste i.

Il y a donc, dans la série [i], certains termes qui, divisés par N, donnent le reste i. Soit a^ la plus petite puissance de a qui remplit celte condition :

a'^^mN+i. [3]

Les restes fournis par les puissances inférieures sont tous distincts; car, si deux d'entre elles, a"* et a*', donnaient le même reste, on vient de voir que o"— "* donnerait le reste i, ce qui est contre l'hypothèse.

D'autre part^ en multipliant l'égalité [3] par a, par a^, par a', etc., on a :

07»+a=^.m.NH-a^; par conséquent, les restes fournis par a'^'^S a^'^^, a'»"'"^,. . . sont lesmèmes

d02 LIVRE II. — CHAPITRE III.

que les resles fournis par a, a% a^,. . . Les h restes, i, fj, r^, r;,i,. . . se reproduisent donc périodiquement.

En6n les puissances a2/i, a'ih,. . , fournissent le même reste que a*, c'est-à-dire Tunilé, et sont les seules qui fournissent ce reste.

C'est ce qu il fallait démontrer.

i 49. Corollaire. Si le diviseur'^ est nn nombre premier p, le nombre h des termes de la pi r iode des restes est égale à (p — i), ou à Vun de ses diviseurs.

En effet, h ne peut être supérieur à (p — i), puisque le nombre des resles distincts est au plus égal à (p — i). D'ailleurs, d'après le théorème de Fermat (146), a''"^ divisé parp, donne le reste i : donc/i peut être égal à (p — i). Mais si h est inférieur à (p — i), il en est un diviseur : caries seules puissances de a, qui donnent le reste i, sont celles dont les exposants sont multiples de h; (p — i), qui remplit celte condition, est donc un multiple de h.

EXERCICES

I. Décomposer en leurs facteurs premiers les nombres 2048, 7560, 36504. (R.: -|0 ■?.''; 2° :i'x3^X3X7; 3o 23x3^XI3^)

II. Trouverions les diviseurs des nombres 4096, 7830, ia564 ; calculer ensuite pour chacun d'eux le nombre et la somme des diviseurs.

(R. : 4096 a i3 diviseurs dont la somme est 8191 ; 7830 a Sa diviseurs dont la somme est 21600; i2564'a 18 diviseurs dont la somme est 3i85o).

m. Trouver!, à l'aide de la décomposition en facteurs premiers, le plus grand commun diviseur des nombres 6904, 7848, 16732, 22524.

ÏV. Trouver le plus petit multiple commun aux nombres aSô, 766, 9262, 12348. (R. : 609299712.)

V. Tout nombre impair, non premier, est la somme d'une suite de nombres impairs consécutifs, en nombre impair.

VI. Toute puissance d'un nombre entier est la somme d'une suite de nombres impairs consécutifs.

YII. Un nombre premier ne peut jamais être égal à la somme d'une suite de nombres impairs consécutifs.

VUI. Il existe toujours, parmi les multiples d'un nombre entier quelconque, un nombre formé exclusivement par des chiffres 9, ou par ces chiffres suivis de zéros.

IX. Un nombre ne peut être à la fois un carré et un cube parfait, sans être une sixième puissance parfaite.

X. Les produits des neuf premiers nombres par 3, ou par 7, ou par 9, sont terminés par les neuf premiers nombres.

XI. Dans le système de numération dont la base e^i douze, les produits des onze premiers nombres par cinq, par sept ou par onze, sont terminés par les onze premiers nombres.

XII. Un nombre pair étant décomposé, autant de fois que cela est possible, en deux facteurs, Tun impair (l'unité comprise), et l'autre pair, la somme des facteurs pairs, diminuée de la somme des facteurs impairs corresponoants, est égale à la somme des diviseurs de la moitié du nombre donné.

XIII. Un nombre premier (2 et 3 exceptés), est toujours un multiple de 6, augmenté ou diminué d'une unité. — La réciproque est fausse.

Î.IV. Le carré d'un nombre premier, (2 et 3 exceptés), est toujours un muliiple de 24, augmenté d'une unité.

X^ Si a et 6 sont deux nombres entiers, le produit ab {a^-{-b^) (a'- -6*) est toujours divisible par 3o.

XVI . Si a et 6 sont premiers entre eux, ( a-\-b) et {a — b) ne peuvent pas avoir l'autre diviseur commun que 2.

XVII. Si a et 6 sont premiers entre eux, {a-f-6) et (a^ — ab -\- b') ne peuvent pas avoir d'autre diviseur commun que 3.

IVIII. Le produit de trois nombres entiers consécutifs est toujours divisible par 6. Le produit de quatre nombres entiers consécutifs est toujours divsible par 24. Le produit de cinq nombres entiers consécutifs est toujours divisible par 120.

XIX. Si trois nombres entiers a, b, c, satisfont à l'égalité a^-|~6^ = c^, a 01 b est divisible par 3 ; a ou c est divisible par 4 ; et, 6, ou c est divisible par 5. (Exemples: 3^-^4^=6\ 6^-^-12^=13^)

XX. Si a et 6 sont deux nombres entiers, et si (a^ — 6^) est un nombre premier, cette différence est égale à la somme (a+6.).

XXI. Prouver qu'un nombre premier p entre comme facteur dans le produit (i X 2 X 3 X 4 X . . . X »), autant de fois qu'il y a d'unités dans le nombre (m-i-rn'-\-m"-{-. . .), m étant le quotient de la division de n parp, m' le quotient de m par p, m" celui de m' par p, etc.

XXII. Conclure de là que le produit de n nombres entiers consécutifs est divisible par le produit des n premiers nombres entiers.

XXIII. Que l'on considère un nombre formé d'un certain nombre de 9, et un second nombre formé de chiffres quelconques, mais en nombre égal : que l'on échange les chiffres du dernier par permutation circulaire, c'est-àdire de manière que, l'ordre des chiffres restant le mémo, chacun d'eux occupe successivement la première place ; prouver que tout diviseur commun aux deux premiers nombres divise tous les autres.

Exemple : Considérons 999999 et 872354; les nombres définis par renoncé sont 487235, 548723, 354872, 235487, 723548 : on demande de prouver que tout nombre qui divise 999999 et 872354 divise tous les autres.

XXIV. Pour trouver tous les nombres premiers compris entre i et le carré n^ d'un nombre donné, formez les séries suivantes :

49, ^3, 77, 91, io5, 119...

en poussant chaque série jusqu'au terme le plus voisin de n'. Les nonbres impairs non contenus dans ces suites sont les nombres prenriers cherchés.

(Tous ces exercices se démontrent en s'appuyanl sur la théorie des nombres premier?,)