Lorsque Von a moins d'équations que d'inconnues, les
étfuatïons proposées sont indéterminées, et on peut y satisfaire
dime iidinité de manières différentes. Il existe des procédés
sWDïdeâ et coimnodes pour trouver les valeurs des incoonuei
^3o Cours de Mathéma^tiques.
afi^ujettiet^ k la condilion d être eQÛèrei et positives ; mais leur exposition nous meneroit trop loin.
646. Si les équations entre les quantités connues auxquelles conduit la disparition des inconnues sont fausses , si, par es^emple , on a8»™7, ou6^2-*5+4> c'est une preuve que les équations proposées sont contradicteires, en sorte qu'il est impossible dy satisfaire.
647. S) 1% nombre des équations est fin$ conudérable^ celui des incoimues y op prendra un nombre d'équati(m$ e^ a celui des jncQnnuçs ^ avec lequel on trouvera to^ites les inconnues (634)^ alors mettant ces vajiçurs d^sles çiutres équations, si elles deviennent identiques, le problème est résolu; si elles deviennent absurdes ^ il est imposisiUe.
ÉQUATIOx\S DU SECOA'D DEGRÉ A UNE INCOMUE.
649. 0)1 appelle équation du second degré à une incon^ nue j, «ne équation dans laquelle I9 plus haute puissance de rinoonniie', 'est le carré de cette inconnue.
649- Il y £L deux sortes d équations du second degré : ks éfuatioriS' pures et les e'quations complettes.
6^Qm Vn^^rfUiUion pure du seeQnâ degré' , est celle qui ne rfjiferiQtç .B^t, d'autre puissance de .Vincoanue quç \t carré. Aîusi I X x^ = $3 3, est une équatioft pure du sectod degré.
65 1. Une équation complette du second 4^fffé, çst celle q\Û^ QUtVQ t carré dq Viaçnniiifp ^ ^ jçgrfefflae ^ncçife la pre-
• Equations pures du s^ond degré»
652. Pour résoudre une équation pure du second degré, il est évident qu'il suiBt d^ chercher la valeur du carré de Finconnue , en le dégageant de tout multiplicateur ou diviseur , et faisant passçr dans le second membre tQUtcp le? quantités connues : si, réduction faîte des quantités q\ii le piultiplîent , le carré de rincomiue étoît négatif, on le rendroît positif en changeant tous ks signes de l'équation. Ayant Iç ci^rre de l'inconnue seivl daçis lé premier membre, et positif,, on extrait la racine carrée des deux membres en faisant précéder ceUe du second membre du signe '±,
Par eiçemple, si j'^ ^ x^ .^ 16 «» '* ^* , je tirerai de^là jc*^
«64. Ce qui me donnera x =±y/i64, ou :c «- =t8,.€B sorte qu'il y a deux valeurs de x, savoir : 4- 8 et —. 8. En effet, puisque j:* = 64 , x est dono le nombre dent le
CoïTRS DE M*TnéM*TiçirES, a3i
carré est G4 ; donc :c est ia racine carrt-c de &( , mais la racine carrée de G^est + 8, puisque + fe x + 8 donne 64) ^^^ ^st
\ aussi -«S, puisque — -S x-n & donne aussi (>4; donc ta valeur de jT est -f- 8 ou ^^ 8, ce ijue l'on exprime en écrivant
, 653. Si le second membre étoit tiég?a.\i , si on a\-nit, par exemple, j;'t=-^ 64, ^ rrptOseii leroît la racine carrée de
, —I 64* Ôr, il est cvîdcat qiie -h 64 bc peut avoir de racine carrée, car toute quantité positive oa négative, œultî-
I pUée par elle-même, douue un produit positif: on cceit alors
' ^r^-i y — 64, et comme cette extraction de racine est împOSsîLle, on dit que y -^64 est un symholp-imaginOire.
£quations camplettss du second degré.
• 654- Po*"' résourire une équation compfnte dû second degré,' H faut commencer par faire passer tous les termes affectés de l'incomitie dans le premier membre du carré. On dégage le Karre de l'inconnue de tout multiplicateur du diviseur, s'il èti a, eo multipliant par le dh-iscur el divisant par le multiplicateur. Ou le rend de plus poêitif, s'il est négatif, en chanîïeant tous les signes de l'équation. Si donc on désigne par ar Fincounue, par p ia quantité qui multiplie la première puissance de Fincounue, et par q le second memlire qui est tout connu, b forme générale de l'équation du second degré, préparée comme on vient de le dire, sera ^'±px = iîr^.
Cela posé, j:'±pj:=±f/ revient ax'±: 2 xJpo-" ^= — 9." SOUS cette forme, il est visible qiul ne manque au premier membre que le carre de ' p, pour être le carré de^rd; 'p. Ajoutant donc f - pV aiix deu3 mctubïcs, il vient a;' ± a . '
p . X + (-; pY == (-; p)' ± 9, ou {^±.\py -= (-; p)^ ±9.
Extrayant la racine carrée des deux, membres , il vient x=t ? p = ±: y/'iTpy±^,i'oÙ3^^z+: -; p ± y/"f:p)'rpï.
fi55. On voit donc que , cIhhs vrtf équalion- du second degré pF^arée , ViiiconoMe égala la moitié du coefficient du second terme, pris ai'cc un signe eontraire ± la racine du carré da cêfte moitié, joint au second membre de l'éffuation.
656. Par exemple , l'éipiLiûim ? x' — 3 x = ' x + ' o + ' > on aura, pour équation préparée, x^ — î» x = î^, ce qui donnera x = "iS ±: y^ f'fe ^, * 4- ±: (655) , ou x =- *S ± ï , d'où jf«± ^ et X = — a-, 1.
!iZ% CoiiRS DE Mathématiques.
Propriétés des Equations du premier et du second degrés,
657. Une équation du premier degré' à une seule inconnue ne peut auoir qu'une racine.
En effets toute équation du premier de^ a une inconnue peut se mettre sous la forme ax =» b. Cela posé, si « satisfait S cette équation , on aura donc a « =» z> ; si nne autre quantité «, différente de c, y satisfaisoit aussi, on auroit <To-=aA. Donc fl«=a6 ou «=o, ce qui est contre rbvpothcse : donc il est impossible que deux quantités différentes satisfassent a une équation du premier degré k une inconnue.
658. Une équation du deuxième degré à une inconnue a toujours deux racines et ne peut en at^oir dai'antage.
Faisant) passer tous les termes dans le premier membre y on pourra , après avoir dégagé le carré de rinconcoe , mettre cette équation sous la forme x^+px + q=^o\ Soit « une qivmtité qui y satisfasse^ on aura «^ ^p «-f-f =0, ou^sa— «^ — p«.AiKsix*+p -3^+7 revient a x^-l-px — x^— p« ou ax*' — «* +p{x — ot), ou a (x — « ) {x + x+p :;dcsiipaant par-* «la quantité «+^, x* +/?x-f-y revient a 'x— «) (X — c. ). Donc puisqu'en vertu de 1 équation on doit avoir X'+px + ^=»o,on aura (x — «) (x— = o. Mais pour quun produit soit zéro , il sufllt que l'un de ses £atctcuis soit léro : on peut donc ou £ure x -r- « == o, ce qui donne x = «, ou X — c a» o , ce qui donne x «=« c. Donc en cCet il v a deux racines « et c.
65g. Aiiîsî tout polynôme du secoqd degré x*+px+f est le produit des deux facteurs x — «et r — ?, » et «étant les quantités qui rendroient joui ce polynôme ea les substituant successivement à x.
660. 11 est aisé de voir que Féquation x*+nx + y = o ne peut pas avoir plus des deux racines « et «.
En effet , si v éloit une troisième racine , en mettant y dans x*-f-px + y, ettte quan-ité devîendroit donc réro : tîonc, fMiisque Jc' +/»x + y = (x— .) (r — fi), il fiudroit quVu mettant 7 dans le second membre il se lédnisit à aéno. Or , il devient alors ( 7 — «) (; — «) : si7est différent de « et- de ( , aucun <les denx fàrteni^ (7 — « ) et ( 7— f ) ne sera nul ; donc leur prckîiJt ne le sera pas aussi. Donc 3 fit impossible qn une qua:iutè différente de . et de ( rende nul x'^+px^q^ ou soit xacinë de féquatiOQ x^+fX
66». Si dans Tcquatioa identique (jr—«) (x — «)-»x*
Cours de MATaâMLT
'-\' px-^ij ou effectue la multiplication , on aura ^c" — (■■-(- s) ;j; + «s = x'-'i-vx+rf , ce qui montre que — p=+( "-H=)» ■^ K- ■ S. C'est-à-aire , que le coefficient du second terme pris \avec un signe contraire égale ta sonate des racines , et i/ue lie terme tant connu égale leur produit.
66a. Cette propriétc est ime suite imméijiate Je la relation eutre I et ?.
En effet, on a ( 658 ) S = — . — p, d'où -+«——;;. Multipliant S = — a — p par " i il ^ient a£=. — «'— ;>«; c'est-a-dire (658) *S=.ç.
663. 11 est aisé de voir que ce qui précède s'accorde [avec la règle donnée pour lu résolution des équations du second degré.
En effet , en appliquant cette règle a la résolution de x^ + px + t/ =>o , on trouve :r = — '-p~ \/r P' — 9rEn sorte queTune des valeurs dc:r est — l.p + y/'p^ — ^, letfantre — |p — */' p^' — fj- Si on prend la première pour <■ , ,oa aura £ = — « — P '^ '-p ^ \/ 'tP^ '~ 1 '~'V t **" enfin (=»■— î-p — «/'p' — Vt *^^ î"" ^st eiFectIvement la seconde des valeurs ci-dessus.
En ajouta ntlesdeux racines — \p + l/îp' — 1 et»— îp—. y/\P^~') on trouve ppur leur somme —p. Et en les multipliant on trouve pour leur produit , après réduction faîte r le dernier terme q.
Discussion des valeurs générales de Tînconmie dans une équation du second degré.
664- On appelle Discussion en algèbre l'cjamen de ton» ' les cas particuliers qui peuvent se présenter dans une ex- ' pression générale.
f 665. Soit x'--+-px-\-q -^n l'équation du second degré
dont il s'ag it ; si p =■ o , elle devient j:' -f- y ■= o ; d'où
Les valeur s gén érales deviennent alors aussi .r*™ ^v' — q
eïx-= — V— </■
On voit que , dans ce cas , x ne peut être réel qu'autant ' que if est négatif dans l'équation,
H eueslsi^plc, cette équation étant alors x'+V"o j.
i36 CouEft ixE Mathématiques.
Donc, lorsque W- ^^kd est positif , le trinôme Ax*+Bx+C e'ealé à zéro donne poun x des valeurs réelles et inégales, bi on substitue à la place de x deux quantités qui comprennent les deux racines > ou qui n'en comprennent aucune ^ les deux résultats seront de même signe ; et si ces deux quantités comprennent entrelles l'une seulement des racines , les deux résultats seront de signes contraires. 67a. Ainsi y lorsque Ton trouve deux quantités p et^ qui, mises a la place de x dans le trinôme .^ a:* +iÎJ? + C, donnent deux résultats de signes contraires , on est sûr i^» Çi^ ce trinôme égalé a zéro donneroit pour x des valeurs réelles ex inégales ; a^. que lune de ces valeurs est comprise entre p etq , mais que tautre n'y est pas comprise.
