ÉQUATIONS

Définitions.

610. On appelle équation, Fassemblagé de deux ^antités i^parée& par le signe <=3.

6ii. Les quantités a la gauche du signe =* s'appellent premier membre , et les quantités qui sont a la droite , s'appeUent second membre.

612. Lorsqu'il n'y a qu'une inconnu^e dans une équation,; cette équation est dite k une seule inconnue. . 61 3. Lorsqu'il y a plusieiu'$ incojmue^i, elle est ^te à plusieurs iacQnnues.

614. On représente a^ez souvent les iaconnuea par les dernières lettres x, j^ z^ de l'alphabet, et les qij^tités connues car les pi;emières ou par des nombres.

61 5. L^ degré d'une équation est la plus forte somme que donnent y dans ua inême terme ^^ les exposants des inconnues.

Ainsi Fécfuâtion iSx-^ *] == 8:r + 9, est du premier degré a une seule inçoimue : l'équation ^x -{-tày^sô, e$t au^si du prei^er degré, ipais à deux inconnues, etc.

L'équation nx^ + 3&= ^x^ + S^jl ^st du troisième degré ^ une seule incoïinue ; l'équation xjr^ — 9 =* j?^ + 6 , est aussi e degré, mais à deux inconnues; l'équation xjrz

du troisiènie

r-n6s=a:^-^ 8, est du, troisième degré a trois inconnues, etc.

^16^ Résoudre une équation d'un degré quelconque, a une

e inconnue^ c'est, en déduire la valeur de cette inconnue.

seule

617. Résoudre plusieurs équations a plusieurs inconnues c'est en déduire la valeur de ces inconnues,

TRAI(aFORMATIOIf DE& Éq^ATIONS DU FIlEHIEll D^RÉ A^ UITE

SEULE INCOiriîUE.

618. La. résolution des équaûons sur premiôr degré à une ^ule inconi|U£ , repoise sur trois principes.

619. Premier principe. Oa peut toujours , sans troubler une équation, en ramener tous les termes a être des^ quantités efftieres, c'est ce qujB l'on appeljb /az/e. disparaître les dénominateurs.

Çn eflFet, soit^-f-cx— ^=»£^— |+i^ l'équation dont

S agit.

En réduisant toutes les fractions au même ^énominitteury 51 vient "it^ ^^cx — d^rr^ *Al£ — Mf +ï. ^

Multipliant maintenant tous les termes par bfh , ce qui ne

Cours hb M atk ématiques. air

trouble point tcqiiation, puisque c'est niultîplicr deux (|iiautit<?s égales par un même nomLi-e , il \ient afhx -f- bfhcX — dbfk = bhex — hfg + ibfk.

Comme on peut raisonner d'une mauière semblable dans tous les cas, on voit que,

fiîo. Pour faire disparoUre les dénominateurs tfune étjuation , il suffi de multiplier chatjue numérateur par le produit des dénominateurs de toutes les autres fractions , et de multiplier les termes entiers par le produit de to/ts les dénominateurs,

621. Quand les dénominateurs ont des facteurs communs, on opère comme il a été dit (i54} pour la réduction des fraclious au mcme dénominateur, si ces dénominateurs sont numériques ; mais on se borne à écrire les numérateurs , et on multiplie les entiers par le dénominateur commun. Si ces dé- Bominateurs renferment des lettres, on opère pour trouver le dénominateur commun, comme on a fait pour ce cas dans Isi réduction des fractions littérales au même dénominateur (6o5).

Exemple CLVUI. Faire diSparoUre les dénominateurs dans l'équation Ix — Gx-i-î^lx — -. Le dénominateur commun calculé comme il a été dit (i54), sera ici 34. Calculant maintenant le uumérateur de chaque l'raction , et multipliant les entiers .par le dénominateur commun, il viendra 21 x - i44'^' + i8=iaa: — 10.

Exemple CLIX. Faire disparoître les dénominateurs dans

l'équation -

a Jonc

Le dénominateur commun est ici c' hc abc^ X — a'' b'- c + a* X =fa' bc^

Tout cela est évident, puisque cette opération revient a multiplier tous les termes par le dénominateur commun.

623. Si les termes des fraptions étoient polynômes , ou suivroit les règles données pour la muiliplicatiou des pBlynomes.

6a3. Seœndprincipe . On peut toujours faire passer un terme d'une équation du membre où il se trouve dans l'antre mranbrë ; pour cela, il suffit de l'effacer dans le membre oii il est, et de l'écrire dans l'autre avec un signe contraire. C'est le principe de transposition.

En effet, si ce terme a le signe +, enl'effaçauloii diminue !c membre où il se trouve , il faut donc diminuer l'autre membre de la même quantité, c'est-à-dire, l'écrire dans ce membre avec le signe — . Au contraire, s'il a le signe —, en l'cfiaçant on augmente le membre où il se trouve , il faut donc aug-

jL.nii «ms J-:Tij.i:t;ii rr — / = -• z" — i oa pEul £yrc

«*r — j — : z =^ jl , Tn-^TTiti rtia. irr-jeu: -t damn er les ofcTEL 3icauiCRS îe :r^ 1 m j^tu: xn:^ iLLz-i pirsiia- le teme i

«^•i-ij- Tjiiaiemi acmàïK- L^r,xiii:i z^uj. ^sz zfriL^i sptxiés de

ktcr^'Uit xuûs Lot:! Jji pr^snïjsr lusmirs . «r pTraojasî pour jeeimJL lurmir^ îtf mfmmn rj/noL à^Uit jicr lu zotslûc des

Ea -iiEît^ fi. HL X <xx — jr-r— .'iTssii — '^f^ ^ premier gimifar* z-rrrem: «îniiiimimi: x x — ^ t- * 'x ^- Ur , eo ^^^Sfnr mL Traiinit t^sc an. bi î^is iunifïrs cci n Txdre au ^TXfTCKîit : limii: ïa. .iLTusnir lie irfinic: nnintiT; piz ^ £ — i+f ) «a itinît X;. 3Lxis le îesTcnul mczLiirf •;:ss -êpiÉ £a prfxaiîer : utsar. iL oïL lirriâe îe ioioiiil siezii^in ^«i:: a — i -|r«' om luràx.

IteiK ea rfÈc x=» T"^ — -

Cil Tïïrn i mt^Tryg crue «àe x = lx — ^jr cm tîreroit

Fji:xîaùZijn, dds tiiToMôimi dx yfrTTEbfjr £i:£j^' k nMe seule

t?':»^^ Pvmr rfs:fl&£nf icw <eci3t!ài>'a Ai prwaSer <k^ré k une SPifiLif iaKroaaoe^ «wa <roE23»^2!>:ir rîïar ûot rS5:vjrci:tTe les déwsEÈDaa^wrç^ <1I T «rai a <>«> et t»i " : tous î-es tennes mot rfthrâ» ît êtw «mténr? • «pa feEî pasfjfr dans fc premier flMsdhre lo«s les twiii¥* affip:t& de ria-x^îiEise , eo écrivant dat^irvi tc»n» cïTOt «^ rt!?WEt Ams If jTeiaMT membre avec leurs ?>'.2we* , r«ÎJ ofiEX «qTœî ftïieiût «îmîs le second avec des $L:iK^ cwHtrjdirv? '^fe5 \ C*a pu*oe ccsnite le sîane = et ou lut passer ^3ju:5 le s^'oiTCid E»flcub*re ^:w> 1^5 t rna^ connus , en écrivant «faho^ ceux ^laî ètoioit <s»25 le i^eicKKid membre avec leurs saines , più$ cciol api êM;sei:t «iàzts le premier membre avec dcs> sLziîcs cofitrùrci^. On iùk ecsoîte la réduction dans

Cours de Mathématiques. 223

chaque membre, s'il y a lieu; et si cette* réduction donne im premier membre négatif, on change les signes des deux membres , ce qui rend le premier positif. Cela fait , on écrit rinconnue seule dans le premier membre , et on donne pour dénominateur au second membre la totalité des quantités qui multiplioient Tinconnue dans le premier. On a ainsi la va^ leur jie Imconnue ( 624 ).

ExEiiPLE CLX. Résoudre l'équation .^a:-^|=i7 — |i^.

Faisant disparoître les dénominateurs , il vient /^ojc — 36 = &16 — 3i X ; transposant ( 623 ), il vient f\o ir + 3i x te=8i6 + 36; réduisant, 7ia:=852: d'oiia:=^^- = 12.

Exemple CLXI. Résoudre l'équation ^ a: — . 1 7 =» " x — 56.

Faisant disparoître les dénominat". il vient 8 x — 204=* 1 1^ — 67 2

Transposant, Sx — m:=» — 672 +2o4

Réduisant, - — 3ar= —4^8

ou + 3^= +468

d'où a: B=»i^ == i56.

ExEMt»LE CLXII. Résoudre l'équation ^x — i6«=ç»fjc — J.

Faisant disparoître les dénominat^». il vient 1 5 x — 288=160: — 6 Transposant , iS x — i6a:==— 6 + ^^88 Réduisant , — ;r = + 282

ou a: sssi -^ 282.

Exemple CLXIII. Résoudre lequation b — cx*=^x -^' a. Transposant-, il vient — cX'^x = a — b

ou cx+X'^^b'^a

dOU X =3î — ; — .

627. Puisque Ton sait résoudre les équations du premier degré k une seule inconnue , il est naturel , lorsqu'on a un nombre quelconque d'équations et , d'inconnues , de chercher à les ramener a une seule équation , a une seule inconnue ; pour cela ,^ il faut donc faire disparoître toutes les inconnues , excepté celle que l'on veut conserver. L'opération par laquelle ou chasse une ou plusieurs inconnues des opérations qui les renferment , s'appelle élimination.

Résolution de deux Equations du premier degré a deux

inconnues.

628. Il y a quatre manières de rcsoudre deux équations du premier degré a deux inconnues, i^. Par addition ou soustraction ; 20. par comparaison de valeurs ; 3^. par substitution de valeurs 5 4^» par introduction d'indéterminées.

St24 CoUlftS DB MATHlÊHATlQUB^'i

Par la Soustraction.

6^9 . Pour résoudre deux épiadouft dii prcitifer êè^ jpâ^ addition ou soustraction y il faut faire p^ei: toutes lies quantités inconnues daus te premier m^mbi^ , en knettant ciitre deux parenthèses tout ce qui multiplie une ihême. inconntie ; ensuite rendre les mêmes les coefficiens de Ftiné des inconnues daus les deux équations. Pour cela, si ces eoefficiiens n'ont point de facteurs communs , on multiplie chacune des «quations par le coefficient dans Vautre équation de cette inconnue : si ces coefficiens ont des facteurs communs, on Jbherche une quantité divisible exactement par chacun de ces coefficiens , on dirise cette quantité par chacun d'eux , et; on ioaultiplie chaque équation paç le quotient qu'a doûné le coefficient qui s'y trouve. Il est évident que les deux équations ne seront point troublées, et que cette inconnue aura le même coefficient dans les deux équatioûs. Donc , en les i^tranchant Tune de l'autre si ces coefficiens ont le même joigne , ou on les retranchant s'ils ont des signes contraires , on n aura plus

Su une seide équation a une inconnue. Cette inconnue $era onc facile a trouver. Substituant sa valeur dans l'une ou l'autre des deux équations proposées , on aura une équation qui ne renfermera plus qu'une inconnue.

Exemple CLXIV.

Résoudre les deux équations 3j: + 4j^'~"5«=6\r+3....(i)

et ']x — 9 = 5^^ — 6........ (2)

En transposant , on aura réduction faite — 3 x+Jij- «=8

et ']x — 5j=:3.

Pour avoir y , je multiplie la première par -j et la seconde ipar 3 , afin d'éliminer x , j'ai - — at i: 4- ^Sjr «=■ 56

et 21a: — i5j^«==»9

'Ajoutàm ces deux équations, il vient. 13^^ = 65 ^

d'où rii=s?î*=5.

Çèttè vàletir change la seconde équation en 7 j: — 25=3; 'a*ôù 7 X =* 2^ ; puis a: = *i =*4- Ams] x=^^ et jr ==^ 5.

Par comparaison de valeurs •

630. Prenez dans chaque équation la valeur d'ime même inconnue en opérant comme si tout le reste étoit connu ; égalez ces deux valeurs , vous aurez une seule équation a «ne inconnue.

63 1. Cette inconnue étant trouvée, substituez sa valeur

dans lune des équations proposées, et vous aurez une éqiia-

tîon

Cours DE Màthéikàtiques. aaS

tion qiii ne renfermera plus q^iè la seconde inconnue , dont il sera aisé de trouver. la valeur (6a6).

Prenons les deux équations ( i ) et ( 2 ).

Transposant , il vient — 3j: + 47"='8> et7j:— 5jy=»3.

La première donne x =a -2-^^ — , et la seconde x =» ■ ,

Egalant ces deux valeurs, on aura ^T' ■ «■ ^ , équation

a une seule inconnue. Qiassant les dénominateurs, il vient aSj^ — 56 = i5jr 4- 9 5 ^^^ i3j^ ^ 65 ^ puis j^ «*• 2î «=» 5

comme ci-dessus ; on achèvera de la même manière , et on aura encore x = 4?

IPar substitution de valeurs.

632 Prenez dans Tune des équations la valeur de l'inconnue que vous voulez éliminer, substituez -la dans l'autre , vous aujez une équation et une inconnue. Cette incoimue étant trouvée, vous achevez comme (63i).

Soient les deux équations (. i ) et ( 2 ).

EHes donnent — ' 3 j: -f- 4^ =* ^ ^ et -j ar — 5 j^ «a 3. De la

première on tire x =* -^-^ — j substituant dans la secondé ,

^ elle devient — ^-0 • 5y= 3 ; d'où ti9j — 56 — 15/= 9,

puis i3^=a65, eténachevant co^^neci-dessus/=5■5eta:=4• Pa^ V introduction d'une inde'terminée.

633. Multipliez Tune des équations par une indéterminée , retranchez l'autre du produit , égalez a zéro tout ce qui multiplie l'inconnue que vous voulez éliminer , tirez de cette nouvelle équation la valeur de l'indéterminée ; il ne vous restera i)lus que l'autre inconnue dans l'équation. Substituez-y lavaeur trouvée pour l'indéterminée , et tirez-en ensuite la valeur de l'inconnue. Pour avoir l'autre inconnue , on peut opérer comme ci-dessfis (63i ), ou recommencer en éliminant l'inconnue déjà trouvée. =*

Soient les équations (i) et (2).

EUes donnent en transposant — 3 a: + 4jK "=" 8

et «jx — 5j)^t=3.

Multipliant la première par m. et retranchant la seconde du produit, j'ai ( — 3/»-;- 7 ja: + (4wi + 5 )j^«=»8/»~ 3,...(3)

Pour avoir y j'élimine x en posant — 3 m — 7 = o ; d'où — ^m^^'q ou ow =*— 7, puis m = — 1. L'équation (3) ic

Arithmétique* P

aa6 Cours de Mathéhàtiques;^

réijluit a ( 4w + 5 )j=, gm— 3 ; ou (— f + 5 )jr ==— f-3,

en! y mettant pour m sa Taleur , ou, en multipliant par 3 pour chasser le dénominateur , a (— 28 + 1 5)^ =» — 56 — 9 , ou — i3j^«=» — 65, ou enfini3j^e:a65 etj^'*='5. On trouvera comme ci-dessus Jt:=4.

On peut aussi trouver x en éliminant y dans l'équation (3). Pour cela, on posera ^m-jr^-^^o, d'oùi» = — •i-L'éq.ua-

tion (3) se réduit alor$ a ( — 3wi — 7) x==»Sm — 3; mettant pour m sa valeur , a fl^ — 7)^*^""^"^ ^' Multipliant par 4 il vient(i5 — 28) j:= — 4^ — ^^^ ou— i3xs= — 52, puis i3x=a52*y cl'oiia:=4'

Résolutioi? de plusieurs Equations a PLtisiEURs iNcoif-

UrUES^ LORSQUE LE HOHBRE DES EqUATXONS EST ÉGAL A CELUI DES INCpirirUES.

634- On emploie les mêmes méthodes que lorsqu'il ny a que deux équations et deux inconnues.

Par Addition ou Soustraction. '

635. Eliminez une des ihconnues entré Tune des équations et toutes les aut^^es, comme il a été dit pour deux équations et deux inconnues , vous aurez une équation et une inconnue de moins. Opérez de même sur celles-ci, et vous aurez encore une équation et une. inconnue de moins. Continuez de même jusqu'à ce que vous n'ayez plus qu'ime équation et ime inconnue, dont il sera facile alors de trouver la valeur.

636. Substituez cette valeur dans l'une des équations qui ne renfermoit plus que deux inconnues, vous en déduirez use seconde inconnue; substituez la valeur ^^ ces deux inconnues dans l\ine des équations qui les renfermoit avec une troisième^ vous aurc^s la valeur de cette troisième; en continuant ainsi, vous aurez' la V4»leur de toutes les inconnues.

Exemple CLXV.

KcsQudre les trois équations -^x-^-y — 7 =■ z — i \

3z-^6j+i8«:c + |j p Faisant disparoitre les dénominateurs et transposant , on aura,

\GX+ 9J— I2-&«72. ..[5]

a8 ^ T- 63jr.-^ i8 z -=» ~ 4a . (6)

4^ + s7JK~ xa^*«7a, . .-{7)

COGKB I>B MaTHÉMATIQCKS. 'A%>^

Eliminant x cuire {-f) cl (5), puis entre (■j) et ffi), comme on a dit (629), il -vient 117J" — 'iGz = i\6 ou i3 y — 4s = 24 C8). et252j 6«:: = 546oii4u.r-ii3-=«i[9].

Elifiiinatit Je la m^me manicre/ entre [8] et [y] , îT vient a5== 175, d'où s = j.

637. MeUaiit celte valeur dans [8], il ■vient i3;' — 28 «■34î d'où r = 4- Enfin suhstitnant pour ^ et ^y, leurs valeurs d»n» (7), il vient ^x -\- idè — 84 =-72, d'où j?= 12. Les i-aleïlrs des inconnues sont donc z t='^ , y '=fiv\ x == lï.

Par comparaison de valeurs.

638, Prenez dans cha^e étjnacïoa la valeur d'uae même inconnue, eu opérant comme si tout le reste Ctoit connu, égalez l'une de ces valeurs ïi tontes les autres , vous aurez une équation et mie inconnue de moins. Opérez sur ccUes-éî de la même manière, et continuez jusq^n'ii ce qne vous n'ayez plus qu'une équation et une inconnue. 11 sera facile alors d'avoir la valeur de cette inconnue , et on en déduira facilement celle de toutes les autres en substituant les valeurs des incoonues trouvées dans celles des inconnues quelles détenniuent.

Par exemple, si on veut résoudre les trois équations [4] ; après les avoir mises soUs lafonnc [5], [6], [7], on tirera de

de [7] X = — -f — ^^. Egalant la troisiiane de ces vq-

., . 72 — avT + ia; 72 — g-v + i4s leurs aux deux autres, il vient ^— — ^^ = ' —

^ 7a— 377+ ta g ^ ^± :i 'îri - ';° chassant les dénottii-

4 , . °** nateurs, transposant et réduisant, ou retrouve Is» deux équations i3j-— 4~ = 24- [S], et 4a jf — HZ =91 [9], l'égiialion [6] donne z — '-^ et 1 equalîon [9] s = ,

ce qia donne -^- -= — - — ^, dou/ = 4' Siwstituant

dans e = '~ , il vient z =• n; enfin substituant poàc

72 — 474'-4-ii2 ., Y «i z, CCS valeurs dans x =^ , n vieM x

328 Cours di Mathématiques.

Par substitution de valeurs.

CSg. Prenez dans Tune des équations la valenr d'une même inconnue , en opérant comme si tout le reste étoit connu ; substituez cette valeur dans toutes les autres , vous aurez une équation et une inconnue de moins. Traitez celles-ci de la même manière, vous aurez encore une équation et une inconnue de moins; continuez jusqu'à ce que vous n'ayez plus qu'une équation et une inconnue, et achevez comme ci-dessus (636).

Soient encore les trois équations [4] , après les avoir mises

72 — ^^7 ^-f- • ^z sous la forme [5], [6], [7]. On tire de [7] j:«=»-^ — ,

substituant dans [5] et [6] ; il vient réduction faite i3/— 4^

a 24 [8] et 427 — 11-2 =91 [9] de [8]. On tire

z *a y M ^ g^jjgjj^^j^jjj jg^jjg j-g-j . i\ yjgjj|. j"^^^ d'où

on tirera conune ci-dessus, ^ = 7 , puis x =« 12.

Par introduction ^intermine'es»

64o. Multipliez toutes les équations, excepté une chacune par une indéterminée; ajoutez tous les produits ensemble, et retranchez de la somme Tequation non multipliée ; ^it jË*. l'équation résultante, égalez à zéro le coefEcient de toutes les inconnues , excepté celui de l'inconnue que vous voulez trouver la première , vous aurez une équation et une inconnue de moins. Traitez celles-ci de la même manière , vous aur^ encore une équation et une inconnue de moins , et ailisi de suite. Vous arriverez a une équation qui ne renfermera plus qu'une indéterminée , dont vous trouverez la valeur , et par suite celles de toutes les autres (636). Substituant dans l'équation £*, vous aurez la valeur de Tinconnue que vous vouliez trouver. Vous ferez de même pour toutes les autres ; ou vous substituerez pour l'inconnue trouvée sa valeur dans les équations données , vous aurez une équation et une inconnue de moins , vous les traiterez comme il vient d'être dif. Prenons pour exemple les éqiiations [4], après les avoir mises sous la forme [5], [6], [j]y multiplions l'équation [5] par m, lequa^n [6] par n, ajoutons-les ensemble , et retranchons de leur somme Fé^- 'tion[7], nous aurons (10 m -{-28 n-^^)X'^(Qm — 63i» — aj)

y — (i2wi+ iSn — i2)z«=«72/7i — 4^ ^ — 7^ [10}

Pour trouver x, j'égale a zéro les coefficiens dej^etde;?^ )'ai9m — 6'in —27 = ou m — 7/1=3^ et I277i+i8n— i2a-o OU 2 m + 3 /i •=> 2. Ces équations traitées comble on a vu (633;,

Couni DE M ATHÊMl TIQUES. 339

en regardant m et n , comme les inconnues donnent m =, i' et

Baa^l, substituant dans[io], il vient f'iï — ■■• /^\

X »=..l^i? + 'i! — IJ3, d'où X =. 12.

Pour trouver j, j'égale à zéro les coeffîciens àe x a àe z . )*ai, réduction fuite, Sm -+- i4« =■ a, et 2 m -f- It n>=. a, d'où (63il}Hi=i? et n = — 1, sulislituaiit dans [10], il vient

£n£n égalant à zéro les coefficiens de :c et de j' , on aura , après avoir transposé et réduit 5m + i4n=-a, et m — 7» — 3 , d'où (033) m = ^ , et n ■= — S, substituant dans [10], il ■vient — ('iï:~'iA—i2"\ z=^^ +^^— -,-i, d'où = = i.

641- Ou voit comment il faudroit s'y prendre , si le nombre des équations étoit plus considérable.

64s- Il pourroit arriver que toutes les inconnues n'entiassent pas à la fois dans toutes les équations : les méthodes précédentes s'appliqueroient également et n'en devieadroieut que plus simples.

Soient, par exemple, les cinq, équations ^ j; — i^/ = la^-L, ar — 3 3-=.T + iH,- ^j-\-u='i t — Xi 3ij;— ^« = 2(; 2 j + 3 j = 5 H + 7. En y appliquant l'un quelconque des quatre procédés exposés ci-dessus, on aura x t=8,j- = 7, z'^i , «=■<), ï= i4-

643. Si le calcul conduit 'a des valeurs négatives pour l'inconnue , c'est la marque d'une sorte d'impossibilité ; mais on lead ces solutions admissibles au. moyen d'une modi&cation dans l'énoncé de la question.

Cas oît le nomhi-e des Equations n'est pas le même que celui des Ineonnues.

644- ^^ ^^^ inconnues dïsparoissent par l'effet de la réduction , il reste alors des équations entre les quauùtés connues. Si ces équations sont véritaljles comme 4'='34-aj '3 = 10 — 3, elles s'appellent équations identiques, et elles marquent ffiifi quelques-unes des équations proposées résultent des autres, ea sorte que c'est seulement en apparence que l'on a autant d'équations que d'inconnues , maïs eu réalité on en a moins.