On emploie le signe V que l'on appelle ro^/ic^/, pour

indiquer la racine carréç d'un nombre : en sorte que y 7 repré^ sente la racine carrée Ûe 7.

224. Pour carrer une fraction , il suffit de carrer son nomi-

naleur et son dénominateur. Ainsi le carré de ^ est '^. En

7 ■ 49 effet, pour carrer une fraction, il faut la multiplier par ellemême :' il faut donc multiplier son numérateur' par lui-même et son dénominateur par lui-même ^ c'est-a-dire , carrer le nurné-^ rateur et le dénominateur.

22 5. Cette proposition estvtaie, que les termes delà fraction soient entiers ou qu'ils soient fractionnaires ( 1 98 ).

226. Tout nombre premier qui ne dif^ise pas exactement un nombre^ ne 'divise pas aussi son carré.

Par example , tout nombre premier qui ne divise pas exactement ï4 , *ne divise pas ausâ i4 x i4 ou i/y.

En effet , ce nombre étant premier avec l'un des facteurs du produit i4 X i4 nje peut diviser exactement ce produit qu'autant

COTJRS DE MaTHÉMATIQUEST 99

qu'il divisera Fautre facteur (i34). Mais lautre facteur étant aussi i4, n'est pas divisible par le nombre prenâier dont il s^agit , donc ce produit n est pas aussi divisible par ce nombre.

aa-j. Lorsque deux nombres sont premiers entreux ,leurs^ carrés sont aussi premiers enlreux.

Eh effet , si les deux carrés étoient divisibles par un même nombre premier , il faudroit que les nombres eux-mêmes fussent divisibles par ce même nombre premier (226), ce qui seroit contie iTiypotbèse.

228. La racine carrée d!un nombre entier ne peut jamais être un nombre fractionnaire irréductible.

Car si cela étoit, en carrant ce nombre fractionnaire irréductible , on retrouveroit le nombre entier proposé. Il faudroit donc que le carré du numérateur contînt exactement le carré du dénominateur , ce qui ne peut être , puisque le numérateur .et le dénominateur étant premiers entr'eux, leurs carrés sont aussi premiers entr eux ( 227 ).

229. Lorsque la racine cairée d'un nombre entier n'est pas elle-même un nombre entier^ il est impossible d'exprimer cette racine exactementi

Car, puisqu'elle n'est pas un nombre entier, elle séroît donc un nombre fractionnaire irréductible , ce qui est impossible ( 228 ).

2 3 o. La racine carrée d'un nombre qui n est point un carré parfait^ s'appelle un.nombre sourd, irrationnel ovi incommensurable.

23 1 . . Quoique Ion ne puisse pas toujours expripaer exacte*ment la racine carrée d'un nombre donné quelconque, on peut cependant trouver un nombre qui , étant carré , approche autant .que l'on . voudra de reproduire le nombre proposé.

232. Lorsque Von a un produit dont les facteurs sont incominensurablés j on peut intérim eriir h volonté Tordre des facteurs : car en substituant aux facteurs incommensurables les nombres fractionnaires , qui en àpproclient a tel degré d'exactitude que Ton voudra , le produit des facteurs fractionnaires restera toujours le même ( 182 ). Donc le produit des facteurs incommensurables^, reste toujours le même.

- 233. On voit par-la que. la proposition (54) est encore vraie , lorsque les facteurs sont irrationnels.

234. Les règles données pour les différens cas de la multi^ plication et. de la dii>isiou des fractions , dont les termes sont des nombres entiers ' , s'appliquent également aux fractions , dont les termes sont incommensurables.

Car en substituant aux tenues incommensurables des nombres fractionnaires qui eu approchent au degré auquel ou veut se

, etc.

loo Coufis DE Mathématiques.

borner, on aura des fractions dont les termes seront fraction*^ naires , et auxquelles les règles dont il s'agit , s appliqueront comme si les termes étoient entiers (198). Donc ces règles peuvent en effet être appliquées aux fractions, dont

les termes sont incommensurables. Ainsi -^^ égale V^ divisé

P« Vy. ^L x^- égale ^^y\-

a55. On voit par ce qui a été dit n^. 199, que les propositions démontrées i4i ^t suw. pour les fractions , dont les fermes sont entiers , sont également vraies pour les fractions, dont les termes sont incommensurables.

236. On voit donc que pour carrer une fraction , dont les tenues sont incommensurables, il faut carrer le numérateur et le dénominateur.

287. Lorsqu'un nombre est composé de moins de 3 chiffres il n en a qu un à sa racine en nonîbres entiers : car 100 , qui est le plus petit nombre composé de 3 chiffres, apourracme 10 , qui est le plus petit nombre composé de 1 chiflres : donc tout nombre plus petit que 100, aura une racine plus petite que 10 , c'est-a-dire, qui ne sera composé que d'un seul chiffre en nombres entiers. On fera voir de même que ^ si un nombre est composé de plus de deux chiffres , sa racine en aura plus d'un ^ et par conséquent renfermera en général des dixaineset des unités.

238. Le carré d'un nombre composé de dixaines et d'unités renferme trois parties, savoir : le carré des dixaines , deux fois le produit des dixaines par tes unite's , et le carré des unités.

Pour le prouver soit 47 I^ nombre proposé a carrer , ce nombre revient a 4o -|- 7 j ainsi il faut multiplier. . . 4^+7»

par. . . 4^ + 7.

Multipliant les dixaines supérieures par les dixaines inférieures, je forme le carré des dixaines. ..... 4^^*

Multipliant ensuite les unités supérieures par les dixaines inférieures , j 'ai une fois le produit des dixaines X les unités • •••... 40x7.

Multipliant les dixaines supérieures par les unités infé> rieures , j'ai encore une fois le produit des dixaines par les unités 40x7.

Enfin , multipliant les imités supérieures par les unités

inférieures, j'ai le carré des unités 7

On voit donc que le carré d'un nombre , composé de dixaines et d unités , renferme 3 produits, savoir^ le carré des dixaines , etp»

CoiFllS D

Si on veut évaluer C( e qui a été dit { 69 ).

: MATnéMtTIQCES. toi

i parties, on aum, en ayant égard à 40' =• i6oa a fois 4*^! X 7 = 56o

Tota} ou carré de 47 ■ - ■ • aaog iSg. On d ('montre mit d'uue manière aJisnlument sembULle, que le carré île tout nombre composé de deux parties en renl'erme trois, savoir : Le carré de la première , 1 fois le produit de lapremière, multipliée par la seconde, elle carré delà seconde. a4o' Lorsque deux nombres différent d'un nombre tjuel~ conque , leurs carrés différent de deux fois le plus petit x ta différence + le carré de la différence.

En effet, le plus »îrand nombre est composé de deux parties , savoir : le plus petit + la différence,- soncarrérenlénne rlonc trois parties ('j'àg), savoic: le carré du plus petit + deux fois le plus petit X la différence -|- le carré de la différence. Donc en e&t le carré du plus grand surpasse le carré du plus petit de deux fols le pljis petit X la différence -f- le carré de la différence. a4i ■ Lorsi/iie deux nombres diffèrent de l'unité, leurs carrés différent de deux fuis le plus petit -^-ï.

Car , les carrés de deux nombres inégaux , diffèrent en général de deux fois le plus petit x la .différence des nombres + le carré de cette différence (240); donc si la diffi'rence des nombres est i, la différence des carrés sera deux fois le plus petit nombi^ X I -f- 1 ' , c'est-à-dire, deux fois le plus petit nombre + 1- On voit donc que le can-é d'un nombre -)- 1 égale le carré de ce nombre -f- deux fois ce nombre; + i ; il scroit facile Je démontrer ces propositions immédiatement.

243 . Il est évident que l'on n'a pas besoin de règles pour avoir en nombres entiers , la racine carrée d'un nombre qui n'a gu'un OU deux chiffres. Nous allons nous occuper des nombres composés d'ime plus grande qnantité de chiffres.

243. Pourextraire la racine carrée d'un nombre de plusieurs chiffres, par exemple, de 4if Sog; j'observe que ce nombre doit avoir / of- I c/ en général à sa racine des dixalnes et des unitéa, kÛ c I "^'^ ^ ^^■'^ composé de trois parties , savoir : lé carré des dixaines , deux fois les dixaines x les unités , et le carré des unités. Si je connoissoïs le carré des dixaines , j'en chercberois la racine carrée , j'aurois les dixaines ; mais le carré des dixaines étant des centaines , les dixaines et leg unités ne peuvent en faiie partie ; c'est pourri

I04 COUAS DlE MatHI^XA TlQfTES;

le produit dn reste et de k tranche abaissée. Si la soustraction B^est pas possibk , diminuez la racine d'une umté , et recommencez la vérification ; continuez de même jusque ce que la soustraction puisse s'effectuer ; écrives au-dessous le reste qui doit être toujours plus petit que le double de la racine augmente d'une unité , et à côté abaissez la tranche suivante. Opérez maintenant avec les deux premiers chiffres pour trouver le troisième comme vous avez fait avec le premier pour avoir le second , et continuez de même jusqu'à ce que vous n'ayez plus de tranches a abaisser. On voit que le ncnnbre des chiSi^ de la racme doit toujours être ^al au nombre des tranches.

246. [Il faut bien remarquer qu'on ne doit diviser par le double des dixaines^ que la seule partie qui reste a gauche^ après qu'on a séparé te dernier chiffre ; en sorte que si die Be contenoit pas le douMe des dixaines y il ne faudroit pas , pour cela y employer le cbifiire séparé ; on raettroit zéro a la racine. Si^ au contraire, on trouvoit que le double desdixaines» y est plus de 9 fois , on ne mettroit cependant pas phis de 9 ; la raison en est la même que pour la division ( 96 )•

Exemple LXXIX*

[ On demande la racine carrée de 7569. «

7^69 j 8|7 racine.

• Je sépare les deux chiffres 69 , et je cherclie la racine carrée de 75; elle est 8 ; j'écns 8 a côté, je carre 8 et je retranche de 75 le carré 64» ^ "^ reste 11 , que j'écris au-dessous de 7 5 , et j'abaisse , à côté de ce mém^ 1 1 , les chiffres 69 que j'avois séparés.

Je sépare, dans 1169 , le dernier chiffre 9, pour avoir dans 116 la partie que je dois diviser pour trouver les unités.

Je forme mon diviseur , en doublant les 8 dixaines que j'm trouvées , et j écris ce diviseur au-dessous de 116 ; la division me donne pour quotient 7 , que j'écris a la racine , à la droite de 8.

Je porte aussi ce quotient k côté du diviseur 16 ; je multiplie 167 , qui forme la deraière ligne , par ce même quotient 7 , et je retranche les produits , a mesiye que je les trouve , de 1169; il ne reste rien, ce qui prouve que 7569 est un carré parfait et le carré de 87 . ]

CODKa DE MlTHltMATIQUBS.

ExKMn.* LXXX.

[ On demande la racine carrée de 76807696.

5fi.8o.76.ç»t> I 8764

4près avoir partagé le nombre proposé^ en traitclies de âevx chiffres chacime , ea allant de droite k gauche , je cherche i^elle est la racine carrée de la tranche '^6 qiii est plus a gauche s ie trouve cpi'elle est S , et j 'écris 8 a côté du nombre propose : je carre 8 , tt je retrfinche le carré 64 , de 76 ; j'ai pour reste i % que j'écris au-dessous de 76 ; à côté de ce reste, j'abaisse lit Ixanche 80 , dont je sépare le dernier chiffre par un point ; et au-dessous de lu partie 1^8, j'écris iC, double de la racine trouvée: puis disant, eu ia8 combien de fois 16? je trouve qu'il y est 7 fois : j'écris 7 a la suite de la racine 8 , et à cùté du double iti; je multiplie 1(17 par ce mèroe nombre 7, et je jetranche de isi8o le produit de celte multiplication, il me reste ma coté duquel j'abaisse U irancUe 76 , ce <jui forme i r 1 76 ; je sépare le dernier chiffre 6 de ce nombre , et sous la partie 1117 quîreste àgauche, j'écris 174, double delà racine 87 ; j« divise H17 par it4i et ayant trouvé 6 pour miotienl, j'écris 6 à la racine, et à coté du double 174» î^ muTtiplie 1-46 par ce même nombre 6, et je rptranche de 11176, il n^ste 700; à côté de ce reste , j'abaisse gfi , dont je sépare le dertiicr chiffre ; au-dessous de 700g qui reste n gauche, j'écris i-jSa, double de la racine trouvée 876, et divisant 700g par 1752, je trouve pour quotient 4, que j écris à la racine et à coté du double 17 52. Je miutiplle 17534 par ce même nombre 4, j^ retranche de 70096, il ne reste rîen, ainsi la racine carrée de 76807696 est ejtactemenl 8764]

247- Si, n'ayant plus de tranche à abaisser, on fjouve un reste, c'est une preuve que le nombre proposé n'est pas le carré d'un nombre entier. On ne peut donc en obtenir la racine exactement ( aag ). Mais sa racine étant plus grande que la racine trouvée et plus petite que cette racine augmentée de l'unité , ne diffère jM pK conséquent d'une imité de ces deux nombres; c'est

io6 Cours de Mathémâti<;>ois».

pour cela que Ton dit que chacun d'eux est la racine l'un en moins l'autie eixplus y a moins d'une. unité près.

248. En général la racine est dite a moins d'un de»ré donné d'exactitude , lorsque les deux racines en plus et en moins ne diffèrent que du degré donné.

Exemple LXXXI.

On demande la racine carrée de 655o47-

65,5o,47 809 En opérant comme il a été dit ci-dessus,

I 5.0 i on aura 809 pour racine, a moins d'une unité

I 60 ' près ; le reste 566 est l'excès de 655o47 7

'■ j ^qA^, §iu; le carré de 809.

^49* L>" racine de 655o47 est donc entre 809 et 8^o: on peiit obtedir immédiatement deux limites beancoup pins rapprochées

de cette racine; elle est entre 809^ et 809 ^-g^. C'est-à-dire » que la fraction qu* il faut joindre à la racine y est comprise entre deux fractions qui ont le reste pour numérateur et pour déno^ ninateur y .Vune le double de la racine trouvée, et l'autre ce double plus I. Nous démontrerons plus tard cette proposition^ nous ferons voir aussi quM en résulte 9 qu^en prenant une de ces deux fractions pour celle qn^il faudroit ajouter pour avoir la vraie racine > Torreur est moindre que le reste divisé par le produit du double de la racine >$ ce double augmenté de Tunité.

Ainsi en prenant ici 800 — -— :on n'a pas d'erreur ^ •;

et coram"» le reste ne peut surpasser le doable de la racine 9 il

en résulte que Terreur est, en général^ moindre que Tunité

divisée par le double de U racine + 1 .Avec un peu d'attention 011.

¥erra facilement que 9 dans l'exemple actuel 9 l'erreur est moindre

que 7^. Voyons maintenant comment il faudroit s'y prendre pour avoir la racine avec un pins grand dogré d'exactitude.

!a5o. Pour avoir la racine carrée d'un nombre entier, a un degré décimal donné d'exactitude ,* mettez a la droite deux foî^ autant de zéros comme vous voulez avoir de cbiflFres décimaux a la racine ; extrayez cette racine à moins d'ime unité près , et partagez a la droite autant de chiffres décimaux comme vous voulez en avoir. Car le produit doit renfermer autant de chiffres décimaux que ses deux facteurs (71). Or , le carré est un produit dans lequel la racine est deux fois facteur ; il doit donc avoir deux fois autant de chiffres décimaux qne sa racinç..

Cours de Mathématiques, iôj

Exemple LXXXII.

f\ On. demarïde la racine carrée de 87567, a moins duQ iième près.

Pour faire des millièmes il faut trois décimales ; il fant donc mettre six zéros an carré 87 567 ; ain^i il faut tirer la raciiiç de 87567000000.

En faisant l'opération comme dans les exemples précédens., oa trouve pour racine carrée, k moins d'une unité près, le nombre 295917 ; cette racine est celle de 87567000000, mais comme il s'agit de celle de 87567 ou de 87567,000000; je sépare moitié autant de décimales dans la racine, que j'ai mis de zéros au carré , ce qui me donne 295,917 pour la racine carrée de 875G7, $1 mpÎDS dun millième près.

Pareillement, si Ton demafide la racine carrée de 2 , à moins d'un dix-millième près ; on tirera la racine carrée de 200000000 qu'on trouvera être i^il^iy séparant les quatre chiffres de la droite, par une virgule, on aura 1,414^7 pour la racine canrée de 2 approchée, à moins d'un dix-millième près. 1

aSi. Pour extraire la racine carrée d'une fraction, il sufEt

d'extraire la Tacin« carrée du numérateur et celle du dénomi-

nateur ; ainsi la racine carrée dei, par exemple, est — 7—. Ea

effet, en carrant cette fraction comme il faudra carrer le numérateur et le dénominateur (224 et 236); on retrouvera la fraction proposée. [ Ainsi la racine de £ est - , parce que celle de

9 ^st 3, et celle de 16 est 4-]

252. Lorsque le numérateur n'est pas un carré parfait, mais que le dénominateur en est un , on extrait la racine approchée

|o8 Cours de Mi.TH<MATiQtTEs.

du numérateur au degré auquel on veut avoir celle de la fractjoD , et on lui donne pour dénominateur la racine exacte du dénominateur : si on demande la racine de ' , a moins Jun millième

près y on extraira la racine de 2 ^ a moins d'un millième, ce ^ donnera 1,4^4 > <>^ ^^ donnera pour dénominateur 3 , racine exacte du dénominateur , on aura 12^'^. Si on veut n'avoir cpie

des décimales , on divisera k numérateur parle dénominateur, k Hioius d'un millième , et il viendra 0,47 1 , pour la racine cherchée. a53. Quand le dénominateur n'est pas im carré parfait, oa commence ordinairement par le rendre un carré parfait, ce ffui se fait en multipliant les deux tennes de la fraction par le dénominateur ; cela ne change point la valeur ( 149 ) de cette fraction, et le dénominateur devienlle carré du dénominateur primitif ; alors on extrait la racine carrée du nouveau numérateur au degré d'exactitude auquel on veut avoir celle de la fraction , et on lui doime pour dénominateur le dénominateur primitif. Si on veut n'avoir que des décimales , on divise le numérateur de la racine par son dénominateur.

Exemple LXXXIII.

On démande la racine carrée de ^,

a moins Jun miDîèmc

i5 al

près, on changera cette fraction en ^r, extrayant la racine de i5 , a moins t^ millième, il vient 3,8t2 , en sorte que la racine cnerchcfe est ^'^l? : ou en réduisant k

tout en décimales 0,774'

254. Plusieurs raisons engagent a employer ce procédé au lieu d'extraire la racine approchée de chacun des deux termes.

I®. De cette manière on na a extraire que la racine aua ^ul terme.

2®. Quand même le numérateur seroit un carré parfait, on employeroit encore cette métliodc , parce que pour convertir le résultat en décimales , on a à faire une division beaucoup plus simple que celle qu'il faudroit faire si le dénominateur rett* fermoit des décimales.

io. Enfin par c« procédé on est sûr que le deçré d'exactitude

COVKS DE MATFÉWATtQrrS, |0f)

de la racine n'est pas raoiiuire que celui du numéraleiir, ati lien que, quand l'expression est fractionnaire, si le dêiiominaleur etoit approché, le degré d'exactitude de la racine serait moindre que celui du dénominateur, toutes les fois que lu raenie du nimiératcur seroit plus grande que le dénominateur de Li Iraction, proposée , comme nous le prouverons dans la suite.

255. [ Si Ton avoit des entiers joints a des fnn.tio!is, on rcduiroît ces entiers en fractions ( i4o) , et on opéreroit, comme il vient d être dît pour une fraction. Ainsi, pour tirer la racine carrée de 8 i , on changeroit 8 i, en ^, et celle-ci (253) €11*1', dont on irouveroit que la racine approchée est îS^'î ou 3,go3. ]

Observons que l'on commettroit une erreur grossière si on «xtrayoil séparément la racine du nonihre entier et celle de la fraction, ai on prenoii, par exemple, 4 ^ poiu" racine carrée de i6 ^. En effet, en carrant 4 i? c'est-à-dire, en multipliant 4+g

par 4 "M

Il est aisé de voir que Von aura "

1*. Le carré de 4 ou i6

a". Le carré de -^ ou ' ^

'i". Et de plus denï fois 4*^^= on aura Jonc ce dernier produit de plus que le nombre proposé i6 i, donc 4- n'en e$t pas la racine caiTee,

a56. Pour extraire la racine carrée d'un nombre entier joint à une quantité décimale ou d'une quantité décimale, rendez le gombce des chiffres décimaux double de celui que vous voulez avoir â la racine en ajoutant à la droite un nombre suflisant de zéros, ou en supprimant des cliilTres seiou qu'il sera nécessaire. Extrayez la racine carrée comme celle d'un nombre cutier, et partagez h la droite de la racine autant de chiffi'cs décimaux , comme tous voulez en avoir.

Lb raisou Je cela est que le produit de la multiplicition des facteurs décimaux renferme autant de cbiÛi-es décimaux que les facteurs; or, dans le carré la racine est lieux fois fatleur, doue il doit avoir deux, fois autant de chiffres décimaiti que sa racine.

EsEMP. LXXXIV- [Tirer la racine carrée de 3i,93j, 'a moins d'un milhême près. Je tire la racine carrée de ai.gUSooo qui Ot 4}683> c'eit auss^ celle de 21,933. On tiDuverii de même.

tïo Cours de Mathématiques.

qiie celle de o^54^ est k moins dW millième près 0^7 36 , et que celle de o,oo54 est a moins d'mi millième près 0^073. ]

257. Lorsque l'on veut avoir la racine carrée d'une fraction ou d'un nonibre entier joint k une fraction, le procédé le plus commode consiste a convertir cette fraction en décimales , en ayant soin d avoir deux fois autant de chiffires décimaux y comme on veut en avoir kla racine. Alors l'opération est ramenée a extraire la racine carrée d'une quantité décimale ou d'un nombre entier joint a une quantité décimale.

Exemple LXXXV.

Extraire la racine de 8 ^, a moins d'un millième.

*Je transfonne cette quantité en 8,4^8571, en réduisant la fraction en décimales ( 1 58 ) ; extrayant ensuite la racine carrée , il vient 2,903 comme on avoit déjà trouve (aSS).

258. Si on vouloit avoir la racine catrée d'un nombre quelconque y à im degré d'approximation qui ne fût pas décimal , on multiplieroit ce nombre par le carré de celui qui marque le degré d approximatioti , oti extrairoit la racine carrée' du produit, à moins d'un unité près, et on lui donneroit pour dénominateur le dénominateur donné. En eflfet , si on veut avoir la racine de 3 1 , par exemple , a moins d'un septième près , il est

clair que 3i revient a ; ainsi y 3i égale V 3i X7

La racine de 3i x 7 ou de iSig est 38 , a moins d'une unité près ; ainsi la racine cherchée est ï, elle est k moins d'un 7°»*

près, puisque le numérateur n'étant pas fautif d'une unité, la fraction n'est pas fautive d'un 7 me d unité. Il est évident que ceci comprend , comme cas particulier, l'extraction de la racine carrée k un degré décimal donné d'exactitude.

259. Ou pourroit demander a quel degn'î d'exactitude il faudroit avoir la racine carrée d'un nombre pour que , en carrant cette racine, la différence de son carré au nombre proposé, fiit au-dessous d'une quantité donnée.

Pour le savoir , il faut donner pour dénominateur a la limite de l'erreur sur le carré, le double de la racine entière -f- i. . Ainsi pour avoir la racine carrée de 19, k un degré d'approximation , tel qu'en la carrant , il n'y eût pas -i- d'erreur

dans le carré , il faudroit avoir cette racine , a moins de -L di-

visé par 9 , double de la racine entière + i, ou k moins de -i. Il faudroit donc aller jusqu'au iooo«, si on veut avoir

COWRI OE MàTHÉHJiTIQVES. III

U racine exprimée eu décimales. Celle proposilion sera démontrée avec telles du n" a49> '^^'^^ ^""^ foQdccs sur le même isiicipe.

•960. Pour carrP-T un produit, îl suffit de carrer cliacun de M* facteurs. Ainsi (5x7X9)' égale 5'x^'xg'. En effet, Ï5x,xy)' (-sale ( 6x7 X9)x(5 X ^ X9) égale 5x5x^X7 xgxg t^^de 5-x7'x9'.

sBi. l'our (xtraire la racine carrée d'an produit, il suffit uextraîrd la raiîiie de chacun de ses ftcteiu^!.

Ainsi y' 5 X 7 X 9 = y/b x V'7 x /g : cela est cvidcnt, puisp'en carrant \^ 5 x y/ 7 x y 9 , on trouve (a6o) 5x7x9.

26a, Celte proposition "est trcs-ulil^ lorsiju'on doit former le produit de plusieurs racines incommensurables à un degré d'exacutude donne : ou commence par former le produit des nombres ** ou en esiraitla racine an degré proposé, l'ar exemple, pour ivoir V 5 X / 7 , a moius d'un looo" près ; je mnltiplîe 5 par 7 , }w 35, feu extrais la raciue carrée, a moins d'un 1000=, j'ai -5»9i6. hu extrayant celle de 5, j'anrois eu a,a36, celle de 7

jOeût donné 'î,(i45, le produit des deux seroit 5, 914 dont

»* troisième décimale n'est pas exacte. On peut voir sur les Pfoduiis, quotieus et racines des nombres apptoxjjuatifs , les "Onales de matbéraatiiTues , tomes \I et XIII.

a63. Pour extraire la racine d'un (jnotient , il suffit d'extraire

«taeinedu diviseur et celle du dividende. Ainsi \/- égale -7=,

En effet, la racine carrée d'un quotient peut èlre regardée '^omme la racine d'une fraciion qui auroit poiu: munérateur le ^vidcnde, et pour dénoruiuateur le diviseur. Or, la racine ^rée d'une fraction égale la racine carrée du.uumérateur divisée perla racine carrée du déuominateur , donc, etc.

364. [ Quand OH a trouvé , par la méihoda qui ifieiit d'être expa. i^t loi irois promlera cliifi're» èe la. racine, on peut en avoir plu- «ieurs autres avec plus dy facilité et de pronnitiiuJe, par lii diriaion seule, en cette manière.

Prenons pour exemple 763703556823 : je commence pAr rhercW les trois premiers chiffres de U racino « pnr U méllioile cïdesïus : je trouve 8^3 pour cetlo racine, et i574 pour reste ; je nets à c6té de ce reste lesdeui chiffrps55, qui suivent U partie ^fâ-jcA qui a donnii hs trois pieiuiers cliiflreg, (Jciuettriiis Us trois chiffres suîvaiis, si l'a vois quatre chiffre» de la racine , quatre ji jVa mois 5, et ainsi de suite, j^ divise 15^4^5 que j'ai alors par le Joiible 1746 Je la racine ; je trouve puur quotient 90; ce 100 1 d' MX nouvraux cl'iffres it mettre à la suite de la racine, qui yu-là devient S^3(jo. Je carra cette tacinc) et j? retrancUc sou

Itft GOVKS DE MATttÉMATlQttS.

carré T^iSyOïSfcioo, de la partie 7637o36568| dont 87390 est la racine ; il me reste a3468*

Si je veux avoir de nouveaux chiffres à la racine ; comme-j'en ai déjà cinq , je puis, par la seule divisioft | en trouver 4î\^ metrrai pour cet effet 9 à la suite du reste ji3468) les deux chiffres restans s3 du nombre proposé f et deux céros 9 et divisant d3468^3oo par le double 174780 de la racine trouvée ^ j^aurai i349 pour les quatre nouveaux chiffres que je dois joindre à la racine : mais en partageant le nombre proposé » en tranches | de la manière qui a été dite ci-dessus , on voit que sa racine ne doit avoir .que six chiffres pour les nombres entiers; donc cette racine est 873901)342 1 à moins d'un millième près.

On peutf le plus souvent | pousser chaque division jusqu^à un chiffre de plus ^ c^es^à•dire| jusqu^à autant de chiffres quW en a déf à à la racine \ mais il y a quelques cas 1 rares à la vérité ^ où Terreur sur. le dernier chiffre pourroit aller jusqu'à cinq unités ; au lieu qu^en se bornant à un chiffre de moins^ comme nous venons de le faire ^ on nV jamais à craindre | mfime une unité ^'erreur sot le dernier chiffre.

Si 9 après avoir trouvé les premîei^s chiffres de la ra<Hnef par la méthode ordinaire, ce qui rfste après l'opération faîte, se trouvoit égal an double de ces premiers chifâres^ il faodroit, pour éviter tout embarras, en déterminer encoore un par la même méthode ordinaire , aprè<^ quoi on trouveroit les autres par la méthode abrégée que nous venons dVxposer , quif comme on le voit assez ^ s'applique également anx décimales.

Si la racine devoît avoir des aéros parmi ses chiffres intermédiaires , dans le cas où ces zéros seroicnt du nombre des chiffres qu'on détermine par la divis^ui, il peut arriver, s'ils doivent être les premiers chiffres du quotient , qu^on ne sVn aperçoive pas , parce que dans la division on ne marqne pas les zéros qai doivent préoMer sur la gaucbe»du quotient; le moyen de le distinguer est de laire attention qu'on doit avoir toujours autant de chiffres au quotient qu'on en a mis à la suite du reste ; et par conséquent^ quand il y en aura moins , il en faudra compléter le nombre par des zéros placés sur la gauche de ce quotient.

Au reste, l*abrégé que nous venons d^exposer, est une suite èa -principe général qu'on a vu(a39); savoir, que le carré d^une quantité quelconque > composé de deux parties , renferme le carré de la première partie , deux fois la première multipliée par la seconde, et le carré de la seconde.] Nous en donnerons bientôt une démonstration complette»