CUBES
a65. Le cube dénombre est le produit die ce nombre par sou carré , et la racine cubjque d*ua nombre est le nombre qui y
ctaut
Cours de Mathématiques. hJ
étant cubé, reproduit le nombre proposé. Il est aisé de voir que le cube d'un est i , celui de 2 est 8, de 3 est 547, de 4 est 64, de 5 est i25, de 6 est 216, de 7 est 343, de 8 est 5i2, de 9 est 72g, de 10 est 1000, etc.
266. Le cube d'un nombre s'appelle aussi troisième puissaucfi de ce nombre. Il est évident que pour llndiquer, il sufBt
d^écrire la quantité en lui donnant 3 pour exposant. Ainsi iS' rq)rcsente le cube ou la troisième puissance de 18.
267. I^ cube d'un pombre est donc le produit dç trois facteurs égaux à ce nomiire.
268. En général on appelle puissance 4"™*^> 5™®, 6'n«, etc» d'un nombre, le produit de 4, 5, 6, etc. factcuis égaux a ce nombre : une puissance d'un degré quelconque d'un nombre, Amdique donc en donnant k ce nombre un exposant égal au. degré de la puissance (4o)- W est évident quune puissance
^ tfiin degré quelconque d'un nombre , est égale au produit de ce nombre par la puissance inférieure.
269. On appdle racine 4^"*-* , 5™^ , 6™« , ttc. d'un nombre , un nombre qui, étant élevé a la puissance 4"®* 5™«, 6™<f, etc. reproduiroit ce nombre.
270. On emploie aussi le signe V pour indiquer les racines d'un degré supérieur aux racines carrées : mais on met dans l'ouverture de ce signe lo nombre qui marque le degré de la
racine. Ainsi y 7 représente la racine cubique de 7, et y 1 1 représente la racine sixième de 11.
27 1 . Pour cuber une jractiou , il suffit de cuber son niunérateur et son dénominateur. Ainsi le cube de ^ est 12|. En effet .
rur cuber une fraction, il faut la multiplier par son carré (265), faut donc midtiplier le numérateur par son carré , et le dénominateur par son carré (224)1 c'est-a-dire , cuber le numérateur et le dénominateur.
En général , pour élever une fraction a une puissance quelconque , il faut élever a cette puissance le numérateur et le dénominateur. Cela est facile h démontrer d'après ce qui précède.
272. Cette proposition est vraie, que les termes de la fraction soient entiers ou fractionnaires (198 et suw.).
273. Tout nombre premier qui ne dii^ise pas exactement un nombre , lie divise pas aussi son cube , et en général , tout nombre premier qui ne dit^ise pas exactement un nombre, ne diuise aucune de ses puissances.
Ainsi 7 qui ne divise pas exactement 9, ne peut diviser jȈctement aucune puissance do 9.
^rithmfiiqne^ Il
ii4 Cours de Mathématiques.
En cfTct, s'il divisoit 9*, par exemple, c'est-à-dire, 9' x g, puisqiul est prcmiei" avec 9 , il faudroit qu'il divisât 9' ; mais 95 cest 9^x9. Donc puiscjue n est premier avec 9, pour diviser ce produit, il faudroit qu il divisât 9^ (i34); or, 9* c'est 9x9; 7 étant premier avec le second facteur, ne peut diviser ce produit qu'autant qu'il divise le premier facteur ; or, par hypothèse, il ne le divise pas, donc aussi il ne divise pas le produit, et par conséquent il ne divisoit aucun des précédents.
274* Lorsque deux nombres sont premiers entreux , leurs cubes, et en général , deux puissances quelconques de ces nom^ bres, sont aussi deux nombres premiers entreux,
275. La racine cubique , et en général, une racine d'un degré quelconque d'un nombre entier, ne peut jamais être un nombre fractionnaire itréductible,
276. Lorsque la racine cubique y ou en général,, une racine dun degré quelconque d'un nombre entier , n'est pas elle-même un nombre entier\, il est impossible d'exprimer exactement cette racine, ,
Ces trois propositions se démontrent d'une manière semblable a leurs analogues pour les carrés, (227, 228 et 229).
277. Une racine d'un degré quelconque , quand elle ne peut pas s exprimer exactement, s'appelle aussi /lo/wire^owrd, irrrttionnel ou incommensurable.
278. Lorsque l'on ne peut pas extraire exactement une racine cubique, ou en général, une racine d'un degré quelconque, on peut toujours trouver un nombre qui , étant cube ou élevé à la puissance du même degré que la racine dont il s'agit , approche autant qu'on le voudra de reproduire lo nombre proposé.
279. Lorsque l'on a un produit dont les facteurs sont des incommensurables d'un degré quelconque, on peut inten^ertir à volonté l'ordre des facteurs.
- 280. Les règles données pour les dijfévens cas de la multiplication et de la dit^ision des fractions , dont les termes sont des nombres entiers, s'appliquent également aux fractions doîit les termes sont des incommensurables d'un degré quelconque.
281. Et les propositions démontrées ( i4i et suiv. ), pour les fractions dont les termes sont des nombres entiers, sont vraies aussi pour les fractions dont les tenues sont des incommensurables d'un degré quelconque. De plus, celles de ces propositions relatit^es à la multiplication ou à la dit^ision des termes par des nombres entiers, sont vraies aussi
Cours de Mathématiques. ii5
lorsque les nombres par lesquels on multiplie ou on dli'ise , sont des incommensurables d'un degré ijuelconcjue»
Car on a fait voir ( 198 ef sui^. ) que ces propositions ctoieut vraies lorsqu'on substitue aux nombres entiers des nombres fractionnaires : elles sont donc vraies aussi quand. on y substitue des incommensurables, puisque Ton ne peut évaluer ces incommensurables qu'au moyen d'expressions fractionnaires qui, au reste, en approchent aussi près qu'on le veut.|
28a. On vpit donc que pour élever une fraction, dont les termes sont incommensiurables a une puissance quelconque, il faut élever a cette puissance le numérateur et le dénominateur.
283. • Lorsqu'un nombre est composé de moins de 4 chiffres , il it'en a qu'un a la racine cubique en nombres entiers ; car 1000 gui est le. plus petit nombre, composé de 4 cliiffres, a pour racine 10 qui est le plus petit nombre, composé de 2 chiflres : âonc tout nonybre plus petit que 1000, aura une racine plus petite que 10, c'est-à-dire, qui ne sera composé que d'un seul rhiffrp en nombres entiers : on voit de même que , si im nombre est cpmposé de plus de 3 chiffres , sa racine en a plus d'un , et par cons<jquent renferme , en général, des dixahics et des unités.
284^. Le cube d'un nombre composé de dîxaincs et d'unités , renferme quatre parties : savoir, le cube des dixaines , i fois le carre' des dixaines multiplié par les imités , 3 fois les dixainesx le carré des unités, et le cube des unités » .. Pour le prouver, soit, 47 le nombre qu'il s'agit de cul)er : ce nombre décomposé en dixaines et unités , est la même chose que 40 + 7. Il faut donc multiplier le carré de 40 + 7, qui
est'(238) . 4o' + 2 fois 4o X 7 +"7'
: Par ce noteibre même 4^+7
Multipliant 4o' par 4o , j'ai 4^
Multipliant detix fois 4o x 7 par 4o , j'ai (55). . . 2 fois 4o' x 7
Multipliant 7' par 4o, fai i fois4o X7*
Multipliant 4o^ par 7 , j'ai i fois 4o* x 7
Multipliant deux fois 4<^ x 7 P^r 7 , j'ai ( 55 ). . . 2 fois 4o x 7* .MultipUant 7' par 7 , j'ai .^7
Rassemblant ces six résultats , et réunissant ceux qui sont semblables , on voit que le cul)e de 4^+7 , renferme quatre
parties :' savoir, 4^ "+" ^ ^^^^ 4o'x7 +2 fois 40x7"*+ 7 , c'est-a-dire , Ze cube des dixaines +, etc. Le raisonnement scroît le même pour tout autre uojubrç composé de dixaines et d unités.
116 Cours de Mathématiques.
Si oa veut évaluer les différentes parties de ce cube, il faudra; i^. cuber 4oy ce qui se fera en multipliant 4o P^ A^ et le produit par \o^ ou (69) en multipliant 4 P^ 4 ^^ 1^ produit par 4 9 c'est-a-dire ^ eu cubant le chiffire 4 ^es dixaines et mettant trois zéros a la droite de ce cube ^ ce qui donnera 64000. On voit donc qu^en général , le cube du nombre des dizaines doit être compté par des mille.
20. Multiplier trois fois 4o' par 7. Or, 4o? c'est (69) 4' x 100.
On aura donc trois fois 4 x 100 x 7 ou trois fois 4 x^j x loo, ce qui fera 336oo. On voit donc quen général, trois fois le carre des dixaines par les unités donne des centaines^
3^. Multiplier trois fois 4o par 7 ou trois fois 4^ 10 par n*
ou trois fois 4 par 7 ^^ 1^ j^roduit par r o^ ce qui donnera 588o. On voit donc que trois fois les dixaines x le carré des unités , donne des dixaines.
4®. Enfin cuber 7 , ce qui donnera 343.
Faisant une somme de ces quatre résultats. . • 64000
336oo
On aura pour le cube de 47 loSBaS
On scroit parvenu également au même résultat en multipliant 47 par 4? ^^ ^^ produit par 47 •• Mais les observations que cette décomposition nous a mis à lieu de faire, nous seront utiles par la suite.
a85. On démont reroit comme dans le n^ 284 «que le cube de tout nombre composé de deux parties en renferme quatre : savoir, le cube de la première, troisjbis le carre' de la pre^ mi ère x la seconde , trois fois la première x le carré de la deuxième + le cube de la denjdème.
a86. Lorsque deux nombres différent dun nombre melc^ue , leurs cubes différent de trois fois le carre' du plus petit X leur differCsice plus trois fois le plus petit x le carre' de leur différence + le cube de 'leur différence.
£11 effet, le plus grand nombre est composé' de deux parties : savoir, le plus petit + la différence; son cube renfennie doue qiuUre parties (aîJj) : savoir, le cube du plu^ petit •+-, etc. Donc , en effet , le cube du jrfus grand nombre suroasse celui du plus petit de trois fois le carré du plus petit, multiplie par la differe/:ce +, etc.
