La formule

(? = — Icot2COs(a— a, )

se prête à une remarque importante. L'inclinaison i" que Taxe vertical imprime à Taxe horizontal perpendiculaire a pour expression, en appelant ci' l'azimut de cet axe,

r = Isin(a" — fl,).

Mais l'azimut du côté trop élevé de l'axe horizontal diffère de 90'' en plus de celle de l'objet observé, on a donc a"= 90* + a et par conséquent

sin(a" — a,) = sin(9(h»+a— a,) = cos(a — a,),

donc

Icos(a — ax) = %".

Comme l'élévation du tourillon tendait à augmenter la lecture, le signe de la correction c se trouve donc celui qui répondait à l'inclinaison de l'axe horizontal dans le cas considéré, et cette valeur de c égale l'inclinaison i' de cet axe multipliée par cot z. Or c'est là précisément (n® 20) la correction d'une inclinaison de l'axe horizontal. On voit donc que la correction de Tazimut provient uniquement, aux termes près de l'ordre V que nous avons négligés, de l'inclinaison de l'axe horizontal, conséquence de celle de l'axe vertical ; de sorte qu'au lieu de corriger d'abord de l'effet du défaut de perpendicularité des axes, puis de Tinclinaison provenant de celle de l'axe vertical, il sufBt, puisque le facteur cot z est le même pour les deux inclinaisons , de prendre leur somme qui n'est autre que l'inclinaison de l'axe horizontal mesurée directement par le niveau, et en appelant i cette inclinaison, on a toujours pour la correction des azimuts,

e = t col z' =: i tang h\

comme précédemment.

23. — En corrigeant, comme nous venons de le dire, de l'effet de l'inclinaison réelle de l'axe horizontal, on voit donc que celle de Taxe vertical se réduit à un terme de Tordre I'. Pour le connaître, remplaçons, dans la formule complète (A) du n» 21 , cos I par 1 — 2 sin* \ I , nous aurons alors

UB THÉX>RIE DES INSTRUl^lENTS.

tang (a' - a,) = tang (a - û.) - ^J^^l^,) ''" * — 2 tang (a — a,) sîn* ^ I

Faisant encore a'=:a-|-c, et gardant le terme en tang V dans le développement de fl — tang (a— a,) lange j^ maïs négligeant les termes du 3* ordre, il vient

sec* (a —a,) tang c + tang (a — a,) sec* (a — a,) tang* c = — cotisée [a — a,)sinl — 2 tang (a — a») sin'^I.

Mettant dans cette équation , dans le terme en tang* Cj pour tang c sa valeur — cotzcos(a — a,)sînl, valeur exacte aux termes près du 2* ordre , ce qui, pour le carré de tang Cj sera exact aux quantités près du 3' ordre en I, il vient

sec* {a — a,) tang c = — tang (a — ff,) cot* z sin* I — cotisée (a — a,)sinl — 2 tang (a — a,)sin*^I

ou en remplaçant tangc par csin 1", sin I par I sin i'', et multipliant par cos'(a— a,)

c = ^Icotzco8(a — a,) — I*sinl"sin(a— ii,)cos(a— a,)f cot*J8-+^ 1

Or dans cette valeur de c, le terme en I est déjà renfermé dans la correction due à l'inclinaison de l'axe horizontal. Après avoir fait cette correction il ne reste plus que le terme en P. La correction de la lecture de l'angle due à l'inclinaison de l'axe vertical en l'appelant c* est donc

c'=— I*8ini"8in(a— a,)cos(a— .a,)f cot*a4-ij

c' = — ^ sin'l" sin 2 (a— c.) fcoV z + A

correction qui atteint son maximum, toutes choses égales d'ailleurs pour a — 6r, = 45*, auquel cas elle devient :

c=— ^8in4'Ycot*5+i)-

Pour 5=: 90* et 1= 1', cette correction n'atteint pas un demimillième de seconde; pour la même valeur de I et pour i; — 45°, elle n'atteint guère qu'un centième de seconde. Pour J5= 10", c'està-dire très -près du zénith et pour 1 = 10", la correction maximum n'atteindrait pas un centième de seconde, enfin pour 5=:5° et 1 = 10", elle ne serait encore que de 3 centièmes de seconde.

On voit donc que l'inclinaison de l'axe vertical n'agira pas jusque tout près du zénith s'il est nivelé à moins de 10" près, pourvu qu'on corrige l'azimut de l'erreur introduite par l'inclinaison absolue de Taxe horizontal, au moyen de la formule.

e=tcotjS.

24. — Pour le cercle mural, l'influence de l'inclinaison de Taxe sur les hauteurs observées se calcule comme celle de l'influence de l'axe horizontal du théodolite sur les hauteurs, et de même que cette dernière elle est presque nulle. Mais pour la lunette méridienne, il faut calculer l'influence de l'inclinaison de l'axe horizontal sur les instants des passages observés. Si le tourillon de l'ouest est le plus haut, les passages seront observés à l'instrument avant que l'astre arrive au méridien, du moins pour tous les passages supérieurs des étoiles. Ce sera après le passage au méridien pour les passages inférieurs des circompolaires où l'astre marche en sens inverse. Nous regarderons l'inclinaison comme posiUve quand le tourillon del'ouest est le plus haut, comme négative dans le cas contraire.

Soient A la hauteur de l'astre au-dessus de l'horizon sud, et i l'inclinaison de l'axe ; la lunette décrit un plan faisant l'angle i avec le méridien, et comme i est très-petit, si du point où l'astre coupe le plan décrit par la lunette, on abaisse un arc perpendiculaire sur le méridien, cet arc se confondra sensiblement avec le petit arc de parallèle décrit par l'astre. Dans le triangle rectangle formé par ce petit arc, par le méridien et par l'arc de grand cercle décrit par la lunette, on aura en appelant b ce petit arc et nommant h' la distance de l'astre à l'horizon sud dans le cercle décrit par la lunette

sin b = sin A' sin f .

Mais à cause de la petitesse de l'angle s, h! est sensiblement égal à A, on peut donc sans erreur sensible poser

sin 6 = sin A sin i

OU

ft^tsinA.

Remarquons maintenant qu'en appelant / la latitude et D la déclinaison de l'astre, on a

pour les passages supérieurs ; D et / étant positifs au nord de réquateur, négatifs au sud.

Pour le passage supérieur on a donc

sînA = cos(/— D), d'où

b=icos{l — D),

Mais la vitesse de l'étoile pour parcourir l'arc b est proportionnelle au cosinus de la déclinaison (voir n» 33). En appelant donc / le temps employé par l'étoile pour parcourir l'arc by et remarquant qu'à l'équatcur l'étoile parcourt 15" par seconde de temps, et qu'à la déclinaison D elle parcourt 15"cos D, on voit qu'on aura pour la valeur de t exprimée en secondes de temps

f cos(/ — D) 15 cosD

pour le passage supérieur, t étant exprimé en secondes d'arc. Alors t sera le nombre des secondes à ajouter au passage observé pour avoir le passage au méridien.

Pour le passage inférieur il faut remplacer D par 180 ^ D, on a donc pour la correction

t cos(/-hD— 180}

^•" 15 cosD '

car la correction doit être appliquée avec signe contraire, puisque pour t positif, le passage est retardé au lieu d'être avancé comme pour le passage supérieur : la correction devient donc, en remarquant que cos(/+D — 180)= — cos(/+D),

'•"I5C0S cosD * La correction à ajouter au passage observé est donc t

^ t cos(/q=D) 15 cos D

lie signe supérieur se rapporte aux passages supérieurs, Tinférieur aux passages inférieurs, et t est donné en secondes de temps, si t est en secondes d'arc, i étant d'ailleurs positif quand le tourillon ouest est le plus élevé.

Dans le chapitre suivant où nous traiterons des lunettes, nous indiquerons des moyens optiques pour obtenir la mesure des in-* clinaisons des axes des instruments d'une manière plus parfaite qu'avecle niveau, mais les formules de correction que nous venons d'indiquer ne seront pas modifiées. Ce seront seulement les valeurs des inclinaisons employées, qui, par ces procédés, seront plus précises.

J)€s lunettes.

25. — La théorie générale des lunettes appartient à la physique, et son exposition complète nous entraînerait en dehors de notre sujet. Nous nous contenterons donc ici d'indiquer les dispositions générales des lunettes employées dans les instruments astronomiques de précision (4).

Comme système optique, les lunettes destinées aux instruments de précision se composent simplement d'un objectif, fonné par une simple lentille achromatique (fig. 8), et d'un système oculaire formé de deux verres biconvexes. Dans ces lunettes, le foyer de l'objectif est situé entre ce dernier et le système oculaire, qui appartient alors à la classe des oculaires dits positifs (2), de sorte qu'au foyer de l'objectif on peut placer des fils croisés, et le système entier de l'oculaire est interposé entre ces fils et Vceil. ^*8. «.

Rappelons maintenant les propriétés générales des lentilles, propriétés que l'on démontre dans les cours de physique.

(0 Noos D^entreprendrons pas non plus ici d^exposer la théorie de Tacbromatisme, c'est-à-dire de cette partie de la physique qui indique les moyens de coDitniiiY des instruments réfracteurs sans la formation de couleurs irisées m les bords. Nous dirons seulement que les lunettes doivent, pour la précis non des pointés, donner des images aussi nettes que possible^ de sorte qu'il bot qu'elles soient achromatiques.

(3) On appelle oculaires négatifs ceux pour lesquels le foyer de Tobjeclif tomlK enlre les deux verres de Poculairei

Soit MN (fig. 9) une lentille quelconque (sur la figure nous représentons un objectif achromatique, puisque ce sont particulièrement ceux que nous avons à considérer dans les lunettes astronomiques), il existe, dans l'intérieur de cette lentille, un

point 0 qui jouit de la propriété que si un faisceau conique de rayons émané d'un même point quelconque P tombe sur la surface de la lentille , ces rayons, après s'être réfractés dans cette dernière, viendront tous passer par un même point F situé sur le prolongement de la ligne PO. Le point 0, qui jouit de cette propriété, porte le nom de centre optique de la lentille. Lorsque la lentille est Tobjectif achromatique d'une lunette astronomique, on lui donne alors le nom de centre optique derobjectif.

La position du point 0 est fixe dans l'objectif, où sa situation est déterminée par les formes que dans la construction on a données à ce dernier.

Si le point P était à l'infini, les rayons émanés de ce point et tombant sur la lentille seraient parallèles; dans ce cas, ils se réuniraient après la réfraction sur la ligne OF menée par le point 0 parallèlement aux rayons incidents.

Nous appellerons axe delà lentille la ligne RS qui renferme tous les centres de courbure de ses diverses surfaces, car si la lentille est rigoureusement construite, les centres de courbure de ses diverses surfaces sont sur une même ligne droite, autour de laquelle la lentille est alors parfaitement symétrique. Cette symétrie montre que dans les cas d'une construction et d'une homogénéité parfaites de la lentille, le point 0 se trouve lui-même sur la ligne RS(I).

(1) Dans la pratique, la ligne RS n^exisle pas, car on ne peat, dans la rigueur malhémalique, placer tous les centres sur une seule ligne. Toutefois ils en sont ttès-approchés, et assez approchés même pour que la sensation soit la même que s ils étaient sur la même droite rigoureusement, c>st-à-dire que

Si nous supposons un point placé à l'infini sur la ligne RS (fig. iO] qui y comme nous venons de le voir, passe par le point 0, les rayons émanés de ce point et devenus parallèles, se réunissent sur la ligne RS en un même point A, et la distance OA est nommée Ibl distance focale principale de la lentille. Nous l'appellerons a.

Fig. 10.

Cela posé on démontre en physique que les rayons émanés de divers objets situés à l'infini et dont les rayons incidents font de petits angles avec RS, se réunissent pour chaque objet en un point situé dans le plan m n perpendiculaire à RS, où ils forment l'image de chacun de ces objets. Le plan perpendiculaire à RS mené par le foyer principal A porte alors le nom de plan focal principal, et renferme l'image de tous les points situés à l'infini devant la lentille.

Si nous supposons maintenant, sur la ligne de symétrie RS, un point P placé à une distance p du point 0, son foyer se formera derrière la lentille en un autre point F, dont nous appellerons/)' la distance au point 0. Or on démontre en physique que les distances p et/)' sont reliées à la distance focale principale a par la relation

ap

7 = - d'où »' = — ^— ou »'.=

pour DOS sens les choies se passent comme si la ligne RS existait en réalité. Les raisonnements que nous faisons dans Tbypothèse de Fexistence de cette Hm pour juger de l'effet des sensations, sont donc applicables à la réalité, c>si-&-dire que^ ponr nous, une ligne passant par le centre optique O^ et autour de laquelle la lentille peut être regardée comme symétrique, se comporte comme la ligne RS. Ainsi, dans la limite de nos sens, nous pouvons regarder te plan focal comme lui étant perpendiculaire.

5â THÉORIE DES INSTRU.MENTS.

Dans cette fonnule si on fait :

p^QCf on a p'=af

c'est-à-dire qu'on retombe comme cela devait être sur le foyer principal. Mais à mesure que /? diminue, la fraction — augmente,

de sorte que le dénominateur 1 diminue et par suite p' augmente. On voit donc qu'à mesure que l'objet qu'on vise se rapproche, la distance focale de l'image va en augmentant.

On démontre d'ailleurs en plus que si une série de points sont placés dans un même plan perpendiculaire en P à la ligne RS de symétrie, leurs foyers se forment dans un autre plan élevé en P' perpendiculairement à RS. Le plan focal s'éloigne donc de l'objectif à mesure que les objets se rapprochent.

26. — Venons maintenante la disposition générale des lunettes astronomiques d observation. Elles se composent d'un tube portant à son extrémité l'objectif, qui est placé perpendiculairement au tube, c'est-à-dire de manière que sa ligne apparente de symétrie soit sensiblement dans l'axe de ce tube. A l'autre extrémité du tube se trouve un autre petit tube BG (fig. 11) qui entre à

Fis. IL

frottement doux dans le premier D et qui porte un diaphragme A avec une ouverture, limitant le champ de Tinstrument, et ce tube porte lui-même en avant de ce diaphragme un autre petit tube FE formant le système oculaire, qui peut ainsi plus ou moins s approcher du diaphragme, de même que la distance de ce dernier à lobjectif peut varier à l'aide de son tirage particulier. Dans le diaphragme A, dont louverture est circulaire, sont tendus en croix deux fils, dont le croisement sert à définir un point de Taxe de la lunette. Le diaphragme est assujetti dans sa position par quatre petites us dejpression disposées de telle sorte

qu'en en lâchant une et serrant Topposée, on puisse pousser le diaphragme de haut en bas ou de gauche à droite, de façon à faire mouvoir le point de croisement des fils dans Fintérieur de la lunette et Tamener sur Taxe du tube. Ces vis servent à corriger ce qu'on appelle terreur de coUimation de l'instrument, erreur dont nous parlerons plus tard. Quant à présent supposons le diaphragme complètement solidaire avec le tube BC. Ajoutons toutefois ici qu'une rainure dans l'extrémité du tube D, rainure dans laquelle s'engage une petite cheville portée par le tube BG, empêche ce tube de tourner sur lui-même dans son tirage. Quand donc on fait mouvoir le tube BC, les fils croisés sont mus parallèlement à eux-mêmes. Disons de plus que le système de fils porté par le diaphragme porte le nom de réticule.

Supposons maintenant qu'on veuille viser des objets situés à une très-grande distance, par rapport à la distance focale a de l'objectif; soit p cette distance. Nous avons vu que ces objets formeront leur image derrière l'objectif à une distance p^ liée à/? et

à a par la relation p' = . Or quand p est tellement grand par

rapport à a que — est une fraction très-voisine de zéro, on voit

qu'on a sensiblement p' = a. Donc pour des points très-éloignés on peut regarder la distance focale comme sensiblement constante, et par conséquent tous les points très-éloignés font sensiblement leur image dans le plan focal principal. Il faudra donc amener le réticule dans ce plan, et alors le point de croisement des fils que nous appellerons u coïncidera avec l'image d'un des points compris dans le champ de l'instrument. U est clair que le point dont l'image coïncidera ainsi avec u sera situé exactement sur la ligne qui joint le point u au centre o de l'objectif, puisque l'image d'un point se fait sur la ligne qui joint ce point au centre de l'objectif. Les fils et l'image des objets donnés par l'objectif étant alors dans le même plan, l'oculaire placé entre l'œil et ce plan n'intervient que pour grossir les fils et l'image semblablement. Il ne modifie donc en rien les coïncidences. Gonséquemment, la direction de visée d'une lunette est définie par la ligne joignant le point o au point u.

Cela posé, supposons qu'on dirige la lunette vers un premier

56 THÉORIE DES LNSTRDMENTS.

objet éloigQé A de telle manière que Timage du point A tombe sous l'image du point u^ croisée des fils. En ce moment, comme nous Tavons dit, le point A sera dans le prolongement de la ligne occupée alors par les points o et u. Dirigeons maintenant de la même manière la lunette vers un autre point A' qui sera alors dans le prolongement de la nouvelle position de la ligne u o. L*angle formé alors par les deux positions successives de cette ligne sera l'angle compris entre les deux points A et A', au point de croisement de ces deux positions successives. On voit donc que si la lunette était assujettie sur un cercle gradué dont le plan aurait été rendu parallèle aux deux positions successives que doit prendre la ligne uo pour se trouver dans les directions des points A et A\ c'està-dire sur un cercle gradué dirigé de telle sorte que par une simple rotation de ce cercle sur lui-même dans son plan, la lunette pût viser successivement aux points A et A', le cercle en question aurait tourné sur lui-même quand la lunette passe du pointé sur A à celui sur A' d'une quantité égale à l'angle compris entre les deux positions de la ligne u o dans ces deux pointés. La rotation du cercle mesurerait donc l'angle compris entre les points A et A'. 27. — Il est bon de remarquer qu'il n'est pas nécessaire pour qu'il en soit ainsi que la ligne u o passe par Taxe de rotation du cercle

gradué. Pour le faire voir, supposons cette ligne excentrique, et soient o' ti', o" ti" (fig. 12) ses positions successives en visant aux objets A et A'. U est évident alors que o* m o'* est l'angle des deux points A et A' au point m de croisement des deux lignes. Or si du point c, intersection de l'axe prolongé de rotation du cercle avec le plan des lignçs o' u, o" u'\ nous menons les parallèles cU ei cls!' h ces lignes, l'angle k ck' est égal à l'angle o> m o". Or k'ck" mesure la rotation du cercle nécessaire Fig. 12. " pour que la ligne o' u' prenne la position o" u" j donc la rotation du cercle mesure bien l'angle o' m o*\

La ligne u o porte le nom de ligne de collimation de la lunette. Cotte ligne que nous ne voyons pas et qui est définie par la croisée des deux fils et par le point mathématique o fixé dans l'objectif n'en est pas moins apte malgré son invisibilité pour nous à manifester la direction d'un objet, puisqu'il sufBt que l'image de ce

point se forme pour nous derrière la croisée u des fils pour que nous soyons certains que l'objet en question est dans le prolongement de la ligne uo. On voit donc que c'est sur la propriété optique du point o que repose le merveilleux emploi de lunettes pour la fixation des visées et la précision de la mesure des angles. La propriété de l'oculaire de ne pas agir sur le pointé réel, mais de grossir les images de manière à fieiire juger de la qualité de ce dernier, donne au pointé par les lunettes un avantage immense par rapport aux procédés anciens de pointé par des règles portant des plaques per cées de trous ou de fentes, qu'on nommait pinnules (fig. 13 et 14). Les pointés par des r^les portant des pinnules sont encore em-

IJIM. ^JJIL JiJJJ-J^. ,^^^ 'LJAJ-i*

FIg. 18.