Pour que le produit de deuO: facteurs soit exademerd
ni^iswle par un troisième nqmhre premier a^ec l'un de (^s deux
facteurs ^ il faut que Vautre facteur soit exactement àimihU'
par ce troisième- nombre.
V 1 35» Cette proposition repose sur ce principe, que, ^^'^ multiplie le dividende et le dii^iseur par un même nomhrâ, par 8, par exemple j le quotient entier reste le même et fe reste de la dii^ision est multiplie' par le même nombre.
En effet le dividende égale le diviseur x le quotient entier + le reste ; donc le dividende x 8 égale le diviseur x 8 >l^ '^ même quotient + le reste X 8 ; donc si on divise le produit d^. dividende j)ar 8 , par le produit du diviseur par 8, oft aurafc même quotient entier , et pour reste le premier reste X 8. .ï36. Cebposé^ soit 72 x 16 un produit divisible par 1^
€0UR8 DE MaTÏÏÉM ATIQUES; 6t\
xiOâiBre 9, premier avec 16, je dis qu'il faut que 7» soît divisible par 9.
En, effet, en cherchant le plus grand commun diviseur des deux nombires 16 et 9, on trouvera l'unité, puisque ces deux: nombres sont par hypothèse premiers entre eux.
Maintenant si on multiplie tous les nombres 16, 9, 7, 2, I par l'autre facteur i 3 ^ 72, le reste def
7x72 2x72 72 chaque division
sera aussi multi-
ï X 72 I o pliépar72(i35):
jt6 X "72
Or 9 divisatit par hypothèse le produit 16 x 72 , et divisant évidemment ,9 X 72 , divisera donc le reste de leur division ( i3o) ou 7 X 72 ; divisant 9 x 72 et 7 x 72, il divisera le reste de leur division 2 x 72 : divisant 7 x 72 et 2 x 72 , il divisera le reste de leur division i x 72 ou 72, c'est -adire y l'autre facteur. On peut appliquer le même raisonnement dans tous les cas.
137. H suit delà, que tunité suwie de tant de zéros qu'oit le voudra, ne peut jamais être dwsée exactement par d'autres nombres premiers que 2 ef 5.
En effet, lo est évîden^ment premier avec tout autre nombre
Sreniier que 2 et 5 : cela posé, si un nombre tel que loooo étoit iviùble pair un autre nombre premier que 2 ou 5, pat exemple^ par 7, on auroit donc 1000 x 10 divisible par 7 ; et, a cause que 10 et 7 sont premiers entr'eux , il faudroit que 1000 fût aussi divisible par 7 : mais 1000 c'est 100 x 10 , donc puisque .10 et 7 sont premiers entr'eux, il faudroit que 100 fût divisible par 7 : or, 100 c'est 10 x 10, donc le second facteur 10 étant premier avec 7 , il faudroit que le premier facteur fût divisible par 7. Or, cela ne se peut, piiisque ces deux nombres^ iont premiers entr'eux : donc il est impossible que l'unité suivie de tant de zéros que l'on voudra soit divisible par 7 . On déttioatrera la' même chose de la même manière pour tout autre nambre premier que 7 différent de 2 et de 5.
,i38, jDouc l'unité' suit^ie de tant de zéros que Von voudra , ne peui jamais être dii^iséè exactement par un nombre qui rm^erme. éCautres facteurs premiers que 2 ^£ 5.
Cac. si ^ rétoit .divisible par un nombre qui eût 7 pour &Qlettv,^ ^^oit au^si divisible par 7 , ce qui est iiupossible.v
6a Cours de Mathématiques;
FRACTIONS
Des Entiers considères sous la forme de Fractions'^
iSg. Pour extrafre les entiers irenfenncs dans une ^antlté tpcrîta sous la forme dune fraction, diviser lé numérateur par le dénominateur , le quotient donnera les entiers et la fraction ui y est jointe. Cela est évident, puisque toute fraction exprime c ijnotient du numérateur divisé par le dénominateur ( 87 )^ Ainsi 12. valent 3 a., '-^ valent 62.
i4o. [ Les multiplications et les divisions des nombres entiers joints aux fractions, exigent, du moins pour la facilité , qu'on convertisse ces entiers en fraction.
On fait celte conversion en multipliant le nombre entier, par le dénominateur de la fraction en laquelle on veut réduire cet entier. Par exemple , si on veut convertir 8 entiers en cinquièmes , on multipliera 8 par 5 , et on aura ^. En effet ,
lorsqu'on veut convertir 8 en cinquièmes, on regarde l'unité connue composée de 5 parties; les 8 unités en contiendront donc 4o : pareillement 7 i convertis en neuvièmes ferout &. ]
Propriétés des Fractions.
i4i. En augmentant ou en diminuant le numéraieur sans changer le denoininateur , on augmente ou on diminue la f radian. Cela est évident, puisque Ion augmente ou l'on diminue le nombre des parties de l'unité que l'on prend pour composer la fjfaction, sans changer leur valeur.
14^. En augmentant ou en diminuant le dénominateur, sans changer le numérateur j on diminue ou on augmente la fraction.
En effet , il faut alors plus ou moins de parties pour faire l'unité , donc ces parties sont plus petites ou plus grandes -,, ainsi puisqu'on en prend le même nombre pour composer la {raction, elle est donc plus petite ou plus grande.
143. La différence d'une expression fractionnaire à Tunité, est égale à une fraction qui a pour numérateur la différence entre le numérateur et le dénominateur^ et pour dénominateur, le même dénominateur. Ainsi la différence entre 1 et l'unité est -:
la différence entre il et l'unité est il, etc*
En effet, le dénominateur marquant combien il faut de parties pour composer l'unité , et le numérateur marquant combien il en faut pour composer la fraction, la différence de ces deur nombres marque donc combien il faut de parties pour composer l'unité, de plus ou de moins , que pour composer la fraction.
144* ^^ ajoutant un même nombre aux deux termes éCune fraction, on t Augmente si elle est moindre que t unité', on IcL diminue si elle est plus grande. En effet y en ajoutant une inéme quantité aux deux termes d'une fraction , le numérateur de sa dlÏBGérence a Tunité restera le même (14^), et le dénominateur aura augmenté; donc cette différence aura diminué (142). Par conséquent y si la fraction étoit plus petite que Funité, elle aura augmenté y et si elle étoit plus grande, elle aura diminué.
145. On fera voir de même qfaV» retranchant un même: nombre des deux termes d'une fraction , on la diminue si elle est moindre que t unité, et on V augmente si elle est plus grande,
146. Si on retranche les deux termes d'une Jranction d^un même nombre, la fraction que l'on obtiendra sera plus grande 0jue Vunité , si la proposée étoit plus petite ; et elle sera plus petite j si la proposée étoit plus grande. Cela est évident.
Par exemple y les deux tertnes de i ôtés de 12 donnent ^ qin
.est plus grand que l'unité, et les deux termes de i^ ôtés de t^ donnent i- qiù est plus petit que l'unité.
147. £n multipliant ou en divisant le numérateur d'une fraction par un nombre entier, et consentant le même déno^
mnateur, on multiplie ou en divise la fraction par ce même nombre.
Cela est évident puisque l'on prend ce nombre de fois plus ou ce nombre de fois moins des mêmes parties de l'unité.
Ainsi, ^est 3 fois plus grand que |-; - est 4 fois plus- petit
ï48. En multipliant ou en di cuisant le dénominateur par nn nombre entier, et conservant le mêrtie numérateur , 01% divise 'OU on multiplie la fraction par ce même nombre.
Car, en multipliant ou en divisant le dénominateur par 6 , par exemple , il marquera qu'il faut 6 fois phis ou 6 fois, moins de parties pour composer l'unité ; donc ces parties sont 6 fois plus petites bu plus grandes : et comme on en prend le isême nombre, puisque Ton conserve le même numérateur, cm -vend donc la fraction G fois plus petite ou 6 fois pll:^s grande (48)-
i49- On^ ne change point la valeur d'une fraction en multipliant ses deux termes par un 'mène nombre^
En effet, en multipliant le dénominateiu" par 7, paf exemple^ o^ippie k détjLOmiaateur marque combien il tant des parties
64 Cours de MATHÉMÀTiQusè/
Î[ue Ton considère pour faire ime unité , il manquera qu'il éii àut 7 fois plus; donc ces parties sont 7 fois plus petitei ;, mais on en prend-) fois plus, puiiôqu'on a multiplie le- nùmé* rateur par 7 , donc il y a compensation. Donc , etc.
i5o. On ne change point la valeur d'une Jractiou en dit^i-^ sant ses deux termes par un même nombre.
En effet , eu divisant le dénominateur par -J , pat exemple , comme le dénominateur marque combien il- faut des parties qile Ton considère pour faire une unité , il i;narquerà qtf il en faut 7 fois moins ; ' donc ces parties sont 7 fois plus grandes ; Tnaîs on en prend ^ fois moin^, puisquon a divisé le mimératetit par 7 , donc il y a compensation. Donc, etc. On peut encore démontrer ces deux propriétés, comme il suit.
i5ik En multipliant ou en divisant les deux termes durie fraction par un même nombre , on n en change point là vàlenr» Car lefs deux fractionls sont le même nombre de fois plus grande* ou plus petites que la fraction que Ton obtiendroit en opérant Bur un seul terme. Par exemple, si on multiplie les. deux tena^ft ^e- ii par 7 , on aura Jl qui est de même valeur que SL^
En effet, -J est 7 fois plus grand que ii( i48), et 12. estaussî
7 fois plus grand que '* ( i47 )> donc les deux fractions ^ «t
27- sont égales, puisqu'elles sont Tune et l'autre 7 fois plus grandes
qu'une même quantité. De même si on divise lès deux tenue* de 1^ par 12, on aiu-a | qUi est de même valeur qiife -^^. En effet,
2i est 12 fois plus grand que 3^ ( i4'J ) » ^^ ^ est aussi 12 foià plus grand que ^ ( i48), donc les deux fractions ^ et 1 sont
cgales.
i52. Ceci peut servir a faire voir qu'une quantité décimale ne change point de valeur quand on ajoute a sa droite, ou qu'on en retranche im nombre quelconque de zéros. Soit, f^ exemple, 0,178; je dis que cette quantité égale o,i73oo...o.* En efi'et, 0,178 revient i2i( 26) , et o,i73oo.i.o revient
xooo
ou a — , ou 1 on voit que cette fracUoû
100000... G IOOOX1OO...O
nest autre chose que la première, dont les deux termes ont ete ♦multipliés par un même nombre, ce qui n'en change point la valeur. [ Remarquons donc que multiplier ou diviser Ie« detix termes d'une fraction par un même nombre, n'est point multipliei^oii diviser la fraction; puisque, comme nous Venons deledir*>
elle ae change point de valeur par ces opérations,]
Réduction
TTiK MA*rtÊ liéduclion des Fractions au t
ifl dcnoinihatinr.
( l53. Première méthode. Pour réduire deux fractions au même cflcuominateiir , multipliez IcS deu:^ termes de la iirtniit-ro nor pe dénoimnateur de h seconde, et les dnix tenues .le la se- [coutle, par le dêiibiaîiialeur de la première. Pour v.a réduire fins de deux , mullipliez les deux tri-rmes de ■cliaeuue par le frodnit des' dénomiiiaieurs de toutes les autres. f Ces fractions seront réduites au môme dénominateur , parce nu'ellès' auront pour dénominateur le produit des dénoinina- KUn prilnitifs; et elles n'auront pas chans;é de valeur, parce flue les deux termes de chacune auront été multipliés par un ^tôme 'nombre.
I Exemple XLV.
I ^Réduire a uumême dénomioateur les deux fractions!, 1,' ^le miiltiplie a et 3 qui sont les deux termes de la première 'fraction, cliacun par 4^ dénominateur de la seconde, et j.'ai ?'^ qaî (149) ^^^ ^'^ lùème -valeur queJ.
, Je multiplie de même les deux termes 3 et f^ Ae la seconde 'fraction, chacun par 3 , dcuominateiir de la première, et j'ai !, -f- ç[ui est de la même valeur que ^; eu sorte que les frac- ,lwtisLet - sont changées en ?- et SL ^ qui sont respecliïcnient de même valeur que ccUes-lii, et qui o;it le même de- JnoHiiaateur entr'ellcs.
Exemple XL VI.
Hédrtire a un inèrac dénominateur les quatre fractions j-> L, * , ^ , je multiplierai les deux termes a et 3 de la ^oière, par le produit des trois dénominateurs ^,^j -j des ^ttlres û-actions, produit que je irPuve en disant : 4 fois 5 ,*Jûtao, puis 7 fois a o fout i jo ; je inuUiplie dûnc a et 3 , fuiacaapax i4o, et j'ai J^, qui est de même valeur que 1 C'49)'
FL Je multiplie pareillement les deux icrmcs 3 et 4 de la se- F^^e fraction , par le produit de 3 , 5 , 7 , produit que je garnie en disant : 3 fois 5 font i5, puis 7 fois i5 font io5 ; I* multiplie donc 3 et 4 chacun pai' io5, ce qui me donne ï fraction de même valeur que S Passant a la troisième fftction , je multiplie ses deux termes ii et5, chacun par 84, produit des li-ois dénomniaieurs 3, p et 7, j'ai ^^^^ au lieu de '•.
! Enfin pour la quatrième , je amJtipUerai 5 et 7, chacua pac arithmétique, ' £ ""
((Sr GoifliS DE MATfiÉMiiTlQUE^»
le produit 60 des dénominateurs 3^4^^ des trois premîei^S^ ftactions, et f aurai ?°5 au lieade ^, en sorte qvLO les ^atre
fractions %j 7^ if ^- sont changées en f-% p^. ^^. ^oo, moin*
simples,, a la véuté^ que celles-là, mais de même valeur quelles,, et plus susceptibles, par leur dénominateur com,mun, des opérations de laddition et de la soustraction.].
i54* Seconde méthode^ On peut, quand Les dénominateurs ont des facteurs communs, trouver un dénominateur commun plus simple ; prenez le plus grand dénominateur., et vojes s'il contient exactement tous les autres : quand vous trouverez un dénominateur qui n'y sera pas contenu ,. cherchez le plus grand commun diviseur de ces deux nombres^ ^129)^ divisez le dénominateur non contenu par ce plus grand commun diviseur, multipliez le plus grand dénominateur par le quotient, et continuez ïépreuve en vous servant du prodiiit ail^ lieu du plus grand dénominateur : s'il n'y avoit point de commun dir viseur,, multipliez de suite le plus gcsmd dénominateur j^r le dénominateur non contenu ; en centinusmt ainsi jusqu'à de que vous ayez éprouvé tous les dénominateurs , vous arriverez à tm nombre qui les contiendra tous ^ et qui sera le dénûmiua* leur commun.
Alors divisez le dénominateur commun par Te dénominateur de chaque fraction , et multipliez chaque quotient par le nmuérateur de là fraction correspondante , vous aurez les nûméxateurs des frations réduites auxquels vous donnerez pour dé-* nominateur le dénominateur commun»
Exemple XLVILn
Réduire au même dénominateur ^ ' , 2i . L . "^ *9 ,
Je prends le plus grand dénominateur 36 , je ^regarde s'ifr eontiient exactemei^t 8, non; je cherche leur plus grand commun diviseur, c'est 4; je divise 8 par 4, et, je multiplie iS par le quotient 2, j'ai 72 ; je regarde si 72 contient exacte^ ment 4, oui;: s'il contient 12,. oui; s'il contient 3, oui; s'il contient 7 ^ non ; comme ces deux noml)res n'ont, point de commun diviseur; je multiplie 72 par 7, j'ai 5o4 pour dénominateur commun, avec lequel on trouvera facilement que lesi^ fractions réduites soiuj^, ^, |Ê, |i|, |., ^| : par le pre-
mier procédé on auroit trouvé des fractions- dont les termesauroient été beaucoup plus grands.
Réduction des Fractions à leur plus simple expression.
i55. On dit qu'iuie fraction ^t réduite k sa plus simple-
CoVRg DE MiTHÉMATrQOES. C-J
WXpreSsioB , lors{[ue ses lIëux termes ne sont pas divisibles par aa même iiouibre.
. i56. 11 y a deux manières de réduire une fraction à sa plus simple expression. La première , est de diviser les deux termes par les nombres jkemiers , en commençaut par les plus simples. On divise "lonc d'abord les deux normes par 2, s'2s sont paire (ii3), et onconlinite tant qu'ils le sont; ensuit» on divise 1rs jeux ternies par 3 , si la somme de leiu-s clnffres ajoutés comme -des «nités simples Jouue 3 ou lui multiple de 3 ( i iB), et on. cODtiuue tant que cela a lieu; ensuite on divise par 0, s'ils finïsseut piii' zéro ou par 5 ( ii3y, et ou continue tant que cette condition a lieu; puis on jivjse par 7, si la division peut se faire sans reste, tt on coutinue tant qu'elle peut avoir lieu; ensuite on divise par 11, si la somme des cLiffres de rang pair égale celle des cbifTres de rang impair ou n'en diffère que dun multiple de 11 (laS), et on continue tant que les termes sont divisibles par 11; on »livise par i3, tant que la dlvùiou peut se faire exactement et ainsi de suite. L'opération est terminée quand le nombre premier, qu'il faudroit essayer, est plus graud que le numérateur.
Exemple XLVIIL
Réduire a sa plus simple expression ~ ^«.'^«|^^=r=!? J'ai divisé les deux termes par a, parce ' ' qu'ils finissent chacun par un chiffre pair ; N. B. Le signe = j ai eu J^. Le dcnominalenr n'étant plus diémld. visible par a, jessaie 3; la division est
possible, parce que la somme des chiffres de chaque terme doime un multiple de 3 , j'ai q5 ; le dénominateur n'est plus divlsilile par 3. Les termes ne finissant ni par zéro ni par 5, il est inutile d'essayer 5. J'essaie 7, la division réussit et donne -, dont les termes ne sont plus di- TÏsibles par 7. Je regarde s'ils le sont par 11, non; par i3, non; par tn , non. Il faudroit maintenant essayer ig ; mais te nombre étant plus grand que 18, ne peut, ainsi que tous les suivans , diviser 18; l'opération est donc terminée, et i^ est la plus simple expression de la fraction proposée. 5X7
Ibs juêine ^ — ^ se réduiroit a i? et ensuite ù
CoTIRtS i)E MATHÉUAÏIQCESr
[ Là raison pour lacjuelle nous prescrivons de ne tenter division que par les nombres premiers a, 3, 5, 7, etc. c'est qu'après avoir épuisé la division par 2, par exemple, il, est inutile de tenter de diviser par 4, puisque si cellend pouvoit réussir, a plus forte raison la division par 2 auroit-elle pu encore se faire.] (8a).
157. La seconde manière consiste a chercher le plus grand commun diviseur des deux termes (129) y et k les diviser par ce plus grand commun diviseur. Les quotiens seront le nume^ rateur et le dénomiuateur de la fraction rédui^Cé
Exemple XLIX.
Réduire a sa plus simple expression iiË?.
oocî 1
fraction réduite -5..
Jç cherche le plus grand commun diviseur de 9024 et 3760 (129), c'est 762. Je divise le numérateur et le dénominateur par 752, j'ai i pour la fraction réduite a sa plus simple expreission*
Canp^ersion des Fractions en Décimales, à un degré' donne'
d'exactitude^
i58. Pouf réduire une fraction en décimales a un degré dé-i cimal donné d'exactitude, mettez a la suite du numérateur autant dé. zéros cornue vous voulez avoir de chiffres décimaux, extrayez les entiers renfermés dans la fraction, négligez le reste s'il y en a, partagez a la droite du quoUent autant de chiffres décimaux comme vou^ voulez en avoir.
En effet , en mettant trois zéros , par exemple , au ntu^é^ rateur, vous rendez la fraction mille fois trop grande (i^j)f le quotient trouvé est donc miHe fois trop grand : pour Je rendre a sa vraie valeur ^ il sufEc de partager trois chiffre» décimaux a sa droite, c'est-k-dire y autant commue, voi» ave» mis de zéros k la droite du numérateur^
EXEIHCPLB L#
Convertir î3 en décimales , a mfjw'ns d'ira centième.
19 Je mets deux zéroS^a la droite du nimiératciir',
Q gg parce que je veux avoir deux chiffres décimaux au
' ^ quotient, j'ai 'J^ 5 extrayant les entiers, il Tf'ml
^^^r Corns HE MATBËMiTigcBs. Gç^
^^^K, ce qtiodent étant cent fuis trop graud , je le rends h sa
^TOOé ■valeur en partageant deux chiffres décimaux , ce qui uie
donne o, 89 et ^ de cenuêmes: négligeaut celle fiacljou de
centièmes qui est plus pedte qti'un ceiiliènie , nous auvoiis donc.
0,89 pour la valeur cherchée, à moins d'un centième près.
i5<). Si le degré d'exactiluJe praposé n'est pas décimal , ■vous irez jusqu'au degré décimal immédiatement inlérieur au degré proposti; pour cela, vous mettrez à la suite du unmé- Riteur autant de zéros comme i| y a de chiffre^ dans le nombre ^tii marque le degré d'exaclilude.
Exemple LI. Convertir - ea décimales, a moins éTuo. 43™* près. Il est évident qu'ea réduisant en décimales , à ipoins d'un oentiéme, on a ausâi a plus forte raison moins d'un 43"" : je réduis donc à moins d'uji centième, et j'ai o, ^i.
Exemple LU. Converlir '- de toise en décimales , amoins. June demi-ligne près. La toise vaut 8G.\ lignes (74) ou 152S demi-lignes (i^o), ime demi-ligne ^st donc la iji^Si"". partie Jline toise ; il faut donc réduire à moins d'un i^aS'"»; pour cela, on réduira a, moins d'iui dix-mitlicme , ce qui donnera e, 6363.
Cas ok une Fraction ne peut jamais s'eTprimer exactement en décimales. Fraclions décimales j'ei-iodii/ues.
ifio, Une fraction ne peut jamais s'exprimer exactement en décimales, lorsque, en la supposant réduite a sa plus simple expression, son dénominateur est divisible par d'autres nombres . premiers que 3 et 5.
Ed effet, soit î* la fraction dont ïl s'agit; ea mettant niinombre indéfini de zéros à la droite du numérateur, on aura.
B4oo o ou 54 X 100. ...,o, a diviser par 91. Or, gi et 5^.
étant premiers entreux, il faudrait que 100 o f(lt divisiMe
par9i(i34)> ce qui ne peut être (i38), puisque 91 est divisible . pat d'autres nombres premiers que 2 et 5. (Il est divisible par 7 et 1 3 ).
Dans ce cas, en divisant 54oo o par 91, on aura en
tnntiuuant la division indéfmîment , inie suite de restes tous plus petits que 91 ; on ne pourra dont; manquer après 90 divisions partielles , tout au plus , de retrouver un des restes précédcns, alors il est évident que l'on retroiivera les mêmes ^rnticns et les mi^mes restes; ces quotieiis qui se représentent 4rca un nombre limilé de, divisions , foroiçiitpe que l'on appelle E 3-
«a COUKS DE MaTHÉMATIQU ETS.
une période, et Fensemble de toutes ces périodes forme ce <jue l'on appelle \meJraction décimale périodique»
Exemple LUI. Convertir * eu décimales^
5oooox>ooooo
lO
âo
Do
o,7i4îi85 714285 714285 .•
^? On voit qu'après la sixième division on r«-
^ trouve le même reste i : et par consé(juent/oa
^r se trouve, en partant de celui-ci, dans le caaf
ou ion etoit en partant du premier; on doit
^ donc retrouver les mêmes chiffres au quotient.
pour retomber ensmte sur le même reste ^ etc.
Remonter Xune fraction dédmale périodique à sa génératrice.
