Si on cherche u ^ on a immédiatement M«=tf +(At — i)r

si c'est a, on a a^ati^u — (»— ï)r

SI cest /i, <m a n -^ -+i

SI cest t, on a r«

753. Cette dernière valeur démontre la règle donnée (4^7), pour trouver la raison quand on connoît les termes extrêmes et le nombre de^ moyens. Car en appelant p le nombre des moyens , connue le nombre total n des termes, a de plus les

deux extrêmes, on a donc n^=^p'\'%, ce qui donne r «=a — -p-

comme (4îi7)-

754. Si on appelle u* un autre terme dont le rang soit n\ on a tt' = rt + (/i'— i)r, donc u* — u =» (»' — n) r, ce qui démontre (4^3).

755. Soient m, u\ il', vl" , quatre termes dont les rangs respectifs soient n, n\ n", n"\ on aura v! — m = (»'—») xr (754), et n"--u"-=^{n"'—v:'*) x r,- donc si n'— » = n — n , on aura u — m«=»m "71*^ dou u .u i u" , u .

- C'est le n» 4^» Réciproquement , si u.u': v!' . u"' , on aura v;—u = u"—f , d'où n!— n « n"'— n\

756. Il est évident qu'une progression arithmétique, dont le premier terme est a,\2i raison r et le dernier terme u, peut s'écrire ainsi, -}- a.a4-r.a + 2r.a4-3r..a + 4 '"••••m ^>

CouEt BB Matrématiquei. ^6i

et meià renversant m$ termea elle donneroit Ix progression décroissante suivante, -^m.k— r.ii— .ar.w — 3r.tt — /j. u,

aijoutant les termea correspondans , on aura par-tout a+ u, en sorte que, dans toute progression arithmétique , la somme de» termes à e'gale distance des extrêmes, égale la somme des extrêmes.

757. La sommie des termes des deux progiessioos réiuàies est donc égale a a ^u, répété autant de fois qu'il y a de termes, ou a (a +u) X n; donc, puistju'eHes sont égales, la somme

des termes de Tune d'elles égale -^ — ', c'est-a-dîre ,

que, pour avoir la somme des termes (Tême progression arithmétique , il faut ajouter le premier Oêfec te dirnier, multiplier la somme par la nombre des termes, et prendre la moitié du produit.

758. Si on a un nombre n de termes de la suite naturelle des nombres.depuis i inclusivement, c'est-a-dire, *- 1. a . î . 4 • 5.... ».

la somme de tous ces termes sera donc . Lt si cette

portion de la suite naturelle commence a n et finît a »', on aura pour la somme ^ -^ — ^ — - — .

759. Si on demande la somme d'un nombre n de termes de la suite des nombres impairs -'—1.3.5.7.9.11, etc. ta raison étant 2 ; il est évident que le 7i™e terme «=1+2 X (n — I ) = 2 /i — 1 , ajoutant donc le premier et le dernier, on aura i-f-2» — 1 ou n n: multipliant par le nombre n des thermes; il vient 2 /r*^ pénant la moitié du produit, on a /î' pour la somme demandée. Ainsi la somme d!une quantité (fuelconque de nombres impairs , à partir de i indusii^ement , égale le carré de cette quantité. La somme des huit premiers nombres impairs est donc 64, etc.