a = c sec A tang A 5 A

expression dans laqueUe le second membre est du second ordre,

tant que le produit sec A o A n'est pas très-grand , puisque c et oA sont très-petits.

Il est évident qu'au théodolite, l'influence de la coUimation sur les lectures azimutales est de sens contraire dans la position directe et dans la position inverse de l'instrument, et si les observations sont faites à la même hauteur, les erreurs sont alors égales et de signe contraire. Il en résulte qu'on élimine l'influencedela coUimation en observant dans les deux positions et en prenant la moyenne des hectures. L'élimination est d'autant plus parfaite que les hauteurs sont plus voisines de l'égalité dans les deux cas.

46. — A la lunette méridienne, la collimation forme un angle constant que l'astre doit traverser entre l'instant de l'observation et celui de son passage au plan méridien. En appelant c la collimation de l'instrument exprimée en secondes d'arc, une étoile équatoriale emploiera donc un nombre de secondes de temps égal à

— pour parcourir cet intervalle, puisqu'une seconde de temps lo

répond à 15 secondes d'arc parcourues. Une étoile de déclinaison D emploiera pour parcourir cet angle constant un temps plus long dans le rapport inverse de sa vitesse à celle d'une étoile équatoriale, vitesse qui, comme nous l'avons vu en parlant de l'intervalle des lils des lunettes (n"" 33), est cos D, en appelant 1 celle d'une

étoile équatoriale. Le temps employé par une étoile quelconque

à traverser le petit angle c est donc 7= =;.

^ ^ 15 cos D

Si la collimation est vers l'est, c'est-à-dire si la lunette dévie vers l'est, le passage aura lieu à la lunette pour les passages supérieurs des étoiles plus tôt qu'au méridien ; le contraire aura lieu pour les passages inférieurs. En regardant donc c comme positif quand la déviation est vers l'est, comme négatif quand elle est vers l'ouest, on devra, pour avoir le vrai instant du passage au méridien, joindre à l'instant observé le nombre de secondes donné par l'équation

45 cos D

le signe supérieur se rapportant au passage supérieur, l'inférieur au passage inférieur. A la lunette méridienne comme au théodolite, la moyenne d'observations position directe et inverse

de rinstrumeot élimine la collimation quand celle-ci n'a pas changé dans le retournement de Taxe sur les coussinets.

47. — 11 nous reste maintenant à corriger les observations de hauteur de l'erreur introduite par la collimation.

La distance zénithale mesurée avec un instrument dont la collimation est c, est celle du pied de la perpendiculaire abaissée de l'extrémité de l'axe optique de la lunette sur le limbe supposé rigoureusement perpendiculaire à l'axe horizontal. (Nous verrons plus tard les effets du défaut de perpendicularité du limbe et les moyens de les compenser et d'y avoir égard ; pour le moment, nous supposons cette perpendicularité rigoureuse. )

Appelons z la distance zénithale de l'astre ainsi mesurée, et z' sa distance réelle. La première est dans le vertical du plan du limbe, la seconde dans celui qui passe par l'axe optique de la lunette. Par le même axe optique menons un plan perpendiculaire au limbe. L'intersection de ce plan avec la sphère céleste sera un arc de grand cercle qui avec la distance zénithale vraie et celle qui est mesurée formera un triangle sphérique rectangle dont rhypothénuse est la distance zénithale vraie; l'un des côtés est la distance mesurée, et le S*' côté est égal à la collimation c de l'instrument.

On aura donc

(i) C0S2' = C0S2C0SC

cos â'sKCOS z — 2 cos js sin' \ c.

Si nous posons z' =z z + m, m étant la correction à appliquer à 5 pour avoir la distance zénithale vraie -s*, l'équation deviendra

cos z cos m — sin 2 sin m = cos js — 2 cos z sin* \ v ou

2 cos z sin' ^ m -f- sin ;s sin m =: 2 cos z sin* ^ c.

En remplaçant sîn m par m sin 1" et sin ^ c par^ c sin l", puisque les arcs m et c sont très-petits, l'équation devient \ m» sin i" cos J5 H- w sin j8 =5 ^ c» sin 1" cos z

d'où

g*sini''cos3

2 sin js + «t sin i" cos z*

Si dans cette expression on fait z = 0, auquel cas sin z=zO et cos j2 = 4 , il vient

Ce qui montre qu'au zénith Terreur est égale à la coUimation même, comme on devait s'y attendre. Mais dès que z est de quelques degrés, m sin 1" cos js est négligeable par rapport à sin z, et la valeur de m se réduit à

(2) m = 5- sin 1" cota,

ce qui prouve que l'erreur crott à mesure que z diminue et qu'elle est nuUe à l'horizon. Cette erreur étant du 2' ordre en c est négligeable jusqu'aux environs du zénith. Pour c = 20" et a = 5'', elle n'atteint encore qu'un centième de seconde.

Dans le voisinage immédiat du zénith, on calculerait la distance zénithale vraie par l'équation (i);la formule de correction approchée (2) cesse de lui être applicable. Les formules (1) et (2) s'appliquent au cercle mural comme au théodolite. Nous reviendrons plus tard sur ce point en traitant d'une manière plus spéciale du cercle mural.

Avec l'équatorial, les effets de la coUimation se calculent comme avec le théodolite, tant pour les angles de déclinaison que pour ceux d'ascension droite, en substituant seulement le pôle au zénith, c'est-à-dire les distances polaires aux distances zénithales. L'identité de forme des deux instruments fait que ce que nous avons dit pour Tun s'applique à l'autre, en remarquant que Taxe vertical du théodolite devient l'axe polaire de l'équatorial.

Sur les procédés optiques qui peuvent j dans les instruments méridiens ou alt-azimutaux , faire connaître avec précision les erreurs instrumentales au moment même des observations.

48. — Nous avons antérieurement indiqué les moyens de déterminer l'inclinaison des axes horizontaux et verticaux des instnhmentset de corriger les observations d'azimut et de hauteur des er-

reurs dues à ces inclinaisons. Nous avons examiné les dispositions qu'il convient de donnera Taxe horizontal, et nous avons fait voir comment, à l'aide du niveau, on peut reconnaître Tinégalité des deux tourillons de cet axe et les irrégularités qui proviennent du défaut de cylindricité de ses tourillons. Nous avons vu qu'il est nécessaire, pour que le nivellement soit bon , que les pattes du niveau reposent sur la partie des tourillons qui supporte le poids de l'instrument (1).

Or, les tourillons ont forcément, pour la solidité, une certaine longueur, et conséquemment, si, indépendamment de la courbure que leur donne la flexion et de leur défaut de cylindricité dans le sens des génératrices des cylindres, ils n'ont pas leurs axes situés exactement sur une même ligne droite, mais au contraire s'ils font un angle entre eux, la distance des points des tourillons qui porteront sur les coussinets variera suivant l'inclinaison de la lunette, tandis que la distance des pattes du niveau est constante. Conséquemment la condition précédente pour que le nivellement soit bon ne sera pas possible. C'est là le cas général. Toutefois, vu les soins apportés dans la construction des tourillons et des coussinets, les erreurs à craindre sont petites. C'est ce qui fait qu'avec les niveaux on peut connaître très-approximativement la situation des axes. Il reste cependant une petite incertitude.

Nous venons de parler ici des axes horizontaux. Hàtons-nous d'ajouter que des faits analogues ont lieu pour les axes verticaux. Remarquons, de plus, que la sensibilité des niveaux est limitée à Fangle où le frottement fait équilibre à la force ascensionnelle de la bulle d'air, et que cette sensibilité est restreinte par de petites anomalies dans la capillarité, anomalies provenant des variations

(1) Celle condition elle-même ne suffit pas lorsqu'on a égard au défaut dlioinogéoéilé de Taxe et aux variations de diamètre qu*il éprouve dans la partie centrale. C'est ainsi, par exemple, que M. Porro a fait remarquer que dans la laoette méridienne de Tobservatoire de Paris^ coostruite par Gambey^ la partie centrale de Taxe composée de deux côoes opposés forme une pièce maisive peu flexible^ pour ainsi dire liée presque invariablement à la lunette, de telle sorte que les flexions doivent avoir lieu surtout près des tourillons. G^estsans doute pour ce motif que Gambey avait disposé son niveau de manière qu'il portât sur les deux extrémités de cette pièce centrale. Toutefois, comme la flexion n*est nulle dans aucune partie de rinstrument, il ne suffit pas, lorsqu'on veut une grande précision^ de s*en rapporter aux mesures de Tinclinaison fournies par le niveau.

9k THÉORIE DES INSTRUIWENTS.

de densité, de courbure et peut-être d'état électrique du verre. Il est donc à désirer que, sans abandonner les niveaux à cause de la facilité de leur emploi, on se serve, pour la détermination des erreurs instrumentales, d'autres procédés qui, n'admettant pas les mêmes objections, puissent servir à Tétude des tourillons, et, par suite , perfectionnent l'emploi du niveau, en faisant connaître les erreurs laissées parce dernier dans les diverses situations de l'instrument. Un système convenable de collimateurs va nous permettre d'atteindre ce résultat.

49. — Considérons d'abord l'axe vertical du théodolite ou de l'alt-azimut, dont les variations de direction réagissent sur l'inclinaison de l'axe de la lunette.

La disposition donnée ordinairement à cet axe par les constructeurs est celle d'un cylindre terminé à ses deux extrémités par des cônes tronqués, dont les sommets, en supposant les cônes prolongés, seraient du même côté, de telle sorte que Taxe entre facilement dans son support et est soutenu par ces deux cônes qui frottent dans toute leur surface, tandis que la partie cylindrique ne frotte pas. Lorsque l'axe est en place dans la situation verticale, les doux cônes sont donc renversés.

Quand l'instrument est lourd, on place à l'extrémité du cône tronqué inférieur une pointe qui vient appuyer sur un ressort équilibrant en partie le poids de l'instrument. Par là, le frottement de Taxe sur les coussinets coniques dans lesquels il repose est diminué de la quantité nécessaire, tout en laissant un poids suffisant pour l'adhérence.

Par une bonne exécution de ces diverses pièces, les artistc^ arrivent à faire que l'axe d'un théodolite étant ramené à la verticale par deux nivellements faits dans doux plans rectangulaires, le nivPAU de l'instrument ne varie presque pas en le faisant tourner autour de cet axe. Pour éviter tout ballottement, il faut porter une attention spéciale à ce que les deux cônes frottent à la fois, résultat pour lequel l'élasticité des pièces et la flexion due au poids do l'instrument facilitent beaucoup les constructeurs. Il est de plus nécessaire que les axes des deux cônes soient exactement en ligne droite, sans quoi la direction de l'axe varierait pendant la rotation.

Quelque soin que Ton mette à la réalisation de ces diverses conditions, on ne peut parvenir à l'exactitude mathématique ; 0 y

THÉOIUE DES INSTRUMENTS. 93

a donc lieu d'étudier les variations de direction que prend Taxe en tournant, variations qui se reproduisent identiques lors d'un retour à une même position.

SO. — Ces changements de direction peuvent être étudiés dans chaque situation du limbe alidade par rapport au cercle gradué, à Taide d'un collimateur pointant, comme nous allons l'indiquer, sur un bain de mercure, collimateur placé dansl'axe vertical ou à côté de cet axe et parallèlement à lui. La situation du collimateur dans Taxe même est préférable, d'abord parce que le bain de mercure ne devra pas être aussi grand que si ce collimateur était excentrique, et, de plus, parce que les lectures pourront avoir lieu dans toutes les situations de l'instrument, sans que l'on soit jamais gêné par les pieds-supports.

Quand on veut placer le collimateur dans l'axe vertical luimême, il faut supprimer la pointe placée à la paT*tie inférieure de cetlixe et qui, portant sur un ressort, annule une partie du poids de riastrument. Mais cet allégement peut également avoir lieu en plaçant vers le milieu de Taxe un deuxième cône renversé comme celui de l'extrémité inférieure. Ce second cône entrerait dans une pyramide tronquée triangulaire, qui ne serait nullement fixe et que des ressorts ou des contre-poids pousseraient de bas en haut, sans exercer d'action latérale appréciable. L'axe alors étant creux et ses deux bouts étant dégagés, l'extrémité inférieure pourra recevoir une lentille, et l'extrémité supérieure des fils croisés et un oculaire.

Par des mouvements de rappel, on doit pouvoir faire varier la position de ces fils croisés de manière à rendre l'axe optique du collimateur (qui est déterminé par la croisée des fils et le centre optique de l'objectif) parallèle à Taxe de rotation .

Au-dessous de ce collimateur doit être disposé un vase rempli de mercure (1). L'oculaire du collimateur est formé d'un micros-

(i) H faut employer des bains rectangulaires de 30 à UO centimètres de côté. Oo a toujours alors de belles images, comme me Ta prouvé Pexpérience, même quand de petits bains circulaires sont très-agilés par les oscillations du sol. On peut poser le bain directement sur le sol; mais il faut Tabriter contre les courants d^air.

Dans les lieux où* par suite des trépidations du sol dues aux voitures, comme à Paris, par exemple, les pointés sur le bain de mercure ne peuvent avoir lieu à tontes les heures du jour^ on pourrait, après avoir pointé sur le bain de mercure à un instant de la nuit où il y aurait tranquillité, disposer un miroir

cope composé. Entre ce microscope et les fils est placée une lame de verre plane, transparente et à faces sensiblement parallèles. A * l'aide de cette lame, inclinée de 45", on réfléchit vers les fils la lumière d'une lampe assez voisine de la lame pour que les rayons réfléchis tombent sur toute la surface de l'objectif (condition in* dispensable pour que tout l'objectif soit employé, sans quoi on pourrait avoir des erreurs). On voit alors dans le microscope composé, et à travers la lame transparente, les fils du collimateur et leur image réfléchie par le bain de mercure, car les rayons émanés d'un même point des fils, après avoir été rendus parallèles par l'objectif, viennent se réfléchir sur la surface du mercure, qui les renvoie vers l'objectif. Celui-ci alors les fait converger dans son plan focal principal en un point unique, qui est l'image du point dont ils sont partis. Il est alors évident que si l'axe optique du collimateur est vertical, la croisée des fils doit coïncider avec son image. Outre les fils fixes dont nous venons de parler, il convient de plus que le collimateur soit muni de deux micromètres rectangulaires, dont l'un ait son mouvement parallèle à l'axe horizontal de la lunette, axe dont les supports sont fixés sur le cercle alidade qui tourne avec l'axe vertical et par suite avec son coUimateur.

Le micromètre, dont le mouvement est parallèle à l'axe de rotation de la lunette de l'alt-azimut, fera connaître l'inclinaison de l'axe vertical dans ce sens, qui est celui où cette inclinaison réagit sur celle de l'axe horizontal de l'instrument. Le second micromètre fera connaître l'inclinaison dans le sens perpendiculaire, c'està-dire dans le sens où on mesure les hauteurs des astres. Les valeurs angulaires des parties de ces micromètres doivent d'ailleurs avoir été déterminées. Si cette détermination n'a pas été faite au préalable en employant la lunette collimateur comme lunette d'observation après l'avoir assujettie sur un autre instrument, et en se servant des procédés que nous avons indiqués pour déterminer

sur des vis de calage au-dessus de ce bain et amener ce miroir à rhorizontalité parfaite à Taide du collimateur vertical auquel on n'aurait pas touclié après son pointé sur le bain de mercure. On se servirait de ce miroir jusqu*à oe que Ton Ut)uvftt un nouvel instant de tranquillité, et comme on n'y toucherait pas dans cet intervalle, ce miroir aurait nécessairement une stabilité plus grande que Taxe de Tinstrument, dont il pourrait servir à mesurer les variations de verticalité.

la valeur des parties des micromètres des lunettes d'observatiou, soit de la lunette méridienne, soit des théodolites et alt-azimuts, on peut la faire sur place, de la même manière qu'on détermine la valeur des divisions des niveaux. Ainsi, considérons le micromètre dont le fil est parallèle à l'axe horizontal de l'alt-azimut, et dont le jeu est conséquenunent perpendiculaire à cet axe. Après avoir sensiblement nivelé l'instrument, on amène la lunette d'observation dans une direction perpendiculaire à 2 des vis de calage du pied, et on la pointe dans cette direction sur un objet éloigné, après avoir, au moyen de la troisième vis du pied, fait varier l'inclinaison de sorte que l'image du fil réfléchie par le mercure tombe sous ce fil pour une lecture choisie à volonté du micromètre. On choisit ensuite une deuxième lecture de ce micromètre et à Taide de la même vis du pied de l'instrument on fait en sorte que, pour cette nouvelle lecture, l'image réfléchie du fil coïncide avec l'image directe; puis avec la lunette d'observation, on pointe sur l'objet éloigné en question : le mouvement de l'alidade indique Tangle répondant à la différence des deux lectures du micromètre employées. Si l'instrument est répétiteur, il est évident qu'on peut ds^s ce cas se servir de la répétition comme pour le niveau. Le deuxième micromètre, perpendiculaire à celui que nous venons de considérer, se détermine de même, en faisant tourner de 90"* le système micrométrique, de sorte qu'il prenne la position du premier.

Pour régler les fils croisés du collimateur, de telle sorte que l'axe optique de ce collimateur puisse être considéré comme Taxe de rinstrument, il faut leur donner par tâtonnement une position telle que l'axe de rotation soit vertical et que l'image réfléchie des fils tombe sur l'image directe. La vérification de la verticalité de l'axe a lieu comme avec le niveau, en ce que la rotation de ISO*" ne doit pas modifier cette coïncidence de l'image directe et de l'image réfléchie. Cette vérification doit se faire dans deux plans rectangulaires. Après cet ajustement, lorsqu'il n'y a pas coïncidence, la distance des deux images, mesurée avec chacun des micromètres, fait connaître l'inclinaison dans le sens du mouvement de ces micromètres. On voit donc d'après ce qui précède qu'un collimateur vertical destiné à pointer sur l'image des fils réfléchie par un bain de mercure équivaut à un niveau en permettant de rendre un axe rigoureusement vertical et de reconnaître si, dans toutes ses positions.

98 THÉORIE DES INSTRmŒNTS.

rinclinaison de cet axe ne varie pas ; en même temps ce collimateur fait connaître la grandeur de la variation, si elle existe.

La nécessité d'interposer une lame de verre pour l'éclairage des fils entre ceux-ci et l'oculaire est la cause qui oblige à employer dans ce cas pour oculaire un microscope composé, afin de pouvoir obtenir une distance suffisante pour le placement de cette lame sans d'ailleurs diminuer le grossissement. Nous avons dit que le collimateur devait être muni de deux micromètres à fil mobile croisés à angle droit. On peut ne lui en établir qu'un seul, pourvu qu'il puisse par une rotation de 90' prendre deux portions rectangulaires. Il y a avantage à ne mettre au foyer de l'objectif du collimateur que deux fils fixes croisés, et à placer le micromètre dans le système oculaire, c'est-à*dire dans le plan focal de l'objectif du microscope composé tenant lieu d'oculaire, car alors ce micromètre est plus sensible. Dans ce cas, il sert à mesurer la distance des fils à leur image réfléchie. Ceci ne change rien à ce que nous avons dit de la détermination de la valeur des parties du micromètre. Quand le micromètre est dans le système oculaire, il peut consister simplement en une lame de verre divisée, afin d'éviter l'emploi de la vis micrométrique. Il est au reste toujours possible d'éviter cette dernière en employant une simple vis de rappel pour le fil mobile, et un microscope supplémentaire poui le mouvement de ce dernier comme nous l'avons indiqué précédemment (n** 36).

SI. — Le placement d'un collimateur dans un axe vertical augmente nécessairement la grosseur de ce dernier, et accroît notablement le travail de sa construction. On peut y substituer, si la lunette d'observation n'est pas au centre des mouvements, un collimateur horizontal porté par l'instrument. Il suffit pour cela d'ajouter en dehors de l'objectif de ce collimateur un prisme à réflexion totale, renvoyant les rayons verticalement de manière à pointer sur un bain de mercure placé sous lui mais au-dessus de l'axe vertical et soutenu par un système indépendant de l'instru* ment. Toutefois cela gène toujours les mouvements pour certaines positions de ce dernier. Mais dans le théodolite ou l'alt-azimut excentrique, la lunette d'obsenation elle-même en la munissant d'un système oculaire avec un micromètre pour pointer sur les fils réfléchis, peut tenir lieu de collimateur dans l'axe pour juger de l'inclinaison dé l'instrument et étudier les déviations de l'axe ver-

tical pour toutes les lectures du limbe, et conséquemment pour connaître les défauts de cet axe de manière à en tenir compte ensuite. Il suffît dans ce cas de déplacer le bain de mercure pour lui faire suivre la lunette alors fixée verticalement et qui de cette maoière joue le rôle d'un collimateur latéral à Taxe. Comme exactitude, ce procédé l'emporte même sur l'emploi des collimateurs dans l'axe vertical en ce qu'il accuse les déviations de la partie supérieure de rinstrument par l'effet des inégalités et des courbures de l'axe vertical, et ce sont ces déviations qu'on a besoin de connaître ; mais en revanche il est moins commode et il ne donne pas les inclinaisons de Taxe répondant aux positions de l'instrument pendant l'oservation, puisque la lunette n'a pas dans le pointé nadiral la direction qu'elle possède en visant aux astres. A cause de cela, c'est aux niveaux qu'il faut recourir avec les instruments dépourvus de collimateur dans leur axe vertical, et il y a en cela d'autant moins d'inconvénient que, pour les azimuts, comme nous l'avons vu, l'inclinaison de l'axe vertical, dès qu'elle est petite, est sans importance pour les hauteurs auxquelles on mesure les angles azimutaux, pourvu qu'on tienne compte de l'inclinaison de l'axe horizontal dans la pî)sition oîi a été faite l'observation ; et pour la mesure des hauteurs, si on ne veut pas se contenter des niveaux, la lunette d'observation elle-même peut être employée soit pour viser successivement au nadir, c'est-à-dire à ses propres fils réfléchis par le bain de mercure, soit pour viser directement à un astre, ou à l'image réfléchie de ce dernier, par un autre bain de mercure. U est vrai que, dans ces cas, il faut toujours s'assurer à l'aide du niveau si la position de l'instrument n'a pas varié entre ces deux observations successives. Au reste, avec de bons niveaux, on a facilement pour les théodolites une précision en rapport avec celle du pointé des petites lunettes de ces instruments. Ce n'est donc que pour les grands ait-azimuts que le collimateur dans l'axe vertical offre réellement des avantages. Dans les petits théodolites, c'est par la répétition des observations qu'on affaiblit à la fois les influences des anomalies et du frottement de la bulle du niveau et celles du pointé de la lunette, les unes comme les autres pouvant également prendre des signes contraires.

32. — Nous allons maintenant nous occuper de l'emploi des collimateurs pour le nivellement de l'axe horizontal.

Nous avons déjà fait voir que, pour une bonne détermination de

iOO THEORIE DES INSTRUMENTS. .

la collimation, la lunette méridienne, le cercle mural ou Tait-azimut devaient être munis de deux collimateurs opposés pouvant être dirigés Tun sur l'autre et que nous appellerons A et B. Cette détermination de la collimation deviendra très-rigoureuse si, dans Taxe horizontal de la lunette méridienne ou de Tait-azimut, se trouve un collimateur comme celui dont nous venons de parler pour les axes verticaux, avec cette différence que, comme il ne s'agit pas ici d'observer par réflexion, un oculaire ordinaire est sur&sant. Perpendiculairement au méridien et horizontalement, doit être disposée une lunette collimateur que nous appellerons C, pouvant être pointée sur celle de Taxe de l'instrument, et réciproquement. On peut alors pointer la lunette de l'instrument sur le collimateur nord A, le collimateur de Taxe étant en même temps pointé sur le collimateur C perpendiculaire au méridien. Faisant tourner alors la lunette pour pointer sur le collimateur sud B, en veillant à ce que la lunette de Taxe reste pointée azimutalement sur le collimateur C, on peut déterminer exactement la collimation de l'instrument. Il est évident d'ailleurs que, pour bien placer suivant Taxe le collimateur de cet axe, on a fait préalaJ)lement varier la position de son réticule jusqu'à ce que, pour les deux positions opposées de la lunette dans deux plans rectangulaires, ce collimateur reste pointé sur le collimateur G, auquel on a donné la position convenable. Ceci est facile, car on pointe d'abord G sur la moyenne des deux positions que prend le collimateur dans les deux positions horizontales de la lunette objectif nord et objectif sud, puis dans le sens des hauteurs sur la moyenne des deux positions répondant à la lunette objectif en haut et en bas. Après quoi, on règle le collimateur de Taxe sur C. Ensuite, pour le cas où on n'aurait pas bien pointé sur les positions moyennes, on recommence jusqu'à ce que, pour les quatre positions considérées de la lunette, le pointé persiste.

La collimation étant déterminée, si on pointe la lunette méridienne ou celle de Tait-azimut sur un bain de mercure en lui appliquant un oculaire tel que celui que j'ai décrit (n"* SO) pour le collimateur dans Taxe vertical, l'image réfléchie des Gis devra se former sur les fils eux-mêmes si Taxe optique delà lunette est vertical. Dans le cas contraire, la distance des deux images mesurée avec le micromètre de la lunette d'observation fera connaître Tanle de cet axe optique et de la verticale. Cet angle est égal à la

THÉORIE DES INSTRUMENTS. lOI

somme de la collimation, plus Tinclinaison de Taxe horizontal de rotation. La coUimation étant connue, on connaît donc Tinclinaison. Dirigeant alors le collimateur C sur le collimateur de Taxe horizontal de la lunette' de façon à le pointer en hauteur comme en azimut, on peut amener ce collimateur C à une parfaite horizontalité ou connaître son erreur d'horizontalité. Si , outre ses fils fixes, le collimateur C est muni de deux micromètres rectangulaires de Tun quelconque des divers systèmes de micromètres que nous avons décrits pour les collimateurs dans l'axe vertical, l'un dans le sens des hauteurs, l'autre dans celui des azimuts, on voit alors qu'on peut^ dans toutes les positions de la lunette méridienne , connaître l'inclinaison de l'axe de la lunette et la différence de l'azimut de cet axe avec celui qu'il occupe quand la lunette est horizontale. Il est pour cela nécessaire que les valeurs des parties de ces micromètres soient connues, et elles le sont facilement, si, ayant placé un instant le collimateur G dans le méridien , en donnant successivement à chacun de ses micromètres la direction horizontale, on a avec ce micromètre visé aux divers fils de la lunette dont les intervalles sont connus, ou visé à des positions connues du fil mobile du micromètre de la lunette méridienne dont les valeurs des parties sont connues. On peut de celte manière étudier parfaitement les micromètres du collimateur C, qu'on pose ensuite à sa place définitive perpendiculaire au méridien en visant le collimateur de Taxe de la lunette. Dans le cas de l'alt-azimut, le même procédé de pointé sur la lunette d'observation ferait connaître la valeur des parties des micromètres de C.

53. — S'il s'agit d'un ait-azimut à lunette centrée et si, pendant les expériences précédentes, on a eu soin que le collimateur de l'axe vertical fût exactement pointé sur le bain de mercure, on peut faire tourner l'instrument de 90*" autour de cet axe. Puis alors, agissant sur le calage de l'instrument de manière à ramener cet axe à la verticalité, s'il s'en est écarté, on peut rendre les collimateurs Â et B horizontaux comme le collimateur G.

On peut encore rendre horizontaux les collimateurs Â et B de la manière suivante : ces deux collimateurs étant pointés Tun sur l'autre, on dirige la lunette de l'instrument sur un d'eux, A par exemple, le collimateur de l'axe vertical étant en même temps

102 THÉORIE DES LNSTRUMENTS.

pointé sur le bain de mercure. On fait ensuite tourner l'instrument de 180« autour de son axe vertical, et si on a maintenu le collimateur de l'axe vertical pointé sur le bain de mercure, la lunette doit être pointée sur le collimateur B, si les collimateurs B et A sont horizontaux. Dans le cas contraire, la différence de pointé en hauteur fait connaître le double de l'inclinaison de ces collimateurs. Il faut toutefois, dans ce cas, que le collimateur de l'axe vertical ait deux micromètres rectangulaires.

Les collimateurs A, B, G étant horizontaux, si on dirige sur l'un d'eux le collimateur de l'axe horizontal, et si on fait prendre à la lunette de l'instrument les diverses positions qu'elle peut prendre autour de son axe en mesurant avec le niveau dans chacune de ces positions l'inclinaison de cet axe, la comparaison de ces nivellements avec celui que l'on déduira du pointé sur le collimateur fera connaître la correction à appliquer au niveau, par suite des inégalités de l'axe, pour les différentes hauteurs de la lunette. Après cette étude, le niveau pourra être employé à la mesure de l'inclinaison dans tous les azimuts où on ne peut pas pointer sur un collimateur (1). On aura un contrôle de ces opérations par la détermination de l'inclinaison par les pointés directs et par réflexion d'une circompolaire à ses azimuts extrêmes, comme nous le verrons plus tard.

Le collimateur nadiral de l'axe vertical permettra de même de comparer les inclinaisons de cet axe obtenues par le pointé sur le bain de mercure avec celles que fournissent les niveaux dans deux plans rectangulaires ; par là on fera la table des corrections à appliquer au niveau, par suite des erreurs de l'axe, pour les divers azimuts du zéro de l'alidade, de sorte que, dans les instants où le pointé au nadir n'est pas possible à cause des oscillations du sol, on pourra se servir du niveau avec une grande exactitude.

On voit que, par les moyens qui précèdent, on obtiendra une détermination très-précise des erreurs instrumentales, et on s'en servira pour corriger les observations. Gela vaut beaucoup mieux que d'éliminer les erreurs instrumentales par des renversements

(1) Ceci a aussi bien lieu avec les ait-azimuts à luneUe excentrique qu*avec les ail-azimuts à lunette centrée ; la seule diiïérence est que pour les alt-aztmats à lunette excentrique, les collimateurs A et B placés excentriquement oe peuvent servir que pour la collimation. Mais ie collimateur C sert de la même manière avec la lunette soit centrée ou excentrique.

de rinstrument , parce que ces renversements supposent les axes parfaits, ce qui n'a pas lieu ordinairement.

54. — Quand le bain de mercureestobservable, on peut, quels que soient l'azimut et la hauteur où Ton observe, déterminer l'inclinaison de l'axe horizontal de la lunette sans le niveau. Il suffît, en effet, pour cela d'amener le collimateur de l'axe de la lunette sur le collimateur G, ce qui donne dans la position actuelle de l'instrument l'inclinaison de l'axe horizontal. On détermine alors par le collimateur nadiral l'inclinaison de l'axe vertical dans le sens où elle agit sur celle de l'axe horizontal, et on déduit de ces deux déterminations l'angle des deux axes. Amenant ensuite l'instrument dans un azimut quelconque, il n'y a plus qu'à mesurer l'inclinaison de l'axe vertical par le collimateur nadiral pour en déduire celle de l'axe horizontal. A la rigueur, notre système de collimateurs permettrait d'abandonner l'emploi des niveaux, qui ne doivent être conservés qu'à cause de leur commodité.

Remarquons ici que l'alt-azimut se change en lunette méridienne et fournit des observations de même nature et de même précision que celles de ce dernier instrument, quand le collimateur de l'axe horizontal de la lunette est pointé sur le collimateur C (1). On a au contraire l'instrument des passages dans le premier vertical si ce même collimateur de l'axe horizontal est pointé sur l'un des collimateurs A et B.

55. — En général, quand deux collimateurs doivent être visés l'un sur l'autre, on peut remplacer l'un d'eux par un miroir, en observant avec le second collimateur l'image réfléchie de ses propres fils sur le miroir qui remplace le premier collimateur. Gela ne change rien aux diverses vérifications de collimation ou d'inclinaison, et offre même l'avantage de doubler la sensibilité du micromètre, en ce qu'il ne faut donner à la valeur de ses parties que la moitié de leur valeur déterminée comme précédemment, car la réflexion a pour effet de doubler la déviation. Ainsi on peut remplacer l'un des collimateurs A et B par un miroir.

Hais de tous les collimateurs, celui qu'il est le plus avantageux de remplacer par un miroir est celui de l'axe horizontal de la lunette de l'instrument, soit méridien, soit alt-azimutal. Ce miroir peut alors être placé très-près du milieu de cet axe hori-

(0 Cela a lieu aussi bien avec un alt-azimul à luDeUe excentrique qu'avec no all-azimol à lanelte centrée.

lOA THÉORIE DES LNSTRUMENTS.

zontal (1). Il se trouve de cette manière invariablement lié au corps même de la lunette, et donne la vraie inclinaison de l'axe, c'est-à-dire celle du milieu de cet axe, tandis qu'un collimateur dont l'objectif serait dans un des tourillons et le réticule dans l'autre, ne servirait qu'à faire connaître les variations de hauteur de ces tourillons, lesquelles, à cause des anomalies des flexions de l'axe qui est composé de pièces hétérogènes et de diamètre variable, peuvent être très différentes des variations d'inclinaison de l'élément milieu de l'axe, celui autour duquel en réalité la lunette tourne. Le miroir placé comme nous venons de le dire est observé à l'aide du coUimateur G et à travers l'un des tourillons qui est percé (2). Les considérations que nous venons de développer prouvent que, dans Tait-azimut à lunette centrée, il faudrait bien se garder de placer le miroir collimateur de l'axe à Tune des extrémités de cet axe. On n'aurait pas alors la vraie inclinaison.

Le miroir, dont nous venons de parler, et qui doit être placé vers le centre de l'axe horizontal delà lunette, ne sert pas seulement à mesurer les variations d'inclinaison de cet axe, il sert aussi à mesurer les variations d'azimut que ce même axe peut éprouver dans la rotation de la lunette. A cet efTet, le collimateur G doit être muni de deux micromètres, l'un vertical, l'autre horizontal. De plus, dans l'alt-azimut, le collimateur G, au lieu d'être invariablement fixé perpendiculairement au méridien, peut partager le mouvement azimutal de l'instrument autour de son axe vertical; mais il ne doit pas tourner avec l'axe horizontal de la lunette, dont il faut qu'il soit entièrement indépendant. Dans ces conditions, il joue le même rôle que le collimateur fixe G^ dont nous avons parlé en indiquant

(1) Il peut être presque sensiblement à ce milieu même si l'oculaire est au centre 'des mouvements de rinstniment, et dans le cas où la lunette est portée par son centre, il pourrait sans intercepter le cône des rayons allant de Tobjectif à l'oculaire, n'être éloigné du milieu de cet axe horizontal que du quart du diamètre de Tobjeclif environ. On pourrait même le former de deux miroirs demi*circulaires, placés Pua d'un côté de ce cône de rayons, Pautre du côté opposé, et réglés parallèlement de manière à réfléchir dans le même sens.

(2) Si ralt-azimut est à lunette excentrique, il est inutile que Taxe soit creux, car le miroir peut être tourné du côté opposé à l'axe. Mais si on veut que le collimateur G soit mobile et soit porté par le limbe alidade, comme nous le verrons plus loin, il est pour la construction avantageux de le placer du côté opposé à ta lunette, dont alors Taxe de rotation doit être creux et ouvert, pour permettre de pointer sur le miroir porté par la lunette elle-même.

TIIÉOKIE DES INSTRUMENTS. 105

le moyen de s'assurer de la constance de la coUimation, et comme il est naturellement amené à la perpendicularité au méridien quand la lunette est visée sur l'un des collimateurs A ou B, et comme il est indépendant delà rotation de Taxe horizontal de cette lunette, il se trouve servir exactement aux mêmes usages que s'il était invariablement fixé dans le méridien, comme nous l'avons supposé précédemment.

Pour tourner avec l'instrument, le collimateur G doit être solidement fixé sur le cercle alidade, et par là il sert à reconnaître si, dans la rotation de l'instrument autour de son axe vertical, la ■pression exercée à la partie supérieure de cet axe pour le faire tourner et la résistance due au frottement de la partie inférieure ne produisent pas une torsion de cet axe dans la région comprise entre la lunette et le limbe, torsion qui aurait pour effet de changer la lecture du limbe à laquelle répond la direction de la lunette, mais qui, si elle a lieu, pourra être mesurée, à l'aide de ce collimateur G, de la même manière que toute variation d'azimut de Taxe pendant la rotation de la lunette dans le changement de hauteur. L'angle de ce collimateur G et de celui de l'axe vertical étant connu par les procédés que nous avons indiqués précédemment, le collimateur dans l'axe vertical fera, dans chaque position, connaître sa propre inclinaison, et on en déduira celle du collimateur G.

Ainsi, en résumé, le collimateur dans l'axe vertical pour viser au bain de mercure, le miroir collimateur dans l'axe horizontal, le collimateur G porté par le cercle alidade, et les collimateurs opposés A et B dans le méridien ou un plan quelconque, suffisent pour déterminer avec précision, dans toutes les positions de la lunette, les erreurs instrumentales de l'alt-azimut, soit à lunette centrée, soit à lunette excentrique.

56. — 11 est évident, d'ailleurs, qu'avec les moyens de rectification que nous venons d'indiquer, et qui permettent de connaître l'inclinaison du vrai axe horizontal de rotation de la lunette dans chaque position de l'instrument, les ait-azimuts et les théodolites excentriques seront aussi exacts que les mêmes instruments à lunette centrée, et comme la position de la lunette y est plus commode pour les observations, ils deviennent réellement préférables.

Mais, en général, dans les théodolites, comme nous l'avons déjà dit, on n'a pas le collimateur de l'axe vertical. Ce collimateur est moins important que celui de l'axe horizontal, ou mieux que le

iO(i THÉORIE DES INSTRUMENTS.

collimateur G visant sur un miroir porté par la lunette. Cependant on n'a pas pensé à munir les théodolites excentriques de ce dernier système ; mais c'est regrettable, et nous ne pouvons trop recommander ce perfectionnement aux artistes. Quant au collimateur de Taxe vertical, on peut s'en dispenser, en plaçant sur le collimateur G porté par le cercle alidade, ou mieux situé à la place ordinaire du contre-poids de ces théodolites, un niveau sensible destiné à faire juger des variations d'inclinaison que peut recevoir ce collimateur. Il est évident, en efTet, qu'après avoir annulé ou déterminé la coUimation parles deux collimateurs opposés A et B, ce qui revient à annuler ou à connaître l'angle de la ligne de collimation et du miroir, il suffît de pointer la lunette d'obsen'ation sur un bain de mercure, dans une position quelconque de l'instrument, pour rendre le miroir vertical ou connaître son angle avec la verticale. On peut alors rendre le collimateur G horizontal en le pointant sur le miroir, ou bien déterminer son angle avec la verticale dans la position actuelle de l'instrument, et on fait la lecture correspondante du niveau porté par ce collimateur. Dans toute autre position de l'instrument, l'angle du collimateur C avec l'horizon sera donc connu en faisant la lecture de son niveau ; car la différence de cette lecture avec celle qui a été effectuée dans la position où on a déterminé son angle avec l'horizon fait connaître la différence de l'angle actuel avec ce dernier qui est connu, et on déduit alors de la lecture sur le miroir dans le sens de la hauteur l'angle de la perpendiculaire au miroir et de l'horizon. Or la perpendiculaire au miroir n'est autre que l'axe même, puisque le miroir a été réglé perpendiculairement à cet axe par la méthode que nous avons indiquée pour les collimateurs dans les axes. En même temps Tangle entre la projection sur l'horizon de cette perpendiculaire au miroir et de la ligne de collimation du collimateur G est mesuré par l'autre micromètre de G perpendiculaire au premier, c'est-à-dire par le micromètre dans le sens azimutal, et en comparant cet angle avec celui qui a lieu quand la lunette d'observation est horizontale, on a pour la hauteur actuelle la déviation de la lunette en azimut par suite des inégalités de son axe, déviation dont les azimuts doivent être corrigés. Le niveau sur le collimateur G remplace, dans le cas que nous venons de considérer, le niveau placé sur l'axe horizontal dans les théodolites ordinaires où le collimateur C n'existe pas. L'autre ni-

veau, parallèle au limbe vertical, reste comme d'habitude et sert pour les observations de hauteur de la manière que nous avons indiquée précédemment (n" 13).

57. — Dans les théodolites portatifs, il serait assez long et difficile, surtout sur un sol inégal, de placer les deux collimateurs A et B pour la détermination de la collimation. Heureusement ou peut se passer de ces collimateurs en combinant avec le pointé nadiral de la lunette d'observation sur un bain de mercure toujours facile à placer sous la lunette, le pointé zénithal sur un bain d'eau par la méthode de M. Porro, méthode imaginée par cet ingénieux constructeur pour sa lunette zénithale.

Le procédé de M. Porro consiste à placer au-dessus de la lunette de l'instrument un vase plein d'eau dont le fond est formé par une glace à faces parallèles. L'oculaire de la lunette est alors le même que pour le pointé sur le bain de mercure. Quand la lunette est verticale, l'objectif en haut, on voit alors l'image des fils réfléchis par la surface inférieure de l'eau, en même temps qu'on voit ces fils directement. En faisant coïncider ces deux images, on est sûr de rendre l'axe optique de la lunette parfaitement vertical. Le bain d'eau, dans le cas que nous considérons, est soutenu au-dessus de la lunette par un support spécial, et il est recouvert d'un couvercle noir pour que la lumière extérieure n'éteigne pas l'image réfiéchie des fils. Le défaut de parallélisme de la glace inférieure, s'il existe, peut être compensé en retournant le vase de ISO*" pour faire un deuxième pointé. (La même considération a lieu si on couvre par une glace le bain de mercure dans le pointé nadiral pour empocher le vent d'agiter la surface du mercure) ; seulement les faces de la glace donnent aussi des images réfléchies, mais on les distingue facilement de celle que renvoie l'eau à cause de leur fixité^ tandis que l'image donnée par l'eau, se reconnaît de suite par la moindre agitation.

Il est évident qu'en combinant le pointé zénithal sur l'eau avec le pointé nadiral sur le mercure, cela revient pour la détermination de la collimation à pointer sur deux collimateurs opposés, puisque les deux surfaces réfléchissantes sont horizontales, et par conséquent parallèles. Ainsi les collimateurs opposés, pour les théodolites comme pour la lunette méridienne et le cercle mural, peuvent être remplacés par les pointés zénithaux et nadiraux.

i08 TilÉOIUE DES BSSTOUMENTS.

On voit donc que, pour les théodolites, les procédés optiques de rectification sont des plus simples et se bornent au seul collimateur C, portant le niveau qu'aujourd'hui on place sur Taxe horizontal, et pointant sur un miroir assujetti sur la lunette. 11 suffit d'y joindre deux vases, l'un pour recevoir du mercure, l'autre à fond transparent pour recevoir de l'eau . >

S8. — Quand on n'a pas ces moyens optiques de rectification, il faut toujours observer de la manière indiquée précédemment dans les deux positions directes et inverses, pour sinon éliminer radicalement, au moins atténuer considérablement les erreurs d'axe.

C'est aussi ce qu'on est toujours obligé de faire avec les théodolites excentriques lorsqu'on veut prendre des différences d'azimut entre deux objets terrestres inégalement distants et assez rapprochés pour qu'on ne puisse pas regarder comme parallèles les rayons qui leur sont menés du centre de l'instrument et de l'extrémité de l'axe horizontal portant la lunette ; car dès que les objets sont assez éloignés pour que ce parallélisme existe, les angles mesurés dans une seule position, directe ou inverse, sont évidemment les mêmes, soit que le théodolite porte sa lunette au centre, soit qu'il la porte excentriquement. Mais si les objets sont rapprochés et inégalement distants, l'angle azimutal mesuré entre eux, position directe, par exemple (ou lunette à droite de robser\'ateur), est égal à l'angle existant au centre de l'instrument, plus l'angle formé par les rayons visuels menés à l'objet de gauche du centre de l'instrument et de la position de la lunette, moins l'angle formé par les rayons visuels menés à l'objet de droite et émanant du centre de l'instrument et de la lunette visant vers lui. Dans la position inverse, ou lunette à gauche de l'observateur, l'angle mesuré sera égal à l'angle qui aurait été mesuré au centre, moins l'angle qu'on ajoutait dans la position directe et plus celui qu'on retranchait. La demi - somme des deux angles sera donc égale à l'angle des deux objets mesuré du centre de l'instrument. On voit donc que l'inconvénient du théodolite excentrique pour les angles azimutaux des objets terrestres, disparaît en prenant la moyenne des angles mesurés, position directe et position inverse de Tinstrument; et l'angle ainsi obtenu est le même que si l'instrument avait été centré. Pour les objets célestes, une seule position suffit si les moyens de rectification des axes sont

ceux que nous avons indiqués. Les deux positions ne sont nécessaires que si ces rectifications n'existent pas. Mais il est toujours bon de les employer toutes les deux quand le temps le permet.

59. — Nous teminerons la longue digression que nous avons faite sur les collimateurs et les procédés optiques de rectification des axes en signalant un autre emploi des collimateurs. C'est pour s'assurer que la lunette méridienne ne change pas d'azimut. On peut^ dans ce but, se servir d'une mire éloignée ; mais comme, dans ce cas, les réfractions terrestres provenant du sol échauffé sur une grande étendue, et les ondulations qui en résultent dans les images, jettent du doute sur la valeur de ce procédé et souvent empêchent les observations, on emploie avec avantage un collimateur fixe situé dans le méridien. Mais la stabilité d'un tel collimateur est d'autant plus grande que son foyer est plus long. Celui de l'observatoire de Paris possède 80 mètres environ de distance focale. Deux piliers, éloignés de cette distance, portent l'un l'objectif, l'autre les fils croisés au foyer de ce dernier. Il est évident , d'ailleurs, que plus est grande la distance entre eux, moins les petits déplacements que chacun peut subir, influent sur la direction de la ligne de collimation, et conséquemment plus cette dernière est stable. Les fils croisés des collimateursmires, comme ceux des autres collimateurs, sont placés de manière à faire un angle de 45"" avec les fils des lunettes d'observation, car alors il est plus facile d'obtenir un bon pointé de ces dernières sur les collimateurs que si les fils étaient parallèles.

Sur la flexion des lunettes.

60. — Il nous reste maintenant , pour terminer l'étude des lunettes, à parler de leur flexion sous l'action de la pesanteur.

Concevons une lunette fixée sur son axe par son centre : la pesanteur tend à courber son tube en abaissant ses deux extrémités . Si le tube est symétrique des deux côtés de l'axe jusqu'au système objectif et au système oculaire, et si ces deux systèmes sont égaux en poids, condition qu'on peut toujours réaliser à l'aide d'un poids additionnel à celui d'entre eux qui serait le plus léger, la flexion sera symétrique des deux côtés de l'axe, c'est-à-dire que le système objectif et le système oculaire seront également abaissés par la fleiion, de sorte que la ligne menée du centre optique de l'objectif

ilO THÉORIE DES INSTRUMENTS.

à la croisée des fils sera parallèle à la position qu'elle occuperait s'il n'y avait pas flexion. Ce fait se voit à première vue si la lunette est horizontale; mais si elle est inclinée il faut, pour s'en apercevoir, décomposer la pesanteur en deux autres forces, l'une suivant la longueur du tube, l'autre perpendiculaire à ce dernier. Or la première composante n'agit pas pour courber la lunette, c'est la seconde seule qui influe sur la courbure. Gomme les secondes composantes, aussi bien du côté de l'objectif que de celui de l'oculaire sont égales, on voit que la flexion est symétrique de part et d'autre, de sorte que le centre optique de l'objectif et la croisée des fils s'écartent également de l'axe du tube supposé sans flexion, et conséquemment la ligne qui joint ces deux points reste parallèle à ce qu'elle serait sans la flexion elle-même.

Lorsque les lunettes sont symétriques et portées par leur centre, leur flexion n'influe donc pas sur la direction de leur ligne de collimation , et conséquemment cette flexion est sans influence sur les hauteurs mesurées. Il est évident, d'ailleurs, que la flexion, se faisant dans un plan vertical, n'agit pas sur les azimuts de la ligne de collimation. Il y a, toutefois, une petite restriction à faire au sujet des angles de hauteur : elle vient de ce que les anomalies existant dans l'homogénéité de la matière peuvent bien faire que, malgré la symétrie, l'élasticité ne soit pas rigoureusement égale des deux côtés du centre. Mais il est certain qu'elle ne différera que très-peu; de sorte qu'avec une disposition symétrique la flexion ne modifie la direction de la ligne de collimation que d'une quantité du deuxième ordre, par rapport à ce qu'elle ferait s'il n'y avait pas symétrie. Ainsi les lunettes coudées à angle droit à l'aide d'un prisme, pour que le bout oculaire se trouve dans l'axe horizontal m^me afin de regarder par Taxe, n'ont pas leur flexion du côté de l'objectif compensée par celle du côté de l'oculaire. Cette construction est donc vicieuse.

Dans les petits instruments, il est vrai, les flexions sont trèspetites, mais il est bon que, malgré la petitesse des dimensions, les lunettes soient assez longues et débordent notablement les cercles^, car la précision du pointé dans la lunette doit être égale à celle de la lecture du limbe pour laquelle on peut employer de forts grossissements; et pour que cette condition existe, il faut nécessairement des lunettes plus longues que le diamètre des cercles. C'est fort à tort que les anciens artistes, comme Gambey, limitaient la

THÉORIE DES LVSTRUMExXTS. 111

longueur des lunettes à ce diamètre; et il en résultait que les soins extrêmes qu'ils prenaient à la graduation étaient perdus, puisque le pointé n'offrait pas avec la lunette la précision de cette graduation .

La flexion des lunettes constitue la cause principale pour laquelle dans les lunettes astronomiques, on n'interpose pas, comme dans les longues-vues terrestres , plusieurs lentilles entre le système objectif et le foyer de l'oculaire où sont les fils du réticule, dans le but, par exemple, d'augmenter le grossissement sans allonger notablement la lunette. En effet, quand la lunette se courbe, les divers centres optiques de ces diverses lentilles et le réticule formeraient une ligne courbe à courbure variable suivant l'inclinaison de la lunette, et il est facile de voir que cette courbure changerait la ligne de collimation. Parla même raison, il y a aussi inconvénient à replier la ligne de collimation par l'emploi de prismes à réflexion totale, car les courbures par la flexion empêchent toujours de considérer l'objectif et les diverses pièces interposées comme faisant un système invariable, ce qui serait la condition nécessaire pour que la ligne de collimation pût être repliée sans inconvénient.

61. — Dans la taille de l'objectif d'une lunette, on peut disposer de quatre surfaces, et les conditions de l'achromatisme laissent indéterminé un des rayons de courbure. M. Porro a eu ringénieuse idée de mettre cette propriété à profit pour éliminer la flexion des lunettes et pour faire dépendre de la position de l'objectif la situation du réticule. Ce procédé consiste à donner à l'une des surfaces pour rayon de courbure la longueur focale de l'objectif, de sorte que les fils du réticule, si on les éclaire comme dans le cas où on observe leur image réfléchie par un bain de mercure, se réfléchissent dans cette surface et viennent former leur image dans le plan focal. Il existe alors une position du réticule, position dépendant seulement de l'objectif et dans laquelle les fils coïncident avec leur image. Cette disposition, très-importante pour éliminer la flexion, ne suffit pas à assurer la constance de la collimation t puisque tout déplacement de l'objectif sur la sphère ayant pour centre le milieu du réticule n'empêche pas la réflexion de la croisée des fils sur elle-même ; seulement, avec la disposition prise par M. Porro, la ligne de collimation ne dépend plus que de l'objectif, puisqu'elle n'est autre que la ligne

H2 THÉORIE DES LNSTRUMENTS.

joignant le centre optique de Tobjcctif au centre de courbure de Tune de ses surfaces. On peut profiter de cela pour s'assurer à l'aide de la disposition suivante si la collimation reste constante pour les diverses inclinaisons de l'instrument :

Latéralement, sur un point du contour de l'objectif serait une petite surface plane parallèle à Taxe optique, et argentée électrochimiquement de façon à former miroir.

En plaçant alors ce miroir dans le prolongement de l'axe horizontal de rotation de la lunette et perpendiculairement à cet axe de telle sorte que l'objectif se trouvât lui-même parallèle à l'axe horizontal de rotation et situé dans son prolongement, le collimateur G du n» 55 situé dans le prolongement de l'axe horizontal viserait sur ce miroir qui lui réfléchirait ses fils, et alors le miroir en question, solidaire avec l'objectif qui seul détermine maintenant la ligne de collimation, remplacerait celui que nous avions supposé dans le n"" 55 au milieu de la longueur de la lunette et dans le prolongement de Taxe horizontal. De cette façon la constance de la collimation serait assurée, ou du moins ses variations seraient mesurées par le collimateur G.

Gette disposition oblige à placer l'objectif au centre de rotation du limbe vertical ; mais ceci n'est pas une objection, car, avec la disposition de M. Porro pour anéantir la flexion, il y aurait inconvénient à le laisser hors de ce centre. La flexion de la portion du tube comprise entre le centre de rotation du limbe et lobjectif, si cette portion de tube existait, aurait pour effet de changer la direction de l'objectif, et par conséquent de modifier l'angle avec l'horizon de la ligne de collimation fixée par cette direction de l'objectif. On voit donc que les angles de hauteur seraient modifiés et que la flexion ne serait pas en réalité éliminée si l'objectif n'était pas sur le prolongement de Taxe de rotation du limbe vertical. Mais comme avec la disposition de M. Porro, on peut ensuite recourber par des prismes autant qu'on veut la ligne de collimation, de même qu'on peut interposer entre l'oculaire et l'objectif autant de lentilles qu'on veut sans que la direction du prolongement de cette ligne de collimation dans l'espace au dehors de l'objectif soit modifiée, le placement de l'objectif au centre n'a plus d'inconvénient, puisqu'on peut à la fois recourber et raccourcir la lunette tout en conservant le grossissement désiré.

TIJÉOUIE DES INSTRUMENIH 113

Toutefois il faut considérer qu'il est assez difficile de donner pour rayon de courbure à une des surfaces de l'objectif exactement la distance focale de ce dernier. Mais au lieu de faire réfléchir les fils de la lunette sur l'une des surfaces de l'objectif, comme Ta proposé M. Porro, on peut également les faire réfléchir sur l'anneau qui maintient l'objectif, pourvu que la surface intérieure de cet anneau (qu'on pourrait faire en verre argenté) appartienne à une surface sphérique, ayant pour rayon de courbure la distance focale de l'objectif. On éviterait par là les difficultés d'exécution, car l'objectif pourrait être assujetti dans cet anneau au point où son foyer coïnciderait avec le centre de courbure de la surface interne de l'anneau. Par là on serait dispensé de donner à l'une des courbures de l'objectif exactement la distance focale, et on rendrait pratique l'idée ingénieuse de M. Porro.

La réflexion des fils sur eux-mêmes par l'anneau de l'objectif offre l'avantage de pouvoir changer de réticule à volonté sans changer la collimation. On pourrait donc employer des fils de grosseur variable, suivant le grossissement de chaque oculaire de rechange, sans pour cela avoir à déterminer chaque fois la collimation .

Les artistes pourront, dans divers instruments, tirer parti de l'idée que nous venons d'indiquer en passant. Pour de grandes lunettes, ce serait un notable avantage d'anéantir ainsi complètement l'effet des flexions par la pesanteur, et même celui des flexions anormales qu'une différence de température entre les deux côtés du tube d'une lunette exposée au soleil peut introduire.

Des cercles gradués.

62. — Les cercles gradués, dans les instruments astronomiques, ont leur limbe divisé en 360 parties égales, qui alors représentent des degrés. Pour faciliter la lecture des angles, le trait de division de S en 5 degrés est un peu plus long, et le chiffrage est fait de 10 en 10* depuis 0** jusqu'à 350% carie n* 360 retomberait sur le degré chiffré 0.

Ces divisions sont effectuées par les artistes à l'aide de machi-

iU THÉORIE DES INSTRUMENTS.

nés à graduer, dans le détail de la construction desquelles nous n'entrerons pas ici. Nous dirons seulement que les artistes parviennent à effectuer des graduations très-régulières; mais toutefois, malgré tous les soins qu'ils apportent à la graduation, elle n'est jamais complètement rigoureuse. Aussi les astronomes doivent-ils se préoccuper de rendre leurs observations aussi indépendantes que possible des erreurs de graduation. C'est ce à quoi on parvient par divers procédés que nous exposerons. Si donc nous ne donnons pas ici la description de la manière dont on gradue un cercle en parties sensiblement égales, en revanche nous décrirons avec détail les moyens d'étudier la graduation d'un cercle, de manière à connaître l'erreur dont chaque division est affectée, afin d'en corriger les observations, et de façon à pouvoir se servir d'un cercle aussi mal gradué que possible, dont les divisions entièrement arbitraires n'auraient aucune égalité entre elles , en un mot d'un cercle dont le limbe serait simplement couvert de traits de repère chiffrés. Mais auparavant nous allons indiquer les moyens par lesquels on mesure les fractions des divisions ou degrés tracés sur le limbe.

On comprend en effet que, même dans le cercle le plus parfaitement gradué, il n'est pas possible de subdiviser le degré jusqu'à la seconde, car les traits seraient alors tellement rapprochés qu'ils se confondraient. Il faut donc limiter à un petit nombre de parties la subdivision des degrés sur le limbe. Dans les petits cercles, on subdivise le degré en 6 parties seulement, qui valent alor^ chacune 10'. Cette subdivision se trouve effectuée à l'aide de 5 traits qu'on fait plus courts que ceux qui marquent les degrés afin d'éviter la confusion, et de plus, parmi ces S traits, afin de rendre la lecture plus facile, celui du milieu, qui marque le demi-degré ou 30' , est un peu plus long que les autres, sans atteindre toutefois la longueur des traits marquant les degrés. Dans les grands cercles, les cercles muraux^ par exemple, on pousse généralement plus loin la subdivision du degré, le plus souvent on le subdivise par 11 traits en 12 parties égales qui alors valent 5', et on facilite la lecture en faisant toujours plus long que les autres le trait du milieu, qui marque le demi-degré. Le demi-degré se trouve alors divisé en 6 parties égales par 5 traits dont celui du milieu, indiquant le quartde degré ou 15', est également plus long que les autres sans atteindre la longueur de celui des demi-de-

THÉORIE DES INSTUUMExNTS. H5

iîrcs. D'autres fois on subdivise le degré en 20 parties valant alors chacime 3', avec des traits plus longs de 5 en 5 pour faciliter la lecture. La première chose à faire quand on se sert d'un cercle gradué est de voir en combien de parties le degré est subdivisé, et cela fait savoir de suite la valeur de la plus petite des divisions du limbe.

63. — Pour avoir les fractions de degré au-dessous de la plus petite des divisions du limbe, deux moyens sont employés : le vernicr et le microscope avec micromètre. Le vemier n'est en usage que dans les petits cercles, ceux des théodolites portatifs, par exemple. C'est lui que nous décrirons en premier.

Supposons, par exemple, pour fixer les idées, que la plus petite des divisions du limbe vaille 10' et qu'on veuille que le vernier donne directement les dizaines de secondes. Dans 10', qui valent 600 secondes, il y a 60 dizaines de secondes. L'artiste prend alors sur la circonférence du cercle alidade dont le limbe est, comme nous l'avons dit en décrivant le théodolite, exactement dans le plan du limbe du cercle gradué et avec sa périphérie en contact avec les divisions de ce cercle gradué, un arc de 60 moins une des plus petites divisions du cercle, qui sont de 10', c'est-à-dire un arc de 590 minutes ou de 10" moins 10', et il divise cet arc en 60 parties qui valent alors chacune 10-10". On les chiffre ensuite dans le sens de la graduation du limbe.

Cela posé, supposons que la division zéro du vernier tombe sur une division exacte du cercle; dans ce cas, la lecture de l'angle est cette dinsîoii même qui est un certain nombre de degrés et de dizaines de minutes. Mais si la division zéro du vernier tombe entre deux divisions du cercle, alors la lecture sera la plus petite de ces deux divisions, plus une certaine fraction. La plus petite des deux divisions en question fait connaître le nombre entier de degrés et de dizaines de minutes , et c'est la fraction restante que le vernier doit permettre de mesurer. Si cette fraction est de 10", on le reconnaîtra de suite en ce que la deuxième di>ision du vemier, celle qui suit le zéro , coïncidera exactement a\ec la première division du limbe après celle dont la lecture a donné le nombre entier de degrés et de dizaines de minutes; car puisque la division du vernier vaut 10 -10'', si le zéro du vernier dépasse de 10" une division, la division suivante du vernier est en coïncidence avec la division suivante du cercle. Si mainte-

iU THÉORIE DES INSTRUMENTS.

On comprend en effet que, môme dans le cercle le plus parfaitement gradué, il n'est pas possible de subdiviser le degré jusqu'à la seconde, car les traits seraient alors tellement rapprochés qu'ils se confondraient. Il faut donc limiter à un petit nombre de parties la subdivision des degrés sur le limbe. Dans les petits cercles, on subdivise le degré en 6 parties seulement, qui valent alors chacune 10'. Cette subdivision se trouve effectuée à l'aide de 5 traits qu'on fait plus courts que ceux qui marquent les degrés afin d'éviter la confusion, et de plus, parmi ces 5 traits, afin de rendre la lecture plus facile, celui du milieu, qui marque le demi-degré ou 30' , est un peu plus long que les autres, sans atteindre toutefois la longueur des traits marquant les degrés. Dans les grands cercles, les cercles muraux^ par exemple, on pousse généralement plus loin la subdivision du degré, le plus souvent on le subdivise par 11 traits en 12 parties égales qui alors valent 5', et on facilite la lecture en faisant toujours plus long que les autres le trait du milieu, qui marque le demi-degré. Le demi-degré se trouve alors divisé en 6 parties égales par 5 traits dont celui du milieu, indiquant le quart de degré ou 15', est également plus long que les autres sans atteindre la longueur de celui des demi-de-

THÉORIE DES INSTULMENÏS. H5

irrés. D'autres fois on subdivise le degré en 20 parties valant alors chacune 3', avec des traits plus longs de S en S pour faciliter la lecture. La première chose à faire quand on se sert d'un cercle gradué est de voir en combien de parties le degré est subdivisé, et cela fait savoir de suite la valeur de la plus petite des divisions du limbe.

63. — Pour avoir les fractions de degré au-dessous de la plus petite des divisions du limbe, deux moyens sont employés : le vernier et le microscope avec micromètre. Le vernier n'est en usage que dans les petits cercles, ceux des théodolites portatifs, par exemple. C'est lui que nous décrirons en premier.

Supposons, par exemple, pour fixer les idées, que la plus petite des divisions du limbe vaille 10' et qu'on veuille que le vernier donne directement les dizaines de secondes. Dans 10', qui valent 600 secondes, il y a 60 dizaines de secondes. L'artiste prend alors sfur la circonférence du cercle alidade dont le limbe est, comme nous l'avons dit en décrivant le théodolite, exactement dans le plan du limbe du cercle gradué et avec sa périphérie en contact avec les divisions de ce cercle gradué, un arc de 60 moins une des plus petites divisions du cercle, qui sont de 10', c'est-à-dire un arc de S90 minutes ou de 10" moins 10', et il divise cet arc en 60 parties qui valent alors chacune 10-10". On les chiffre ensuite dans le sens de la graduation du limbe.

Cela posé, supposons que la division zéro du vernier tombe sur une division exacte du cercle; dans ce cas, la lecture de l'angle est celte division même qui est un certain nombre de degrés et de dizaines de minutes. Mais si la division zéro du vernier tombe entre deux divisions du cercle, alors la lecture sera la plus petite de ces deux divisions, plus une certaine fraction. La plus petite des deux divisions en question fait connaître le nombre entier de degrés et de dizaines de minutes , et c'est la fraction restante que le vernier doit permettre de mesurer. Si cette fraction est de 10", on le reconnaîtra de suite en ce que la deuxième division du vernier, celle qui suit le zéro, coïncidera exactement a\ec la première division du limbe après celle dont la lecture a donné le nombre entier de degrés et de dizaines de minutes; car puisque la division du vernier vaut lO'-lO", si le zéro du vernier dépasse de 10" une division, la division suivante du vernier est en coïncidence avec la division suivante du cercle. Si mainte-

118 THÉORIE DES INSTUUMENTS.

écarts symétriques de part et d'autre, c'est qu'alors la coïncidence est bien parfaite. Pour permettre d'employer ce moyen de juger les coïncidences, les artistes prolongent de deux traits au-delà du zéro la division du vernier.

64. — Quand on juge qu'aucun trait du vernier ne coïncide rigoureusement avec aucun trait du limbe, on choisit toujours la division qui approche le plus de la coïncidence. Si on juge qu'il y a deux divisions également coïncidentes, on pren^ alors le nombrQ; moyen' des deux nombres qu'elles fournissent. Ainsi si*le vernier donne les 10", et si on trouve que les divisions !' 20" et V 30", par exemple, coïncident également bien avec deux divisions du limbe, on adopte pour lecture 1' 25". Si on juge que les deux divisions, quoique presque également coïncidentes, diffèrent cependant très-légèrement, on adoptera pour lecture i' 24" ou i' 26", suivant que la meilleure coïncidence est du côté de la division l' 20" ou 1' 30". Si on juge l'écart trois fois plus grand du côté d'une des divisions, par exemple du côté de la division i' 30" que du côté de la division !'20", la lecture serait alors intermédiaire entre !' 20" et T 23", et par conséquent de !' 22",5. On pourra noter alors i' 22" ou 1' 23", suivant qu'on jugera que la lecture doit être un peu diminuée ou augmentée. Si la coïncidence est tout près de i' 20", mais dépasse un peu ce chiffre, on notera alors 1' 21''. On voit ainsi comment avec un bon vernier donnant directement les dizaines de secondes seulement, on peut lire l'angle avec la précision de la seconde. Mais, je le répète, ceci n'est possible que si les verniers sont très-parfaits, les traits très-déliés et la loupe un peu forte. J'ajouterai même que l'expérience m'a appris qu'un vernier bien fiiit donnant seulement les dizaines de secondes est plus avantageux pour lire la seconde elle-même qu'un vernier où l'artiste a voulu donner les 5 secondes ou les 3 secondes. L'œil se fatigue ipoins entre moins de traits, et des écarts un peu plus grands se prêtent mieux à la comparaison, indépendamment de ce que l'artiste, par de plus grands écarts, arrive à une perfection proportionnellement plus grande, d'autant plus que les erreurs de graduation, même en restant constantes, sont alors une plus petite fraction des écarts , et se partagent entre des nombres plus grands.

65. — La nuit, pour lire les limbes des théodolites, une petite lanterne fermée de côté et en arrière par des parois opaques pour

ne pas projeter la lumière dans rœil , et tenue à la main , mais munie d'un réflecteur en arrière de la lumière et d'une lentille en avant, sert à projeter la lumière sur le limbe. Un verre dépoli incliné que les artistes placent en arrière du vernier est alors éclairé par dessous, et ce verre en se réfléchissant dans le métal fait parfaitement ressortir la graduation. Il est important pour lire les verniers de mettre au milieu du champ de la loupe la division la mieux coïncidente , et de regarder bien perpendiculairement au limbe, afin déjuger avec certitude des différences d'écarts des divisions voisines à droite et à gauche, écarts que l'obliquité, à cause de la profondeur des traits, peut modifier en apparence. Il est bon aussi d'éclairer toujours dans la même direction pour que les influences des flancs des traits éclairés soient les mêmes dans toutes les lectures. Cette condition est importante pour que les différences de lecture que donnent les angles observés ne soient pas affectées par les différences de l'éclairage.

Le vernier n'est pas seulement employé pour les théodolites portatifs, il est également en usage dans les cercles répétiteurs, les sextants, les octants et les cercles de réflexion. Pour les grands instruments, tels que les cercles muraux, les ait-azimuts et même les grands théodolites, on emploie les microscopes avec micromètres pour obtenir la subdivision des dernières divisions du limbe. Ce procédé est bien supérieur au vernier. Il n'a pas comme ce dernier le défaut d'exiger une graduation parfaite, car les imperfections de la graduation ne réagissent pas sur la lecture des subdivisions du limbe, comme avec le vernier. Aussi, dans les instruments où les lectures se font avec microscope, peuton par une bonne étude de la graduation, tenir compte des erreurs de cette dernière. Comme d'ailleurs la lecture des micromètres est plus facile que celle du vernier et expose à moins d'erreurs, on devrait, même dans les petits théodolites, employer les microscopes au lieu des verniers. C'est une recommandation qu'on ne peut trop faire aux artistes qui construisent les instruments.

66. — Nous allons maintenant expliquer l'emploi des microscopes pour la subdivision des dernières divisions du limbe. Pour cela nous considérerons d'abord la disposition qu'on leur donne dans le cercle mural où ils sont fixes. Nous indiquerons ensuite les perfectionnements qu'il serait bon de leur faire subir et la dispo-

iSO TIIËORIE DES INSTItUUENTS.

sitioD qu'ils doivent recevoir quand ils sont portés par une alidade mobile.

Au cercle mural on met plusieurs microscopes, de même qu'au tbéodolite on met plusieurs verniers. Nous verrons tout à l'heure la cause de cette répétition des verniers et des microscopes. Pour e:ipltquer l'usage des derniers, il nous suffit d'en considérer un seul. Nous supposerons donc d'abord que l'instrument n'a qu'un seul microscope.

Dans le cercle mural, le limbe tourne en même temps que la lunette, et le microscope repère est scellé Qxement dans le mur. Généralement le cercle est divisé sur sa tranche, et le microscope est extérieur à lui de manière & pointer sur les divisions comme l'indique la SgureSl. Un miroir, porté par le microscope, sertàproje-

ter la lumière d'une lampe sur les divisions du limbe, et ce miroir est percé de telle sorte que le microscope puisse pointer à travers le trou.

Le microscope, comme nous l'avons déjji dit n" 37, est une petite lunette; le centre optique de son objectif et la croisée de ses Qls définissent sa 1 ligne de coUimation, et on voit ensemble,

I ù travers l'oculaire, ces tils et une partie

de la division dulin:ibe,fig. 22. Nousavons d'ailleurs déjà indiqué dans le n* 28 comment on met les images au point. Le S]'s- Fd. n. tème des fils croisés du microscope micro-

TUËOaiE DES INSTRUMENTS, 121

mètre est mu par une vis micrométrique dont la tête divisée marque les fractions de tour, et un index spécial le nombre de tours entiers. Gela posé, supposons les fils amenés à la position répondant à zéro tour, zéro fraction de tour, c'est-à-dire à la position répondant à Torigine du mouvement delà vis. Dans cette situation, la ligne de coUimation du microscope, définie par le centre optique de son objectif et la croisée de ses fils, forme le repère destiné à juger de la rotation du limbe. Alors, si une division entière du limbe se trouve sous la croisée des fils, le nombre de degrés et de minutes de cette division représente la lecture correspondante du limbe. Mais si, après l'observation, ce n'est pas une division exacte qui est venue se placer sous les fils, mais un intervalle, comme dans la figure 22 où nous supposons toujours que les fils ont la position répondant à zéro tour , zéro fraction de tour de la vis , c'est-à-dire la position où ils font repère, alors on fait tourner la vis jusqu'à ce que la croisée des fils tombe sur la division inférieure en chiffrage parmi les deux divisions au milieu desquelles se trouve cette croisée de fils. Pour cela la graduation du mouvement de la vis est en sens contraire de la graduation apparente du limbe vue dans le microscope, c'est-à-dire dans le sens même de la graduation réelle du limbe, puisque le microscope renverse les images. En lisant alors la quantité dont on a fait tourner la vis pour que la croisée des fils tombe sur la division en question , la lecture de l'angle se compose de celle qui répond à la division sur laquelle on a pointé, plus la rotation de la vis. On combine ordinairement la grandeur du pas de la vis et la distance focale de l'objectif de telle sorte qu'un tour de la vis représente une minute. Alors le tambour de la vis est gradué en soixante parties qui représentent des secondes , et on estime à vue le dixième de ces parties du tambour qui tourne devant un repère fixe, et ces dixièmes de partie donnent dans ce cas des dixièmes de seconde. Il est toujours facile par le rapprochement entre l'objectif et le limbe d'éloigner de l'objectif le foyer où se fait rimage, dans la proportion voulue pour que le déplacement des fils, dû à un tour de vis, représente une minute exactement. Cela dépend de la longueur qu'on donne au microscope, et l'artiste r^le cette longueur en conséquence.

Pour faciliter la lecture des divisions du limbe, une pointe fixe scellée dans le mur indique la division du limbe qui se trouve

voisine du repère du microscope, et, par là, on peut lire à l'œil DU sur le limbe le nombre de degrés et de fractions de degré inscrites sur ce limbe. Dans le microscope, un repère fixe placé sur le côte du champ indique la position qu'occupe toujours la croisée des fils quand la vis marque zéro, tour , zéro fraction de tour, et le sens delà graduation étant connu et se distinguant d'ailleurs aux signaux marqués par des points sur le limbe d'une manière différente pour les 10, 20, 30 minutes, etc., on voit du premier coup d'oeil la division sur laquelle on doit pointer sans avoir besoin de ramener la vis à zéro tour, zéro fraction de tour, quand elle en a été écartée par le dernier pointé.

67. — Nous avons maintenant à indiquer deux précautions à prendre dans l'emploi du micromètre. D'abord, comme nous l'avons déjà dit (n"" 35), il faut toujours, en pointant, tourner la vis dans le même sens. A cause de cela , les artistes n'ont pas placé à l'origine même du mouvement de la vis la division zéro tour , zéro fraction de tour qui fait le repère. Quand on veut mettre les fils à cette division, on dévisse un peu plus qu'il ne faut de manière à la dépasser, puis on y revient en vissant, car, d'après ce que nous avons dit du jeu des vis, un pointé ne peut être regardé comme constant qu'à la condition d'être toujours fait dans le même sens. De même, lorsqu'on amène les fils sur une division» s'ils sont déjà au-delà de cette division , il faut dévisser de manière à dépasser la division en question , puis y revenir en vis* sant.

La seconde précaution consiste à se défier de ce que le tour de vis représente exactement la minute, comme l'artiste a cherché à l'établir en ajustant l'instrument. Outre qu'on ne peut y arriver d'une manière complètement rigoureuse, les variations de tem* pérature, en dilatant les rayons du cercle et en modifiant la distance de ce dernier à l'objectif du microscope, font sans cesse varier la grandeur de l'image d'une de ces divisions dans le champ du microscope, et par conséquent la valeur des tours de vis. Mai> si, après avoir effectué le pointé sur la division voisine la plus faible en chiffrage, on pointe ensuite la division suivante, la différence de ces pointés, lue sur le tambour de la vis, fait connaître le nombre de tours et de fractions de tour de la vis répondant à une des divisions du limbe. En réduisant alors les tours et fractions de tour à une même unité, pour laquelle on choisit la plus petite

division du tambour de la vis , et en appelant n le nombre de divisions du tambour qu'on a eues en pointant sur la division inférieure du cercle pour faire la lecture du limbe, m celui qu'on a obtenu pour la valeur d'une des divisions de ce dernier, et K le

nombre de secondes d'une des divisions du cercle, — K est le

nombre de secondes à ajouter au nombre de degrés et minutes donné par la division du cercle sur laquelle on a pointé pour avoir la lecture répondant à l'observation .

Dans les observatoires, on fait expérimentalement une table des valeurs des divisions de la vis répondant aux diverses températures du limbe, et on s'en sert pour corriger les observations sans avoir chaque fois besoin de déterminer la valeur des tours de la vis. On se contente d'effectuer la lecture de chaque observation , et de temps en temps on observe , en prenant note de l'heure , la température du cercle à l'aide de thermomètres qui sont assujettis sur ses rayons, afin d'en déduire, en tenant compte de sa variation avec le temps, les températures répondant à chaque observation, et de voir le nombre qu'on doit prendre dans la table pour la valeur correspondante des parties de la visr. Mais il est évident que les thermomètres pouvant bien ne pas donner la vraie température du cercle, laquelle peut différer dans les diverses partie^, il est toujours plus exact de déterminer la valeur des tours de la vis à l'instant même des observations, ce qui dispense de lire les températures. C'est un peu plus long, il est vrai, mais mieux vaut faire moins d'observations et. les faire meilleures.

La disposition que nous venons d'indiquer pour les microscopes à micromètre des cercles muraux est aussi celle qu'on emploie pour les mêmes appareils dans les cercles azimutaux des ait-azimuts fixés sur des piliers de pierre. Pour le cercle de hauteur des mêmes instruments qui peut se transporter dans tous les azimuts, les microscopes ne peuvent plus être scellés dans un mur ; il en est de même pour les microscopes et micromètres des instruments portatifs. Dans ces divers cas, ces microscopes sont portés par des pièces métalliques fixes assujetties sur les supports des axes jdes cercles. Mais dans cette position, les microscopes ont moins de stabilité que s'ils sont scellés dans des murs, car les pièces qui les portent peuvent plus facilement fléchir. C'est d'ailleurs là la seule différence qui existe entre

12/1 THÉORIE DES mSTOUMEiNTS.

les micromètres des divers instruments qui en sont munis et ceux des cercles muraux.

68. — Dans les petits instruments portatifs , c'est surtout la crainte du défaut de stabilité des microscopes à micromètre qui empêche de les employer et qui fait qu'on leur substitue le vernier. Mais c'est à tort , car quand on donne au théodolite , comme on le fait pour les cercles répétiteurs, un cercle alidade tournant au milieu d'un cercle gradué, la stabilité des microscopes cesse d'être nécessaire. En effet, dans ce cas, il suffit que le cercle alidade porte un seul trait et un microscope pointant sur ce trait, microscope dont Taxe soit perpendiculaire au limbe. Alors be microscope ferait voir à la fois dans son champ le trait en question du cercle alidade et une partie de la graduation du cercle gradué. Il suffirait donc d'amener avec le micromètre la croisée des fils sur la division du limbe la plus faible en chiffrage parmi les deux divisions entre lesquelles est renfermé le trait du limbe alidade : on ferait alors la lecture du micromètre, puis on pointerait le trait du limbe alidade ; on en ferait également la lecture, ensuite on pointerait la division suivante du limbe. Le rapport de la différence des lectures entre le trait du limbe alidade et la première division du cercle gradué, à la différence des lectures sur les deux divisions de ce cercle gradué donnerait la fraction de division qui, jointe au nombre de degrés et de minutes de la première division pointée sur le limbe, serait la lecture répondant à l'observation. Quand même le microscope dévierait avant qu'on fit une autre observation, cela ne ferait rien ; on aurait, de la même manière, pour cette seconde observation la lecture qui lui correspond. Car ici ce n'est pas l'axe optique du microscope qui serait repère, mais bien le trait tracé sur le cercle alidade. Les microscopes, se trouvant d'ailleurs entraînés avec le cercle alidade et étant portés par lui, tourneraient avec la lunette et ne gêneraient en rien les mouvements de l'instrument, ni dans le système des cercles azimutaux, ni dans celui des cercles verticaux. Cette disposition serait évidemment bien supérieure aux verniers et donnerait plus de précision dans les lectures, puisque, bien que le cercle soit petit, on peut compenser ses petites dimension^ par l'amplification du microscope.

69. — Malgré la précaution de tourner les vis toujours dans le même sens, nous avons vu que les micromètres, à cause des pous-

THÉORIE DES LNSTRUMENTS. 125

sières et du déplacement des huiles, peuvent fort bien ne pas tou* jours donner la même lecture pour un même pointé des (ils sur une même division fixe. 11 y aurait donc avantage à remplacer les fils mobiles par une plaque de verre h divisions fixes. Supposons un tel système appliqué sur un cercle de 18 centimètres de rayon, dont nous suppoierons de 5', qui feront alors sensiblement un quart de millimètre, les divisions du limbe les plus petites. Supposons que l'objectif grossisse dix fois, alors une division du limbe occupera une longueur de 2 millimètres ~ au foyer de Tobjectif. Si rouverture du champ à ce foyer est de 12 millimètres, plus de quatre de ces divisions seront visibles dans le champ, ce qui suffira si elles sont marquées de 3 en 3, c'esl-à-dire de 15' en IS' sur le limbe par un point pour les 15', deux pour les 30', trois pour les 45', et quatre pour les degrés, ce qui sufQra, dis-je, pour qu'on Toie toujours dans le champ du microscope , afin de ne pas se tromper, le sens de la graduation et le rang de chaque division dans le degré. Supposons la plaque de verre graduée en douzièmes de millimètre et Toculaire grossissant douze fois : chaque division de la plaque paraîtra comme 1 millimètre à la distance de la vue distincte , tandis qu'une division du limbe, occupant 2"",5 au foyer de l'objectif, couvrira trente de ces divisions (le grossissement total du microscope serait alors 120 fois). Une division de la plaque, vue comme 1 millimètre , représenterait donc le trenfième de 5' ou 10". Or comme à vue on estime assez bien le dixième de millimètre , on aurait le moyen de lire directement la seconde , ce qui est tout ce qu'on peut désirer pour un cercle de 18 centimètres de rayon. Avec des divisions deux fois plus petites sur la plaque de verre, on estimerait la seconde avec plus de certitude encore, et même on irait presque jusqu'à la demi-seconde avec de l'exercice, car on peut à vue estimer passablement le dixième d'une division d'une échelle divisée en demimillimètres. Ainsi un grossissement de soixante fois seulement pourrait déjà donner la seconde mieux que le vernier. Pour un cercle d'un rayon cinq fois plus grand ou de près d'un mètre de diamètre, avec le grossissement de cent cinq fois, on arriverait à estimer le dixième de seconde , puisque la seconde serait représentée par des divisions d'un demi-millimètre en apparence ; c'est là plus qu'on n'obtient aujourd'hui avec les micromètres des cercles muraux; car bien qu'on estime

126 THÉOniK DES I^STBUME^'1'S.

les dixièmes âes divisions du tambour représentant la seconde, la précision du pointé ne répond pas à ces dixièmes : il faudrait pour cela des grossissements plus forts que ceux qu'on emploie, et, malgré cela, le jeu de la vis ne permettrait pas d'atteindre la précision en question. On voit donc que l'emploi des plaques divisées au lieu des micromètres, serait un grand perfectionnement. On objectera, il est vrai, la confusion qui pourrait s'établir entre les traits delà plaque et ceux du limbe; mais cette confusion sera impossible, si on fait la graduation de la plaque comme line échelle de proportion, Cg. 23, aVec cinq divisions longitudinales; et des traits obliques, qui ne peuvent alors qu'intersecter les divisions du limbe traversant toute la largeur de l'échelle. La position du point d'intersection donnerait le dixième de partie par mesure au lieu de le donner par estime ; car si l'intersection a lieu au premier trait longiutdinal après le chiffrage mais du cAté du chiffrage, II y aurait deux dixièmes de plus que la division, au deuxième trait quatre dixièmes, etc. Entre le premier et le deuxième trait longitudinal, ce serait un dixième, entre le deuxième et ^ ■ le troisième , trois dixièmes, et ainsi de suite. Dans le théodolite où il faut d'une part pointer sur la division du cercle gradué, d'autre part sur le repère du cercle alidade, on ferait dix divisions longitudinales h. l'échelle, et à partir du trait du milieu, les divisions obliqueraient en sens contraire. Sous la moitié gauche par exemple se montreraient les traits du limbe, sous celle de droite, ie repère de l'alidade. On pourrait alors faire les lectures répondant aux uns et aux autres comme précédemment. Il serait bon au reste à cau^ de l'intervalle des limbes que ces deux systèmes de divisions obliquant en sens inverse fussent séparés sur la plaque de verre par un intervalle répondant à celui des limbes grost>i par l'objectif.

Nous a\ons déjà dit, d'ailleurs (n* ^ift], commentles inégalitci^ des divisions peuvent fitre déterminées. Cela fait disparaître l'objection que la graduation ayant été faite par une vis ne peut être plus rigoureuse que les déterminations données directement par une vis microniétrique.

70. — Nous allons maintenant nous occuper du placement des cercles sur leurs axes. Deux sortes d'erreurs peuvent ici inlerve-

Fig.2ft.

THÈOIUE DES INSïUUMENTS. 127

nir. l"" Le centre du cercle peut ne pas être exactement sur Taxe; 2* le plan du limbe peut être incliné sur ce dernier.

Le défaut de centrage s'élimine facilement si on a soin de placer deux microscopes opposés à 180° de distance Tun de l'autre (ou deux verniers opposés lorsqu'on emploie des verniers au lieu de microscopes). On sait, en effet, par la géométrie élémentaire, que 1 angle, entre deux lignes qui se coupent dans un cercle et dont le point d'intersection est excentrique, est égal à la demi-somme des arcs opposés, interceptés par ces lignes. Ainsi, supposons, par exemple, que l'axe de rotation du cercle soit hors du centre de ce dernier : soit o (fig. 24) le centre du cercle , c la projection sur le plan de la figure de l'axe de rotation, ou le point autour duquel le cercle tourne. Si nous visons un premier objet A suivant la ligne cÂ, puis si nous visons ensuite un deuxième objet B suivant la ligne cB , l'angle entre les deux objets est AcB, qui a pour mesure ^ {ab -h dll\ ab

t\dV étant les arcs opposés interceptés par les lignes ck et cJÎ, et cet angle est précisément la rotation du cercle autour de son axe pour passer de la visée sur A à la visée sur B. Si donc on avait deux microscopes fixés en a et a , les arcs ab et dU seraient ceux qiii auraient passé sous ces microscopes quand la lunette s'est portée de la direction ck à la direction cB. La moyenne de la différence des lectures de ces microscopes opposés lors du pointé sur A et du pointé sur B fera donc connaître l'angle AcB, quelle que soit l'excentricité co. Il est évident d'ailleurs que les microscopes, au lieu d'être en a et d sur la ligne cA, peuvent être sur une autre lipe fixe quelconque mrd ; la rotation du cercle sous les microscopes est toujours la même, quelle que soit la position de ces derniers , et elle a pour mesure la demi-longueur des arcs qui ont passé sous les microscopes opposés.

Comme, par construction, l'excentricité des cercles est toujours très-petite et de quelques secondes seulement, chaque lecture sous le microscope m est égale à quelques secondes près à celle qui a lieu sous le microscope rri plus 180°. Pour le nombre des degrés dune lecture, on adopte donc le nombre donné par un seul des microscopes, m par exemple, et on fait la moyenne des minutes et des secondes lues sous les deux microscopes opposés. On ramène

128 TllÉOaiE DES INSTULMENTS.

ainsi la lecture faite sous les deux microscopes opposés à ce qu'elle serait sous un seul microscope avec le cercle parfaitement centré, de telle sorte que les différences des deux lectures pour les pointés à deux objets donnent les angles sous-tendus au centre de Taxe de l'instrument entre ces deux objets.

Il est bien évident que quelquefois, si le nombre des minutes et des secondes du microscope m est très-voisin de 60', celui du microscope opposé tri pourra être, par l'effet de Texcentricité, égal au nombre de degrés lus sous le microscope m plus 181" 4- n secondes. Dans ce cas, il faut considérer la lecture sous le microscope ni comme cgaleau même nombre de degrés que sous le microscope ni plus 1 80'' 4- 60' -h w secondes. Ainsi, par exemple, si on a lu sous le microscope m 1 17* S9' 33", 2, et si on lit sous le microscope m', 298° 0' 4", 4 (cas d'une différence de 181* entre les lectures des degrés puisque 298 — H7 = 181), la lecture à inscrire sera

117 4-^^^^ ,^ + DU ^ >^o^^n7ogy5y^^8.SionavaiteuH7"

59' 58",4 et 298*0' 7", 6 pour les deux lectures des microscopes,

11. N- • '.A A ..no 89' 58", 4 -h 60' 7", 6 la lecture à inscrire serait de même 117* H — 5 ^—

ou 117* 60' 3",0, ou enfin 118*0' 3",0, puisque la moyenne des minutes et des secondes dépassant 60', il faut remplacer 60' par un degré.

Ce que nous venons de dire dans le cas des microscopes a lieu de la même manière dans le cas des verniers opposés, et il résulte de ce qui précède que l'influence de l'excentricité des cercles est complètement éliminée du moment où on fait usage, pour établir la lecture répondant au premier microscope ou au premier vemier, de la lecture moyenne des minutes et des secondes aux deux microscopes ou aux deux verniers opposés. Pour éviter toute confusion dans la lecture des angles, il est toujours bon de marquer par un signe spécial celui des microscopes dont on adopte la lecture pour les degrés, car il faut dans ce cas prendre garde de se tromper de microscope ; si, par exemple, on adoptait les degrés du premier microscope pour la lecture d'un pointe sur un premier objet et ceux du deuxième pour la lecture du pointé sur le deuxième objet, on commettrait une erreur de 180* sur l'angle cherché, et souvent, après avoir quitté la station oîi on aurait fait les observations dont on aurait ensuite à se servir, on n'aurait

THÉORIE DES U^STRUMENTS. 129

plus les moyens de reconnaître cette erreur. Il importe donc de faire uoe attention spéciale à lire toujours le nombre des degrés avec le même microscope ou le même vernier.

71. — Examinons maintenant Teffet de l'inclinaison du plan du cercle par rapport à son axe. Quelque bien gradué et centré qu'on suppose le cercle, cette inclinaison agira en ce que les arcs lus sur le cercle ne représenteront pas exactement la rotation de ce dernier. En effet, parmi les diamètres du cercle> il s'en trouve un qui est perpendiculaire à Taxe. Si^ par ce diamètre, nous menons un plan perpendiculaire à Taxe, les rotations devraient être mesurées non par les angles lus sur le cercle incliné, mais par ces mêmes angles projetés sur ce plan perpendiculaire. En appelant a un angle sur le cercle compté depuis le diamètre perpendiculaire, et iTinclinaison du plan du limbe au plan perpendiculaire à Taxe,

l'angle a' projeté sur ce plan sera donné par la formule cosa' = ..

Comme^ par construction, i est un très-petit arc, son cosinus est presque égal à l'unité, de sorte que cos ci est presque égal à cos a. L'erreur commise, lorsqu'on se sert d'une même graduation, est toujours constante puisque l'angle a est constant pour cette graduation; on peut donc considérer les erreurs dues à l'inclinaison du cercle sur son axe comme des erreurs même de graduation ; il est évident, en effet, qu'un cercle incliné sur son axe et même à surface un peu irrégulière et courbe pourrait être gradué en place sur son axe même, de telle sorte que les arcs lus sur le limbe fussent les arcs réels sur le plan perpendiculaire à l'axe projetés sur le limbe (ceci a également lieu si le cercle est gradué sur sa tranche; les traits marqués représenteraient alors la rotation réelle depuis une certaine division). Ainsi les défauts des cercles provenant soit de leur inclinaison sur l'axe, soit de leur manque de circularité rigoureuse, soit de ce que leur surface ne serait pas rigoureusement plane, se confondent avec les erreurs de graduation. Les erreurs auxquelles ces divers défauts de construction donnent lieu pour chaque trait depuis le trait zéro, jointes à Terreur commise par l'artiste en plaçant le trait sur son cercle supposé parfait, circulaire et perpendiculaire à l'axe, constituent, par leur ensemble. Terreur totale sur chaque trait à laquelle il convient de donner le nom A' erreur de graduation^ et que l'astronome doit déterminer pour chaque division s'il veut bien con-

130 TIIÉOIUE DES INSTIVUMENl^S.

naître son instrument, et corriger les angles lus des erreurs dont les observations sont altérées par l'instrument, de manière à ramener les lectures à ce qu'elles seraient avec un instrument parfait. Nous ferons remarquer au reste que toutes les erreurs dont nous venons de parler sont toujours très-petites, parce que le polissage final des cercles s'opère sur leurs axes, et en les faisant tourner autour de ces axes. Par là, les outils qui se trouvent fixes rendent la surface bien réellement perpendiculaire à l 'axe et le limbe bien circulaire. Le même mode de construction rend même le cercle bien centré en réalité. Mais quand on vient à effectuer la graduation il peut s'introduire une petite excentricité de la machine à graduer, de sorte que le cercle même bien circulaire peut être gradué un peu excentriquement, ce qui revient au même que s'il était excentrique. Ceci explique pourquoi l'erreur d'excentricité est relativement plus grande que les autres, et rend nécessaire l'emploi de microscopes et de verniers opposés. II semble toutefois que, de même que les autres erreurs, on pourrait la regarder comme comprise dans les erreurs de graduation et l'éliminer avec ces dernières ; mais on la considère à part, parce que l'axe peut éprouver de petits déplacements dans ses coussinets , déplacements qui rendent momentanément le cercle excentrique par rapport à Talidade ou aux lignes de repère des microscopes, en portant le cercle vers la droite ou la gauche. Or l'erreur d'excentricité n'est pas seulement celle qui peut exister dans le cercle gradué, erreur qui est fixe, et peut être comprise dans les erreurs de graduation ; il y a aussi à considérer l'excentricité par rapport à l'alidade : aussi les microscopes ou verniers opposés sont-ils toujours nécessaires, même pour une graduation étudiée. Sauf l'erreur d'excentricité, qui s'anéantit toujours par les lectures opposées de 180* (1), toutes les autres erreurs peuvent être éliminées par l'é-

(1) Il est évident que si le cercle se déplace, on peut décomposer ce déplacement en deux autres, Tun suivant la direction des deux microscopes opposés, Taulre perpendiculairement à cette direction. Le premier déplacement ne modlQe pas les lectures, le deuxième augmente la lecture d'un celé du limbe« aulant quMl la diminue de Tautre. Les lectures moyennes faites aux deux bouts opposés de Talidade sont donc toujours indépendantes des très-petits déplacements qUe Taxe peut éprouver^ et conséquemment les angles mesurés, en tenant compte des leclures des microscopes ou verniers opposés; sont toujours indépendants de ces déplacements.

tude bien faite de la graduation en appliquant les corrections indiquées par cette étude.

72. — n est d'ailleurs évident, d'après la considération précédente, que puisqu'on fait toujours les lectures à deux microscopes ou verniers opposés pour prendre la moyenne, les erreurs de graduation dont on a à corriger les lectures quand on veut rendre l'observation parfaite sont la demi-somme des erreurs de graduation répondant aux deux traits opposés. Dans la détermination des erreurs de graduation, c'est donc toujours directement cette demi-somme des erreurs des traits opposés qu'on détermine, et pour cela on fait toujours des lectures opposées de 180'' pendant cette détermination des erreurs. Par là, on a l'avantage de n'avoir pas à craindre les petits déplacements de l'axe pendant les opérations, et le nombre des déterminations à faire est réduit de moitié, puisque l'étude d'une demi-circonférence se fait en même temps que celle de la demi-circonférence opposée.

L'étude des erreurs de la graduation d'un cercle étant une opération très-longue et les erreurs étant très-petites à cause de l'habileté des constructeurs, on a cherché le moyen de dispenser les observateurs de faire cette étude en atténuant l'influence de ces erreurs. Deux procédés sont employés dans ce but. L'un d'eux est la répétition dont nous avons déjà parlé (n"" 5) en traitant du théodolite répétiteur, et qui a pour effet de réduire à la fois nonseulement l'erreur de graduation , mais encore celle de lecture en introduisant pour l'une et l'autre un diviseur aussi grand que l'on veut, puisque ce diviseur n'est autre que le nombre des répétitions.

L'autre procédé, qu'on combine même avec la répétition, consiste dans l'emploi de plusieurs systèmes de microscopes ou de verniers opposés. Ainsi sur les cercles muraux on met généralement 6 microscopes opposés 2 à 2, quelquefois on en met 8 et même 12. On fait alors la moyenne des minutes et des secondes lues à tous les microscopes, et on adopte pour lecture des degrés le nombre indiqué par le microscope principal choisi comme repère. En faisant cette moyenne des minutes et des secondes, on a soin d'ailleurs, comme nous l'avons indiqué pour les deux microscopes opposés, de remplacer 1** par 60' dans les lectures individuelles des microscopes, quand la différence des nombres de degrés entiers avec ceux du microscope principal dépasse d'une unité le nombre normal, qui est 60 et ses multiples, s'il y a 6 microscopes, 45 et

ses multiples s'il y en a 8, 30 et ses multiples s'il y en a 12 (1).

Il est évident d'ailleurs que plus on multiplie les microscopes ou les verniers opposés, moins les erreurs de graduation sont à craindre, car elles ne peuvent être de même sens dans toutes les parties du limbe, vu que si les traits sont trop espacés dans certaines régions, c'est parce qu'ils le sont trop peu dans d'autres; de telle sorte même que si on pouvait avoir autant de microscopes qu'il y a de divisions sur le limbe, la moyenne de toutes les rotations indiquées par chacun de ces microscopes pour une même rotation du limbe serait exempte de toutes les erreurs de graduation, puisque ces dernières erreurs se compensent précisément dans toute l'étendue du limbe. La multiplication des microscopes et des verniers a aussi l'avantage de diminuer l'influence des erreurs de lecture aussi bien que Tinfluence des erreurs de graduation, car on ne fait pas la même erreur de lecture dans tous les microscopes. Plus donc les lectures sont nombreuses, moins on a à craindre que le résultat ne soit affecté de l'erreur maximum de lecture, aussi bien que de Terreur maximum de graduation, et le calcul des probabilités indique que la grandeur de l'erreur probable s'atténue avec le nombre des lectures, de telle sorte qu'on regarde l'erreur à craindre comme à peu près égale à l'erreur possible dans une seule lecture divisée par la racine carrée du nombre de lectures.

Il y a des théodolites répétiteurs munis de 4 verniers et dont par conséquent l'erreur de lecture et de graduation sur Tare final, déjà affaiblie par cette multiplicité des verniers, est encore divisée parle nombre des répétitions. On voit que dans ce cas, si le nombre des répétitions est seulement d'une dizaine, les erreurs de graduation et de lecture sont bien peu à craindre.

73. — Nous n'ignorons pas que le principe si remarquable de la répétition des angles a été l'objet d'attaques nombreuses dans ces dernières années, si bien même que quelques artistes ont été jusqu'à renoncer à faire des théodolites répétiteurs. Ces attaques proviennent surtout de ce que d'habiles observateurs,

(i) Il est clair que si le microscope priocipal avait sa lecture da nombre entier de degrés trop forte d'un degré par rapport aux autres microscopes, eo tenant compte des intervalles normaux, ce serait sa lecture qu^on diminuerait de r en ajoutant 60^ au nombre des miaules pour faire ensuite la moyenne des minutes et des secondes.

panai lesquels je citerai Arago et Biot, ont, en observant des hauteurs méridiennes avec le cercle répétiteur, trouvé pour la latitude du même lieu une valeur différente suivant qu'ils employaient des étoiles coupant le méridien au nord ou au sud du zéoitb. On aurait pu, il est vrai, rejeter ces différences sur les flexions du cercle vertical sous l'action de la pesanteur ; mais avec les cercles d'un petit rayon les flexions sont presque nulles. Des recherches que j'ai entreprises sur la cause de ces anomalies m'ont montré qu'il fallait les attribuer au jeu des vis de rappel. Dans les instruments, les cercles ne sont rendus solidaires que par l'intermédiaire des vis de rappel destinées à leur donner de petits mouvements relatifs , car les vis de pression n'assujettissent pas directement les limbes l'un sur l'autre ou sur les alidades. Ces dernières vis ne servent qu'à fixer le support de la vis de rappel sur un des limbes , et c'est celle-ci qui , dans la position où on l'a arrêtée, retient l'autre limbe dans une situation fixe par rapport à la vis de pression, n en résulte que, si la vis de rappel n'est pas très-serrée dans son écrou, les limbes peuvent recevoir un petit mouvement relatif, suivant que cette vis appuie sur un côté ou sur l'autre de son filet. On a l'habitude pour les observations de ne pas tenir les vis de rappel très-serrées dans leur écrou, afin que leur rotation puisse se faire sans effort (1). Or quand on fait entraîner un des limbes par l'autre, le jeu des vis fait que, suivant le sens de la rotation par rapport à la graduation, le repère du limbe alidade avance ou recule un peu par rapporta cette graduation; et en employant la répétition dans la mesure des distances au zénith, il arrive qu'on fait toujours mouvoir dans le même sens les limbes assujettis ensemble lorsqu'on passe de la position inverse à la position directe, tandis quelelimbe alidade se meut en sens opposé pour passer de la position directe à la position inverse, de sorte que par son frottement contre le cercle gradué, celui-ci tend à le retenir et par conséquent à se déplacer en sens contraire de ce qu'il avait fait la première fois; il résulte de là que l'angle lu est modifié d'une quantité égale

{<) Les écroM des vis de rappel sont fendus et leurs deux moiliés sont pressées sur la vis de rappel par des ressorts dont on augmenle la tension à l'aide « vil agiasanl sur ces ressorU. On peut donc rendre les vis de rappel plus ou «Doiw iibpcj à vo/oDlé.

134 THÉORIE DES TNSTRmfENTS.

au jeu de la vis. Si d'après le sens de la graduation, la distance zénithale est augmentée, elle Test aussi bien pour les étoiles du nord que pour celles du sud ; mais alors les latitudes déduites des observations faites au nord et au sud du zénith sont différentes d'une quantité égale au double du jeu de la vis, car, si, pour les étoiles du sud passant au méridien, une distance zénithale trouvée trop grande augmente la latitude obtenue, elle la diminue pour celles du nord. Dans diverses s/v ries d'observations, j'ai reconnu que les différences observées augmentent à mesure qu'on rend plus libre la vis de rappel, et si celle-ci est trës-l&che, la différence dans de petits théodolites peut atteindre jusqu'à plusieurs minutes, tandis que, si on serre fortement la vis jusqu'à ce qu'elle soit très-dure, on obtient identiquement la même latitude par les étoiles du nord et du sud, du moins dans les limites des erreurs de lecture et de pointé avec l'instrument employé. Dans les séries d'observations que j'ai faites pour déterminer des latitudes dans la province de Minas- Geraes , au Brésil , les différences entre les latitudes par le> étoiles passant au méridien, au Tiurd ou au sud du zénith, n'ont jamais pour dix répétitions seulement atteint 1",5 et sont presque toujours restées au-dessous de 1'' avec une lunette grossissant 40 fois, et un vernier donnant les 10 secondes. On ne peut pas demander une précision plus grande à un instrument de cette taille, car les erreurs moyennes sont alors de moins de I de seconde pour chaque série, et le pointé avec un instrument grossissant 40 fois est à peine exact à la seconde. C'est donc déjà la répétition de ces pointés qui avait diminué l'erreur moyenne du pointé pour la faire tomber au-dessous de cette limite, et à cette erreur se joignait encore celle de la lecture. Je dois dire ici que, pour parvenir à ce résultat, je rendais les vis de rappel très-dures à tourner, ce qui expose par le petit effort fait à modifler légèrement le nivellement de l'instrument. Mais comme j'avais la précaution de lire toujours le niveau dans la situation où j'avais arrêté la lunette et comme la valeur des parties de ce dernier était bien déterminée, il me suffisait d'appliquer les corrections de nivellement par la méthode que j'ai exposée (n* 13), et par laquelle la dénivellation entre l'observation de la position directe et celle de la position inverse se trouve éliminée, pour qu'il n'en résultât aucun inconvénient.

Les anciens observateurs n'opéraient pas ainsi ; pour eux, le niveau n'était pas destiné à faire connaître les corrections à appliquer à l'observation par l'effet de la dénivellation, mais bien à niveler juste chaque fois; leurs niveaux n'étaient même pas gradués d'un bout à l'autre et la valeur des parties n'était pas déterminée. On comprend donc que, s'ils avaient rendu trop dures les vis de rappel, ils se seraient exposés à introduire une nouvelle erreur par la dénivellation entre la position directe et la position inverse. Ils laissaient donc les vis très-douces, et telle est la cause des différences qu'ils ont trouvées.

Avant d'observer, je m'assurais d'ailleurs, en pointant un objet éloigné, si les vis de rappel de mon instrument étaient suffisamment serrées pour empêcher tout jeu. Exerçant avec le doigt une légère pression sur la lunette, celle-ci fléchissait un peu par l'effet de son élasticité, et l'objet s'écartait un peu de la croisée des fils; mais en l&chant la lunette, elle revenait au pointé, ce qui n'a pas lieu quand les vis ne sont pas bien serrées. Il va sans dire que cette pression doit être faible, sans quoi on s'exposerait h déniveler l'instrument. On reconnaît facilement par la lecture du niveau avant et après cet essai si on a dénivelé et si le dépointement, dans le cas où il persisterait, peut être attribué à une dénivellation, ou s'il provient des vis de rappel.

Lorsque des vis de rappel sont un peu usées, leur serrage ne suffit pas pour empêcher le jeu, et des vis très-serrées usent trèsvite. Il est vrai qu'on peut facilement les changer, car ce sont des pièces de peu de valeur. Toutefois, cet inconvénient et la nécessité dans certains modes de pointé de pouvoir tourner les vis avec facilité, fait qu'il serait bon que les artistes ajoutassent à l'instrument des vis de pression supplémentaires. Ces vis agiraient sur une grande surface, et pourraient servir à arrêter les limbes directement et solidement entre eux, après qu'avec la vis de rappel on les aurait amenés dans la position relative que leur donne le pointé. L'expérience a indiqué à M. Le Gyre, à qui j'avais communiqué cette idée, que dans ce cas la vis de pression agit sans modifier le pointé obtenu, et alors, dans les diverses rotations qu'on a à leur faire faire, les limbes fixement solidaires quand ils doivent tourner ensemble ne peuvent plus prendre aucun jeu relatif entre eux. Quand l'un d'eux doit tourner seul, l'autre reste dans ce cas parfaitement immobile par rapport aux pièces fixes de l'instrument. Ces vis de pression

supplémentaires et directes suffisent seules, d'ailleurs, dans certains modes de pointé, où on n'a plus besoin de se servir des \is de rappel, par exemple, lorsqu'on veut observerdes passages de plusieurs astres par un même azimut ou une même hauteur, comme dans certaines méthodes dont nous parlerons plus tard, pour la déter-> mination des longitudes. Ce petit perfectionnement si simple et si précieux ne devrait pas être négligé pour les instruments répétiteurs.

74. — Il serait même prudent de doubler le système de ces vis de pression supplémentaires,c'est-à-direde placer pour rendre les limbes solidaires entre eux, deux vis de pression supplémentaires à 1 80'' de distance l'une de l'autre. Cette disposition aurait pour effet de parer aux inconvénients qui peuvent résulter du jeu de Taxe du cercle alidade à l'intérieur de l'axe du cercle gradué dans lequel il tourne. Ce jeu relatif des axes n'est pas sensible dans les instruments neufs, pour lesquels, comme je l'ai dit précédemment, le jeu des vis de rappel influe seul pour produire sur les hauteurs observées les anomalies d'oit il résulte qu'on n'obtient pas les mêmes valeurs de la latitude par les étoiles passant au méridien au nord et au sud du zénith. Le théodolite de Brunner que j'ai employé dans la province de Minas-Geraes, pour faire les observations dont j'ai parlé plus haut, et qui était un instrument neuf, m'a, par l'accoi-d des séries, montré qu'aucune influence de jeu des axes ne se produisait. D'un autre cdté, par la disposition de ressorts d'une force suffisante pour établir une bonne adhérence des parties coniques des axes, on peut faire en sorte que, même malgré l'usure, le jeu de l'axe du cercle alidade dans Taxe du cercle gradué soit anéanti. Mais par excès de prudence, et comme on ne peut prendre trop de précaution pour la stabilité des diverses parties des instruments, les doubles vis de pression supplémentaires, dont nous venons de parler, donneront le moyen de parera tous ces inconvénients provenant du jeu des axes. Pour le faire voir, il faut d'abord que nous fassions bien comprendre l'effet que pourrait produire un jeu des axes.

Supposons donc qu'on vise à un astre dans la position directe de l'instrument, et qu'on effectue la lecture des limbes dans la position même où a eu lieu le pointé sur l'astre^ puis admettons qu'on renverse l'instrument pour viser dans la position inverse, après quoi on fera de nouveau la lecture du limbe, toujours dans la position même où l'astre a été visé. Si, dans les deux positions, on

a lu les niveaux parallèles au cercle de hauteur, on peut corriger Tangle observé, comme nous l'avons vu n*" 13, de la déviation qu'entre les deux pointés le zéro du cercle gradué a éprouvée, quelle que soit l'origine de cette déviation , de sorte que le jeu des axes du système azimutal n'intervient pas dans le résultat. II ne peut donc rester comme influent que le jeu de l'axe du cercle alidade dans l'axe du cercle gradué considéré comme étant resté immobile. Or les lectures ayant été faites dans les positions mêmes où les pointés sur l'astre ont eu lieu, si on examine les positions alors occupées dans l'espace par les lignes des zéros des deux vemiers opposés du cercle alidade solidaire avec la ligne de collimation de la lunette, il est clair que ces deux lignes se coupent en un point unique, de sorte que les choses se sont passées exactement comme si la rotation avait eu lieu autour de ce point d'intersection. La demi-somme des différences des lectures des verniers dans les deux positions de l'instrument représente donc exactement l'angle décrit par la ligne de leurs zéros, ou l'angle décrit par la ligne de collimjition de la lunette, ligne solidaire avec celle des zéros. Donc cette demi-somme mesure bien l'angle réel, quel qu'ait pu être le jeu de l'axe du cercle alidade. Mais pour répéter l'angle, il faut avec les deux limbes solidaires passer de la position inverse à la position directe , et la lecture donnée par l'alidade ne doit pas varier dans ce passage. Or c'est ce qui n'aura pas lieu si Taxe du cercle alidade a du jeu, car avec la vis unique de rappel, les deux limbes ne sont rendus solidaires que par un point de leur circonférence; dans la rotation du système, l'axe du cercle alidade, sollicité par la pesanteur, viendra appuyer sans cesse sur un nouveau point de l'intérieur de l'axe du cercle gradué, et, par la petite rotation que le cercle alidade subira ainsi autour du point de sa circonférence solidaire avec le cercle gradué par suite de la vis unique, il est facile de voir que les deux verniers se déplacent dans le même sens par rapport à la graduation du limbe. La lecture est donc un peu modifiée en effectuant la répétition, car le second arc ne s'ajoute pas exactement au bout du premier. Mais si le cercle alidade, dans le retour de la position inverse à la position directe de l'instrument, était assujetti sur le cercle gradué par deux points opposés de sa circonférence, la petite rotation des vemiers ne serait plus possible, les deux limbes tourneraient ensemble sans que la lecture fût modifiée, et par conséquent le

188 THÈOAŒ DES INSTRUMENTS.

2* pointé de la position directe serait vraiment effectué avec la lecture répondant à la fin de la première observation. Le point de départ du deuxième arc serait donc bien à la suite du premier arc, et puisque, comme nons l'avons vu, les arcs eux-mêmes ne sont pas altérés, tout inconvénient du jeu des axes aurait disparu. Or notre système de doubles vis supplémentaires permet d'obtenir ce résultat. Par lui toute influence soit du jeu des vis de rappel, soit du jeu des axes, aurait cessé (I).

Il serait bon aussi d'employer deux vis de pression supplémentaires pour lier le cercle gradué aux pièces fixes de l'instru* ment, afin qu'aucun entraînement venant du cercle alidade, dans le mouvement de ce dernier, n'agisse pour déplacer l'axe du cercle gradué, dont la ligne des zéros éprouverait par là une déviation indépendante de celle du niveau parallèle à ce cercle et porté par le système des pièces fixes.

Dans le système azimutal, le jeu des axes est moins à craindre que dans le système vertical des cercles, parce que la pesanteur tend à supprimer le jeu et n'agit plus pour modifier les points

(i ) QuaDd Taxe du cercle alidade se meut par suite du jeu qu^ii possède, les deux points sur lesquels il repose dans les deux positions de Tinstrument sont, sur cet axe lui-même comme dans l'intérieur de l'axe du cercle, évidemment éloignés Tun de l'autre d'un arc égal au double de la distance zénithale, arc dont la corde est le double du sinus de la distance zénithale. La différence de la longueur de ces deux cordes proportionnelles Tune et l'autre au sinus de la distance au zénith est elle-même proportionnelle à ce sinus, et cette différence est le déplacement que l'axe a éprouvé, déplacement qui, divisé par le rayon du cercle, puisque le centre de rotation est sur la circonférence de ce dernier, mesure la déviation desverniers. Donc les erreurs que le jeu des axes peut produire sont proportionnelles au sinus de la distance au zénith. Ainsi dans un cercle où, par la méthode que nous avons indiquée^ on s'est assuré qu'on a rendu nul le jeu des vis de rappel, et où oepeodant U différence des latitudes obtenues par les étoiles du nord et du sud persisterait, on serait sûr qu'il y aurait un jeu des axes. La grandeur de la différence trouvée, divisée par la somme des sinus des distances zénithales des deux astres correspondants observés nord et sud, donnerait alors un coefficicDi qui, multiplie parle sinus d'une distance zénithale mesurée par le même instrument, serait la correcti(m à appliquer avec le signe contraire à la distance zénithale mesurée pour avoir la distance zénithale vraie. Avec des instruments bien faits et neufs, cette correction n'existe pas; mais on doit toujours s'assurer de la perfection do son instrument, et recourir à la correction en question s'il n*est pas parfait. Avec notre système de vis de pression supplémentaires, on serait débarrassé de ce soin.

des axes en contact. Mais là aussi le système des vis supplémentaires de pression sera cependant toujours doublé avec avantage.

n importe de remarquer que, si on n'emploie pas notre système de vis de pression supplémentaires, le jeu des axes ne perd son iofluence^ même pour un arc obtenu sans l'emploi de la répétition, qu'autant que les lectures au premier et au deuxième pointé sont faites dans les positions mêmes données à l'instrument pour viser. Or, dans le système vertical, où le jeu des axes est le plus à craindre, le vernier de dessous est, par l'effet de la position que lui donnentles artistes, toujours assez incommode à lire, et souvent même il est impossible de l'éclairer pour la lecture dans cette position. D'où il résulte qu'en supprimant la répétition, on n'a que supprimé les.aYantages de cette dernière en gardant ses inconvénients.

75. — Les différences entre les latitudes déterminées par les passages méridiens d'étoiles situées des deux côtés du zénith se ramenant, comme nous venons de le voir, à la question du jeu des vis de rappel et parfois des axes des théodolites ou cercles ré* pétiteurs, les objections qu'on a faites à l'emploi de la répétition dans les instruments se réduisent à deux seulement : la première consiste en ce que les vis des instruments peuvent céder pendant les divers mouvements de rotation, et conséquemment elle se confond avec l'objection fondée sur les différences de latitude par les observations du nord et du sud ; la seconde repose sur ce qu'on peut se tromper sur le nombre des répétitions ou des circonférences, par faute d'attention.

n y a lieu de répondre qu'au lieu de rejeter pour quelques petits défauts un principe aussi fécond que celui -de la répétition des angles, il vaut mieux s'occuper des moyens de faire dispa* raître les inconvénients reconnus, ce qui, dans le cas présent, n'offre aucune difficulté.

En effet, nous avons déjà vu que par l'emploi des vis de pression supplémentaires on se met à l'abri des effets du jeu des vis de rappel, et d'ailleurs pourquoi se fier aveuglément à la fixité des vis? Outre les vis de pression supplémentaires, il y a d'autres procédés auxquels on pourrait recourir. Ainsi on pourrait faire supporter au cercle alidade deux microscopes très-puissants munis de micromètres à l'aide desquels on pût pointer la division la plus rapprochée du cercle gradué, avant de faire mouvoir ensemble le système des deux cercles. Si alors l'un de ces cercles tourne

m THÉORIE DES INSTRUMENTS.

plus que l'autre, les microscopes l'accuseront immédiatement, et Terreur pourra être corrigée. De même le support de l'instrument peut être muni de microscopes que l'on pointera sur le cercle gradué lorsque le cercle alidade doit tourner seul, afin de s'assurer que ce dernier n'entratne aucunement le premier. Avec ces précautions si simples et si faciles, l'inconvénient du défaut de stabilité des vis disparait. Au reste, comme nous l'avons déjà vu, les vis de pression supplémentaires suffisent pour obtenir ce résultat, et si, au lieu de vemiers, l'instrument est muni de microscopes, ceux-ci permettraient de juger du déplacement s'il existait et en donneraient la grandeur si on faisait la lecture avant et après la rotation, puisque des microscopes placés perpendiculairement au limbe peuvent être lus dans toutes les positions de l'instrument.

Quant aux erreurs sur le nombre des répétitions ou des circonférences, il est aisé de les éviter en faisant à chaque opération une lecture de l'angle obtenu, non pour s'en servir comme résultat définitif, mais pour pouvoir vérifier le nombre des opérations.

76. — Les cercles horizontaux sont ceux dont la graduation est la plus facile à étudier, parce que la pesanteur ne les déforme pas, tandis que les cercles verticaux changent incessamment de forme, en tendant à s'allonger dans le sen s vertical . Pour un limbe horizontal , lorsque l'instrument est répétiteur, on peut, en prenant les précautions faciles que nous venons d'indiquer, étudier aisément lagraduation à l'aide de collimateurs. Nous avons déjà vu les moyens de placer des collimateurs exactement perpendiculaires les uns aux autres. A l'aide de ces collimateurs, les arcs de 901^ pourraient être étudiés si la lunette était centrée ; mais on peut étudier un arc quelconque (que la lunette soit au centre ou excentrique) en faisant usage d'un collimateur fixe que nous appellerons A et d'un collimateur horizontal et mobile que nous appellerons D. Alors, pour déterminer l'erreur de l'arc de N degrés, on amènera d'abord le cercle alidade sur le zéro du cercle gradué, puis on fera tourner le système des deux cercles pour pointer la lunette de l'instrument sur le collimateur A. Arrêtant alors le cercle gradué, on amènera le zéro de l'alidade sur la N* division ; puis, calant l'instrument, on pointera le collimateur D sur la lunette de l'alt-azimut. Les axes optiques des collimateurs A et D feront ainsi entre eux un angle égal à celui des divisions zéro et N du limbe azimutal. On n'aura plus alors qu'à mesurer cet angle par la méthode de la répétition , en

THÉORIE DES INSTRUMENTS. itii

le répétant un grand nombre de fois, de manière à employer plusieurs fois la circonférence entière. Si Tare N est trop petit pour que, par suite des dimensions de leurs objectifs, les collimateurs Â et D puissent faire Tangle N en restant pointés sur Tinstrument, on étudiera de cette manière les arcs M et N+M, M étant un angle arbitraire cboisi en conséquence. Ces deux angles étant connus, leur différence N sera également connue.

77. — Pour parvenir à employer plusieurs fois la circonférence entière en faisant les répétitions, on peut, après avoir répété l'arc N un nombre K de fois, déplacer le collimateur D et le pointer sur la lunette de l'instrument qui alors a décrit l'arc NK. On répétera alors l'arc NK comme on répétait l'arc N. De cette manière, on peut répéter l'arc suivant les puissances d'un nombre, et par suite répéter un nombre immense de fois en quelques instants. Les erreurs de graduation peuvent être obtenues par ce moyen avec une extrême précision. Nous remarquerons de plus que, par ce procédé, l'erreur de graduation est connue sans intervention de la valeur des parties des microscopes qui servent à lire les fractions sur le limbe. On ne se sert, en effet, de ces microscopes que pour la lecture de l'angle final, et alors la fraction mesurée par eux est divisée par un nombre tellement grand qu'elle n'influe pas sensiblement sur l'angle primitif. J'avais indiqué, dès 1847, cette méthode de répétition suivant les puissances d'un nombre (Comptes rendus). En répétant, par exemple, un premier arc 10 fois, puis 10 fois l'arc décuplé, puis 10 fois celui-ci et ainsi de suite, 7 fois en tout, ce qui équivaut comme longueur à 70 répétitions ordinaires, on obtient l'arc 1 0 millions de fois plus grand que l'arc primitif. Or une circonférence entière ne renferme que 1 296 000 secondes: l'erreur d'une circonférence entière sur l'arc final ne ferait donc guère qu'un huitième de seconde sur l'arc primitif. Il est évident qu'il faut compter chaque fois le nombre de circonférences déjà obtenu dans la répétition précédente et le multiplier par 10 en même temps que l'arc qui surpasse les circonférences. Ainsi donc la répétition suivant les puissances d'un nombre conduit à cette singulière conclusion de pouvoir mesurer un angle sans que le cercle soit gradué. Mais il est évident qu'on peut toujours posséder une graduation passable qui abrégerait considérablement le nombre des répétitions. Je ne fais donc cette remarque qu'à cause de la curiosité du fait.

\ii^ THÉORIE DES INSTUUMEM'S.

78. — Si l'instrument n'est pas répétiteur on pourrait également employer la méthode que j'ai décrite dans Je n** 76, surtout si la lunette est centrée.

Il suffirait pour cela d'ajouter un nouveau collimateur E, pouvant, comme D, être déplacé; mais E serait situé à une distance du centre de l'instrument plus grande que D et que Â^ de façon à pouvoir passer derrière ces deux collimateurs (1). Il faudrait en plus que l'on ajoutât sur le cercle alidade une lunette F, coudée à l'aide d'un prisme, et pouvant être arrêtée sur une partie quelconque de ce cercle et dirigée sur un des collimateurs horizontaux. La lunette F devrait être coudée pour que son mouvement ne fût pas gôné par la lunette de Tait-azimut. Sans cette précaution, cette dernière ne permettrait pas que F fût pointée sur des collimateurs horizontaux de même niveau qu'elle. Pour que l'axe optique de F et celui de l'alt-azimut pussent faire un angle quelconque, F devrait tourner autour d'un axe vertical supporté par une pièce s'ajustant à volonté sur les piliers qui, fixés sur le cercle alidade, soutiendraient la lunette de l'instrument.

Cela posé, on opérera de la manière suivante : ayant pointé le premier microscope du cercle alidade sur la division zéro du limbe, on pointera le collimateur Â sur la lunette de l'instrument. Puis on fera tourner le cercle alidade jusqu'à ce que son microscope soit pointé sur la division N du limbe, et on pointera le coUimateur D sur la lunette dans cette nouvelle position. A et D feront alors, comme précédemment, le même angle que les divisions zéro et N du limbe. Ramenant alors la lunette sur Â, on pointera F sur D, puis, faisant tourner le cercle alidade de manière à diriger la lunette sur D, on pointera E sur la nouvelle position prise par F. Alors A et E feront un angle double de A et D. En amenant ensuite la lunette sur E, et pointant E sur F dans sa nouvelle position, A et E feront un angle triple de A et D, et ainsi de suite* On répétera l'angle autant qu'on le voudra ; après quoi, on fera la lecture de l'angle final, et on la divisera par le nombre de^ répétitions. On pourra, comme précédemment, augmenter le

(1) Noos feront remarquer que, pendant qo^on se lert des eollimatenrs D et E, on ne se sert pas des collimateurs B et G^ dont nous avons parlé précédemment (n"^ 52). D et E peuvent donc n'être que ces derniers que Ton déplacerait à volonté. Trois collimateurs horitonlaux en tout suffisent ainsi pour toutes les vérifications de collimation, de nivellement et de graduation.

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nombre des répétitions eu répétant des angles multiples, de manière à obtenir que la totalité du limbe serve plusieurs fois pour bien éliminer, par la grandeur du diviseur, Terreur finale due à la graduation. Quand les angles à répéter seront trop petits, on y joindra un angle arbitraire comme précédemment.

Au reste, on pourrait abréger les opérations en déterminant de cette manière les grandes divisions seulement, et se servant ensuite des microscopes pour juger de la division de ces grandes parties en plusieurs autres.

79. — Dans tout ce qui précède, nous n'avons pas tenu compte de rexcentricité du cercle. Si cette excentricité était rigoureusement constante, il est clair qu'en opérant comme nous venons de le dire, on serait en droit de la négliger, puisqu'on aurait déterminé les angles formés par les lignes idéales menées de l'axe aux divers traits, de sorte que le défaut d'excentricité rentrerait dans les erreurs de graduation .

Mais si les cônes frottants de l'axe n'ont pas leurs génératrices rigoureusement droites, et si ces cônes ne sont pas rigoureuse^ ment des surfaces de révolution, circonstances qui se produisent nécessairement dans la pratique, il arrive, comme nous l'avons déjà dit, que, dans la rotation de l'instrument, l'axe s'élève et s'abaisse dans la verticale suivant les parties frottantes, et l'axe idéal change à chaque instant. Par conséquent l'angle formé par les lignes idéales réunissant deux divisions à cet axe idéal varie avec la rotation. Ce n'est donc pas cet angle variable que l'on doit se proposer de déterminer. Mais dans ces variations de Taxe idéal, quand l'angle que forment avec lui les divisions zéro et N, par exemple, augmente, l'angle formé avec ce même axe idéal par les divisions 180'' et 180'-i-N diminue, de telle sorte que la moyenne de ces deux angles est constante; c'est donc cette moyenne qui doit être déterminée, et c'est pour cela que, dans la pratique, quand on mesure un angle, on doit, comme nous l'avons vu n** 70, toujours lire deux microscopes opposés, et la moyenne des deux lectures est la mesure de l'angle cherché.

Ainsi, dans la détermination des erreurs de graduation ^ on ne doit pas rechercher, comme nous venons de l'indiquer, l'erreur des divisions 0" et N, mais la moyenne des erreurs des arcs 0% N et ISO*, 180* + N. Pour cela, il suffit de modifier très-légèrement les procédés que nous venons d'indiquer.

iilil THÉORIE DES INSTRUMENTS.

D'abord, dans le cas d'un cercle répétiteur, on amène la division zéro du cercle alidade sur la division 0*" du cercle gradué, puis, faisant tourner le système des deux cercles, on pointe la lunette de l'instrument sur le collimateur A. Laissant alors calé le cercle gradué, on décale le cercle alidade et on amène sa division 180"* sur la division ISO"" du cercle gradué. La lunette ne se trouve plus alors exactement pointée sur le collimateur A, mais avec le micromètre on mesure la distance du fil milieu de cette lunette à l'image du fil de A et on amène le fil du micromètre au milieu de cette distance; après quoi on dirige A sur le fil de ce micromètre.

On amène ensuite le zéro de l'alidade sur la N* division du limbe, puis, calant l'instrument, on pointe le collimateur D sur la lunette de l'alt-azimut. On décale de nouveau le cercle alidade, on amène sa division 180® sur la division 180'' + N du cercle gradué. La lunette n'est plus alors pointée sur D. On mesure comme précédemment avec son micromètre l'écart de son fil milieu et de l'image du fil de D, puis, mettant le fil de son micromètre au milieu de l'intervalle, on pointe D sur ce fil. Les collimateurs A et D font alors entre eux un angle égal à la moyenne des angles 0% N et 180% ISO"" + N. On n'a plus alors qu'à répéter cet angle en suivant la méthode indiquée dans les n"" 76 et 77. A part ces précautions, cette répétition peut se faire comme nous l'avons dit précédemment.

Dans le cas où l'instrument ne serait pas répétiteur, il faudrait également faire en sorte que l'angle des collimateurs A et D fût égal à la moyenne des angles des divisions 0® et N, 180* et 180''-i*N* Pour cela on calera d'abord les microscopes sur les divisions O"* et 180® du limbe, et on pointera A sur la lunette de l'instrument. On décalera alors l'alidade, et on amènera sur la division N le microscope qui était sur 0®, et on pointera D sur la lunette dans sa nouvelle position. On décalera de nouveau l'alidade et on amènera le microscope qui était sur 180® sur la division 180^ + N. On mesurera alors comme précédemment avec le micromètre de la lunette la distance de son fil milieu à l'image du fil de D, puis, mettant le fil de ce micromètre dans le milieu de l'intervalle, on pointera D sur lui, et A et D feront l'angle cherché. La mesure de l'angle de A et D se fera ensuite en répétant cet angle, comme nous l'avons dit.

Dans ce qui précède, nous avons supposé le cercle gradué fixe

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et l'alidade mobile. En général, c'est le contraire qui a lieu, mais cda ne change rien à la manière d'opérer. Pour la stabilité, et afin de ne pas toucher à l'instrument quand il est pointé, il vaut mieux que ce soit le cercle gradué qui soit mobile, et que les microscopes soient sceUés dans les piliers, du moins si le limbe est horizontal, car, comme nous allons le voir, le contraire a lieu s'il est vertical.

Nous ferons remarquer que les collimateurs nécessaires pour déterminer les erreurs de graduation par les procédés que nous venons d'indiquer doivent être pointés sur la lunette de l'instrument, et réciproquement, de sorte qu'ils ne peuvent être remplacés par des miroirs.

80. — Si le cercle que l'on veut étudier est vertical, on peut encore employer la méthode précédente par les collimateurs, seulement il est bon que ce soit le cercle qui soit fixe et alors l'alidade est une %le mobile. Cette dernière, fléchissant symétriquement des deux côtés sous l'action de la pesanteur, il en résulte que la lecture moyenne des deux microscopes qu'elle porte n'est pas modifiée par la flexion. En cela les choses se passent comme pour la flexion des lunettes. Il y a, au contraire, un grand inconvénient à ce que le cercle tourne, car dans ce cas il se déforme sans cesse. Les métaux se comportent d'une manière très-bizarre sous l'influence de la pesanteur. Ainsi, par exemple, un cercle qui reste peu de temps dans une position se déformera peu, mais s'il reste longtemps dans la même position, il se déformera davantage, souvent par soubresauts, et si on le fait tourner de 180"*, la totalité de cette déformation ne disparaît pas de suite pour prendre la déformation contraire. Il en résulte que la forme d'un limbe vertical est une fonction de la série des diverses positions qu'il a dernièrement occupées et du temps pendant lequel il est resté dans chacune d'elles, et très -probablement une fonction des changements de température éprouvés dans chacune de ces positions. Donc un cercle vertical tournant autour de son axe ne peut être considéré comme se déformant toujours de la même manière. C'est pourquoi on ne peut étudier d'une manière satisfaisante sa graduation qui varie dans les déformations successives, Un cercle vertical qu'on veut étudier doit donc être fixe et depuis longtemps en place avant de commencer son étude, afin qu'il ait pris sa forme définitive sous rinfluence de la pesanteur. C'est fort à tort que, dans

les cercles muraux , on fait le cercle mobile et les microscopes fixes. Ce serait le contraire qui devrait exister ; et si surtout les microscopes étaient à plaque divisée au lieu d'être à fil mobile^ comme alors on n'aurait pas besoin de toucher à ces microscopes, la rotation des alidades qui les porteraient n'aurait aucun inconvénient.

Dans les petits cercles, on peutconsidérer les flexions comme sensiblement nulles. Au lieu de grands cercles, mieux vaut donc faire de petits cercles et employer des microscopes plus forts. Le théodolite répétiteur, où les erreurs de graduation se trouvent sensiblement anéanties par le diviseur introduit par la répétition, et où la petitesse du cercle favorise déjà l'absence des flexions, est avec les précautions convenables supérieur aux grands cercles pour la précision de ses résultats. Son principal défaut, comme je l'ai déjà dit, est la faiblesse trop grande de sa lunette. Aussi les artistes devraientils adaptera ces instruments des lunettes plus fortes.

8i . — On peut encore déterminer les erreurs de graduation des cercles en faisant passer successivement tous les intervalles des traits sous les deux mêmes microscopes opposés. La somme de tous ces intervalles étant pour chaque microscope égale à 360% on en déduit la valeur angulaire des tours des micromètres de ces microscopes ou des divisions de leurs plaques de verre. On a ensuite la valeur en arc de chacun des intervalles, puisqu'on connaît cette valeur en tours et fractions de tour ou en divisions de la plaque. Cette méthode, qui est celle dont on se sert ordinairement, donne un résultat qu'on peut rendre indépendant des irrégularités de circularité du limbe, en ayant soin que les microscopes ne tournent pas sur eux-mêmes et conservent leur position bien stable sur l'alidade. Toutefois, mais seulement pour les cercles verticaux gradués sur la tranche, elle offre l'inconvénient que les axes des microscopes s'inclinent par la flexion de l'alidade, ce qui change par obliquité la valeur trouvée pour les divisions, tandis que la méthode des collimateurs, telle que nous venons de la décrire, est totalement indépendante de cette flexion de l'alidade.

82. — Il importe que, pendant ces opérations, toutes les parties des limbes soient à la même température autant que possible, encore bien que le rôle des températures, dans le cas où on emploie les collimateurs, soit beaucoup moindre que dans celui où l'opération dépend des valeurs des tours des micromètres des microscopes, conune cela a lieu dans les études faites jusqu'ici sur les

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graduations des cercles. Pour un limbe horizontal surtout, la condition de température constante dans toutes ses parties ne présente pas de difficultés pour sa réalisation.

Il importe encore de remarquer qu'un cercle vertical, tournant sur son axe, dewait être étudié dans la position horizontale plutôt que dans la position verticale. Il serait alors étudié dans sa vraie forme et indépendamment des déformations qui ont lieu en place. Son étude serait donc plus sûre. On compterait alors sur l^ multiplicité des microscopes pour diminuer sinon pour anéantir l'effet des déformations variables.

83. — Il est évident, en outre, que pour un cercle dont la graduation est bien étudiée, une graduation arbitraire devient équivalente à une graduation régulière. On forme dans ce cas une table donnant l'angle répondant à chaque trait depuis le trait zéro.

L'étude des graduations est toujours une opération très-longue. Aussi le plus souvent les astronomes n'étudient pas leurs cercles. C'est là une chose regrettable. Mais on pourrait rendre l'étude des graduations très-facile en employant toujours, comme dans le cercle répétiteur, un cercle alidade et un cercle gradué. Alors le cercle gradué ne porterait qu'un petit nombre de divisions, par exemple, un trait de 10 en 10 degrés. Le cercle alidade porterait deux arcs d'une douzaine de degrés divisés jusqu'aux dizaines de minutes et opposés aux extrémités d'un même diamètre. Les microscopes serviraient pour achever la lecture comme d'usage. Il est évident que cette disposition serait équivalente à celle d'un cercle entièrement gradué, mais l'étude de la graduation serait bien simplifiée. Par juxtaposition de l'alidade devant tous les intervalles de iO"" du cercle, on comparerait ces derniers intervalles entre eux de manière à avoir la mesure de leur différence^ et on aurait en même temps la vraie valeur de l'arc subdivisé sur l'alidade. Il ne resterait plus ensuite qu'à étudier les subdivisions des deux petits arcs de l'alidade, étude qui se ferait avec le microscope. L'étude des divisions du microscope lui-même serait effectuée en comparant la longueur d'une même division de l'alidade avec toutes les parties de Téchelle de ce microscope. Cette disposition simplifierait à la fois le travail pour les artistes et pour les astronomes. Elle serait précieuse en ce que ces derniers n'hésiteraient plus à étudier leurs cercles, ce qui vaut beaucoup mieux que de compter sur la précision mise par les artistes. Ce mode de graduer les cercles n'a pas encore été indiqué. Ce serait certainement le meilleur.