CHAPITRE III DES NOMBRES INCOMMENSURABLES

220. Définitions. Lorsque, pour mesurer une grandeur, on cherche à la comparer avec une autre grandeur de même espèce prise pour unité, il peut arriver que celle grandeur ne coiilienne -exactement ni son unité, ni une fraction quelconque de cette unité. On connaît de pareilles grandeurs. Ainsi on démontre, en géométrie, que la diagonale d'un carré n'a pas de commune mesure avec son côté, que le côté du triangle éqiiilaléral inscrit dans un cercle n'a pas de commune mesure avec le rayon du cercle. Ces grandeurs sont dites mcommenswrabies; et il n'existe aucun nombre, soit entier, soit fractionnaire, qui puisse en exprimer la valeur.

II est cependant nécessaire d'évaluer ces sortes de quantités, au moins avec une certaine approximation, pour pouvoir les soumettre au calcul. Voici à l'aide de quelles considérations on y parvient.

Supposons qu'il s'agisse d'une longueur AB, et soit CD l'unité adoptée. On porte l'unité sur .\B autant de fois qu'on le peut; et si AB la contient 3 fois avec un reste EB, AB vaut plus de trois unités et moins de quatre unités : sa mesure est 3 par défaut, ou 4 par excès, à moins d'une unité.

On partage ensuite l'unité CD en dix parties égales, et l'on porte l'une de ces divisions FD sur le reste EB autant de fois qu'on le peut. Si le reste contient celte division 7 fois avec un nouveau reste GB, AB vaut plus de 3 unités et 7 dixièmes d'unité, mais ne vaut pas 3 unités et 8 dixièmes d'unité. Sa mesure est 3,7 par défaut, ou 3,8 par excès, à moins d'un dixième près.

On partage encore la division FD en dix parties égales, qui sont des centièmes de l'unité, et on porte l'une des parties sur le second reste GB autant de fois que l'on peut. Si GB coniient cette partie 8 fois avec un resle, AB vaui plus de 3 unités 7 dixièmes 8 centièmes, mais ne vaut pas 3 unités 7 dixièmes 9 centièmes. Sa mesure est 3,78 par défaut, ou 3,79 par excès, à n^oins d'un centièmi' près.