Soit -^ un nombre entier ou fractionnaire , on peut

toujours trouver pour n un nombre assez grand pour que V/— diffère de l'unité de moins quime fraction donnée quelconque p.

En effet , pour que Fou ait \J^ -^ i < ^ ^ il suffit

quelon ait v/^ ^ 1 -f. £ ou/ 1 + 0"> - : orj il est

touiours

I COBKS DE Ml.THÉM[iTIQUBS. aSj

I toujours possible de prendre n assez granJ pour que cette

[conditïoji soit remplie ' (733).

"ji"]- On voit par là que l'on pe«t toujours extraire une racine assez élevée , et par conséquent Insérer assez de Bioyens gcoméinques entre 1 et 10 pour que la raison approche de l'unité autant qu'on le vouJra- Ceci démontre ce que nous avons dit (449}-

extraction de la racine dfun degré efuelcongue San nombre,

738. Soit P le' nombre dont il s'agit, que nous supposons .Sabord entier , n le degré de la racine que Von veut extraire : si P n'a pas plus de n chiffres , sa racine en nombre entier n'en aura qu'un , car le plus petit nombre de plus ilo n chiffres est i suivi de n zéros ou 10" ; donc la racine n est 10 : donc tout nombre moindre que 10" aura moins de 10 a sa racine, et n'aura par conséquent qu'un seul chiffre en nombre entier. Mais si P est composé de plus de n chiffres, il en aura plus d'nn à sa racine, puisque n'étant pas moindre que 10", sa racine n en nombre entier ne peut être moindre que 10. Donc celte racine est en général composée de dixaincs et d'unités.

^Sg. Pour extraire la racine « d'un nombre entier P de plus de n chiffres , il faut se rappeler que , si on appelle a les disaines et h les unités d'un nombre, on aura pour la puissance « de ce nombre (a-f-i )" =(1" -{- nn""' * + n. 5;i<i"-'t' + «.l^ . ?-îrt''-'J'+ +&".

1^0. Pour avoir les dixaincs de la racine , il faut donc trouver a" et en extraire la racine n ; mais a" est terminé par ' n aéros , ainsi les n premiers chiffres a droite n'en font point partie ; c'est pourquoi on les sépare par tme virgule : eu

^ Comme mon ïatenllon, da ineol celle propoillïon qni cbl f présintéfl comme on le fuit 01 Toulu Taire usage da ces nombi

Slïueal U coaililiria demandéi e n I et par conséquent celle il Ici de;{rc d^appioiiinstion qi «ervït pour avoir Ica valeura d(

..'■de,

des logarittim .0 l'on

a théorie de a logniilliin ihniFlique , je d'dî poi !S ïflleuta de n nui rci reihUDce de \» tbIi :9 nombres intermédinïi

les plus eimples [losaibleB. Et l'on 'm:, rem ai».-menl , 1°, ijuc dans le n" 755 , il su/Hl <jue l'on ait n ^^ j^j-^î l*. que dans le n» 754 , jl aufBt qne l'on ail n ^ ET^T^w a ' *°' 1"^ dans le n» yjf.on ail n ^ J^^^irÎTT^p:^; 4"- ^ofin l»" banale n° 756,

a58 Cours de MATflÉMATi(^uEs.

contlnuaot d'une manière analogue a Textraclion de laradyœ cubique , on verra qu'il faut partager le nombre en trancks de n chiffras ^ chacune <3n alkut de droite à gaucbe. La dernière peut en contexûr moins.

On cherche ensuite la plus grande puissance du dq[ré n contenue dans la tranche k phis a gauche , on en extrait la racine que l'on écrit a la droite du noBibre. Soit a* cette racine , on l'élèye k la puissance /i , et on retranche cette puissance n de la tranche la plus a gauche. On écrit le reste au-dessous y et a €oté on abaisse la tranche suivante. Si oa appelle V les unités de la racine 4^ des deux tranches k gauche ^ elles renferment les » + ï parties «'*+» a'" "'i'+w .Zila^^'^b*^.

Comme on vient de soustraire «'", le reste et la tranche abaissée renferment donc encore les h parties na^^'^b'+n. 2ZJ a'"""&'* , etc. + Fexcès des deux tranches sur une puissance»

parfaite; soiti? cette quantité. En divisant»^'*'' J'par»fl'*''> on auroit b' (SSg). Donc puisque R ^ wa'""' b' , en divisant R

•f^na^'^, oa aura au moins è'. Pour vérifier è' ^ on élcveca a^ + b' k la puissance n^ et on retranchera le produit de» deux premières tranches; on écrira le reste au-dessous, etk côté on abaissera la tranche suivante. On opérera avec les deux premiers chii&es pour trouver le troisième , comme ou a fait avec le premier pour avoir le second ; et on continuera de même jusquk ce quil ny ait plus de tranches k abaisser^ en se conduisant , selon les diSerens cas , d'une manière semblable a celle que l'on a employée poiu: les cas analogues de la racine cubique.

741 • Si a étant la racine trouvée elle étoit trop foible de' î'unité , on pourroit donc de N retrancher ( a + i )" , ou fl* + /ia«-'-f.Ai , îL-i^^-'-f- I. Or , par l'opération on aretranché a" ; donc pour que la racine soit trop foible d'une unité , il est nécessaire et il suffit que du reste on puisse soustraire /î^i"-'-f-/i . lii^^-'-f- -}-i.

74^. On démont cera comme pour la racine cubique que, J>our avoir la racine n a un degré d'exactitude marqué par iqp^ il faut ajouter p , tranches de n zéros, et partager p chiffres décimaux a la racine ; et que , pour avoir cette' racine au degré t , \\ faut multiplier N par ^" , ce qui donnera Nt% en extraire la racine n a moins d'une unité près, et lui donner t poiu- dénominateur.

74'i- L'élévation a la puissance n d'une fraction numérique

Cours db Mathématiques. , àSo

a" . .va

7 dofwaera évideimncnt —, et sa racine n seroit . Cela

se démontre comme. ( a-ji )• "^

"744 • Lorsque le dénomînaleui' n'-est pas une puissance parfaite du degré /j, on commence, pour extraire la racine n de la fraction, par lui donner cette condition en multipliant

le^ deux termes par h^'^% ainjsi ^j ««y -;^=;a^^.

La wîson en est la même .<jue .( 254).

745. Si le dénominateur est up^e puissiançe parfaite h '•, o» peut le rendre jJus simplement une puissajoice parfaite du degré n. On muhiplie les deux teîsaes par J""'*, ce ^ dono^

.^Y^ ^ d^nt la ractfie 7» est . , . .y ■■ . Mais ^i r eat plus grani que n y on le dîyijse par n ^ et si r* est le reste, on jnul-

ûpiie ies d^ux termes par i"''^: en ^dRît,-?^ est dors de ia ^^^^ ïè^ > mùkipUant par ft-'^, i! vient ^ ou ^jjlj. ;

î » • . Vu*

«dont ïa racine » est

Exemple dLXXIII.

7 4^. Extraire la racine cubique de A. On a 82 =» aï :

ainsi I = | «=» i pour quotient et 2 pour reste. On multipliera

donc par 2^"* ou 2 , et Ion aura ^ , do»t le dénominateur

est un cube .parlait.

■547 • Kn général, si entre les facteurs du dénominateur ii se trouve des puissances parfaites , on peut le rendre une puissance parfaite du degré n plus simplement que par la méthode générale , en multipliant les deux termes paille produit de tous les nombres qui rendroient séparément chaque facteur une puissance du degré n.

ExEMPi-E CLXXIV. Extraire la racine cubique de ^, , .

^ do 16

Le dénominateur reviept à a^ 3^ . i3. Pour rendre 2^ un ciibe

nGo CouaS DE MATHéXATIQtJES.

pariait, on le multîplieroit par 2* ( 7 4^ ) : 3^ est un cube; pour l'enrlre i3 uq cube parfait y il faut le multiplier par ii^\ donc il faut multiplier les deux termes par 2* x i3*^ oupar

Règle (£AlUage.

748. La seconde espèce de règles d'alliages a pour but, counoissant la valeur dun ou plusieurs mélanges et le prii ou la valeur de chacune des choses qui les composent , de trouver le nombre des choses de chaque espèce qui y entrent

S'il n'entre dans le mélange que deux espèces de choses, voici la règle qu'il faut suivre :

749* Calculez la valeur qu'auroit le mélange s^il étoit com' pose en entier de l'espèce de moindre valeur y retranchez le résultat de la valeur actuelle du mélange, et divisez le reste par la différence des valeurs des deux espèces dé choses ; vous aurez le nombre des choses de l'espèce de la plus grande valeur. Calculez ensuite la valeur quauroit le mélange sH 4toit composé en entier de l'espèce de plus grande valeur, retranchez du résultat la valeur actuelle du mélange, et divisez le reste par la différence des valeurs des deux espèces de choses ; le quotient sera le nombre des choses de la plus petite valeur.

En effet , soit a la valeur du mélange , b le nombre de ses unités , c la valeur des choses de la plus grande espèce, d celle des choses de la plus petite. Si on nomme x le nombre des choses de la plus grande espèce et j celui des choses de la plus petite, on aura a:+j^ = i et ex'{'dj ==^a : nml* tipliant la première équation par d et retranchant de la seconde , il vient (c — d) x == a — bd ^ d'où x =. ^'^, Au

contraire, multipliant la première par c et retranchant la seconde du produit, il vient {c — d)j'='bc — a y doii/« ~^. Ces valeurs de x et de y démontrent la règle donnée ,

en faisant attention que b d seroit la valeur du mélange, si étoit c#niposé en entier des choses de la moindre espèce , et bc sa valeur s'il étoit composé des choses de la plus graiule. Cette règle se démontrcroit aisément par le seul raisonnement. ■jSo. Si un seul mélange étoit composé de plus de deux espèces de choses , on pourroit en général trouver plusicui^ manières de répondre a la question.

Cours SE MATHÉM*TfQirrvg. • a/i(

EXEMPLE CLXXV. Un marchand veut mî-Icr Hii vin ai^* pinte et du vin â 8*, pour faire du vîn qm yaille 12* ^lintc, Condjien doit-il mêler de chaque sorln '! Le mélange est ici d'une pinte; s'il êtoit de la pin» peliie . îpèce, il vaiidroit 8*; retrancAaut de sa valeur réelle 13*, il reste 4qi^'ilf^ut diviser par 7 , tlUTérence des deux valeurs, bn a 1 pour ce qui doit eatrer de vin de la plus graaile espèce , et par conséijiienl ipour ce qui doit entrer de vin de la plus petite.

k Si on veut éviter les fractions , on mêlera 4 bouteilles à i5' aivec 5 bouteilles a 8*, les 7 bouteilles du mélange Vaudront fia* la bouteille , ce qui est aisé à vérifier. On auroît pn rcnnudre ce problème directement.

I Exemple CLXXVl. Combien faut-il prendre de vin de i5* lia pinte, d'un autre de 10* et duo troisième de 8*, pour ■voir du vin de 12* la pinte. Comme il entre plus de deux Mlioses dans le mélange , ou n'aura point recours à la règle mrécèdeutc , et l'on cbcrebera directement la solution. Soit la: , y , z la quantité de pintes à 1 5^ , 1 o* et 8* , on aura i.îc-|^+3='i et i5x-f-ioy4-8s^i3. Comme nous avons deux ^uations seulement et trois inconnues , ces équations sont Mn déterminées et donneront en général plusieurs valeurs ypOUT X, y et z. En effet, la première donne s=i — ^~~y -, istîtuant dans la seconde, il vient 7a: + 2j-=.4> '■"ù ^•K>a — '^ et s = ^-i? — I. Il faut donc que l'on ail I^ ^-n Bux^t, etî5^ iou.r>.j-: ainsi, quelque valeur mie l'on donne a x entre ' et i , on aura pour z ci y des .valeurs positives qui , conjointement avec x , satisferont a la 'Question.

Par exemple , si x = ^ , on aura jr = ^ , et ^ '= ^ , r =■ i5 , on aura ^ = ^ , et ;: =■ -i , SI X =3 J^ , on aura j- =. i-, et s =» ^ , etc.

on veut n'avoir point de fractions, on peut multiplier i4 tous les nombres de la première solution , par 35 ; de la seconde, et par 70 ceux de la troisième, etc. aura alors :

„ Ainsi , en mêlant 6 boii-

\* y— 1 ^l ^— i teilles de vin de i5* , 7 de

i6,j=i4"=-5 ,o*etide8% onaunmf-

ôH, 7—31 et a=ij,etc. ^^^^ ^^ ^^ bonieiUes , qui R3

Oa. .

26» *Gouiis DE Mathémàtiqites.

vaut la^ la pinte ; ea mêlant i6 bouteilles de i5^ , i4 <!« lo* et 5 de &*, on a un mélange de 35 bouteilles , qui vaut aussi 12^ la bouteille; en mêlant 34 bouteHles a i5^, ai à lo* et i5 a 8"^, on a un mélange de 70 bouteiHes, qui vaut également 1 2* la bouteille , etc. ; c'est ce qu'il est facue de vérifier. On voit comment on s'y prendroit dans tout autre cas.

Progressions Arithmétiques.

^Si. Les progressions arithmétiques s'appellent aussi très-. communcment y progressions par différenees.

Soient a, bj c, à, u les termes consécutif» d'une

progression arithmétique croissante^ r la raison, n le nombre des termes que Ton considère ou le rang de z^^ on aura (4^4 z^==a+(»— il) xr.

Cette équation exprime ime relation entre le premier terme , un terfne quelconque , le rang de ce terme et la raison de la progression, au moyen de laquelle , trois de ces quatre cpiantités étant données, on peut trouver le quatrième.