DES NOMBRES INCOMMENSURABLES

On continue ainsi 5 diviser l'unité en parties égales de dix en dix fois plus petites, et à évaluer les restes successifs au moyen de ces diverses subdivisions. On arrive bientôt ainsi, dans l'opération graphique, à des subdivisions tellement petites, qu'il n'est plus possible de continuer, et que la longueur AB paraît évaluée exactement à l'aide de la dernière. Mais cette longueur étant, par hypothèse, incommensurable, on doit admettre en réalité que le reste auquel on parvient ne saurait jamais être nul, et que la subdivision se poursuit à l'infini.

Dès lors on rencontre dans celte opération deux séries de nombres : la

première

se compose de nombres croissants, qui mesurent des longueurs croissantes toutes moindres que AB : la seconde

se compose de nombres décroissants qui mesurent des longueurs décroissantes toutes plus grandes que AB. Deux termes de même rang, dans les deux séries, diffèrent d'abord d'une unité, puis d'un dixième, puis d'un centième,. . . comme les longueurs qu'ils mesurent; et l'on peut considérer deux termes assez éloignés pour que leur diff^érence soit aussi petite qu'on le veut. On peut, donc dire que les deux séries dénombres convergent vers une limite commune qu'elles ne peuvent atteindre. La longueur AB est la limite commune aux deux séries de longueurs que mesurent les deux séries de nombres; on prend pour mesure de AB îa limite commune aux deux séries de nombres. Celte limite, dont il est impossible d'écrire la valeur, se nomme un nombe incommensurable.

Les nombres entiers et les nombres fractionnaires se nomment nombres commensurables.

221. Remarque. Il résulte des considérations qui précèdent, qu'il existe des nombres incommensurables; et que, s'ils sont impossibles à écrire sous forme fractionnaire, on peut du moins en écrire, sous cette forme, des valeurs aussi approchées qu'on le veut. La théorie des racines nous fournira un premier exemple de ces sortes de nombres. Chaque fois que nous les rencontrerons, nous prendrons soin de montrer comment on peut les évaluer effectivement avec une approximation illimitée : et ce sont ces valeurs approchées qui seront soumises au calcul.

Mais il est nécessaire de dire, abstraction faite de toute approximation, ce que l'on doit entendre par opérations sur les nombres incommensurables.

222. Addition et soustraction. Ajoiiter ou soustraire des nombres incommensurables, c'est trouver le nomhre qui mesure la grandeur qu'on

154 LIVRE III.— CHAPITRE IIl.

obtiendrait en ajoutant ou en soustrayant les grandeurs que mesurent les nombres donnés.

223. Multiplication. On distingue trois cas: I^Le multiplicateur est entier : multiplier un nombre incommensurable par 5, c'est trouver le nombre qui mesure une grandeur 5 fois plus grande que celle que mesure le multiplicande.

2" Le multiplicateur est fractionnaire : multiplier un nombre incommensurable par -y, c'est trouver le nombre qui mesure une grandeur égale aux f de celle que mesure le muliiplicande.

3° Le multiplicateur est incommensurable : ici une définition nouvelle est nécessaire. On conçoit deux séries : l'une composée de nombres commensurables croissants, tous plus petits que le multiplicateur; l'autre composée de nombres commensurables décroissants, tous plus grands que lui. Les produits du multiplicande par chacun des termes de ces séries forment à leur tour deux séries de nombres que définissent les deux paragraphes précédents. La limite commune à ces deux séries de produits est ce qu'on nomme ie produit des deux nombres donnés.

224. Division. Diviser un nombre par un autre, c'est trouver le nombre qui, multiplié par le diviseur, reproduit le dividende. Celte définition s'applique aux nombres incommensurables comme aux nombres commensurables, pourvu qu'on donne au mot multiplication le sens qu'il a dans le no précédent.

225. Principes. Ces définitions étant admises, on doit regarder comme évidents les théorèmes suivants, qui, déjà démontrés pour les nombres commensurables, s'étendent ainsi aux nombres incommensurables.

4 0 Le produit de deux ou de plusieurs facteurs est indépendant de V ordre des facteurs.

2" Pour multiplier un nombre par un produit effectué de plusieurs facteurs, il suffit de le multiplier successivemeîit par chacun de ces facteurs.

30 Pour multiplier un produit par un nombre^ il suffit de multiplier Vun de ses facteurs par ce nombre.

4° Pour multiplier un produit par un produit, il suffit d^ effectuer le produit de tous les facteurs.

Tous ces principes sont, en effet, évidents d'après la définition admise pour le produit des nombres incommensurables, parce qu'ils sont démontrés pour des nombres commensurables quelconques, quelqu"'approchés que soient ces derniers des nombres incommensurables considérés.

Nous nous bornons ici à ces simples notions : nous renvoyons les applications aux chapitres où nous rencontrerons des nombres incommensTirables.