Soît, 0,174 174 174 la fraction périodique
proposée; transportant la virgule après la première période,
nous aurons 174, 174 ^74 ^74 î^^ ^^^^ 1000 fois la
proposée : donc en en retranchant la proposée ^ il restera 1 74 pour 999 fois la proposée ; la proposée revient donc a 'i4.
En opérant de la même manière dans tous les cas ou la période commence dès la virgule, on verra qu'il suffit de prendra la période pour numérateur, et de lui donner pour dénominateur autant de 9 comme elle renferme de chiffres. Ainsi 0,4343.... revient a S. o, 3636.... revient aï oui,
o, 060606.... revient a 5 ou :? . etc.
162. Si la période ne commence pas dès la virgule , opérez comme dans 1 exemple suivant.
On demande la génératrice de o, iGS^i^^^'i,,,.
Transportez la vîrgide au commencement de la première période, vous aurez : 1000 fois la proposée égale i68,4^4^4^**<^ transportez-la maintenant k la fin de cette période, vous aurez :
100000 fois la proposée égale 16842,42424^ retranchant
1000 fois la proposée de 1 00000 fois la proposée, vous aurez : <)4)Ooo fois la proposée égale 16674, donc la proposée revient
h'i^ ou k 2ÏIÎL.
Coni'ersion d'une Fraction en décimales exactement^ lorsque
cela est possible,
1^)3. Une fraction n'étant réductible exactement en décimales que lorsque le dénominateur n'est pas divisible par d'autres
Cours de Mathématique?. ^i
^iMXinbres premiers que 2 et 5 ; il s'ensuit que ce dénominateur «st en général une puissance de 2 ou uue puissance de 5, ou le produit d'une puissance de 2 par une puissance de S.
i64' Sî le dénominateur est une puissance de 2 ou de 5 seulement, ajoutez au numérateur autant de zéros comme 2 ou 5 est de fois facteur. Ainsi si le dénominateur est 8 ou 2 x 2 x 2>, mettez trois zéros; s'il est 25 ou 5x5, mettez- en deux, etc.
i65. Si le dénominateur est le produit d'une puissance de 2 par une puissance de 5, auqud cas il est toujours terminé par des zéros, faites abstraction de» zéros, et opérez comme il vient d'être dit ; ensuite transportez la virgule d'autant de places vers ta gaucbe, dan s le résultat, comme vous avez supprnné de zéros dans le dénominateur.. Par exemple, si } ai 12., je réduis ^, ce
qui me donne 2, 12 5. Transportant la virgule de deux place» sur la gauche, j'ai o, 021 25. Tout cela se démontre facilement à Faide des principes posés précédemment.
Coni^ersion iime Fraction €n Fraction (Twic dcnonànatian
donnée,
t66. Pour convertir une fraction en fraction June dénomination donnée, multipliez le numérateur par le nouveau dénominateur donné, divisez le produit par le dénominateur de la fraction^ négligez le reste, et donnez pour dénominateur an quotient le nouveau dénominateur.
Par exemple, pour convertir 12 en huitièmes.
M Je multiplie 17 par 8, j'ai 1 36, divisant par 1 9V
o ]^1} donnant 8 pour dénominatetUr , il vient i. En
iQ- «ffet, ^ revient k 1 7 , divisé par 1 9 ; or , pour diviser
'- 17 par 19, a. moins d'un huitième, il faut (99) précisément exécuter ce que nous venons de prescrire. Il est évident que ceci comprend la conversion des fractions en décimales, comme cas particulier.
Convfcrsion» dun Nombre complexe ^n fraction £une de
ses unités^
167.. Réduîsezrle k sa plus petite espèce, et donnezJui pour dénominateur le nombre qui marque combien il faut <£unités de la plus petite espèce pour faire l'unité proposée.
Par exemple, soit a convertir o*^ 4^ 7^*^** en fraction de la '^. Cette quantité revient a 55 pouces : or, comme il faut 72 pouces poiw faire une toise, chaque pouce vaut un 'jt^^^ de tpise.. les 55. valent donc S?..
w- «ja
pj^ Covzs pE Matsémàtiqvjbs.
Con$f6rsion d'jm nombre complexe en décimales , ou enjrac^ tion d'une dénomination donnée de tune de ses unités.
i68. Réduisez ce nombre en fraction de cette unité (167 ). Ensuite convertissez cette fraction en décimales ( i58), ou eu fraction de la dénomination donnée ( 1G6).
Exemple LIV.
Exprimer 7*^4** ^^^ ®^ toises et décimales de la toise, à moins d*un millième près.
Conservons les 7 "^ , réduisons les 4^ 1 1 ^ en fraction de la toise, nous aurons ^ qui valent ( i58)o^ , 819. Oa.aura
donc en tout 7^ , 819»
Si on avoit voulu cette expression en pieds et décimales du pied;, on auroit trouvé 46^ , 916.
Exemple LV.
[Réduire 3''' 5^ 8^ 7^ en décimales de la toise, de manière à ne pas négliger une demi-Ugne.
J observe que la toise contient 864 lignes, et par conséquent 1728 demi-lignes ; il faut donc pour ne pas négliger les demi- Ugnes, porter Fexactitude aui^dcîk des millièmes; c est-a-dire, Ivsquaux dix-millièmes.
Cela posé , je réduis les 5p 8^ 7^ en lignes; et j'ai 823
lignes ou ^ de la toise : réduisant cette fraction en décimales, comme il vient d'être dit, ona o, 952^, et par conséquent 3^, gjaS, poiir le nombre proposé.]
Des opérations de V Arithmétique sur les Fractions.
169. On fait sur les fractions les mêmes opérations que sur les nombres entiers. Les deux premières opérations, Taddiiion et la soustraction^ «xigent le plus souvent une opération pré* paratoire 3 les dei^x autres n'en exigent pas. ] '
De lVdditioit pes Fractions,
170. [ Si les fractions ont le même dénominateur , on ajoutera tous les numérateurs , et on donnera a la somme le dénominateur commun de ces fractions. •
Ainsi pour ajouter -,7,^-» j'ajoute les numérateurs 2, 3
et. 5 , et j'ai par conséquent il , que je réduis ai l ( i39 ). ]
171. [ Si les fractions nont pas le même dénominateur , on commencer^ par les y réduire par ce qui a été ensjeigné (i53 )
Cours pe M^-TnÉMATiQuEs* "jî
et (i54) 5 après qiipi on ajoutera ces nouvelles fractions de la iqanière qui vient d être prescrite. Ainsi si Ton propose d'ajouter
* I, I, je change ces trois fractipns en cei^ trois autres ^-y ^ 9 ^j ^91^^ la somme est iB qui se réduit à a ^ ( iig ) ]•
172. S'il y a des entiers jioîuts aux fractions > faites d^abord Faddition des fractions : extrayez les entiers dp leur somme ^ et joignez-leç aux entiers proposés.
Exemple LVL
Ajouter 7. ?. , 8 3 , 9 1 , a8.
la.
3 * a— ou|j
Du LA SOUSTRACTION DES FRACTI01fS;r
Dé - I «j 3. [ Si les deux fractions proposées ont le mêma^
^ |, dénominateur^ on retranchera le numérateur de lune
^^^^ 9 du nunpiéràteûr de l'autre , et on donnera au reste le
"— — • dénominateur commun de ces deux fractions. S'il est
reste - 9"= ^ question de retrahcher 1 de ® le reste ser?^ -, qui se
réduit k * (i56)}. ^^
De ?. Sl 174» [ Si les fractions n'ont pas le méiîie dénomîna^ ^ a V teur, on les y réduira ( i53) et (i54 ), après quoi ^ 3" 1^ on fera la soustraction comme il vie.U d être dit. Ainsi
"""""■—^ pour ôter * de ?.. îe change ces fractions en — et ^<
reste ^ 34'* ^ . ^ xa i» 7:
. i> et retranche 8 de g / il me reste ^ . ]
Exemple LVII.
De 84^ £ il Je fais la soustraction des fractions aprèât . ,' " les ayoir réduites au même dénominateur v
ôtez ^73- 1; l'ai ^-, puis celle des entiers, j'ai 825% Ainsi
Teste 8a S — ^^ reste to^ est 8a5 ^^
m/i; Cours de Màthém ATiQti»^*^
Exemple LVIIL
3q Après avoir réduit les fractions au mêmer
De 3n6 L iî dénominateur, ce qui m'a doBué ^g et ^e, I«
* ,t dis de 1 3 ôtez 22 , cela ne se peut ; j'emprunte
è\ez "7 ^ ^. i;ine unité qui vaut a6 ving^5ixièmes,-et l 3
r^ctpT^ft ^ q^'il y a, font 89^ que J€ pose au-dessus.
reste ^58 ^ ^^ ^^ yingt-sixièmfs ôtez 22 vingt^memes ,
jl reste l^. Maintenant je fais la soustraction des entiers comnae a lordinaîre, en diminuant le plus grand nombre ^uneunixé H cause de çcUe que f ai empruntée*
E^CEMPLB LIX.
De 8 54 I De ^ il n'y a. point de fraction a ôter dans le pi us f)toz 1 27 petit nombre , ainsi il restera i . Faisant ensuite la reste 727 l soustraction des entiers , h reste totd sera 727 | ^
Exemple LX,.
De 653 G)mme je n'ai point de fraction au plus grand
ôtoz 21*7 ^- nombre dont je puisse retrancher cefle du plas
^ petit nombre , j'emprunte une unité sur le plus
reste ^^35* grand nombre, laquelle vaut 7 septièmes. De 7
^ septièmes ôtant 3 septièmes , il reste ^ . Je fais
ensuite k soustractiou des entiers, en diminuant d'une unité L> ])lu$ grand nombre , a cause de celle que j'ai empruntée.' 175. On pourroit aussi , lorsqull y a des entiers joints aux filetions, dans l'addition ou dans la soustraction , ccmimcncer par les réduire en fractions, puis opérer ccmime sur les fractions ; mais l'opération serait plus longue ^ que par la méthode que nous avons employée.
HvLTiPLICATIOir I>£S F&ACTIOJfS^
!•. Fraction par entier.
jnS. MttlttpBes te numérateur par le nombre emiiery ^ , 9onsen^ez fe Wm^ denamMaieur.
Ainsi -= omltipUé par 4 ^kmne —5-^ oa -^ oa 3 —•
Tn eflfel , le numâratear marquant c<»nhieii on proid^ ^ parues de roulé pour €t»Dpo<ser hfiact^a sionk msùà^
CotIKS DB MiTHÉ MATIQUES. ^5
fi!»r.'{, il mariera que Von pq prend 4fo>spli)s ; et comme rfs parties sont les mêmes qu'auptira-vant , puisijoc l'on cousi'rve Ir tnrme dénominateur , la jractioa est donc 4 ^ois plus grande ; iHc est donc multipliée par 4-
Remarque.
177. Si le dénominateur étoit divisible exactement par !e muîlil'licateur , on poiuroit, pour faire la mtiliiplication, diviser i* déDomiimteur par l'entier et conserverie même numérateur : cela se démontre comme on a fait ( i^S ).
Ainsi il y a Jeux manières île oiultiulier une fraction par un nombre entier : la première, eu multipliant le nnmératfUP ft rouservant le dénominateur; la seconde, en divisant le dénominaieur et conservant le numérateur. La première est la pins fi^'nérale , parce que le dénominateiir n'est pas toujours cutî- Hble par le multiplicateur.
2". Entier par Fraction.
par /i' numérateur de
r dt'nominateur le de'na-
' 178. M)illipliez le nombre entie '« fraction , et donnez au produit pi "lin/iteur de ia fraction.
Parexemplc, ismultiplié par - donnera
Eu effet, multiplier 12 par ' , c'est prendre 5 fois la septième
parlic de 12 (Sy). Pour prendre la septième partie de la,*
" faut lui donner 'j pour dénomïnatenr (63 ), ce qni donna
•^j Pour répéter cette scplieme partie 5 fois, il faut multiplier
