DES OPÉRATIONS DE L'ARITHMÉTIQUE
3i. [Ajouter, soustraire, multiplier et diviser, sont les quatre opérations fondamentales de l'Arithmétique. Toutes les questions qu'on peut proposer sur les Nombres se réduisent à pratiquer quelques-unes de ces opérations, ou toutes ces opérations. Il est donc important de se les i^ei^dro familières,; et d'en bien saisir l'esprit. ]
. Dé reddition des Nombres entiers et des Parties décimalesh
32. r Exprimer la valeur totale de plusieurs nombres, par tm seul, est ce qu'on appelle /î«/re m»<? addition,']
On se sert du signe + que l'on nomme plus , pour indiquer l'addition. Ainsi 11 + 4> signifie qu'il faut ajouter 11 avec 4-
[ Quand les nombres qu'on se propose d'ajouter n'ont qu'un seul cbiffre , on n'a pas besoin de règle , mais lorsqu'ils (^t
CoUIlS DE MATBÉMtTIQUKS. It,
plusieurs chiffras , on trouve leur valeur totale gu'ou appelle somme, en observant la règle suivante.
Ecrivez les luis soys les antres , tous les nombres proposés; de manière que les chifFres des unités de chacun, soient dans une même colonne verticale ; qu'il eu soii de même des dixaines, de rarme lïcs ceniaînei, etc. soulignez le tout.
Ajoutez d'atiot'd tous les nombres qui sont dans lu colonne des unités ; &i la sonune ne passe pas 9 , éerivez-Ia au-deseous ; si elle surpasse neuf , elle renfermera des dîsairies ; n'écrivez au-dessous çue l'excâdent du nombre de« dixaînes ; comptez ces dixaines pour autant d'unités, et ajoutez-les avec les noBibres de la colonne suivante-, observez a l'égard de la somme des nombres de cette seconde colonne , la même règle qu'à l'égard de la première, et continuez ainsi de colonne en Cflloonc, jusqu'à la dernière, au-dessous de laquelle vous écrirez la somme telle que voua la trouverez. t.claiicissous cette jègle par des exemples.
Exemple I.
Qu'il soit question d'ajouter 549a 5 avec aoaï : jVcrîs ces Jeux
coiùbces conime ou te voit ici 5492^
56948 somme.'
Et oprès avoir souligné le tout, je commCflfie par les unités, en disant 5 et 3 font 8, que j'écris suus celte mCme colonne.
Je passe a celle des dixaines, dans laqucUe je dis 2 et a font 4t ^""^ j'écris au-dessous.
A la colninie des centaines , je dis g et o font 9 , que j'écris sous cette mcme colonne.
Sans la tolomie des mille, je dis 4 et a font 6, que j'ccri» sous cette colonne.
Eo&n dans la colonne des dixaines de mille, je dis 5 et rieu font 5 , que j'écris de même au-dessous.
Le nombre 56948, trouvé par cette opération , est la somme des deux nombres proposes, puisqu'il en renferme les imités, les dixaines, les centaines, les mille, et les dixaines de mille, que nous avons rassemblés successivement.
Ex EMPLE II.
On demande la somme des quatre uomlirf'S suivans
6go3, 7854> 9j3, 7327; je les écris comme unie voit à h page suivante.
IX ÇouKs 9E Mathéuàtiqvbs;^
a3o37 somme.' -
Et en commençant, comme cî-dessus, parla droite, je dis 3 et 4 font 7 , et 3 font lo , et 7 font 17 ; fécrbles 7 unités sous la première colonne, et je retiens la dixaine pour la joindre, comme unité, aux nombres de la colonne suivante, qui sont i&ussi des dixaines.
Passant a cette seconde colonne , je dis , i que je retiens çt o font I , et 5 font 6 , et 5 font 11 , et a font i3 ; j'écris 3 sous la colonne actuelle , et je retiens , pour la dixaine , une Bnité que j'ajoute a la colonne suivante , en disant i et 9 font 10, et 8 font 18 , «t 9 font 27 , et 3 font 3o, je pose sous cette colonne , et je retiens , pour les trois dixaines , trois, unités que j'ajoute a la colonne suivante, en disaot pareillement, 3 et 6 font 9, et 7 font 16, et 7 font 23, j écris 3 sous cette colonne , et comme il n'y a plus d'autre colonne , j'avance d'une place , les deux dixames qui appartiendroîent a la colonne suivante, s'il y en avoit une. Le nombre a3S37 est la somme des quatre nombres proposés.]
3S. [ S'il y a des parties décimales; comme elles se comptent, jaînsi que les autres nombres ^ par dixaines , a mesure qu'on avance de droite à gauche, la règle pour les ajouter est absolument la même, en observant de mettre toujours les imités de même ordre dans une même colonne,] et de placer à la comme la virgule dans la colonne où elle se trouve dans les quantités ajoutées, parce qu'il est évident que la somme doit être de nitme que les quantités ajoutées.
[ Ainsi, si on propose d'ajouter les trois nombres 72 , 957.... X^, 8.,, 124, o3; j'écrirais . * ... 72, 957
209, 787 somme.
En suivant la règle ci-dessus, j'aurai 209, 787 pour la somme. ]
De la Soustraction des Nombres entiers et des Parties
décimales»
34* [ La soustraction est une opération par laquelle on re-
Coms DE Mathématiques. i3
ïrancîic un nombre, d'uu autre nombre Le résultat de cette opération s'appelle reste ou ej:cès ou différence. ]
Pour marquer quon doit retrancher un nombre d'un autre, on met ce signe — que l'on prononce moins, avant le nombre à soustraire. Ainsi 34 — 8 signifie que de 34 il faut retrancher 8.
[ Pour faire cette opération , ou écrira le nombre qu on veut retrancher , au-dessous de l'autre , de la même manière que dans l'addition ; et ayaut souligné le tout , on retranchera , en allant de droite à gauche, chaque nombre inférieur Je son correspondant supérieur; c'est-à-dire, les unités des nnitcs, les dixaines des dixaiues , etc. on écrira chaque reste, au-dessous,, dans le même ordre, et zéro lorsqu'il ne restera rien.
Lorsque le chitfre inférieur se trouvera plus grand que le drifTre supérieur correspondant, on ajoutera a celui-ci dis nuités qu'on aura en empruntant, par la pensée, une uuité sur soii voisin à {,'anche , lequel doit , par cette raison , être regardé conuue moindre d'une unité , dans l'opération Buivantc. Exemple I.
On se propose de retrancher 54^^ ''^ ^9-^4- J'écris ces dcifc
nombres comme il suit 8954
Et conuttfaçant par le chiffre des imilés, je dis 2 ûté de 4, il reste 2 que j'écris au-dessous : puis, passant aux dixaines, je dis 3 ôlé de 5 , il reste 1 que j'écris sous les dixaines. A la Iroisième colonne , je dis 4 ôte de 9 , il reste 5 que j'écris sous cette colonne. Enfin à la quatrième, je dis 5 été de 8 , il reste 3 que j'écris sous 5, et j'ai SSaa pour le reste de 5433i retranche de Sq5^.
EXEUPIE II.
On veut ôler 7987 de 37646. Ou écrira 27649
19659 reste J
Comme ou ne peut ôter 7 de 6, on ajoutera ii 6, dix imités ^'on empruntera en prenant une unité sur sou voisin 4> ^6 on dira 7 ôté de 16, il reste 9 quon écrira sous 7,
lassant aux dixaines, ou ne dira plus 8 ûté de 4> "^'''^ ^ ôté de 3 sruleiuent , parce qne l'emprunt qu'on a fait , a diaiiaué 4 ii"""t' unité : cvmme oa ne peut liter S de 3 , qk
;i4 CoV&S^ DE MÀTHélfÀTIQtTESU
ajoutera de même a 3 , dix uoitéls qu^on empruntera , en pre« nant une unité sur le chiffre 6 de la gauche, et on dira 8 ôté 4le i3, il reste 5, qu^on écrira sous 8. Passant k la troisième colonne, on dira de méme^ g ôté de 5, ou plutôt 9 de i5, >( en empruntant comme ci-dessus ) il reste € qu'on écrira sous g,
 la quatrième colonne , on dira , par la même raison^ j été de 6, ou plutôt de 16, il reste 9, qu'on écrira sous 7J €t comme il n'y a rien k retrancher dans la cinquième colonne, on écrira sous cette colonne, non pas 2, parce qu'on vient d'emprunter une unité sur ce 2 , mais seulement i , et on aura 19659, pour le reste.]
35. [Si le chiffre sur le<juel on doit faire l'emprunt, étoît un zéro, l'empnmt se feroit, non pas sur ce zéro, mais sur le premier chiffre significatif qui vîendroit après; or, quoique ce soit, alors, emprunter 100 ou 1000 ou loooo, selon 'qu'il y a un , deux ou trois zéros consécutifs , on n'en opérera pas moins comme ci-dessus; c'est-a-dire , qu'on ajoutera seuleiùent 10 au chiffre pour lequel on emprunte , et comme ces i o sont censés pris sur les 100 ou 1000, etc. qu'on a empruntes,
Î)our employer les 90 ou les 990 , etc. qui restent , on comptera es zéros suivans pour autant de neuf j c'est ce qu^ 1 exemple ci-après va éclaircir.
£x£ttPLE III.
*'- Si de. . . V ; aoo64
oa veut retrancher 1 7489 ^
2575 reste.
On dira d'ahord 9 ôté de 4> ^^ plutôt de i^ (en empruntant sur le chiffre suivant ) il reste 5. Puis pour ôter 8 de 5, comme cela ne se peut, et qu'il n'est pas possible non plus d'emprunter sur le chiffre suivant qui est un zéro, on empruntera sur le 2 , une imité , laquelle vaut mille k l'égard du chiffre sur lequel on opère. De ce mille on ne prendra
Sue dix imités qu'on ajoutera k 5, et on dira 8 ôté de i5, reste 7.
Comme on n'a employé que dix unités sur mille qu'on a empruntées, on emploiera les 990 restantes, pour en retrancher les nombres qui répondent au-dessous des sïéros, ce qui revient au même que de compter chaque zéro , comme s'il valoit 9 : ainsi l'on dira 4 ôté de 9, reste 5; puis 7 oté de 9, teste 2 ; et enfin i ôté de i ; il ne reste rien. ]
36. [ S'il y a des parties décimales dans les nombres eut lesquels on veut opérer, on suivra absolument la mi';me règle; mais pour éviter tout embarras dans l'application de cette règle," il n'y aura qu'à rendre le nombre des cbiffres décimaux le même dans chacun des deux nombres proposés , en mettant un nomlire suJEsant de zéros à la suite de celui qui a le moins de décimales ; cette opération ne change rien a la valeur de ce nombre ( 3o ).
Eke
s IV.
De 54o5, 25
on vent ôter 385 , 6532
3e mets deux zéros à la suite des décimales du nombre supérieur; après quoi j'opère sur les deux nombres aiosi préparcs, précisémcnc selon l'énoncé de la règle donnée poui" les nombres entiers , 54o3 , aSoo
et je trouve pour reste .
, 5oi-
De lu preuve de t Addition et de la Soustraction,
Z-]. [ Ce qu'on appelle preuve d'une opération arithmétique^ est une autre opération que l'on fait pour s'assurer de l'exactitude du résiUtat de la première.
La preuve de l'addition se fait en ajoutant de nouveau , par mais en commençant parla gauche, les sommes qu'on ajoutées. On retranche la totahté de la première code la partie qui lui répond dans la somme inférieure ; !jnt au-dessous j le reste, qu'on réduit par la pensée ea , pour le joindre au cniÉFre suivant de cette même et du total on retranche encore la totalité de la coloons ■e; oa continue ainsi, jusqu'à la dernière coIonnCy la totalité étant retranchée, ne doit laisser aucun reste. ayant trouve cî-dessus que les quatre nombres ^53 73^7
ont potir somme.
a3o37 3tio
Pour vérifier ce résultat, j'ajoute l^s mêmes nombres, «t 4giamei»çajii par la gauche; el ;je (Ji* Ç «^ 3 f«pt j3j et 7
l6 CouiUS De MATH1&MAfriQX7E8«
font 20, lesquels otés de ^3^ il reste 3 ou 3 dixalnes, qm^ dvec le chiilre suivant zéro, font 3o. Je passe k la seconde colonne 9 et je dis 9 et 8 font 17, et 9 font 26 , et 3 font 29 que f6te de 3o ; il reste i ou une dixaine qui*, jointe an cliiflre suivant 3, fait i3. J ajoute tous les nombres de la troisième adonne, en disant 5 et 5 font 10, et 2 font 12 , qui ot's de i3 , il reste i ou une dixaine, laquelle , jointe au chiffre suivant j , fait 17 ; j'ajoute pareillement tous les iiomîïres de la doniicre colonne , en disant 3 et 4 font 7 , et f) fout 10, et 7 font 17, qui ôtcs de 17, il ne reste rien: d'oii je conclus que la première opération est exacte. * On est fondé à conclure que la première opération a été Lîcn faite, lorsqu après cette preuve il ne reste rien, parce qu'ayant otf'* successivement tous les mille, toutes. les centaines , toutes les (iixaines et toutes les unités dont on avoit composé la sommer, il faut qua la fin il ne reste rien,]
38. [ La preuve de la soustraction se fait en ajoutant le Kste irouvé par l'opération, avec le nombre retranche; si la prcniiiTC opération a été bien faite , on doit reprodm're le iKjmKre dont on a retranché : ainsi je vois ^ae dans le.tcoisième rvfnij>lu que nous avons donné ci-dessus, 1 opération a été bien faite, parce qu'en ajoutant 1 7 4B9 (nombre retranché), aveclè leste 2575, je reproduis 20064, îiombre dont on a retranché.
De la Multiplication»
89. Multiplier un nombre par un nuire , cest opérer sur le premier comme on opère sur l'unité , pour obtenir U second, IjC nombre que l'on multiplie s'appelle multiplicande, celui par lequel on multiplie s'appelle multiplicateur, et k résultat s'ai)pelle produit,
P.i.iljiplicr par un nombre entier , c'est donc répéter le multiplicande autant de fois qu'il y a d unités dans le multiplicateur.
Pour indiquer la ninlliplicalion , on se sert du signe x que l'on énonce multiplie par ^ ainsi pour marquer que l'on veut multiplier 11 par 7 , on écrit 11 x 7. Si ce produit devoit luimême être multiplié par 4 y on écriroit 1 1 x 7 x 4 > ^^
Les nombres que l'on multiplie îrappellent^ac/^ewr^ du pro-
dûit:
CoTJEs DE Mathématique». 17
duit : dans 11 x 5, il y a deux facteurs, 11 et 7, dans iixyx4>^y2t trois facteurs, 11., 7 et 4-
40. Lorsque Tou veut indiquer la multiplication d'une quantité composée Je plusieurs parties par une autre, on renferme entre deux parenthèses , du Ton couvre d'une barre , toutes lés parties qui composent chaque quantité. Ainsi pour marquer qu'on vèUt multiplier la somme i3 + 5 par 9, on écrit (i3 + 5) x 9^ ou
i3 -f- 5 X 9. Pour marquer qu'on veut multiplier la sôtnmc II -j- 6 + 7 par la somme 8 + 5^ on'écrit (ii + 6 + 7)
X (8 + 5), ou II + 6 +7x8 + 5. Pour marquer qu'on veut multiplier le produit 11x7x8 par le produit 5 x 4r
on écrit (11 X7 x8)x(5x4)oùii x 7x8x5x4»
Les parenthèses sont bien plus usitées que les barres. Lorsque les facteurs sont égaux , on se contente d'écrire Fun d'eux une fois , et on met k sa droite , un peu au-dessus , le nombre qui marque combien de fois il est facteur : ainsi pour marquer 17x17x17^ on écrit 17^ Pour marquer (5 + .7 ) x (5 + 7 ), on écrit (5 +-7)*. L^ produit de plusieurs facteurs égaux ^ s'appelle aussi puissance de l'un de ces facteurs.
4i. On appelle exposant d'une quantité le nombre qui marque combien de fois elle est facteur. AiHsi dans 175 l'exposant est 3, dans (5 + 7)^ l'exposant est 2.
Il est donc facile d'interpréter la signification d'iine quantité afifectée d'un exposant. Par exemple, 18+ représente 18 x 18 X 18x18; (4 + 5)3 représente (4+5) X (4+5) X (4+ 5); etc. Ces notations sont en usage pour toutes les sortes de nombres*
/\.'2. On dit qu'un nombre est deux fois , trois fois , eic. plus grand qnun autre , lorsqu'il est le produit de celoi<i par 2, 3, etc.
43. On dit qu'un nombre est deux fois, trois fois, etc. plus petit qu'un autre , lorsquen multipliant le premier par 2 , 3, etc. on a pour produit le second.
44* On appelle moitié, tiers, quart, cinquième, sixième, etc. d'un nombre, un nombre qui, étant miiltîphé par 2, 3, 4> 5, 6, etc. rejproduiroit le nombre proposé.
Nature des unités du produit.
45. Les unités dû produit sont toujours de même nature que celles du multiplicande.
En effet, d'après la définition de la multiplication, on pourroît faire celte opération en écrivant le multiplicande autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur; faisant ensuite ladditioa, la somme 3eroit le produit cherché ; mais la somme
Arithmétifjue. B
ig Cours de Mathématiques.*
est toujours de même espèce (jue les (jiiantités ajoutées , doiKÎ le produit est de même espèce que le multiplicande.
Ainsi le multiplicateur est toujours considéré comme un nombre abstrait qui ne fait que marquer combien de fois oa doit répeter le juultiplicaude. Il faut donc avoir soin, quand on a une multiplication k faire, de prendre pour multiplrcande celui des facteurs qui est de même espèce que le produit que Ion veut atoir.
' Multiplication des sommes et des différences.
46. Pour midtîplier une quantité composée de plusieurs partics par un nombre entier , il suilit de multiplier chacune des parties par ce nombre.
En effet , si on a , par exemple , 3+5 — 7 a multiplier par 4 > il ^^^^ écrire le multiplicande quatre l 3 + 4 — 7 fois , puis faire l'addition , on aura donc. . . ) 3 + 5 — 7 la somme renfermant 4 fois 3, 4 lois 5, et 7 en i 3 + 5 — 7 étant soustrait 4 ^^^ 7 V 3 + 5 — 7
elle sera donc ;. . 3x4 + 5x4 — 7^4*
47. Si on a plusieurs produits renfermant un facteur commun f tels que 3 x 4 + ^x4^7 x 4; on peut donc réunir tous les facteurs non commuas a tous les produits, et multiplia le résultat par le faoteur commun. Car, en effectuant cette dernière multiplication , on retombera sur les produits proposés-
45^. On voit aussi par-!h que, pour rendre une qiianUléuft certiiîu noiul»re do fois ph» ijrjuide ou plus petite , il suffit de ■ rondiv cluKune de ses parties ce nombre de fois plus grande ou plus petite.
+ 3 X î? + 4 X c> , eu sorte qvie lo piw.Uùc tot.vl scroit S X 7 + 3x7+4x7 + 5xS + 3xc>-r4 2<^-
5o« Le provluit d? il;u\ r.îctjrr.rî rcsto le mjcic, quel que so« Tordre dans lequel ou Us rjiuiipîL».
Par cxeaiple, 7 x :> é^ilc 3 x ■;. Fn cTet , écriTez cî^î
GotiKs DE Mathématiques.' 19
[ignés horisontalcs contenant chacune sept unités ; en comptant
par rangées horizontales , vous i + i+i + i + t+-i + i aurez 7 répété 5 fois, ou 7 x 5 ; +-iH-i-+"i + i + i4-î + i en comptant par rangées vertica- -t-i + i-f-i + i + i+i + i les, vous aurez 5 répété 7 fois, 4-1-+-1 + 1 + 1 + Ï + 1 + 1 ou 5 X 7, donc 7 X 5 et 5x 7 +*^ + ï+ï + i + ï -H^ + i sont la même chose, puisque chacun de ces deux produits exprime le nombre total des unités lu tableau.
5 1 . On ne change point la valeur du produit d'un nombre'quelconque de facteurs , en intervertissant Tordre des deux derniers facteurs.
Par exemple, soît 72 le produit de IJous les facteurs qui précèdent les deux derniers, 3 lavant-dernier et 4 k dernier, je dis que 72 x 3 x 4 ^g^^^ 72 x 4 ^ 3.
En effet , écrives quatre lignes horizontales contenant chacune 52 répété 3 fois; chaque rangée horizontale vaudra 72 x 3,
et chaque rangée' verticale vaudra 73 x 4- 72-1-72+72 Donc ^ en comptant par rangées horizontales , + 72-1-72-1-72 \q nombre total sera 72 x 3 x 4> ^t en + 72 + 52+72 comptant par rangées verticales, ce nombre + 72 + 7^2 + 72 t^QYa. 72 X 4 X 3. Donc ces deux produits feoht égaux , puisqu'ils expriment Tuil et lautre la réunion de tîous les nombres du tableau.
5îÈ. Le produit de trois fa<rt:eurs reste toujours le ïnémç , quel ijfïd soit l'ordre dans lequel on les multiplie.
Soient 5 , 7 , 9 , ces trois facteurs , comparons l'un des jproduits qu'ils fournisent, par exemple, 5 x 7 x 9, a Tua 'qttelcohque des autres.
Si ces deux produits sont teriniiiés par lé mcn^c facteur , comme 5x7 ><9 et 7x5x9, les produits des deux premiers étant égaux d'après ce qu'on vient de démontrer ^ leurs produits par le troisième facteur seront aussi égaux. Donc 6x7 x 9 égale 7x5x9.
Si les deux produits que l'on compare ne «sont pas termmés par le même facteur, mais que le dernier dans le premier, W: ravànt-derniet dàins le second, comme 5 x 7 x 9 et ^ X 9 x 5 , on ramènera ce cas au précédent en changeant ^ l^acé les deux dcrnierê facteurs 9 et 5 du second , ce qtii AMniera 5 x 5 x 9 , cette permutation- ne change point la yA(sfSt de ce produit (5ï ). Alors les deux produits étant tervûnés par le même facteur seront égaux.
CnfiÉ^ é, le ^rnier facteur du. premier produit 5x7x9
20 Cours de MÀTnÉ,HÀTiQuES;
n'est ni le dernier ni lavant-dernier dans le second, que noul supposerons être 9x7 x 5 , on pourra permuter les deux pre- ! micrs facteurs de celui-ci, de manière à ce que 9 devienne ^ lavant-dernier, ce qui donnera 7 x 9 x 5, changeant de pla/ce inaintenant les deux derniers facteurs , les deux produits seront terminés par le même facteur, et par conséquent égaux.
53. L'identité des produits de trois facteurs étant constatée , (m s'en servira pour prouver celle des produits de quatre facteurs, comme on s'est servi de Fidentité des produits de deux facteurs pour prouver celle des produits de trois facteur». L'identité des produits de quatre facteurs servira de même à prouver celle des produits de cinq facteurs, et en continuant ainsi de proche, on voit que le produit d'un nombre quelconque de facteurs reste toujours le même quel que SQit l'ordre dans lequel oa multiplie.
Multiplication des Produits.
54. Pour multiplier un produit par un produit, on geiït multiplier le multiplicande successivement par toiis les facteurs du multiplicateur.
Par exemple , i4 ^ 7 ^'^^^ multiplié par 5x6^ peut s'exprimer par i4x7x5x6. '
En effet, i4 X 7 X (5 x 6) égale (5 x 6) x i4 x 7, d'apitg le no 5o , égale 5x6x14^7 égale enfin 14x7x5x6.
55. Pour multiplier un produit par un nombre quelconque , il suffit de multiplier l'un seulement des facteurs par ce nombre . sans rien changer aux autres.
Ainsi 11x7x9 étant multiplié par 8 , peut s^exprimer pair ( II X 8) X 7 X 9 ou par 11 x (7 x 8) x 9 ou par ' n X 7 X (9x8). Celi est facile a démontrer d après ce qui précède.
Multiplications qui peui^ent s'^effectuer sans ealcul.
56. Pour multiplier un nombre entier par 10, il suflBit de mettre un zéro a sa droite.
En effet, le chiffre qui représentoit des unités, représentera des dixaines, celui qui représentoit des dixaines, représentera des centaines, etc. chaque chiffre représentant de^ unités dix fois plus grandes, le nombre tout entier est donft dix fols plus grand , puisque chacune de ses parues est de- \ Venue, dix fois plus grandes.
