ET DES

MÉTHODES A EMPLOYER POUR RENDBE LES OBSERVATIONS INDÉPENDANTES DES ERREURS INSTRUMENTALES.

i . — On emploie en astronomie deux systèmes d'instruments : les uns destinés à la mesure des angles , les autres à celle du temps. Ce sont les premiers qui nous occuperont d*abord.

Les instruments destinés à la mesure des angles se composent de combinaisons diverses de cercles gradués, sur lesquels tournent des lunettes assujetties à des règles qu'elles entraînent dans leur mouvement et que Ton nomme alidades. Souvent dans divers instruments, les théodolites, par exemple, au lieu d'une simple règle alidade, il existe un second cercle concentrique au premier et sur lequel la lunette est fixée. Ce second cercle reçoit alors le nom de cercle alidade, et il porte sur sa circonférence des traits qui servent de repère pour faire juger de la rotation de la lunette par rapport au cercle gradué. D'autres fois l'alidade (règle ou cercle, ou même simple ligne de visée définie par des microscopes) reste fixe, et c'est le cercle gradué que la lunette entraîne dans son mouvement. Il est évident, d'ailleurs, qu'il est indifférent pour la mesure des angles de faire mouvoir l'alidade par rapport au cercle ou le cercle par rapport à l'alidade.

Les instruments qui ne sont pas simplement destinés à la mesure des angles compris entre deux lignes de visée, mais qui sont employés à mesurer des angles horizontaux ou verticaux, portent en outre des niveaux à bulle d'air.

Nous avons doncàconsidérer séparément dans les instruments : l^les niveaux; 2"* les lunettes ; 3* les cercles gradués avec leur combinaison d'alidade ou de cercle alidade. Nous allons procéder à une étude générale sur ces diverses parties constituantes des instruments. Mais auparavant, nous décrirons succinctement les combinaisons de cercles, de lunettes et de niveaux employées pour la mesure des angles, c'est-à-dire les instruments proprement dits.

Des divers genres (Tinstruments propres à la mesure des angles.

2. — Oo peut diviser eo quatre classes les instruments d'astronomie :

La première classe se compose des instruments destinés à faire des observations dans un seul plan fixe, lequel est ordinairement le méridien, quelquefois le premier vertical. Elle comprend deux instruments distincts , la lunette méridienne et le cercle mural. Ces deux instruments sont parfois réunis en un seul portant alors le nom de cercle méridien.

La deuxième classe comprend les instruments destinés à mesurer à la fois des distances angulaires au zénith et des angles au*tour de la verticale, c*est-à-dire des angles d'azimut. Ce sont donc des instruments pour observer dans tous les plans verticaux et pour mesurer les angles de deux plans verticaux contenant deux astres, ou un astre et une mire. Ces instruments portent le noni de théodolites, quand ils sont de petite dimension et portatifs. On les nomme att-azimuts, quand ils sont grands et établis solidement en un lieu fixe.

La troisième classe se compose d'un instrument destiné à me^ surer directement les distances des astres à Téquateur et Tangle des plans passant par Taxe du monde et par deux astres. Cet instrument porte le nom d^équatorial ou machine parallacti^ que. C'est en réalité un grand tliéodolite dont Taxe principal

TUÈORfE DES INSTRUMEJNTS. 3

est parallèle à Taxe du monde, au lieu d'être vertical comme pour le théodolite proprement dit.

Enfin, la quatrième classe comprend les instruments destinés à mesurer des angles dans un plan quelconque. Elle se compose du cercle répétiteur et des instruments de réflexion, sextant, octant , cercle de réflexion,

n y aurait encore à joindre à cette nomenclature un instrument spécial d'un usage très-restreint, la lunette zénithale, destinée à faire des observations dans le voisinage immédiat du zénith, et les instruments tels que rMtomé/r^^ destinés à mesurer seulement de très-petits angles dans une direction quelconque. Nous en parlerons plus tard brièvement.

Les deux premières classes renferment les instruments employés à terre par les géographes, et qui sont le cercle méridien portatif et le théodolite. La quatrième classe contient ceux qui sont em-ployés en mer par les géographes et par les navigateurs ; ce sont les instruments de réflexion , dont les géographes se servent aussi quelquefois à terre. Mais leur précision est inférieure à celle des cercles méridiens et des théodolites, qui doivent toujours leur être préférés dans les observations à terre. Le cercle répétiteur est aujourdliui presque abandonné ; On lui préfère le théodolite, qui ofEre de plus grands avantages. Les instruments de la troisième classe, les équatoriaux ne sont employés que par les astronomes. Leur ressemblance générale avec un grand théodolite dont Taxe serait incliné de façon à se trouver dans le méridien et dans Taxe du monde, fait qiie leur théorie peut être expliquée rapidement comme un corollaire de celle du théodolite lui-même.

Pour le moment, nous nous bornerons donc à donner une description succincte des instruments des deux premières classes* Nous renvoyons à plus tard celle des instruments de réflexion et les quelques considérations que nous aurons à présenter sur Téquatorial. Il y a avantage à ajourner la description des instru^ ments les moins précis après celle des instruments les plus exacts que possède l'astronomie.

3. — Instruments de la première classe , lunette méridiennes cercle murcU, cercle méridien, — La lunette méridienne (fig. l)j appelée aussi instrument des passages, se compose d'une lunette AA assujettie perpendiculairement sur un axe horizon talBB qui se termine par deux tourillons d'un dia^lètre plus petite tour-

a THË(HI1E DES INSTRUMENTS.

Qant dans deux coiissinets solideraeat établis sur des piliers en ma çonaerieCC. Cet axe est placé perpendiculairement au méridien , de telle sorte que la lunette soit toujours dans le méridien et que par sa rotation autour de son axe, elle puisse parcourir eûtièremeot ce plau. Un niveau sert k établir et à vérifier l'horizontalité de

l'axe (1}. L'instrument est d'ailleurs construit avec solidité, et oo cherche à lui donner la plus grande stabilité possible en veillant

(1) Oalre m grand nivua doat DODt parleniu plai loin, Gimbey pliçtil mr les laaellei miiidltoau ud irtlAnifl de deoi petits oivenai i bulle d'air t»préacDlés en aa tar la Qgare et toaroaDt antonr d'ua aie b b porté par la monlDre de li laaetle. Cet axe était asaei élevé au-denui d'elle pour que dau toutM lei poiitiODi de celle-ci les nlvesuz paaieat ttre amcDés I'dd ao-deiaui de l'autre. Cet appareil était destioé k s'assurer ai l'inclioaison conservait la inèiM valeur dans lea poettions de la iDMtte où on ne pouvait pu plaeerle grand ni-

TUtORIE DES INSTRUMENTS. 5

à ce que les piliers en maçonnerie soient bien établis et avec des fondations profondes , et à ce que le plancher sur lequel Tobser- Tateur se place pour observer soit indépendant de ces piliers, afin que les mouvements de ce plancher n'impriment aucune vibration à rinstrument. En outre, un système de contre-poids DD porté par des leviers à Tautre extrémité desquels est une tringle terminée inférieurement par un collier à galets dans lequel roule Taxe BB, sert à équilibrer la majeure partie du poids de la lunette, afin que celle-ci ne pèse pas entièrement sur les tourillons qui assurent sa position, ce qui en usant ces derniers, nuirait à la perfection de rinstrument.

Près de la lunette méridienne on place une boiïne horloge astronomique dont Tobservateur entend le battement, et il compte les secondes pendant qu'il a Tœil à la lunette. Cette horloge marque le temps sidéral.

L'usage de la lunette méridienne est de noter les instants de rhorloge auxquels les astres passent par le méridien en vertu du mouvement apparent du ciel.

Si rhorloge est bien réglée au temps sidéral, une même étoile passera tous les jours au méridien au même instant de Thorloge. Si donc on observe une différence dans les instants des passages d'une même étoile en deux jours consécutifs, on en déduit la quantité dont l'horloge avance ou retarde en 24 heures sidérales. La marche de l'horloge étant ainsi connue, rintervalle du temps des passages de deux astres au méridien fait connaître, après l'avoir corrigé de l'avance ou du retard de Thorloge pendant sa durée^ la différence d'ascension droite des deux astres observés, différence qui se trouve ainsi exprimée en temps. En réduisant le temps en arc, on a alors cette différence exprimée en arc. On voit donc que la lunette méridienne mesure les angles d'ascension droite par le moyen de l'horloge, sans intervention d'aucun cercle gradué.

Le cercle mural est destiné à la mesure des déclinaisons. Son nom de cercle mural vient de ce qu'il se compose d'un cercle gradué (fig. 2) portant une lunette, et appliqué le long d'un mur ou pilier dont la face est dans le méridien. L'axe du cercle est engagé

veanet dans cellet où on employait ce dernier. Seulement Gambey mettait des nifeinx trop peu sensibles. En général, on a renoncé à cette disposition qui aorait eu cependant des avantages en employant des niveaux un peu pins grands.

e THÉORIE DES l>STRUME!iTS.

borizoDlaleinent dans le mur , de façon que le cercle touroe dans son plan, qui est aussi celui du méridien. Dans ce mur se trouvent scellées des pièces métalliques portant des index tenant lieu d'alidade fixe. Us sont destinés à manifester la quantité de ta rotation du cercle, dont la mesure est donnée par les divisions du cercle gradué qui passent devant eux. Les index sont composés, comme nous le verroDS plus loin , de microscopes fixes F pointant sur les divisions du cercle.

Cet instrument est destiné à viser sur les astres à leur p au méridien. Après chaque pointé, on lit sur le limbe les divisions répondant aux index. La différence des lectures obtenues pour deux astres mesure directement leur différence de déclinaitton. En observant une même circompolaire à son passage supérieur et inférieur, la moyenne des deux lectures donne la lecture de l'instrument qu'on obtiendrait si on pouvait viser sur le pôle lui-mfime (nous supposons ici les lectures corrigées des erreur» dont elles ont été a^eclées par la réfraction qui augmente

la hauteur apparente de l'étoile au-dessus de rhorizon) • La différence de la lecture du cercle ainsi obtenue comme répondant au pôle et des lectures répondant aux divers astres, donne les distances polaires de ces derniers, et par conséquent fait connaître leur déclinaison.

Si pendant plusieurs jours» avant et après l'équinoxe, on détermine, à Taide de la lunette méridienne, les différences d'ascension droite du soleil à son passage méridien et d'une même étoile, et si on mesure, les mêmes jours, au passage méridien la déclinaison du soleil à l'aide du cercle mural, on peut par interpolation entre les déclinaisons aux instants du passage méridien chercher à quel moment le centre du soleil s'est trouvé dans l'équateur. Alors par interpolation entre les différences d'ascension droite aux mêmes instants méridiens avec l'étoile considérée, on obtient la différence d'ascension droite répondant à l'instant où le centre du soleil était vu dans l'équateur, différence qui n'est autre que Tascension droite de l'étoile considérée, après toutefois les petites corrections d'aberration et de nutation connues par la théorie. Gomme on peut déterminer avec la lunette méridienne les différences d'ascension droite des autres étoiles avec l'étoile en question, on en déduit les ascensions droites de toutes les étoiles; de même on a celles des planètes et de la lune au moment des observations.

Ce que nous venons de dire fait concevoir comment la réunion des observations à la lunette méridienne et au cercle mural donne les positions de tous les astres en ascension droite et en déclinaison.

Nous avons déjà indiqué comment on peut connaître la lecture du cercle mural qui répond au pointé que l'on ferait sur le pôle; nous verrons plus tard comment on peut obtenir celle qui répondrait au zénith. La différence fait connaître la distance du pôle au zénith ou le complément de la latitude de la station.

Quand les ascensions droites de diverses étoiles sont connues par des observations antérieures, la détermination avec la lunette méridienne de l'heure de l'horloge à laquelle l'une de ces étoiles passe au méridien fait connaître l'avance ou le retard de l'horloge en cet instant sur le temps sidéral, puisque celle-ci devrait marquer exactement pour heure l'ascension droite de l'étoile exprimée en temps. Cette observation fait donc connaître l'état de Thor-

loge, et si on transforme le temps sidéral en temps moyen, on a rheure moyenne du lieu.

Si, en un lieu donné, on observe les instants des pa<(sages de la lune et d'une étoile au méridien, on déduit du passage de rétoile la correction de l'horloge, et on a Theure du lieu à laquelle la lune a passé au méridien, et par conséquent l'ascension droite de la lune. Cherchant dans les éphémérides quelle heure moyenne il est au 1*' méridien quand la lune possède cette ascension droite, la différence de l'heure moyenne du lieu et de celle du 1*^ méridien fait connaître la longitude de la station.

On voit donc par ce qui précède que les instruments méridiens sont à la fois des instruments d'astronomie, puisqu'ils mesurent les ascensions droites et les déclinaisons, et des instruments de géographie, puisqu'ils déterminent les latitudes et les longitudes.

Plus tard, nous verrons comment on place ces instruments exactement dans le méridien.

Un inconvénient du système des instruments méridiens est d'être formé de deux instruments distincts, dont l'emploi a souvent besoin d'être simultané : de là la nécessité de deux observateurs. Eu fixant un cercle sur l'axe de la lunette méridienne de sorte que ce cercle tourne avec elle, et en mettant sur le pilier de la lunette méridienne les index qu'on mettait sur celui du cercle mural, on a réuni les deux instruments en un seul qu'on appelle cercle méridietx. L'observateur pointe alors en hauteur l'instrument sur l'astre au méridien, en même temps qu'il note les instants des passages marqués par l'horloge. Il lit ensuite la graduation du cercle. De cette façon, le système entier des observations est fait par un seul observateur. Cette amélioration importante n'a été que récemment réalisée d'une manière satisfaisante dans les observatoires.

Nous avons vu comment les instruments méridiens peuvent servir aux géographes, mais pour cela il faut qu'ils soient petits et portatifs. On a construit dans ce but des cercles méridiens portatifs qu'on pose sur un pilier quelconque en maçonnerie quand on peut en établir, ou quand on trouve un pan de mur bas qui puisse servir; ou bien sur un pied en bois et portatif, quand on ne trouve pas dans la localité les ressources nécessaires pour mieux placer son instrument.

Dans quelques observatoires, on a établi dans le premier ver-

tical UD instrument construit comme la lunette méridienne. Cet instrument porte alors le nom d'instrument des passages dans le premier vertical. La combinaison des passages dans le premier yertical avec ceux qu*on observe avec la lunette méridienne au méridien, donne des équations d'où on tire à la fois l'ascension droite et la déclinaison des astres observés, sans intervention de la réfraction qui n'agit pas sur les azimuts. Ces observationSi qui répondent en réalité à des observations d'azimut faites dans des plans distants de 90*^, ne sont qu'un cas particulier des combinaisons d^observations azimutales faites dans deux plans quelconques. Comme nous traiterons cette dernière question générale qui comprend le cas particulier dont nous venons de parler , nous n'aurons pas à revenir sur ce dernier, et par conséquent nous n'entretiendrons pas davantage nos lecteurs de l'instrument des passages dans le premier vertical. Sa construction et les moyens optiques à employer pour déterminer ses erreurs sont d'ailleurs en tout identiques à ceux de la lunette méridienne. Ce que cet instrument renferme de particulier pour la détermination de ses erreurs par la combinaison des observations elles-mêmes, se déduit de la théorie du cas général des observations d*azirnut.

4. — Instruments de la deuxième classe, théodolite et alt-azimut. — Le théodolite (fig. 3) se compose d'un axe vertical avec lequel tourne toute la partie supérieure de l'instrument ; cet axe est engagé dans une monture fixe portée par trois pieds munis de vis à caler, à l'aide desquels on amène l'axe à la verticalité. Cette monture supporte un cercle gradué, horizontal, solidaire avec elle dans les théodolites non répétiteurs, et l'axe vertical porte un cercle alidade tournant avec lui et intérieur au cercle gradué. Ce cercle gradué et l'alidade ont d'ailleurs leur surface dans le même plan, de sorte que les repères ou index portés par le cercle alidade sont en contact avec la graduation du limbe. Le cercle alidade permet donc de mesurer la rotation de l'axe vertical. A la partie supérieure de cet axe se trouve une barre métallique horizontale placée en T et fixée solidement sur lui, de manière à tourner avec l'axe en question. Cette barre supporte un axe horizontal portant à l'une de ses extrémités un cercle alidade vertical solidaire avec lui. Ce cercle alidade tourne dans un cercle gradué vertical comme lui, et assujetti fixement, quand l'instrument n'est pas répétiteur, à la barre portant l'axe horizontal. Ce deuxième système de cercle

10 THÉORIE DES INSTRIMESTS.

alidade et de cercle gradué est destiné à la mesure des hauteurs, et les surfaces de ces deux cercles sont dans un même plan, les repères du cercle alidade étant en contact avec la graduation du cercle gradué , comme nous avons dit que cela a lieu dans le svstème des cercles horizontaux destinés aux mesures d'azimut.

Knfin le cercle alidade vertical porte la lunette d'observation , qui est assujettie sur lui parallèlement à »on limbe. Cette lunette est donc plnct'e excentriqiiement par rapport à l'axe vertical de rinstrumont, puisque le cercle alidade vertical qui la porte est à l'un e des extn'mités de l'axe horizontal, et déborde la barre hori-

THÉORIE DES INSTRUMENTA il

zoDtale assujettie à rextrémité supérieure de Taxe vertical. A l'autre extrémité de cette barre horizontale est un contre-poids équilibrant le poids de la lunette et des cercles verticaux, pour que le centre de gravité du système tournant se trouve dans Taxe vertical lui-même, afin d'égaliser les frottements de cet axe dans tout son pourtour.

Pour compléter l'instrument, à la monture inférieure portant Taxe vertical et les vis à caler de l'instrument est adaptée une deuxième lunette qu'on peut pointer sur une mire fixe et éloignée, pour s'assurer que pendant les observations Tobservateur ne fait pas, en le touchant, dévier l'instrument en azimut, c'est-à-dire pour reconnaître que le zéro du cercle gradué horizontal porté par cette monture reste bien dans le même azimut. L'instrument est muni en outre de niveaux sur lesquels nous reviendrons plus tard.

La disposition que nous venons d'indiquer pour le théodolite est celle des théodolites de Gambey. Leur lunette, comme nous l'avons déjà fait remarquer, est excentrique.

D'autres constructeurs ont fait des théodolites dans lesquels la lunette d'observation est au centre des mouvements de l'instrument. La partie inférieure de ces théodolites est la même que dans les théodolites de Gambey : seulement, l'axe vertical, au lieu de se prolonger, comme dans ces derniers, au-dessus du cercle alidade horizontal pour recevoir la barre en T, portant le système supérieur pour la mesure des hauteurs, s'arrête au cercle alidade horizontal, et ce dernier porte vers les deux extrémités d'un de ses diamètres deux colonnes verticales, recevant à leur partie supérieure les coussinets de l'axe horizontal au milieu duquel se trouve la lunette d'observation. Celle-ci est ainsi placée au-dessus de l'axe vertical lui-même et au centre des mouvements de l'instrument. Dans ces derniers théodolites, la lunette est alors disposée au milieu de son axe horizontal, comme les lunettes des instruments des passages. Un cercle gradué vertical porté par l'axe de la lunette et tournant avec lui, sert à la mesure des hauteurs. Ce cercle gradué est vers l'une des extrémités de l'axe, près d'une des colonnes et souvent en dehors de celle-ci, à laquelle esfc assujetti un système de repères tenant lieu d'alidade fixe pour ce cercle gradué, et permettant de mesurer la rotation de l'axe horizontal. Chaque colonne .porte un semblable système d'index , afin qu'on puisse

12 THtoRIE DES LNSIIIUMENTS.

retourner à volonté la lunette , de sorte que le cercle soit à droite ou à gauche. Nous verrons plus tard le but de ce retournement.

Ainsi, il existe deux modèles généraux de théodolites, les uns à lunette d'observation excentrique, les autres à lunette centrée. Ces derniers ne permettent pas de pointer les astres voisins du zénitli, à moins de donner aux colonnes une très-grande hauteur et d'employer des oculaires à prisme , dont nous parlerons plus tard, en ayant soin en outre de joindre une alidade à l'une des extrémités de l'axe pour viser et amener facilement l'astre dans le champ. Les colonnes trop hautes ont toutefois l'inconvénient d'éloigner trop le système supérieur du cercle alidade azimutal, et elles exposent à une torsion de l'instrument par laquelle l'axe horizontal de la lunette ne tournerait pas de la même quantité que ce cercle alidade. On peut, il est vrai , dans ce cas, éviter la hauteur des colonnes par l'emploi de lunettes coudées suivant l'axe horizontal ; mais ce genre de lunettes a aussi des inconvénients, comme nous le verrons plus tard en pariant des lunettes. Toutefois comme on ne fait pas ordinairement d'observations azimutales dans le voisinage du zénith , les théodolites centrés conviennent particulièrement dans les cas où on ne veut se servir de l'instrument que pour des mesures d'azimut. Leur système supérieur, qui rappelle l'instrument des passages, permet de les employer comme instrument des passages dans tous les verticaux.

5. — Nous avons dit que le cerele gradué horizontal du théodolite était fixement assujetti sur la monture portant les vis à caler et l'axe vertical de l'instrument. Cela a lieu dans beaucoup de théodolites, mais dans ceux qu'on appelle répétiteurs^ le cercle gradué horizontal est assujetti sur un axe vertical creux dans lequel tourne l'axe vertical proprement dit de l'instrument ou axe du cerele alidade horizontal. Par cette disposition, le cerele gradué horizontal peut tourner sur lui-même, de sorte que la monture ou pied de l'instrument restant fixe, son zéro peut répondre à tous les azimuts possibles. Une vis de pression sert d'ailleurs à fixer ce cerele gradué dans une position quelconque par rapport au pied, et une autre vis de pression sert à fixer le cerele alidade par rapport au cerele gradué (à ces vis de pression sont jointes des vis de rappel pour faciliter les très-petits mouvements des cereles). Le but de cette disposition est de rendre l'instrument répétiteur en azimut.

THÉORIE DES INSTRUMENTS. i3

c'estrà-dire de permettre de faire mouvoir plusieurs fois successives et au moyen de la répétition des observations le cercle alidade de l'angle qu*on veut mesurer, de telle sorte que l'angle final de son déplacement par rapportau cercle graduésoitégalàautantdefoisrangle cherché qu'on a répété de fois l'observation. En faisant donc la lecture de cet angle final et en la divisant par le nombre des répétitions, on obtient l'angle cherché, avec une exactitude plus grande que ne le comporte la graduation de l'instrument. Cette exactitude vient du diviseur, qui a divisé l'erreur commise sur la lecture de l'angle en même temps que l'angle final lui-même. Comme l'erreur possible qu'on commet en lisant, ainsi que celle qu'auraient pu introduire les défauts de la graduation est la même sur un arc simple ou un arc multiple, on voit que l'erreur possible de lecture ou de graduation qu'on aurait pu commettre dans une seule observation est, par le moyen de la répétition, divisée par le nombre des observations.

Pour faire voir que la disposition que nous venons d'indiquer permet réellement de sommer plusieurs fois le même arc sur le limbe, supposons qu'on veuille mesurer la différence d'azimut de deux points : alors on arrête d'abord le cercle gradué par rapport au pied de l'instrument à l'aide de la vis de pression qui lui correspond, puis laissant libre le cercle alidade par rapport au cercle gradué, on amène son index en contact avec le zéro du limbe, après quoi on assujettit les deux limbes l'un par rapport à l'autre à l'aide de la vis de pression du cercle alidade sur le cercle gradué. Cela iieut, on rend libre le cercle gradué, et les deux cercles peuvent tourner en restant unis. Alors avec la lunette d'observation qui entraîne les deux cercles, on pointe le premier objet et on arrête avec la vis agissant sur le cercle gradué le limbe de ce dernier, puis ou Iftche le cercle alidade, et on pointe le deuxième objet avec la lunette d'observation qui n'entratne plus que ce dernier cercle ; le cercle alidade tourne alors avec cette dernière lunette de l'angle compris entre les deux objets. Son index se déplace donc par rapport au zéro du cercle gradué d'une quantité égale à ce dernier ^gle. Quand la lunette est bien pointée sur le deuxième objet, on arrête le cercle alidade sur le cercle gradué, puis on rend de nouveau ce dernier libre en lâchant la vis de pression qui l'assujettissait par rapport au pied fixe de l'instrument. Le système des deux cercles tourne ainsi de nouveau avec la lunette, mais la lecture du

14 THÉORIE DES INSTRUMENl^.

limbe du cercle gradué ne varie pas dans celte rotation. On ramène alors la lunette d'observation sur le premier objet, en arrêtant le cercle gradué dans la position qu'il a alors acquise ; puis on lâche de nouveau le cercle alidade, et on ramène la lunette sur le deuxième objet. Dans cette nouvelle rotation, le repère de l'alidade qui, à l'origine de ce nouveau mouvement, faisait déjà avec le zéro du cercle gradué un angle égal à celui des deux objets, va alors faire l'angle double à la fin de ce même mouvement. On arrête de nouveau l'alidade dans cette position par rapport au cercle gradué ; puis, lâchant celui-ci, on revient au pointé sur le dremier objet, et on arrête le système des deux cercles dans cette nouvelle position par la vis du cercle gradué, après quoi lâchant de nouveau la vis de pression du cercle alidade, on pointe le deuxième objet. Le repère du cercle alidade qui, comme nous l'avons vu, faisait déjà avec le zéro du limbe l'angle double de celui des deux objets, va faire l'angle triple, et en continuant de la même manière, on voit qu'on peut répéter l'angle autant de fois qu'on le veut.

Cet admirable principe de la répétition a été imaginé par Mayer. Pour pouvoir l'appliquer aux angles de hauteur de la même manière que nous venons devoir qu'on l'applique aux angles azimutaux, il suffît dans les théodolites, au lieu de fixer le cercle gradué vertical par rapport à la barre en T de la partie supérieure de l'axe vertical, d'assujettir ce cercle gradué vertical sur un axe horizontal creux porté par cette barre en T. Dans cet axe horizontal creux tourne alors Taxe horizontal du cercle alidade vertical portant la lunette. Une pièce métallique fixée à la barre en T porte alors une vis de pression munie d'un rappel et qui arrête le cercle gradué dans une position quelconque, de sorte que son zéro peut alors être placé à toutes les hauteurs possibles. Le cercle alidade est muni d'une vis de pression avec rappel serrant alors sur la circonférence du cercle gradué de manière à pouvoir rendre les deux limbes solidaires. Cette disposition, en tout semblable à celle que nous avons décrite pour les limbes azimutaux, réalise les con^ ditions nécessaires pour que la répétition puisse se faire pour les angles de hauteur comme pour les angles d'azimut. tJn peu de réflexion montre d'ailleurs que les deux répétitions peuvent même se faire simultanément, c'est-à-dire qu'en pointant alternativement à deux objets, on peut répéter à la fois leur difTérence d'azimut sur le cercle azimutal, et leur différence de hauteur sur le cercle de

hauteur : il suffit pour cela de serrer à la fois les vis des deux cercles gradués de hauteur et d'azimut par rapport aux montures dans le pointé sur le premier objet, et les vis des cercles alidades dans le pointé sur le deuxième objet

Nous venons de parler de la répétition en hauteur pour les théodolites excentriques. Elle peut par des dispositions correspondantes exister dans les théodolites centrés. Toutefois le plus sou- Yent on ne rend ces derniers répétiteurs qu*en azimut, parce que c*est spécialement aux observations d'azimut qu'ils sont destinés.

La disposition des théodolites est très-variée dans les détails, chaque constructeur ayant adopté un modèle différent. Toutefois, elle rentre toujours dans son ensemble, dans les deux dispositions que nous avons décrites. Il y a des théodolites répétiteurs en hauteur seulement, d'autres en azimut seulement. La plupart des théodolites excentriques sont répétiteurs dans les deux sens à la fois. D'autres ne le sont dans aucun.

La construction des théodolites que nous venons d'indiquer montre que dans ces instruments il existe deux positions, dans lesquelles la lunette peut viser au même point. Supposons, en effet, que la lunette soit pointée sur un objet : en faisant tourner de ISO"" le système supérieur à l'aide de l'axe vertical qui le porte, la lunette et le cercle vertical se trouvent ramenés dans un plan parallèle au premier; seulement , si l'axe est bien vertical^ la lunette pointe à la même distance du zénith que d'abord, mais du cdté opposé. En rendant alors libre l'alidade pour ramener la lunette sur l'objet en question, celle-ci et l'alidade tournent d'un angle égal au double de la distance de l'objet au zénith ; et par conséquent l'instrument donne directement la mesure des doubles distances au zénith par deux pointés dans les deux positions inverses de l'instrument. Nous appellerons à l'avenir l'une de ces deux positiomposition directe^ ce sera celle qui a lieu quand la lunette est à la droite par rapport à l'observateur ; nous donnerons à l'autre position le nom éà position inverse. Il est évident d'ailleurs que si le théodolite est répétiteur, les doubles distances au zénith se répètent comme les angles entre deux objets différents , en ayant soin de rendre toujours le Umbe libre pour passer de la position inverse à la position directe, et l'alidade libre dans le passage de la position directe à la position inverse « Le théodolite mesure donc direc-

tement les distances au zénith aussi bien que les ditTérences d'azimut.

Comme nous l'avons déjà dit, Tait-azimut n'est autre qu'un théodolite de grande dimension établi solidement sur un pilier en maçonnerie. On peut lui donner toutes les formes des théodolites. Généralement les ait-azimuts sont à lunette centrée et ne sont pas répétiteurs, quoiqu'il y eût avantage à leur donner ce dernier perfectionnement. Leurs cercles gradués tournent avec les axes, et des microscopes forment des repères fixes pointant sur ces cercles et tenant lieu d'alidades fixes. Ceux du cercle azimutal sont fixés dans le pilier comme ceux des cercles muraux. Les autres sont portés par une monture fixée aux colonnes qui supportent l'axe horizontal.

Nous allons maintenant examiner comment on rend horizontaux ou verticaux les axes des instruments que nous venons de décrire.

Des niveaux à bulle dair et du nivellement dans les instruments

méridiens et alt^azimutaux.

6. — Les niveaux employés pour régler les axes des instruments astronomiques sont les niveaux à bulle d'air. Ils se composent d'un tube en verre presque complètement rempli d'un liquide et fermé par les deux bouts. Il reste donc avec le liquide dans le tube une bulle d'air ou de vapeur du liquide employé. Le tube étant trèslégèrement courbé en arc de cercle dans le sens de la longueur, cette bulle vient se placer vers le milieu de ce tube quand celui-ci est sensiblement horizontal, puisque ce milieu est son point le plus élevé. Il est évident d'ailleurs que la moindre variation d'inclinaison fait porter la bulle d'un côté ou de Tautre vers le bout qui s'élève. Le tube en verre dont nous venons de parler est renfermé dans une garniture métallique destinée à le protéger (fig. i), et

Fif. ft.

qui ne laisse à découvert que la partie supérieure, sur laquelle sont tracées des lignes servant de repères pour juger de la position de la

bulle. Cette garniture repose, comme on le voit dans la figure, sur une planche métallique parfaitement dressée, quand le niveau est destiné à niveler une surface horizontale.

Supposons maintenant qu'il s'agisse de niveler un axe horizontal, tel que celui de la lunette méridienne. Dans ce cas, le niveau est assujetti sur une tringle horizontale (fig. 5) portantàses extrémités deux tiges verticales qui s'élèvent au-dessus d'elle et se recourbent vers leur extrémité supérieure de façon à contourner l'axe horizontal de la lunette en revenant après la courbe dans la verticale

Fig. 5. Fig. 6.

du bas delà tige. Là, chaque tige se bifurque et sa fourche, nomméepattedu niveau^ vient par deux points tangentiels reposer sur Taxe de l'instrument (fig. 6). La longueur de la tringle horizontale est d'ailleurs combinée de telle sorte que les deux pattes reposent versles deux extrémités de l'axe horizontal. Comme onlevoitdonc d'après ce qui précède, dans la lunette méridienne le niveau pend au-dessous de l'axe. On a soin, quand on veut niveler, de placer la lunette horizontalement, afin qu'elle ne gêne pas pour le placement du niveau sur l'axe.

Examinons maintenant comment on peut niveler l'axe de la lunette méridienne avec cet appareil. Pour cela, appliquons le niveau sur cet axe, en faisant reposer les pattes sur ce dernier. Nous allons voir alors la bulle, après quelques oscillations, s'arrêter en un certain point du tube. Quand nous reconnaîtrons qu'elle ne varie plus, notons, au moyen des repères, la position qu'elle occupe dans ce tube, c'est-à-dire les divisions et fractions de division auxquelles répondent ses extrémités.

Cela posé, dans la position occupée maintenant par le niveau,

18 THÉOUIE DES DiSTRUMENTS.

la ligne passant par les points de contact de Taxe et des pattes fait avec l'horizon un angle inconnu qui est nul peut^tre , si cette ligne est horizontale. Mais quoique cet angle nous soit réellement inconnu, il jouit de la propriété de rester constant tant que la bulle occupera la même position dans le tube, car tout changement de la position de cette bulle indiquerait que Tune des pattes s'élève ou s'abaisse par rapport à l'autre. D'après cette considération, on voit que si l'axe est horizontal, en changeant, bout pour bout, le système formé par le niveau et son porte-niveau, de telle sorte que la patte qui reposait sur l'extrémité droite de l'axe vienne reposer sur celle de gauche, et inversement, la buUe doit de nouveau s'arrêter dans la même position. Nous avons donc là un moyen bien simple de reconnaître si la ligne passant par les contacts de Taxe et du porte-niveau est réellement horizontale.

Mais si l'axe est incliné, en retournant le niveau bout pour bout, la patte, qui dans la première position reposait sur le bout le plus haut, va reposer sur le bout le plus bas : conséquemment elle va baisser par rapport à l'autre précisément du double de l'excès de hauteur du bout de l'axe le plus haut sur le bout le plus bas. La bulle va donc, dans la nouvelle position, se porter du côté le plus élevé de Taxe et exactement du double de la quantité dont elle aurait dévié si au lieu de renverser le niveau on l'avait laissé dans la première position, et si on avait abaissé le point le plus haut de l'axe pour le ramener à la hauteur de l'autre ou à Thorizontalité. On obtiendra donc l'horizontalité en notant de nouveau la position de la bulle après le retournement du niveau bout du bout, puis en descendant le bout de l'axe vers lequel la bulle s'est portée, ou en élevant l'autre, jusqu'à ce que la bulle prenne la position moyenne entre celle qu'elle occupait dans le premier et le deuxième cas.

Remarquons toutefois que la déviation de la bulle dans son tube n'est rigoureusement proportionnelle à la variation de l'an* gle des pattes, qu'autant que la courbure du tube du niveau est rigoureusement circulaire. Par suite du soin apporté par les artistes dans le choix des tubes avec lesquels ils forment les ni* veaux , cette condition est toujours très-approximativemcnt remplie. Toutefois, elle n'est pas rigoureuse. 11 en résulte donc que la position qu'on doit donner à la bulle pour rhorizontalité parfaite de Taxe u*est pas rigoureusement la moyenne des deux posi-

tioDs qu'elle occupait dans la situation première et la situation ioYerse, mais elle est seulement très-voisine de cette moyenne. Après donc avoir ramené Taxe, en agissant sur la hauteur d'une de ses extrémités, à une situation telle que la bulle occupe sensiblement cette situation moyenne, ou fait la lecture de la position où les extrémités de cette bulle se sont arrêtées» et on retourne de nouveau le niveau. Si la bulle varie encore dans ce nouveau retournement, on examine le sens et la grandeur de la variation, qui est beaucoup plus petite, dans tous les cas, que la première fois, et on agit de nouveau sur Taxe , de façon à avoir la bulle dans la position moyenne entre ses deux nouvelles situations, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à avoir la même lecture dans la position inverse et directe du niveau; chose à laquelle on parvient très-vite, parce que le défaut de circularité dans l'étendue des variations est de moins en moins grand, à mesure que l'amplitude de ces dernières diminue.

7. — Quand l'axe de la lunette est rendu horizontal par le procédé que nous venons d'indiquer, on peut modifier l'inclinaison du niveau sur le porte-niveau, de telle sorte que la bulle occupe exactement le milieu de la longueur du tube. Cette opération s'appelle le réglage du niveau. Afin delà rendre possible, l'artiste pose le niveau sur la tringle du porte-niveau , de telle sorte qu'il, puisse tourner un peu autour de l'une de ses extrémités, et une Tis placée à l'autre extrémité permet d'élever plus ou moins cette extrémité par rapport àla tringle. On voit donc qu'après avoir rendu Taxe de la lunette horizontal , en posant le niveau sur cet axe, on peut, à l'aide de la vis en question, changer la position de la bulle du niveau, qu'on amène alors au milieu du tube. Lorsqu'un niveau est ainsi réglé, le nivellement se fait ensuite avec rapidité, toutes les fois qu'on a besoin de le rétablir. Il suffit alors de placer le niveau sur l'instrument, et on n'a plus qu'à modifier la hauteur d'un des bouts de l'axe de ce dernier, jusqu'à ce que la bulle occupe le milieu du niveau. Il est toutefois toujours prudent de renverser ensuite le niveau pour reconnaître s'il ne s'est pas dé* réglé. D sufBt en effet qu'en un instant donné, une des tringles soit plus chaude que l'autre, ou que l'instrument ait reçu un petit choc, pour que la position de la bulle répondant au nivellement exact tie soit plus le milieu du tube. Mais si elle en a dévié, cette déviation après le réglage est petite, de sorte que le nivelle-

ment se fait toujours avec plus de rapidité pour un niveau qui a été réglé que pour un niveau dans une position quelconque .

Quand un niveau n'a pas été réglé du tout, l'opération du nivellement est toujours assez longue et exige quelques tâtonnements préalables. En effet, pour que le niveau soit sensible, il faut que la bulle passe d'un bout à l'autre du tube pour une très-petite variation d'inclinaison, et quand la bulle est arrivée à se loger tout-à-fait à l'un des bouts du tube, on ne peut plus juger de la quantité dont il faut modifier l'inclinaison de l'axe pour l'amener à l'horizontalité. Yoici comment on doit opérer avec un niveau qui n'est pas réglé. A l'aide de la vis on rend d'abord approximativement le niveau parallèle à sa tringle qui par construction est sensiblement parallèle aux pattes , puis on le pose sur l'instrument. On agit alors sur l'axe de ce dernier de façon à amener la bulle au milieu de son tube ; puis on renverse le niveau. En général, à moins que par hasard on ne soit tombé sur une position très-voisine de l'horizontalité, la bulle va se loger à un des bouts du tube et ce bout indique le côté de l'axe qui est le plus haut. On abaisse alors un peu ce bout de l'axe ou on élève l'autre d'une petite quantité, mais pas assez pour que la bulle quitte le bout du tube, puis on ramène la bulle au milieu à l'aide de la vis qui fait varier l'angle du niveau et du porte-niveau. On cherche à faire marcher, autant qu'on peut en juger, l'axe et le niveau de la même quantité.

Par cette première opération, on a un peu rapproché l'axe de l'horizontalité. On retourne alors de nouveau le niveau. Si la bulle se rejette encore au bout du tube on descend encore un peu le bout de l'axe indiqué comme le plus haut, et qui est généralement le même que la première fois. Si la bulle s'est jetée à l'autre bout, c'est qu'on a dépassé l'horizontalité, et on agit sur la vis en sens contraire, en la faisant moins tourner que la première fois. Puis on ramène de nouveau la bulle au milieu à l'aide de la visdu niveau sur son support. Par une série de t&tonnements successifs, on finit par arriver à faire que la bulle dans la position directe et inverse soit entièrement dégagée des extrémités du tube de manière à pouvoir effectuer la lecture des repères auxquels répondent ses deux extrémités. Quand on est parvenu à cela, le niveau est presque réglé et Taxe presque horizontal. Alors on peut effectuer le nivellement comme nous l'avons indiqué, après quoi on règle le ni-

THÉORIE DES INSTRUMENTS. 2i

yesLU tout-à-fait, afin de n'avoir pas à Favenir à répéter ces t&tonnements.

8. — Il y a encore pour le niveau une autre espèce de réglage très-importante. C'est celle du parallélisme du niveau avec sa tringle, ou mieux avec la ligne de contact des pattes du porteniveau et de Taie, dans le sens perpendiculaire au plan du porteniveau. L'importance de ce parallélisme provient de ce que le frottement des pattes et de Taxe permet aux tringles du porte-niveau de prendre plusieurs positions différentes par rapport à la verticale. La pesanteur n'est pas en effet suffisante pour amener le niveau dans la verticale exacte de Taxe, elle ne peut que le rendre voisin de cette verticale ; mais à cause de ce qu'on appelle en mécanique f angle de frottement, il y a une certaine étendue dans laquelle le porte-niveau peut s'arrêter d'une manière quelconque suivant la manière dont il est posé. On n'est donc pas sûr que chaque fois qu'on le place, et par conséquent dans les deux positions directes et inverses nécessaires à un nivellement, les tringles occupent la même position par rapport à la verticale. Or si le niveau n'est pas rigoureusement parallèle à la ligne joignant les points de contact de ses deux pattes avec l'axe, il est évident qu'en le tirant en avant ou le poussant en arrière, de façon à le faire tourner autour de l'axe qu'il doit niveler, l'une de ses extrémités montera plus que l'autre. Si au contraire il est parallèle, ses deux extrémités monteront ou baisseront de la même quantité. On voit donc que le défaut de parallélisme se manifeste en ce que la lecture du niveau varie en le poussant un peu en arrière ou en le tirant en avant. On doit donc à l'aide d'une vis disposée par l'artiste dans le sens perpendiculaire au plan du porte-niveau, agir sur l'une des extrémités, jusqu'à ce qu'on reconnaisse que la position de la bulle ne varie pas pour un changement d'inclinaison du plan du porte-niveau. Si le bout sur lequel agit la vis est celui vers lequel tend à se porter la bulle quand on pousse le niveau en arrière, il est évident alors qu'il faut agir sur la vis pour ramener ce bout en avant. Ce dernier réglage se fait quand l'instrument est déjà presque nivelé et il est nécessaire pour pouvoir achever le nivellement rigoureux.

9. — Nous venons de voir que par suite de la forme de sa monture ou porte-niveau, le niveau de la lunette méridienne se trouve suspendu sous l'axe. Dans d'autres instruments, dans le cercle mural, par exemple, et dans le théodplite, on emploie pour niveler

Taxe horizontal des niveaux qui se trouvent placés au-dessus de cet axe. Dans ce cas ils sont poséssur une tringle horizontale de la même manière que pour la lunette méridienne, et avec le même système de vis pour le réglage. Aux deux bouts de la tringle sont aussi assujetties deux tiges verticales, seulement elles descendent directement au-dessous de cette tringle et se terminent par les pattes du niveau, qui viennent reposer sur Taxe. Il faut seulement, pour empêcher le système de chavirer, que les montures portant les coussinets de Taxe supportent en outre deux petites tringles parallèles et verticales qui empêchent le niveau de tomber soit à droite, soit à gauche, sans d*ailleurs exercer aucune influence sur la quantité dont il peut descendre ou monter pour reposer sur Taxe, et par conséquent sans agir sur le nivellement.

Ce que nous avons dit sur la manière de faire le nivellement et de régler le niveau quand ce dernier est au-dessous de Taxe, est identiquement le même quand il est au-dessus. La forme du porteniveau est sans influence à cet égard. Ce n'est que pour fixer les idées que nous avions pris pour exemple le niveau de la lunette méridienne.

Plus les niveaux sont sensibles, plus les t&tounements pour les régler sont longs, car plus la bulle tend à rester fréquemment à l'extrémité du tube, puisque la différence d'inclinaison pour laquelle elle passe d'un bouta l'autreest d'autant plus petite à égalité de longueur du niveau, que celui-ci est plus sensible. Or, comme on a avantage à avoir sur les instruments des niveaux très-sensibles, les constructeurs devraient avoir le soin d'accoler toujours deux niveaux, l'un très-sensible, Tautre très-peu sensible. Avec ce dernier on effectuerait le nivellement provisoire , et ce n'est que quand l'axe serait déjà presque horizontal qu'on aurait à régler le niveau sensible et à achever le nivellement avec lui. On gagnerait par là beaucoup de temps pour le nivellement des instruments portatifs, et beaucoup plus de précision ; du temps, parce que les niveaux qu'on met à ces instruments sont déjà trop sensibles en général pour un nivellement rapide; de la précision, parce qu'ils ne le sont pas assez pour un nivellement parfait et pour la mesure des inclinaisons avec le niveau, mesure dont nous parlerons plus loin.

10. — Examinons maintenan t commen t, avec un niveau, on peut amener un axe à la parfaite verticalité. Pour cela nous allons nous occuper du nivellement du théodolite. Cet instrument porte deux

THÊORie DES INSTRUMENTS. 23

niveaux. Tua qui est assujetti fixement sur une tringle métallique perpendiculaire à la barre en T du sommet de Taxe vertical pour les théodolites excentriques, ou sur une tringle fixée à une des colonnes dans une situation correspondante pour les théodolites centrés. Ce niveau est donc en même temps perpendiculaire à Taxe horizontal de Tinstrument et parallèle au limbe du cercle vertical. L'autre niveau est mobile et se pose à volonté sur Taxe horizontal de Tinstrument. Ce dernier est généralement moins sensible que Tautre, et c*est à tort; il est susceptible de retournemeat sur Taxe horizontal, et son but est de niveler cet axe après que Taxe vertical ou axe principal de Tinstrument est nivelé. On peut à volonté se servir de Tun ou de l'autre de ces niveaux et même des deux ensemble pour le nivellement de Taxe vertical. Ce nivellement doit d'ailleurs être toujours achevé avec le plus sensible des deux nivedux. On diminue au contraire le nombre des tâtonnements en commençant avec le moins sensible ; quel que soit au reste celui des niveaux qu'on emploie, la méthode est toujours la même.

Pour l'exposer, nous supposerons qu'on emploie un seul niveau, celui qui est parallèle au limbe du cercle vertical et qui est fixement assujetti sur l'instrument et n'est pas retournable. Nous supposerons d'abord que ce niveau est à peu près réglé, c*est-à-dire que pour la position verticale de l'axe, la bulle serait dégagée des extrémités et voisine du milieu de son tube, et nous rappellerons d'abord que l'instrument est muni de trois vis à caler, formant un triangle équilatéral, à l'aide desquelles l'axe doit être amené à la verticalité. Après avoir posé l'instrument sur son pied, on tourne d'abord ces trois vis de sorte qu'à vue le pied semble vertical, puis on procède au nivellement. Pour cela, on fait d'abord tourner l'instrument autour de son axe vertical, de telle sorte que le niveau soit parallèle à deux des vis du pied, puis on tourne l'une de ces vis de manière à amener la bulle au milieu du tube du niveau, et on lit les divisions où s'arrêtent ses extrémités. Ensuite, on fait tourner l'instrument de ISO"" autour de son axe vertical ; par là le niveau devient alors de nouveau parallèle aux deux mêmes vis, mais du côté opposé. On observe le déplacement de la bulle, et le sens vers lequel elle s'est portée indique la vis qui est trop haute. On note d'ailleurs les divisions sur lesquelles s'arrête le niveau, et on tourne la vis qui est trop haute

jusqu'à ce que la bulle s'arrête à la position moyenne entre celles qu'elle occupait dans les positions directes et inverses de l'instrument. Le retournement de 180<* autour de l'axe vertical équivaut ici au renvei*sement du niveau que nous faisions sur la lunette méridienne. Quand la bulle a pris la position moyenne en question , l'axe du théodolite est vertical dans le sens des deux premières vis. Alors on procède au réglage de la troisième. Pour cela par la rotation de l'axe on amène le niveau à se trouver perpendiculaire aux deux premières vis qu'on vient de régler, et on tourne la troisième vis jusqu'à ce que la bulle occupe la position que l'opération sur les deux premières vis a indiquée comme correspondant à l'horizontalité. Le théodolite serait alors complètement nivelé si ce n'est que dans la première opération sur les deux premières vis, alors que la troisième vis n'était pas réglée^ on n'a pas en général rendu le niveau rigoureusement parallèle à ces deux premières vis. On ne l'y a mis qu'à vue et à peu près, et de plus le retournement n'a pas été rigoureusement de ISO"", il en a été seulement très-voisin. Or il se passe par là quelque chose d'analogue au défaut du réglage du niveau de la lunette méridienne dans le sens perpendiculaire au plan du porte-niveau (n^* 8). Par l'effet du défaut du parallélisme rigoureux avec les deux premières vis , l'abaissement ou l'élévation trop grande de la troisième exerce une petite influence sur la lecture en ce qu'ils tiennent un bout du niveau plus haut que l'autre. Il résulte de là que l'opération ne doit être regardée que comme une première approximation du nivellement. On recommence donc l'opération entière, et cette fois l'influence de la troisième vis sur le nivellement des deux premières est beaucoup moindre, parce qu'on est déjà beaucoup plus près du vrai nivellement. On trouve donc en ramenant le niveau parallèle aux deux premières vis, puis en le retournant , la moyenne lecture répondant au vrai nivellement avec plus d'exactitude que la première fois. On touche une des vis seulement pour y amener la bulle, puis on ramène le niveau perpendiculaire avec deux premières vis et on règle la troisième à la même lecture, qu'on vérifie par un retournement de 180'' et qu'on corrige encore un peu, s'il y a lieu. (Il y a avantage à amener le niveau parallèle à la ligne passant par la vis qu'on n'a pas touchée et qu'on ne touchera plus et par la troisième, au lieu de l'amener perpendiculairement aux deux premières, parce qu'on donne alors

directement à la troisième vis la vraie position qu'elle doit occuper, tandis que dans le cas où on revient au parallélisme avec les deux premières vis, en corrigeant par la vis qu'on touche on modifie de nouveau le nivellement répondant à la troisième. ) Enfin, en revenant au parallélisme avec les deux premières vis, on achève la correction. L'axe ayant été rendu ainsi vertical dans deux sens. Test dans tous les sens possibles. Quand on est arrivé à cette poâtion, à laquelle on ne s'arrête qu'après l'avoir vérifiée par le retournement de 180** du niveau, on peut alors régler ce dernier de manière que sa bulle soit au centre de son tube ; ce qui facilitera la rapidité du nivellement pour l'avenir, et permettra de rétablir plus facilement le nivellement si , par un accident quelconque, il vient à se détruire.

Mais dans ce qui précède, nous avons supposé le niveau déjà approximativement réglé. Quand cela n'a pas lieu, il y a à faire une série de tâtonnements pour l'amener à cette condition. Ces tâtonnements sont analogues à ceux que nous avons indiqués pour le niveau de la lunette méridienne, et plus longs encore à cause de l'influence de la troisième vis, qu'il faut en même temps amener progressivement à l'horizontalité. Ainsi quand le niveau n'est pas réglé du tout, après avoir mis la bulle au milieu dans le premier parallélisme avec les deux premières vis, en agissant sur une de ces dernières, il arrive en renversant de 180"* pour obtenir le parallélisme dans l'autre sens, que la bulle s'en va tout-à-fait à un des bouts du niveau; on baisse alors un peu la vis du côté où cette bulle s'est portée, puis, à l'aide de la vis de réglage du ni* veau sur son support, on ramène la bulle au centre. Ensuite on recommence le retournement, et on continue ainsi jusqu'à ce qu'on arrive à avoir la bulle visible en totalité dans les deux positions directes et inverses. Alors on place le niveau perpendiculairement aux deux premières vis et on amène la bulle au centre par le moyen de la troisième vis du pied; puis on revient au parallélisme des deux premières vis, et souvent il arrive , après la correction de la troisième vis, que la bulle qu'on avait vue entière dans les deux positions directes et inverses n'est plus dégagée du bout du tube que dans l'une de ces deux positions. On refait alors de nouveaux tâtonnements pour rendre ses deux extrémités visibles dans ces deux positions différentes de 180'', puis on revient h la troisième vis, qu'on corrige de nouveau pour que la bulle soit au

centre, et c'est alors que le niveau est assez approximativement réglé, et le pied assez approximativement vertical, pour qu'on puisse achever le nivellement comme nous l'avons dit d'abord.

11. — Quand l'axe principal du théodolite est ainsi rendu bien vertical, on procède au nivellement de son axe horizontal, dont une vis de rappel sur la barre en T qui le supporte, vis agissant sur T un des coussinets de cet axe, permet de faire varier Finclinaison sans agir sur celle de Taxe vertical. Dans les théodolites centrés, cette vis de rappel agit sur le coussinet fixé sur Tune des colonnes portant Taxe horizontal. Pour le nivellement de ce dernier axe on se sert du deuxième niveau mobile qui se pose sur lui, et qu'on peut retourner à volonté en posant la patte de gauche sur l'extrémité droite de l'axe et inversement, comme pour le niveau de la lunette méridienne. L'opération du nivellement de l'axe horizontal du théodolite est alors en tout semblable à celle du nivellement de l'axe de la lunette méridienne, opération que nous avons décrite (n'^'Get?). Après ce nivellement de l'axe horizontal du théodolite, il est évident alors que les deux axes de l'instrument sont bien perpendiculaires.

12. — Un nivellement absolu et parfaitement rigoureux des axes des instruments est une opération difficile , et faisant perdre beaucoup de temps; car quand on est arrivé très -près du nivellement exact, le jeu à imprimer aux vis est si petit qu'on dépasse souvent l'elFet qu'on veut atteindre et cela d'autant plus, que la bulle, par suite des vibrations imprimées par l'élasticité de l'instrument quand on vient à toucher les vis, se déplace d'une quantité beaucoup plus grande que l'erreur du nivellement, et demande un certain temps pour revenir à son équilibre. De plus, en prolongeant trop longtemps l'opération, la chaleur de l'observateur* lui-même sufBt pour agir sur la dilatation des diverses parties et d'une manière non uniforme sur les deux extrémités du niveau : de là, de très-petites variations incessantes sur la lecture précise répondant au nivellement exact. Enfin,pendant la série des observations elles-mêmes, le niveau souvent varie. Il résulte de là qu'il faut se contenter de niveler très-approximativement, et de déduire des lectures du niveau, après les observations, les erreurs du nivellement, dont on corrige ensuite les observations par des formules simples de correction que nous allons examiner. Mais pour pouvoir faire ces corrections, il faut connaître à quel angle correspondent les divisions du niveau, afin que des lectures de ce

dernier on puisse déduire les erreurs du nivellement. Il convient de plus que le niveau soit gradué dans toute sa longueur en parties égales chiffrées d'un bout à l'autre de 10 en 10 divisions , un trait plus long que les autres accusant les divisions auxquelles répondent ces chiffres, et un autre trait également plus long, mais sans numérotage, indiquant les divisions intermédiaires de 5 en 5, pour rendre la lecture plus facile et plus sûre. Anciennement, les artistes Gambey par exemple, ne graduaient pas leur niveau d'un bout à l'autre, mais seulement par les deux bouts et dans l'unique but de juger si la bulle était au centre. Pour eux le niveau était un instrument uniquement destiné à niveler exactement et non à mesurer les erreurs du nivellement. Mais nous avons vu que le nivellement rigoureux est réellement impossible, et de plus l'absence de divisions dans le milieu delà longueur du niveau rend même le nivellementbeaucoup plus long, car alors ce nivellement se fait entièrement par tâtonnements, tandis qu'avec la graduation complète, deux lectures directeset inverses indiquent immédiatement la lecture intermédiaire àlaquelle on doit amener la bulle , ce qui permet d'effectuer l'opération beaucoup plus vite. Quand donc on se sert d'un de ces anciens instruments dont le niveau n'est pas gradué dans toute sa longueur, on a avantage à tracer une échelle divisée sur une bande de papier qu^on colle latéralement sur le niveau. Cette échelle est d'ailleurs entièrement arbitraire, on se contente seulement de la rendre régulière. Nous supposerons donc toujours, danscequi va suivre, que les niveaux sont gradués d'un bout à l'autre avec un chiffrage croissant dans un seul sens. Nous allons maintenant indiquer le moyen d'obtenir la valeur angulaire de ces divisions du niveau.

Pour cela, supposons d'abord qu'il s'agisse du niveau fixe du théodolite, c'est-à-dire, de celui qui est parallèle au limbe du cercle gradué vertical. On commence par bien niveler l'instrument, puis, par la rotation autour de l'axe vertical, on amène le limbe et le niveau dans une direction perpendiculaire à deux des vis : il est alors évident qu'en agissant sur la troisième vis, on élève ou on abaisse un des bouts du niveau ; et comme l'instrument a été nivelé primitivement, les deux autres vis qui sont réglées et autour de la pointe desquelles l'instrument tourne, font que dans le petit déplacement qu'on lui détermine en agissant sur la troisième vis. Taxe de l'instrument se meut dans un plan vertical. Ces con-

sidérations étant établies, on voit qu'en agissant sur la troisième yis, on peut amener la bulle du niveau à une des extrémités de ce dernier, et on lit les divisions auxquelles elle s*est arrêtée, c'est-à-dire celles qui répondent à ses deux extrémités et on en prend la moyenne. Ceci étant fait, on pointe la lunette sur un objet él(Mgné, puis on agit de nouveau sur la troisième vis, de manière à amener la bulle à l'autre extrémité du niveau. Dans ce déplacement la lunette dépointe d'une quantité égale à la déviation que subit l'axe vertical en passant de la première à la deuxième position. On lit les divisions devant lesquelles se sont arrêtées les deux extrémités de la bulle et on en prend la moyenne qui répond au milieu de cette dernière. Puis, ramenant la lunette au pointé, le déplacement de l'alidade sur le limbe dans ce retour fait connaître l'angle répondant au nombre de divisions dont ou a fait mouvoir la bulle. Ce déplacement de l'alidade est connu en arc sur le cercle gradué si on a eu soin de lire les divisions correspondant à l'index de l'alidade aux deux pointés . Ce même déplacement représente en arc la différence des deux lectures du niveau. En le divisant par le nombre de divisions du niveau dont s'est déplacée la bulle, nombre qui n'est autre que la différence des moyennes des lectures des deux extrémités de cette dernière au premier et au deuxième pointé, on a le nombre de secondes représenté par chaque division du niveau.

Si le théodolite est répétiteur, on peut répéter l'opération un grand nombre de fois, en ajoutant les arcs bout à bout par la méthode de la répétition que nous avons déjà exposée dans le numéro 5^ et alors l'arc final, qui n'est autre que la somme des arcs obtenus chaque fois qu'on fait passer la bulle d'un bout à l'autre du niveau, représente la valeur de la somme des déplacements de la bulle dans toutes les opérations. Comme on ne peut pas chaque fois ramener la bulle juste au même point, on lit, à chaque opération^ les divisions où s'arrêtent ses extrémités, et on fait la moyenne pour avoir la division répondant au milieu de la bulle , et cela pour chacune des extrémités du niveau. La différence des deux moyennes donne le déplacement répondant à l'observation considérée, exprimé en divisions et fractions de divisions du niveau. On fait la somme de ces déplacements calculés pour chaque opération, et on a le diviseur par lequel on doit diviser Tore final pour avoir la valeur d'une des divisions du niveau.

Quand on yeut étudier le niveau dans ses diverses parties pour voir si toutes les divisions sont égales, on opère de la même manière; seulement au lieu de faire varier la bulle d'une extrémité à lautre du niveau, on ne la fait varier que de 5 ou 6 divisions à la fois, et toujours sensiblement entre les mêmes divisions. On a alors, de la manière indiquée, la valeur des parties du niveau dans cette portion de Tinstrument, et la moyenne de toutes les lectures donne la division moyenne où la valeur doit être regardée comme égale au nombre trouvé. On fait cette opération successivement sur toutes les parties de la division, et on a ainsi, de 5 en 5 ou de 6 en 6 parties, les valeurs des divisions de Tinstrument. Comme ces divisions ne passent pas d'une manière discontinue de Tune à l'autre de ces valeurs, une interpolation donne la valeur répondant à toutes les divisions intermédiaires. On construit alors une table de la valeur des parties du niveau donnant pour chaque division l'arc total représenté depuis la division zéro, et en face on inscrit la valeur de la partie ou division correspondante. Alors, quand on veut connaître l'erreur d'un nivellement, on fait la moyenne des lectures répondant aux deux extrémités de la bulle dans la position directe, puis on prend dans la table le nombre répondant à la division entière de cette moyenne, on y ajoute, d'après la valeur de la division, la quantité proportionnelle à la fraction de division complétant la moyenne trouvée. On fait ensuite la même opération pour la lecture dans la position inverse, et la différence des deux nombres de minutes et secondes obtenus représente le double de Terreur du nivellement exprimé en arc, car le vrai nivellement correspond à la moyenne des lectures, position directe et position inverse, et par conséquent la différence de ces deux lectures est le double de la différence de l'une d'elles avec la moyenne, c'est-à-dire avec le vrai nivellement.

Si maintenant on veut déterminer la valeur des divisions de Vautre niveau du théodolite, on l'assujettit sur le premier, de telle sorte qu'il soit fixé momentanément sur l'instrument d'une manière invariable et parallèlement au limbe, comme le premier l'est par construction. Puis on opère comme pour le premier niveau. Les artistes, pour faciliter la détermination de la valeur des parties de ce second niveau, devraient disposer à c6té du grand niveau un système de tiges verticales destinées à empêcher le niveau de Taxe de tomber quand on le place sur le niveau fixe.

Mais quoiqu'ils négligent cette précaution, on y remédie en liant ce niveau momentanément sur Tautre et en employant pour le maintenir de petits morceaux de bois qu^on attache ayec les deux niveaux.

On peut, de cette manière, déterminer avec un théodolite la valeur des parties ou divisions d'un niveau quelconque.

On peut égalemeut se servir, à cet effet, du cercle mural, et c*est ainsi qu'en général on étudie les niveaux des lunettes méridiennes. On détache le niveau de son porte-niveau et on l'assujettit fixement sur un des rayons du cercle mural, puis au moyen de la vis de rappel de ce cercle, on modifie progressivement l'inclinaison du rayon en question, de façon que la bulle passe successivement d'un bout à l'autre du niveau. On lit après chaque mouvement qu'on a donné à cette vis de rappel les divisions du niveau auxquelles s'arrêtent les extrémités de la bulle et on en prend la moyenne ; on lit en même temps avec les microscopes du cercle les divisions correspondantes de ce dernier. Les différences successives font connaître exprimés en partie du niveau les déplacements de la bulle correspondant aux déplacements du cercle exprimés en arc. La division des derniers par les premiers donne la valeur des divisions du niveau dans toute la longueur de celui-ci, comme nous Favons indiqué pour la détermination de cette valeur avec le théodolite.

13. — Une fois les valeurs des divisions des niveaux connues, il est facile de calculer les corrections que les erreurs de nivellement doivent faire appliquer aux observations, pourvu qu'on ait lu le niveau après ces dernières dans la position où s'est arrêté l'instrument.

Considérons premièrement les observations de double distance zénithale faites avec le théodolite, et supposons d'abord que l'axe horizontal de l'instrument soit rigoureusement horizontal, de sorte que la lunette se trouve bien exactement dans un plan vertical, et admettons aussi que le limbe soit bien vertical dans les deux po^ sitions directe et inverse de Tinstrument. Nous supposerons de plus, pour fixer les idées, que le théodolite est à lunette excentrique, quoique tout ce que nous allons dire s'applique de même au théodolite à lunette centrée.

Comme nous l'avons déjà dit, pour obtenir une double distance zénithale avec le théodolite, ou pointe d'abord l'objet dont on veut

la distance au zénith dans la position directe de l'instrument, c'est-à-dire, par exemple, avec la lunette à droite de l'observateur. Puis on retourne Tinstrument de 180® autour de son axe vertical et, en ramenant la lunette sur.robjet en question, le cercle alidade décrit un arc égal au double de la distance zénithale cherchée et dont on a la mesure sur le cercle gradué.

Cela posé, comme il faut préciser le seos de la graduation du niveau parallèle au limbe vertical, supposons ce niveau chiffré de telle sorte que le zéro soit du côté de l'observateur quand la lunette est à droite ou dans la position directe par laquelle nous commençons le pointé ; il sera alors du côté opposé à l'observateur dans la position inverse de l'instrument.

Pointons d'£J[)ord l'objet dans la position directe, puis, avant de toucher de nouveau à l'instrument, effectuons la lecture du niveau parallèle au limbe vertical, dans la position où la bulle s'est arrêtée (1), puis retournons l'instrument, pointons dans la direction inverse, et lisons ensuite le même niveau dans cette position avant de toucher de nouveau à l'instrument et de lire l'angle, de peur qu'en effectuant cette lecture nous n'exercions sur l'instrument quelque influence de pression ou de température modifiant le nivellement sous lequel a eu lieu le pointé.

Si la lecture du niveau est identiquement la même dans la position directe et la position inverse, cela vient de ce que la ligne horizontale menée perpendiculairement à l'axe horizontal du cercle, répond aux mêmes divisions de ce cercle dans les deux cas, et Fangle obtenu n'a pas besoin de correction. Mais si la deuxième lecture diffère de la première, alors la ligne qui était horizontale dans le premier cas ne l'est plus dans le second, et a dévié de rhorizontalité d'une quantité égale à la différence des lectures du niveau réduite en arc. L'angle double est donc altéré de cette erreur, puisque , indépendamment du mouvement de l'alidade pour décrire la double distance zénithale vraie, il y a eu le mouvement du cercle gradué.

Supposons que la deuxième lecture du niveau, ou lecture de la position inverse 9 dépasse la première lecture position directe ; puis-* que dans la position inverse le zéro est du côté opposé à l'obser-'

(1) Rappelons ici une fois pour toutes qu'à Tavenir nous appellerons lecture da Dtvean la moyenne des deux lectures des deux extrémités de la buUe^

Yateur, cela vient de ce que ]e bout du nWeau, dirigé du côté de Tobservateur, est plus haut dans la position inverse que cette même extrémité ne Tétait dans la position directe ; c'est donc comme si l'instrument avait tourné autour d'un axe incliné du côté opposé à l'observateur, au lieu d'avoir tourné autour d'un axe rigoureusement vertical. Au lieu donc d'avoir mesuré la double distance au zénith, on a mesuré la double distance à un point plus bas que le zénith du côté de l'objet, d'où il résulte qu'on a sur le limbe un angle trop petit. En appelant donc D la lecture directe du niveau, I la lecture inverse, A l'arc décrit par l'alidade et mesuré par les graduations du limbe; I — D, que nous supposons réduitenarc, est une correction additive à l'arc Apouravoirla double distance zénithale exacte. La vraie distance zénithale est donc :

Si, au contraire, la lecture inverse est plus petite que la lecture directe, alors l'instrument penche du côté opposé : on a donc une mesure trop grande pour l'arc ; il faut par conséquent en retrancher la différence D — ^I des deux lectures pour avoir la double distance zénithale vraie : donc la vraie distance zénithale est encore

comme dans le premier cas. Cette formule convient donc à tous les cas.

Mais si le niveau était gradué en sens contraire, c'est-à-dire si dans la position directe le niveau avait son zéro du côté opposé à l'observateur, l'augmentation des divisions répondrait à la diminution dans le cas que nous avons considéré, et le signe de I — D dans la formule devrait être changé. Ainsi, d'une manière générale, on a pour la vraie distance zénithale

si le zéro du niveau est du côté de l'observateur, position directe, c'est-à-dire lunette à droite ;

A I — D si le zéro du niveau est du côté opposé.

£t cela a lieu, quels que soient les déplacements que Tinstrument ait pu prendre entre les deux observations directes et inverses. Si on a une série avec répétition, la correction sur l'arc final est alors la somme de tous les I — D correspondant à chaque observation individuelle.

14. — Si Taxe horizontal du théodolite est bien horizontal dans les deux positions directe et inverse, nous n'avons pas à appliquer aui distances zénithales mesurées d'autre correction que celle que je viens d'indiquer. Mais si l'axe horizontal est incliné, les angles ont été mesurés dans des plans obliques. Pour reconnaître rinilucnce que le mouvement de la lunette dans un plan oblique peut exercer sur la mesure de la distance zénithale d'un objet, soit h la hauteur de cet objet complément de sa distance zénithale mesurée, et soit i l'inclinaison de l'axe horizontal de l'instrument. De l'objet observé abaissons un arc de grand cercle perpendiculaire sur l'horizon, c'est dans le plan de cet arc que la hauteur aurait dû être mesurée. Du même point abaissons un autre arc de grand cercle faisant avec l'horizon un angle égal à 90** — 2, c'est dans cet arc de grand cercle, dirigé d'un côté ou de l'autre du premiersuivant le sens de l'inclinaison de l'axe, que l'angle a été mesuré. Cela posé, dans le triangle rectangle, formé par ces deux arcs de cercle et l'horizon, on connaît l'hypoténuse ou la hauteur mesurée A, et l'angle 90^ — i de cette hauteur avec l'horizon, on a donc pour la hauteur vraie opposée à cet angle :

sinus de la hauteur vraie = sin h sin (90 — i) = sin A cos i ,

ou en appelant zla distance zénithale mesurée, complément de A,

COS. de la dist. zénith, vraie = cos js cos i=zcosz — 2 cosjs sin'|î.

En appelant c la correction à appliquer à la distance mesurée pour avoir la distance vraie, auquel cas la distance zénithale vraie ^ale z +Cj cette équation devient :

cos (s-f-c) = cos z — 2 cos z sin* | i ou

cos ;; cos c — sin z sin <;= cos z — 2 cos z sin* ^ i ou encore :

2 cos z sin* ^ c + sin je sin c = 2 cos z sin^ 1 1.

3!i tuéokie; des instruments.

Comme c et i sont de très-petits arcs, car l'axe est toujours approximativement nivelé, on peut remplacer sine par csin 1" et sin^tpar^isin V\ il vient alors :

C' cos z sin 1" -H c sin 5 = ^ i» cos 5 sin i".

Cette équation peut se mettre sous la forme :

t' sin i" cos :;

^sins + ccoszsin i"

formule dans laquelle c est exprimé en secondes.

Tant que z est grand, c cos z sin 1" est négligeable par rapport à 2 sin jz et on a :

(é) c = it«sini"cols

formule qui montre que la correction est négligeable si i n'est que de quelques secondes, car si z est grand et plus grand que 48"*, cotz est plus petit que Tunité, et il ne prend de valeur importante que si z est voisin de zéro. Mais si on fait z=o dans la formule complète (a), auquel cas sinz=0, on aura c*=:i% d'où c = t , comme on devait s'y attendre.

La correction, dont la valeur maximum est l'inclinaison même de Taxe horizontal, n'est donc sensible que dans le voisinage immédiat du zénith. Elle est nulle à l'horizon où z=90** et où par conséquent cos z =: 0 .

Pour i =z 60" ou 1', quand z = 45% la valeur de c est égale à moins d'une centième de seconde, car on a c=:0",0087, et pour ^=5*" seulement, elle n'égale pas encore un dixième de seconde, car on a alors c = 0'',0998; pour une inclinaison de Taxe de 20", elle n'atteint à S"" du zénith que 1 centième de seconde.

On voit donc qu'il sufBt de niveler l'axe à moins de 20" près pour n'avoir à appliquer aucune correction provenant de l'inclinaison de l'axe, pour toutes les distances au zénith supérieures à 5"*. Or on nivelle facilement dans cette limite.

Si l'astre est très-voisin du zénith, il est utile de niveler l'axe horizontal avec soin, et si on veut tenir compte de son erreur, on prendra rinclinaison dans la position directe, en retournant le niveau de l'axe dans cette position et faisant les 2 lectures dont la diflérencc fera connaître cette inclinaison. On fera la même chose dans la position inverse. Prenant alors pour valeur de m la moitié

de la distance zénithale observée, on transformera la première moitié par la formule :

C0S2' = C0SJ3C0S l'y

X étant rindinaison de Taxe dans la position directe (ici le sens de rindinaison est indifférent), et la deuxième moitié par la formule :

cos a" = cos z cos t",

r étant l'inclinaison de Taxe dans la position inverse, inclinaison qui peut être différente de celle de la position directe si Tinstrumenta été touché, ou si son axe vertical n'est pas bien vertical. Alors z' -hz" sera la vraie double distance zénithale qu'on aurait mesurée si l'axe avait été rigoureusement horizontal.

Lorsqpi'on tient compte, par les procédés que nous avons indiqués, des lectures du niveau parallèle au limbe et des inclinaisons de l'axe horizontal mesurées dans les positions prises par l'instrument, l'axe vertical n'intervient pas par son défaut de nivellement dans le calcul des corrections.

On voit donc, d'après ce qui précède, que l'inclinaison de Taxe horizontal a peu d'influence sur les hauteurs observées et que s'il est passablement nivelé, cette inclinaison ne donne aucune correction à faire pour les distances zénithales supérieures à 5 ou 6 degrés. Mais l'inclinaison de l'axe horizontal influe notablement sur les azimuts, pour lesquels nous allons maintenant étudier les corrections provenant de l'imperfection du nivellement. Toutefois, nous présenterons auparavant quelques considérations sur la définition de l'axe horizontal dans les instruments à lunettes excentriques et centrés, et sur les moyens avec ces derniers, et notamment avec la lunette méridienne, de déduire du nivellement effectué sur la surface supérieure la vraie inclinaison de l'axe. IS. — Comme nous l'avons vu, tous les théodolites sont munis de trois vis à caler, à l'aide desquelles l'axe de l'instrument, qui est en même temps l'axe du cercle azimutal, peut être rendu vertical, et de plus, dans tous ces instruments également, Taxe du cercle de hauteur supporte un niveau, à l'aide duquel ce dernier axe peut être rendu horizontal. Mais lorsque la lunette est excentrique^ c'est-^ à-dire quand elle est portée, ainsi que le limbe, à l'une des extrémités de l'axe horizontal, la flexion due aux poids très^notables de

cette lunette et de ce limbe fait que la lunette se meut en réalité dans un plan incliné , lors même que le niveau indiquerait que Taxe serait horizontal. Cette expression : lors même que Vaxe serait horizontal^ demande une explication, car, par suite des flexions, Taxe est une courbe ; aussi doit-on définir Taxe par la ligne droite qui joint les centres des deux sections verticales de Taxe passant par le milieu des coussinets. Si les deux portions de Taxe qui reposent sur les coussinets étaient parfaitement cylindriques et de même diamètre , les deux pattes du niveau feraient exactement connaître si Taxe est horizontal , pourvu que ces deux pattes du niveau pussent reposer au-dessus des coussinets. En général^ cette dernière condition n'est pas possible, mais les pattes du niveau reposent tout près des coussinets, ce qui ne peut pas produire d'erreur appréciable (1), à la condition toutefois d'une répartition symétrique des poids sur Taxe, ce qui revient à équilibrer le cercle et la lunette àl'autre extrémité de leur axe lui-même. Ordinairement, dans les théodolites excentriques, cette répartition symétrique n'a pas lieu. Les artistes ne s'en préoccupent pas, parce que l'erreur du nivellement qu'il s'agissait d'éviter par là est petite par rapport à l'erreur déjà citée plus haut et résultant de ce que, par la flexion , la lunette se meut dans un plan incliné, lors même que l'axe serait horizontal.

Il résulte des procédés même employés dans la construction des axes que le défaut de cylindricité est peu à craindre. C'est ainsi qu'à la lunette méridienne de l'Observatoire de Paris il n'a pas été possible, par des nivellements faits pour diverses hauteurs de l'instrument, de reconnaître d'erreur appréciable dans la cylindricité des tourillons. En citant cette lunette, nous venons d'indiquer le moyen d'apercevoir les défauts de cylindricité et de les mesurer même au moyen du niveau. On pourrait donc en tenir compte s'il y avait lieu.

16. — Il n'en est pas de la différence de diamètre des deux tourillons comme de leur cylindricité. On peut dire qu'il est pratiquement impossible d'obtenir des tourillons rigoureusement de même

(1) Ceci suppose tontefois que les tourillons ne sont pu coniques et ne fout pas un angle entre eux, contrairenoent à ce qui a lieu générâiemeot. Aussi il importe que les pattes du niveau reposent sur les coussinets autant que possible.

diamètre. Par suite de cela, le niveau qui fait connaître Tincli* naisoD de certaines arêtes supérieures du tourillon (1)^ celles sur lesquelles reposent ses pattes, ne donne pas Tinclinaison réelle de Taxe. Pour savoir ce qu'était cette inclinaison, il faudrait, comme cela a lieu pour la lunette méridienne , pouvoir faire un second nivellement en renversant la lunette , de telle sorte que le tourillon de gauche vînt reposer sur le coussinet de droite et inversement. En eSet, soit t l'inclinaison des arêtes reposant sur les coussinets, et t + ? l'inclinaison des arêtes supérieures dans la position directe donnée par le niveau ; cette inclinaison sera i — ? dans la position inverse, et elle sera également donnée par le niveau; soient donc i, et ù les inclinaisons données par le niveau, position directe et position inverse, on aura

d'où

Or I -|-| est l'inclinaison de l'axe, qui est alors égale à -l-^til.

A la lunette méridienne, quand 9 a été déterminé comme nous venons de le dire, par un nivellement bien fait, il suffit de niveler dans une seule position pour avoir l'inclinaison de l'axe , car 9 est une constante à l'aide de laquelle on peut corriger le nivellement effectué sur les arêtes supérieures pour avoir celui de l'axe.

Dans les théodolites excentriques de Gambey, le renversement de l'axe sur les coussinets n'est pas possible, et d'ailleurs ce renversement ne servirait à rien, à cause du défaut de symétrie et de la flexion de l'axe qui fait que la lunette, comme nous l'avons dit, se meut dans un plan incliné lors même que le nivellement indiquerait l'axe horizontal. Le niveau ne peut donc faire connaître que l'inclinaison des arêtes supérieures de l'axe et nullement celle de l'axe lui-même. Cet inconvénient, joint à celui que nous avons déjà signalé et d'après lequel la lunette se meut par suite de la flexion

(1) Par la dispositioD des patle8 du niveau et des couBsÎDets, ces arêtes supérieures sont symétriques des arèles ioférieures qui reposent sur les coussinets.

38 THÉORŒ DES INSTRUMENTS.

dans un plan incliné lors même que l'axe serait horizontal, fiiit que, dans les théodolites excentriques, le niveau ne peut servir à déterminer Tinclinaison du plan dans lequel se meut la lunette. Or, pour obtenir des observations azimotales précises, cette inclinaison , comme nous allons le voir, doit être connue avec une grande exactitude, afin de corriger ces observations de Terreur qu*elle introduit sur l'azimut. Au contraire, en employant des théodolites centres, dans lesquels la lunette puisse être renversée sur les coussinets et où les poids soient reportés symétriquement sur l'axe, par un équilibrage du cercle de hauteur à l'aide d'un second cercle semblable, il résulte de la symétrie des flexions que la lunette se meut dans un plan perpendiculaire à son axe défini comme précédemment. Le niveau peut alors par les formules précédentes, donner l'inclinaison réelle de cet axe, en même temps qu'au besoin, il fait connaître le défaut de cylindricité des tourillons. 17. — On peut sans doute, sans recourir au niveau, parvenir à éliminer à peu près l'influence de l'inclinaison de l'axe horizontal sur les mesures azimutales, que les théodolites soient ou non excentriques, en observant successivement dans la position directe et dans la position inverse de l'instrument, c'est-à-dire par un changement de ISO"" sur les mesures azimutales, pourvu que l'axe vertical soit rigoureusement vertical, car alors les inclinaisons de l'axe horizontal seront rigoureusement égales mais inverses dans les deux positions directes et inverses de l'instrument. Si l'astre a été observé exactement à la même hauteur dans les deux cas, l'élimination de l'influence de Taxe horizontal sera même complète. Il est évident, en eflét, que dans ce mode d'opérer, les déviations azimutales de la lunette en passant de l'horizon à la hauteur de l'astre observé seront égales, mais de signe contraire dans les deux positions inverses de l'instrument. La moyenne des lectures sur le limbe ne sera donc pas influencée par l'inclinaison de l'axe horizontal. Il est rare toutefois que dans les deux positions on puisse observer l'astre à la même hauteur, car les observations sont consécutives et généralement la hauteur de celui-ci varie avec le temps. Mais si les deux observations sont très-rapprochées, et si l'axe est déjà presque horizontal, de sorte que dans chaque cas l'erreur soit déjà très-petite, la différence de ces deux erreurs très-petites sera du deuxième ordre et négligeable. Si l'axe horizontal n'est pas également incliné en sens contraire

dans les deux positions directes et inverses, ce fait se manifeste par la différence de lecture du niveau dans les deux positions, bien que ce dernier repose sur les arêtes supérieures, et sans qu'il soit nécessaire pour cela de le retourner chaque fois. Il sufBra alors de corriger la moyenne des lectures de l'effet de cette différence d'indinaîson, comme si cette dernière était l'inclinaison même de Taxe dans une observation unique.

On peut encore déduire l'inclinaison d'observations de passages par des a2imuts donnés faites sur un même astre observé directement et par réflexion sur un bain de mercure. Car l'astre est réfléchi dans son vertical même, à une distance au-dessous de l'horizon égale à sa hauteur au dessus. Gonséquemment, les lectures des observations faites sur l'image directe et l'image réfléchie, après avoir tenu comptede laportion de leur différence due au mouvement azimutal de l'astre pendant le temps écoulé entre elles, doivent s'accorder si l'axe est horizontal. Dans le cas contraire, leur différence représente le double de l'influence de l'inclinaison de l'axe sur la mesure azimutale dans le pointé à l'image directe, influence qui est égale, comme nous le verrons plus loin, à l'inclinaison de l'axe multipliée par la tangente de la hauteur de l'astre. Cette hauteur étant connue par observation ou par calcul, on voit qu'en divisant la demi-différence des lectures en question par la tangente de cette hauteur, on aura l'inclinaison de l'axe. On voit de plus que la moyenne des deux observations faites sur l'image directe et l'image réfléchie, est indépendante de l'inclinaison de l'axe, pourvu que cette dernière n'ait pas varié dans l'intervalle de ces observations. Mais il résulte de tout cela des complications dans les observations que le temps et les circonstances ne permettent pas toujours. Dans tous les cas , le niveau fournit des vérifications trop précieuses pour y renoncer; et fréquemment on ne possède que lui pour déterminer l'inclinaison de l'axe et éliminer les erreurs qu'elle produit. Il serait donc à désirer qu'on pût toujours n'employer que des théodolites dans lesquels la lunette est centrée. Cette condition est importante surtout lorsqu'on veut une grande précision, et lorsqu'on augmente les dimensions du théodolite pour en faire un ait-azimut. Toutefois, plus tard, en traitant des lunettes, nous indiquerons des moyens optiques par lesquels on peut avoir à chaque instant l'inclinaison du plan dans lequel se meut la lunette, et en appliquant les dispositions que

40 THEOKm DES INSTRUMENTS.

nous indiquerons alors ^ on pourra faire jouir les théodolites eicentriques de tous les avantages des théodolites centrés*

18, — L'inclinaison del'axe horizontal d'un théodolite varie avec l'azimut de la lunette, si Taxe vertical de l'instrument n'est pas rigoureusement vertical. Les vis de calage permettent de rendre ce dernier axe sensiblement vertical, mais il est difficile d'arriver à la rigueur absolue. D'un autre côté, pendant la durée d'une série d'observations, il importe de s'assurer plusieurs fois de l'état de cet axe, et d'en tenir compte pour les réductions. La manière d'opé* rer consiste à observer l'inclinaison dans deux plans rectangu* laires. Galant le cercle azimutal sur une certaine division, on fait une lecture du niveau (porté soit par le cercle azimutal, soit par l'axe de la lunette), on décale ensuite le cercle azimutal , qu'on fait tourner de 180^, puis on le cale de nouveau, et on fait une nouvelle lecture du niveau. La diflérence de ces deux lectures égale le double de l'angle de la perpendiculaire à l'axe vertical avec la ligne horizontale dirigée suivant l'azimut oil ont été faites ces opérations. Elle fait conséquemment connaître Tinclinaison de l'axe dans le sens de cette ligne. On répète les mêmes observations dans un nouvel azimut faisant avec le premier un angle de 90*, et on a de même l'inclinaison de la peipendiculaire à l'axe vertical dans ce nouvel azimut (1).

Soient alors t l'inclinaison pour la lecture a du limbe horizontal, et { l'inclinaison pour la lecture 90* + a du même limbe; t et i étant positifs si le niveau relève du côté où on fait la lecture du limbe, négatifs dans le sens contraire ; en appelant a, la lecture inconnue du limbe horizontal pour laquelle l'inclinaison est nulle, ou en d'autres termes l'azimut de la ligne des nœuds du plan du limbe et de l'horizon; enfin, I l'inclinaison inconnue de l'axe vertical ; on aura les deux équations :

sin i = sin (a — a,) sin I

sin t'«=sin (ôo^ + a — a,) sin I d'où

(i) Il etl évident qu'en se servant à la fois des deux niveaux perpeodicalaires de rinstrument« on déterminera simultanément rinclinaîson dans deux azinuu perpendiculaires , par une seule position directe et une seule position iofene du théodolite.

THÉORIE DES INSTRUMENTS. 4t

/ . sînt

°^ ' sin t

sin I = 1/ sin* i + sin* »'

Dans ces formules, il faut bien faire attention à donner leurs signes à i et i. Ces signes n'influent pas sur la détermination de la valeur absolue de I, mais ils influent sur celle a — a, dont la tangente peut être positive ou négative. A une même tangente répondent deux arcs distants de 180**. Mais cela n'influe pas sur le résultat, car ces deux arcs sont les deux lectures répondant à la ligne des nœuds. Onpeut prendre pour a — «„ l'un ou l'autre de ces arcs; mais pour pouvoir faire 1 positif, a. doit être le nœud ascendant, c'est-à-dire la lecture pour laquelle en suivant le sens de la graduation, le limbe va en s'élevant au-dessus de l'horizon ; si ï est positif, on devra prendre alors pour a — a, qu'on fera du signe de sa tangente, la valeur soit positive ou négative, qui est inférieure à 90"* comme valeur absolue. Si t' est négatif, il faudra prendre celle qui est supérieure à 90\ En appelant x cette valeur dea — a,, on aura

a — ai=j: d'où a, — a — x

et a^ ainsi déterminé sera la lecture du limbe qui répondra au nœud ascendant, de sorte que a^ — 90'' sera la lecture du cercle vers laquelle l'axe penche de l'angle I donné par l'équation

sin I = 1/ sin* t + sin* t".

Connaissant ainsi a , et I, on aura l'inclinaison i^ dans un azimut a" quelconque par l'équation

sin i" = sin (a" — a, ) sin I,

équation dans laquelle I est toujours positif, de sorte que le signe de î' est donné par celui de sin {d^ — a,) . Cette formule peut s'écrire

t" = Isin(a" — a,).

19. — L'inclinaison de l'axe de la lunette ou axe horizontal de rinstniment est, comme nousl'avons vu, déterminabledirectement,

si rinstrument est centré, au moyen du niveau porté par cet axe. Cette inclinaison, étant déterminée, resterait la même dans tous les azimuts, si Taxe de l'instrument était parfaitement \ertical ; mais, en général, il n'en est pas ainsi, et il importe alors de noter l'azimut dans lequel on a fait une détermination de Tinclinaison de Taxe horizontal. Retranchant alors de Tinclinaison trouvée celle de la perpendiculaire à Taxe vertical de l'instrument dans l'azimut considéré, inclinaison que l'on a par les formules précédentes, on obtient l'angle A formé par l'axe horizontal et la perpendiculaire à l'axe vertical. Si alors on cale l'instrument dans un nouvel azimut, on aura l'inclinaison de l'axe horizontal dans ce nouvel azimut en joignant à l'angle A l'inclinaison de la perpendiculaire à l'axe vertical fournie par la formule précédente :

sin f" = sin (a" — a,) sin I.

20. — Supposons maintenant l'axe vertical rigoureusement vertical. Si l'axe horizontal n'est pas alors exactement horizontal, on commettra une erreur sur les azimuts mesurés, puisque la lunette ne se meut pas dans un plan vertical ; la grandeur de l'erreur commise dépend de la hauteur du point observé. Soient h la hauteur de ce point et 2 l'inclinaison de l'axe horizontal de l'instrument. Le plan décrit par la lunette, et qui passe par l'objet considéré, fait alors l'angle t avec la verticale. L'intersection, avec la sphère céleste, de ce plan et du plan vertical passant par l'objet détermine deux arcs de grands cercles, et ces deux arcs composent avec l'arc d'horizon qu'ils interceptent un triangle sphérique rectangle dont l'un des côtés de l'angle droit est égala A, et dont l'autre côté de cet angle droit est l'erreur • cherchée sur l'azimut ; l'angle adjacent à ce dernier côté est égal à 90* — i. Si h est la longueur de Thypothénuse, qui n'est autre que la hauteur donnée par l'instrument, on a

tang t = tang h cos (90^— 1) =: tang A' sin t.

On peut donc, au moyen de cette formule, corriger les observations azimutales de Terreur due à l'inclinaison. Cette erreur et l'inclinaison étant deux très-petites quantités, on peut sans erreur sensible substituer les arcs aux tangentes et sinus, et il vient

i=?tangA' = t cot z',

en appdant t! la distance zénithale, complément de la hauteur K.

Cette formule fait voir que si la hauteur de Tastre est inférieure à 45% Terreur commise sur l'azimut est moindre que celle que Ton commet sur Tinclinaison ; mais quand la hauteur est plus grande que 45"*, l'inverse a lieu, puisqu'sdors tang K devient plus grand que l'unité.

Quant au signe de la correction à appliquer aux azimuts observés, il &ut remarquer que si nous comptons les azimuts à partir du méridien (côté du pôle nord vers l'ouest), et jusqu'à SBO"*, cette correction sera additive si le tourillon le plus élevé est celui de la droite de l'observateur regardant l'objet visé, et soustractive dans le cas contraire.

Si on différencie la formule

e =3 1 tang h* par rapport à e et K , il vient

It = % sec* A' 8 A',

ce qui prouve qu'une erreur sur K introduit sur e une erreur d'autant plus grande que hl est plus grand. Si nous remarquons que i et 0 h sont du premier ordre, nous voyons que oe est du second ordre, tant que h' est petit, mais quand N approche de 90% une erreur sur K peut introduire sur * une erreur très appréciable. Les observations azimutales ne doivent donc pas être faites très-près du zénith (1), parce que les erreurs instrumentales ont alors une trop grande influence. Des observations près du zénith, combinées avec d'autres observations éloignées de ce point, peuvent au reste, par cette même raison, être employées à l'étude de ces erreurs instrumentales.

21. — Dans ce qui précède, nous avons supposé que l'axe principal du théodolite était rigoureusement vertical. S'il est un peu incliné, il en résulte qu'au lieu de mesurer des différences azimutales autour de la vraie verticale, on a mesuré des différences azimutales autour d'une verticale un peu inclinée à celle du lieu. Nous

(1) Nous verrons loutefoii plus tard le moyen d*empIoyer les ol)servations voiaiDes à la fois du zénilh et du méridien.

uu

allons nous proposer d'obtenir les vraies différences azimutales de deux points dont l'un peut être une mire, à l'aide des différences azimutales observées pour l'inclinaison connue de i'axe vertical, inclinaison qui a lieu dans un azimut connu, si on a fait la détermination de cette inclinaison de la manière indiquée précédemment. Mais auparavant, nous remarquerons que les corrections à faire aux azimuts observés pour l'erreur de perpendicularité de l'axe horizontal par rapport à Taxe vertical doivent être appliquées conformément à la méthode que nous venons d'indiquer, de manière à avoir les vrais azimuts autour de la verticale erronée, d'où nous nous proposons de déduire les vrais azimuts autour de la verticale réelle. Il faut toutefois remarquer que dans le cas en question, l'angle t ne représente plus llnclinaison de l'axe horizontal par rapport à l'horizon, mais par rapport à la perpendiculaire à notre verticale inclinée, perpendiculaire située dans le plan passant par cette verticale et par l'axe horizontal. Nous avons vu d'ailleurs (n* 19) le moyen , connaissant l'inclinaison de l'axe vertical, de déduire de l'inclinaison donnée par le niveau pour l'axe horizontal, le défaut de perpendicularité de cet axe par rapport à l'autre, défaut qui est notreangle i dans le cas présent. Après donc avoir corrigé les angles observés du défaut de perpendicularité de l'axe horizontal par rapport au vertical, les observations sont devenues ce qu'elles auraient été dans le cas d'une perpendicularité rigoureuse. Gela revient donc au même que si cette perpendicularité avait existé, de sorte que nous n'avons plus à nous occuper que de l'effet de l'inclinaison de l'axe vertical. Soit a, la lecture du limbe répondant au nœud ascendant a'

(fig. 7) sur la ligne des

nœuds du plan du limbe et de l'horizon , a^ étant déterminé, comme nous l'avons dit précéderaa,^^ ment, et soit 1 Tinclinai- M son de l'axe vertical qui a lieu dans la direction de la lecture a, — 90*.

"■• '• Soient de plus a la lec-

ture azimutale du limbe répondant à un certain objet A, et z la distance de cet objet au zénith Z incliné déterminé par le pro-

longement de l'axe de rinstrument. Joignons par des arcs de grand cercle ce zénith Z et le zénith vrai Z' avec l'objet A, et faisons passer un troisième arc de grand cercle par les deux zéniths , nous aurons ainsi le triangle sphérique Z Z' A , dans lequel nous connaissons le côté ZZ = I, le côté ZA = z et l'angle A Z Z' = 90* -H a , — a. Nous voulons Tangle A Z' M, qui est la différence d'azimut du point A et du point du limbe 90" + a, , ou Tangle 90* + a, — a', d étant l'azimut du point A qu'on lirait sur le limbe si ce dernier devenait vertical en tournant autour de la ligne des nœuds.

Dans le triangle Z Z' A, on a l'équation

cosZA = cosZ'AcosZZ' — sinZ'AsinZZ'cosAZ'M

ou

cos5 = cosZ'AcosI — sinZ'AsinIsin(a'— a,); pour éliminer 71 A, remarquons qu'on a

cosZ'A = cosZAcosZZ'+sinZAsînZZ'cosAZZ'

ou

et

cosZ'A=cos5COsI + sins8inIsiQ(a— a,)

sinZ'A sinZA sinAZZ'~sinAZ'M

ou

sin Z' A = 7-7^ r^-

cos(a — a,)

Substituant ces deux valeurs de cosZ' A et de sinZ' A dans l'équation précédente, il vient, en remarquant que

I — cos'I=sîn»I,

et divisant l'équation par sin I sin z,

col s sin I = cosi sin (a —a,) — cos (a — a,) tang (a' — a, )

d'où

COt 2

(A) tang(a' — o,) = tang(a— a,)cosI--^^^^^^ sini, équation qui donne a' — a^ quand a — éii, I et jz sont connus.

ke TUËOIUE DES INSTRUMENTS.

Au lieu de calculer avec la formule complète, ce qui ne serait nécessaire que si z était très-voisin de zéro (mais ce ne sont pas là les conditions dans lesquelles on fait ordinairement les observations azimutales, car nous avons vu que près du zénith ces observations perdent leur précision), on peut en remarquant donc que I est très-petit faire cos I = 1 , ce qui revient à négliger les termes de Tordre P, et alors Téquation devient

COt 2

dans laquelle — -, : sin I est une très-petite correction, à cause

^ cos (a — a,) '^

de la petitesse de sinl. Si donc nous posons a'=a + c, c étant la quantité à joindre à a pour avoir a\ l'équation deviendra

tang (fl— a,)-t-tangc ^ , . cotz . ,

î — V — / s, \ =tang a — (i.) —-7 rsml

1 — tang(a— o,)tangc °^ '' cos(o— a,)

ou en développant (i — tang {a^a^) tang cj et négligeant les termes en tang' c, à cause de la petitesse de la correction c, il vient

(i + tang- (a-a.)) tang c = - ^J^^^ ^^^ sin I

ou

sec* (a«— û,) tango= — cota sec (a — a,) sinl

ou enfin

tang c = — col 5 cos (a — a,) sin I.

Dans cette formule on peut remplacer tangc par csin 1" et sin I par I sin 1", et elle se réduit alors à

r = — Icot;;cos(a — a,) :

telle est la correction très-petite à appliquer à la lecture a pour avoir la lecture qu'on aurait observée si Taxe avait été vertical. Si on observe un deuxième objet, on aura une correction semblable à appliquer & sa lecture, et alors la différence de ces deux lectured ainsi corrigées sera la différence d'azimut des deux objets corrigée de Vettei de l'inclinaison de l'axe verticah

THÈOKIE DES INSTHUMENTS. '47