THÉORIES RELATIVES Â DIVERS INSTRUMENTS

84. — Après les considérations dans lesquelles nous sommes précédemment entré au sujet de la détermination des erreurs instrumentales et des moyens de corriger les observations de VeBel de ces erreurs, il faut que nous examinions d'une manière particulière les divers procédés de pointé à employer pour les obsemtions et les erreurs particulières connues sous le nom d'équations personnelles. Ces dernières erreurs résultent de la mobilité apparente des astres sur lesquels on pointe, mobilité qui iait que le temps entre comme élément dans les observations. La lunette méridienne est l'instrument qui se prête le mieux à une étude des équations personnelles, parce qu'avec elle l'observation repose entièrement et uniquement sur les temps des passages des astres derrière le^ fils du réticule. Nous ne parlerons donc des équations personnelles qu'après avoir donné la théorie complète de cette lunette, à laquelle nous joindrons la théorie du cercle mural, qui souvent compose avec elle un seul instrument, connu alors sous le nom de cercle méridien. Nous ne pouvons toutefois traiter corn* plétement la théorie des instruments méridiens qu'après avoir parlé de l'aberration diurne, dont nous allons maintenant dous occuper, et nous examinerons l'effet de cette dernière sur les temps des passages observés à la lunette méridienne et sur les azimuts et les hauteurs observés avec les instruments alt-azimutaux. Nous traiterons immédiatement après de la théorie des instruments méridiens.

De l'aberration diurne,

8S. — Outre les erreurs dues aux défauts des instruments, il y a encore une autre cause d'erreur à considérer. Cette erreur provient du mouvement diurne de la terre combiné avec le mouvement de la lumière, et porte le nom d'aberration diurne.

Par suite de la révolution de la terre sur elle-même, le mouvement d'un point de la surface de la terre est dirigé de l'ouest à l'est, et si v désigne la vitesse d'un point de l'équateur, v ces / est la vitcàse sous le parallèle dont la latitude est /, en regardant la

THÉORIE DES LNSTRUMEOTS. 149

terre comme exactement sphérique, ce qui n'a pas d'inconvénient, Yu la petitesse des corrections provenant de l'aberration diurne.

Pour un astre situé dans le méridien d'un certain point du globe, la direction des rayons lumineux est perpendiculaire au mouvement de ce point, et par conséquent les deux mouvements du globe et de la lumière se combinent de telle sorte que l'astre paraît un peu à l'est du méridien, sans que sa hauteur soit aucunement altérée. En effet, pendant que la lumière parcourt l'inter- Yalle compris entre ie centre optique de l'objectif et le réticule, la lunette avance. La lumière qui aurait traversé celle-ci suivant sa ligne de coUimation si cette ligne avait été immobile, tombera donc par suite du mouvement à louest delà croisée des ûls, c'està-dire qu'elle paraîtra venir d'un point situé un peu à l'est du méridien. L'angle entre la direction apparente de l'astre observé et le plan du méridien est d'ailleurs le même, quelle que soit la hauteur de l'astre. L'effet de l'aberration diurne est donc exactement semblable à celui que produirait une petite coUimation de l'instrument, coUimation précisément égale à la déviation due à cette aberration , et dirigée vers l'ouest, puisque le passage au méridien est vu plus tard qu'il n'a lieu réellement.

86. — L'aberration diurne est très-faible, elle égale 0",31 à

l'équateur, et, par conséquent, 0",31 cos / à la latitude /. Comme

elle produit pour une lunette méridienne le même effet qu'une

coUimation de la même grandeur vers l'ouest, il s'ensuit que le

passage est observé trop tard du nombre de secondes de temps

AI 1 # 1 j 0",31 cos /

donné par la formule it -—^ =j— > puisque nous avons vu

(n* 46) qu'une coUimation c {c exprimant un nombre de secondes d'arc) modifie l'instant des passages de la quantité

±.-= — |r, le signe + se rapportant au passage supérieur, et le

signe — au passage inférieur. En regardant la coUimation c

comme positive h l'est, la quantité ± -z rr doit être ajoutée

à l'instant du passage observé pour avoir le vrai passage au méridien, tandis que l'aberration correspondant à une col-

limation ouest, la quantité ± -^^ j—- doit être retranchée.

^ 15 cos D

La réunion de la collimation et de l'aberration diurne fait donc qu'il faut, pour avoir les instants des vrais passages au méridien,

ajouter aux passages observés la quantité ± ~ * — |r — , expression dans laquelle c entre avec son signe, qui est positif à l'est, négatif à l'ouest, et où le signe supérieur se rapporte aux passages supérieurs, et le signe inférieur aux passages inférieurs.

87. — Lorsque l'astre est dans un plan vertical autre que le méridien, on peut décomposer le mouvement de la terre en deux autres, le premier perpendiculaire à ce plan vertical, le second situé dans ce plan. La composante perpendiculaire au plan vertical ne peut influer sur la hauteur de l'astre, dont elle est d'ailleurs indépendante, mais elle détermine la déviation apparente de l'astre hors du plan vertical qui le renferme. L'autre composante, au contraire, influe sur la hauteur et ne modifie pas la déviation apparente de l'astre hors du plan qui le contient. Cette dernière conclusion n'est toutefois pas tout à fait rigoureuse, parce que la seconde composante modifie la vitesse relative du rayon lumineux par rapport au point d'observation ; mais cette modification est tellement petite, en comparaison de la vitesse de la lumière, qu'on peut la négliger et regarder les deux composantes du mouvement diurne comme agissant indépendaomient Tune de l'autre.

Ainsi donc, quel que soit le plan dans lequel on observe, l'aberration diurne influe sur les mesures azimutales comme le ferait une petite collimation de l'instrument, mais la valeur de la collimation^ qui produirait le même efiet que l'aberration diurne, varie avec l'azimut dans lequel on observe. Soit a cet azimut, compté du nord en passant par l'ouest, le mouvement V cos / de la surface terrestre se décompose en deux autres, le premier v cos / cos a perpendiculaire au plan vertical d'azimut a, le second > cos /sin a situé dans ce plan et horizontal.

C'est à la première composante qu'est due la déviation de l'image hors du plan vertical, et si V désigne la vitesse de la lumière et k cette déviation, on a v cos icosa =z\ tang k.

Mais k étant très-petit, on peut substituer l'arc à la tangente, et il vient pour la déviation

*=Y^j;jpcos/co$a.

THÊOKIE DES INSTRUMENTS. 151

rr-: — 777 cst la coDstante de Taberration diurne, elle est égale à V sm 1 ^

0^,31. On a donc

A; = 0",3icos/cosa;

les valeurs positives de k indiquent une déviation diminuant Tazimut et les valeurs négatives une déviation inverse.

La correction correspondante sur l'azimut sera donc par la même formule que celle qui provient de la coUimation (n*' 4S),

$ a = 0'\3i cos / cos a sec A.

Les corrections de l'aberration diurne sur l'azimut se calculant comme celles de la collimation, on corrige ces deux erreurs à la fois.

88. — Cherchons maintenant l'expression de l'erreur que l'aberration diurne peut introduire sur la hauteur d'un astre.

Si on décompose la composante horizontale v cos / sin a du mouvement de la terre dans le plan vertical dont l'azimut est a en deux autres composantes, l'une dirigée suivant le rayon visuel venant de l'astre de hauteur h^ l'autre perpendiculairement à ce rayon visuel, la seconde composante modifiera seule la hauteur de l'astre (en négligeant, vu sa petitesse, comme nous l'avons dit dans le n"" 87, l'influence de la première composante sur le mouvement relatif du rayon lumineux et du point d'observation). Or cette seconde composante a pour expression v cos / sin a sin h.

On aura donc

Ytang$ A = v cos / sin a sin h, ou en remplaçant la tangente par l'arc

0 A = 0'',3i cos / sin a sin A.

Et les hauteurs observées devront être diminuées de cette valeur de 8A prise avec son signe pour avoir les hauteurs vraies, ou, en d'autres termes, la valeur de ^h donnée par cette expression est la quantité à ajouter aux distances zénithales observées, pour avoir Ifô distances zénithales vraies.

89. — Outre l'aberration diurne, il y a aussi l'aberration annuelle, qui provient du mouvement de translation de la terre autour du soleil.

Cette dernière erreur, étant la même pour tous les points du globe à la fois, n*a plus besoin d'être corrigée en chaque lieu séparément comme Taberration diurne. Elle se reporte conséquemment sur les tables astronomiques, qui alors donnent les positions apparentes des astres au lieu des positions vraies. Cette erreur ne vient donc pas, comme l'aberration diurne, se mêler aux erreurs instrumentales, et nous n'avons pas à nous en occuper maintenant.

Théorie des instruments méridiens.

90. — Nous avons déjà vu (n* 24) que si l'axe horizontal de la lunette méridienne est incliné de i secondes d'arc, il faut, pour avoir l'heure du vrai passage au méridien, joindre à l'heure donnée par l'horloge pour les passages observés la quantité de

secondes de temps fournie par l'expression yn — ^ "t. , i étant

positif si le tourillon ouest est le plus élevé, négatif dans le cas contraire, et le signe supérieur se rapportant aux passages supérieurs, l'inférieur aux passages inférieurs.

Nous avons vu aussi ( n"" 46 ) que si on appelle c la collimation de la lunette exprimée en secondes d'arc, et regardée comme positive si la lunette incline à l'est, négative dans le cas contraire, il faut joindre à l'heure observée la quantité de se-

condes de temps donnée par l'expression ± jz r, le signe

supérieur se rapportant au passage supérieur, l'inférieur au

passage inférieur, et, dans le n"" 86^ nous avons montré que

, . c — 0"31cos/ . . ,

cette correction se change en ± — jz fj — pour avoir égard

à l'aberration diurne.

Mais les passages au méridien peuvent être altérés par une troisième cause d'erreur provenant de ce que l'axe de rotation de la lunette n'est pas exactement dans un plan perpendiculaire au méridien, de sorte que celte dernière, même en supposant nulles la collimation et l'inclinaison, ne se mouvrait pas dans le plan méridien, mais dans un autre plan vertical un peu dévié du méridien.

Supposons-nous dans Thémisphère nord, et nommons a cette déviation azimutale, que nous regarderons comme positive si la lunette pointée au sud se porte à Test du méridien, comme négative si elle se porte à Touest : a est alors Tangle formé par la lunette et le plan méridien quand la lunette est horizontale, et c^est en même temps Tangle du méridien et du plan vertical dans lequel se meut la lunette, angle qu'on appelle Terreur d'azimut de l'instrument.

Quand la lunette est dirigée vers un astre, à la hauteur A, si nous menons par son axe optique un plan perpendiculaire au méridien, ce plan interceptera sur la sphère céleste un arc de grand cercle LM(/îy. 25) qui fera avec le méridien M'Z M et le vertical LZU dans lequel se meut la lunette un triangle sphérique ZML, rectangle en M, et dans lequel on connaît le côté ZL = 90 — A, côté qui est la distance zénithale de l'axe optique de la lunette et du zénith Z et l'angle LZM =a du vertical ZL dans lequel se meut ^^' ^*la lunette et du méridien ZM. Dans ce triangle, le côté LM égale Tangle de l'axe optique de la lunette et du méridien, et on a

sin LM = sin ZL sin LZM=cos Asin a.

Vu la petitesse de l'arc a, on peut, sans erreur sensible, considérer h ou la hauteur de l'astre tout près du méridien comme la hauteur méridienne elle-même, sans qu'il en résulte d'erreur sensible sur LM. On peut en outre remplacer sin LM et sin a par leurs arcs, et on a

LM = a cosA.

A cause de sa petitesse, l'arc LM, distance de l'astre au méridien, se confond sensiblement avec l'arc de parallèle que cet astre doit, à partir del'instantoîi il passe parl'axe optique de la lunette, décrire pour atteindre le méridien. Ainsi le temps qu'une étoile emploierait à l'équateur pour atteindre le méridien, temps exprimé en secondes serait -- cos A, a étant exprimé en secondes d'arc. Pour

une étoile de déclinaison D, ce temps serait j» jr, puisque les

temps employés par une étoile pour parcourir un même espace sont y comme nous l'avons vu n® 33, en raison inverse de la déclinaison. Si Tastre passe au sud du zénith, cette quantité de secondes sera à joindre à Tinstant du passage observé pour avoir le vrai instant du passage au méridien.

Si Tastre est au nord du zénith, on a toujours dans le triangle

sîn V M* = sin Z L' sin JA'ZL' = cos h' sin a,

h' étant compté depuis l'horizon nord, ou

L'M'=acosA'.

Mais de ce côté du zénith le passage a lieu plus tard à la lunette qu'au méridien si c'est un passage supérieur ; au lieu donc d'ajouter

aux passages observés la correction rs tt, il faudra la retrancher;

'^ ^ 15 cos D '

mais si on veut continuer de compter la hauteur de l'horizon sud, en appelant toujours h cette dernière, on a A' = 180 — A, d'où cosA'= — cos A. La quantité à retrancher des instants des passages observés deviendrait alors — -r^ =; , c'est-à-dire qu'il fau-

^ 15 cos D' ^

tf cos H drait toujours ajouter à ces instants la quantité j^ j:; . Ainsi,

pour tous les passages supérieurs , il faut ajouter aux instants

des passages observés la quantité j= =r pour avoir les passages

vrais, h étant la hauteur de l'astre au-dessus de l'horizon sud. Si au contraire le passage de l'astre est inférieur, le passage à la lunette, au lieu de se faire plus tard qu'au méridien se fera plus tôt, et conséquemment il faudra ajouter au passage observé la

quantité r» — :ji au lieu de la retrancher, ou en remplaçant

cos h* par — cos h pour compter toujours de l'horizon sud, il

faudra ajouter aux passages observés la quantité — jp rr.

La quantité de secondes à ajouter au passage observé sera donc

g cos A 15 cos 0*

THÉORIE DES INSTRUMENTS. i55

le signe supérieur se rapportant aux passages supérieurs, l'inférieur aux passages inférieurs. Mais en appelant toujours / la latitude de la station et D la déclinaison de l'astre, on a pour les passages supérieurs

*=liauteur de Téquateur +D =90— / + D = 90— (/— D),

d'où

cosA = sin(/ — D).

Pour les passages inférieurs on a

A = hauteur de Téquateur + iSO— D = 90 — / + 180— D, d'où

C08A = — COSJ90 — (/+D)1=— sin(/-l-D).

Pour le passage supérieur, la quantité à ajouter aux passages observés devient donc

acosh flsin(/ — D) "*"Î5côsD ■" "*" iScosD '

et pour le passage inférieur

acosA flsin(f-hD)

"iScosB"""* i5cosD *

donc la quantité de secondes de temps à ajouter aux passages observés pour avoir les vrais passages au méridien est

sinÇ/yP) iScosD '

le signe supérieur se rapportant au passage supérieur, l'inférieur au passage inférieur; et a étant positif quand la lunette pointée vers le sud dévie vers l'est. Cette formule convient également à l'hémisphère sud ; seulement les latitudes comme les déclinaisons doivent Mre regardées comme positives dans l'hémisphère nord et négatives dans l'hémisphère sud, car il faut remarquer que si on faisait le contraire, il faudrait aussi regarder a comme négatif quand la lunette pointée au sud dévie à l'est. C'est ce dont on se rend facilement compte en répétant pour l'hémisphère sud le raisonnement que nous venons de faire pour l'hémisphère nord.

9i. — Si nous appelons 0 le temps sidéral marqué par l'horloge auquel un passage a été observé et r le retard de l'horloge, le

temps réel de l'observation du passage par la ligne de coUimatioii deJrirmette est 6 -h t ; mais pour ramener ce temps à ce qu'il aurait été si l'instrument s'était trouvé dans le méridien, il faut y ajouter les trois corrections que nous avons reconnues relativement à l'inclinaison de l'axe de la lunette, à la coUimation et à l'erreur d'azimut. Le temps sidéral réel du passage au méridien qui est égal à l'ascension droite AR de l'astre est donc

^' ^i5 cosD ^15 cosD iScosD

Les signes supérieurs se rapportent aux passages supérieurs, les inférieurs aux passages inférieurs, et il ne faut pas perdre de vue que i est positif si le tourillon ouest est le plus élevé, a est positif si la lunette pointée au sud dévie à l'est du méridien, et c est positif si par sa collimation la lunette dévie à l'est; t est l'inclinaison, a la déviation azimutale du plan dans lequel se met la lunette, et c la collimation, et dans la formule ces trois quantités sont exprimées en secondes d'arc, de façon que chacun des termes dans lesquels elles entrent donne des secondes de temps.

Dans la formule précédente, nous n'avons pas eu égard au mouvement diurne de l'astre en ascension droite. Elle ne s'applique donc qu'aux étoiles, astres pour lesquels le mouvement d'ascension droite est nul, mais elle s'appliquera à tous les astres si on multiplie le numérateur des trois corrections par iH-a, a étant l'accroissement diurne de l'ascension droite de l'astre, réduit en fraction de la circonférence.

Quand l'instrument est assez bien réglé, t, aeic sont très-petits et par conséquent il suffit de connaître approximativement / et D pour calculer AR avec une précision suffisante.

92. — La formule (1 ) donne l'ascension droite d'un astre observé quand t, t, aeic sont connus, savoir : i et c par les vérifications des axes et t et a par des observations antérieures d'astres dont l'ascension droite est connue. Quand on a à déteiminer l'erreur t de la pendule et Tazimut a de l'instrument, deux cas peuvent se présenter.

i"* Si l'instrument est muni d'un collimateur dans l'axe, coUimateurà l'aide duquel les variations de l'azimut, ainsi que celles de l'inclinaison, ont été déterminées pourchaqueobservation, et sirinclinaison a été bien mesurée pour une des observations, desortequ'à

Taidedeses variatioDS, on la conaatt pour toutes, ainsi que la collimation, les termes * 1^ ^ n ®* ^ ^"^ n — pourront être

idCOS U 1.0 COS ï)

calculés pour toutes les observations séparément , et en posant

, icosf/=FD) c— 0^^31 cos / ■*■ iocosD ^ 15cosD

b' sera connu pour toutes les observations. Nous appellerons ô'i sa valeur pour la i'% ^\ sa valeur pour la 2% et ainsi de suite. Nous appellerons ARi et D| l'ascension droite et la déclinaison du 1" astre observé, AR, et Dj celle du 2% etc.

Si alors nous appelons a Terreur inconnue d azimut pour la i'^ observation, celle de la 2* observation sera «-+-«, celle de la 3' a + «',etc., a, «',etc.,étantconnus puisqu'on a mesuré avec le collimateur les différences d'azimut aux diverses observations.

Si maintenant nous appelons t la correction de l'horloge répondant à la 1" observation étoile retard diurne de l'horloge, et si nous nommons ^le temps écoulé entre la 1'^ et la 2' observation, é' le temps écoulé entre la 1" et la 3% et ainsi de suite, la correction de l'horloge pour la 2' observation sera f + 6{x, pour la 3* ^+Ê'{*, etc., et nous aurons les équations

•a t^- -I r ■ iScosD, locosD,

^ *^^ ^^ ^ iScosDs ^ IScosD, '

Ces équations ne renfermeront d'inconnu que a, t et (a. Trois d'entre elles suffiront donc à déterminer ces trois inconnues, pourvu que l'un des coefficients S' soit grand, et que les déclinaisons de la l" et de la 3' étoile étant petites, celle de la 2* soit trèsgrande. Si on a plus de trois observations, on emploie la méthode des équations de condition pour les résoudre.

Si on a deux observations très-rapprochées, de telle sorte que 6 soit très-petit, il suffit de connaître i* approximativement pour calculer t>|i qui, si l'horloge est bien réglée, pourra être regardé comme nul. Dans ce cas, en faisant 6fi = o dans la 2' équation ; la 1" et la 2* équation suffiront pour calculer a et x, car en les retranchant l'un de l'autre on élimine t, et si les déclinaisons D, et D, sont

très-diSérentes, si, par exemple, l'une des étoiles est à peu près éguatoriale et l'autre très-voisine du p61e, le coefficient de a dans la différence des deux équations sera grand et a pourra être bien déterminé. En reportant ensuite sa valeur dans la 1" équation, on aura t.

Pour une étoile très-voisine du pôle, telle que la polaire, par exemple, le coefficient de a dans l'équation (i) est très-grand, car son dénominateur cos D devient très-petit, et sin (/q=D) n'est pas très-petit, puisque les observations ne se font pas ordinairement dans des lieux situés près du pôle. Pour une étoile voisine de l'équateur, cos D est presque égal à l'unité. Le coefficient de a est alors fractionnaire. Cette circonstance fait que la valeur de a est donnée toujours avec assez d'exactitude par une seule observation d'une étoile polaire et d'une étoile équatoriale, puisque dans la différence des deux équations le coefficient de a est généralement de plusieurs unités, et ce coefficient devient diviseur des erreurs des observations, dans l'obtention de la valeur de a. Quant a est connu, la valeur de T est donnée par l'observation de l'étoile équatoriale, mais elle est affectée de l'erreur d'observation avec sa grandeur totale. Pour avoir t, il y a donc avantage à observer plusieurs étoiles équatoriales, et à faire la somme des équations qui leur répondent. Cette équation-somme donne alors la valeur dex répondant à l'instant moyen des observations. Ces observations d'étoiles équatoriales peuyent être faites les unes avant celle de l'étoile voisine du pôle, les autres après, de sorte que l'équation-somme, divisée par le nombre des observations, c'est-à-dire l'équation moyenne, fournit à peu près la valeur de x répondant à l'instant de l'observation voisine du pôle, ce qui légitime davantage l'bypothèse de 6(a=o. On élimine aloi's centre l'équation moyenne en question donnée par les étoiles équatoriales et l'équation donnée par l'étoile polaire, en retranchant ces deux équations l'une de l'autre. On a ainsi une bonne détermination de a et en en reportant la valeur dans l'équation moyenne fournie par les étoiles équatoriales, on obtient une bonne détermination de T. Si le lendemain ou deux jours après, on fait une nouvelle série d'observations d'étoiles équatoriales, on a une nouvelle valeur de T par la moyenne de leurs équations, et la différence de ces deux valeurs de t divisée par le temps écoulé entre l'instant moyen des deux séries fait connaître la valeur de f^. On obtient a encore d'une manière très-exacte si on a observé une même circompolaire

TBÊORIE DES LNSTRU3tfEYrS. 159

à son passage supérieur et à sou passage inférieur; en retranchant alors les deux équations Tune de l'autre, t disparaît, tandis que a n'est pas éliminé, et son coefficient est grand à cause de la petitesse de ces D. Alors l'ascension droite de tous les autres astres qu'on a pu observer dans l'intervalle est donnée par l'équation (i).

Mais le plus souvent les instruments méridiens ne sont pas, et cela fort à tort, munis des moyens d'avoir continuellement les valeurs de t et de c et les variations de a. Généralement on détermine seulement de temps en temps ces corrections, et on suppose que les variations constatées entre deux déterminations sont proportionnelles au temps. Les variations de a supposées proportionnelles au temps sont alors déduites de la variation des pointés effectués à de longs intervalles sur la mire ou le collimateur mire.

2^ Le deuxième cas que nous avons à examiner, a lieu si on applique à une série entière la moyenne des déterminations de t et de c faites à l'origine et à la fin de cette série, ou bien les déterminations faites vers le milieu de la série, et si on compte sur la stabilité de Tinstrument pour que a n'ait pu varier dans l'intervalle. Dans ce dernier cas, on suppose l'instrument rigoureusement stable, et alors la formule (1) peut être mise pour le calcul sous une forme plus commode. En efiet, en développant les sinus et les cosinus de l'arc /qiD, il vient

AR = 0+ T-|-jrcos/ + rrsin/±

f ^sin /— ^cos / jtangD ±(c — 0",31cos/)secD.

Or t, a et c étant supposés constants dans toute la série, TT cos/+ jz sin/ est une constante pour la station, puisque la latitude est aussi une constante. En appelant donc m cette constante, et remarquant de même que 7= sin / — — cos / est aussi

io 15

une constante que nous appellerons n, et enfin que c -^ 0", 31 cos / est une troisième constante que nous appellerons c\ l'équation devient

(2) AR = Ô + T4-m4:ntangDi:(î'secD,

m, n et c' étant des constantes, et le signe supérieur se rapportant aux passages supérieurs^ l'inférieur aux passages inférieursi

Proposons-nous maintenant d'obtenir la valeur de ces constantes au moyen des équations delà forme précédente données par celles des étoiles de la série dont Tascension droite est connue. Mais remarquons toutefois que t et m entrant avec le même coefficient dans toutes les équations, on ne peut éliminer l'un sans rautre, de sorte que r + m est en réalité une seule inconnue que nous appellerons t\ Toutefois, à cause du retard diurne de l'horloge (nous parlons ici de retard, puisqu'une avance n'est autre qu'un retard négatif), que nous appellerons (t, t étant le retard à la première observation, t -*- 6|ji. est le retard à la deuxième, t + ê' p. le retard à la troisième, etc. S, ^, €", etc., étant les temps écoulés entre la première observation et la deuxième, la première et la troisième, etc.; les valeurs réelles de T+m dans les diverses équations seront ainsi t' pour la première étoile, t' + 6pi pour la deuxième, x' + & ^ pour la troisième, etc. Nous aurons donc la série des équations

AR, = ô, + t' ± *» lang D, ± c' sec D, (B) I AR, = e,-f-f'-f-6(A±ntangD,±c'secD,

AR, = e3+T' + 6V±nlangD3±c'secD,

Dans cette série d'équations, nous avons 4 inconnues seulement, t', (jl, n et c'.

Si l'horloge est à peu près exactement au temps sidéral, et si la série est de courte durée, de sorte que S, 6', etc., qui sont des fractions de jour, soient petits, on peut supposer 6|a., ê'(A, etc., égaux à zéro. Si on connaît approximativement (i, on peut calculer leurs valeurs à l'aide des petits intervalles 6, 6', etc., et en corriger les valeurs de O,, Og^ etc. En observant toujours, d'ailleurs, deux jours de suite la même étoile voisine de l'équateur, on a la valeur de [x, car, pour cette même étoile, les corrections n tang D et c' sec D sont les mêmes dans les deux équations obtenues, et on a pour le premier jour

AR'= ô' + t' + n tangD' + c' secD' et pour le deuxième jour

AR' = 0',H-T' + (x + n tang D'+c' sec D'. En retranchant ces deux équations l'une de l'autre, il vient

o = 0\ — 6'+[* d'où |ji=ô' — e',

etjx se trouve ainsi connu. On peut donc, en général, connaître [x, et on calcule alors 6(i, ê'pt, etc. Les quantités 6, + gji, 6,+ 6'(i,... seront conséquemment connues, et en les appelant 0',, 0',,... on aura la série d'équations

AR, = e,+T'±ntangD,±c'secD, A R, = 0', + t' zfc n tang D, ± d sec D, AR3= ô', + t'±: n tang D3±: c'sec D3

équations qui ne renferment plus que trois inconnues, T',n et c\ Si les déclinaisons des étoiles observées sont très-différentes entre elles, si les unes sont presque nulles et les autres très-grandes, et si surtout quelques-unes sont négatives et les autres positives, ou bien encore s'il y a quelques passages inférieurs, les coefficients des inconnues dans ces équations seront très-différents. Trois équations suffiront alors pour déterminer les trois inconnues, et, si on a un plus grand nombre d'équations, on emploiera la méthode des équations de condition pour avoir les valeurs de ces trois inconnues. De même, si on n'avait pas déterminé [i et si l'intervalle des observations itait grande le système des équations (B), pourvu que leur nombre fût au moins égal à quatre, avec quatre déclinaisons bien différentes, donnerait les valeurs des quatre inconnues t', (a, n et c'.

93. — Mais, en général, quand on se propose de déterminer les inconnues t', n et c' par les observations, il n'est pas nécessaire de multiplier beaucoup le nombre de celles-ci pour avoir avec exactitude les valeui*s des inconnues, si on choisit bien les étoiles qu'on observe ; et dans ce cas, en général, on prend d'abord des mesures pour connaître (a comme nous l'avons dit, de sorte que le système d'équations à employer est celui des équations (C), qui ne renferme plus que les trois inconnues t', n et c'.

Cela posé, remarquons que, pour une étoile équatoriale, la tangente de la déclinaison égale zéro, et pour toutes les étoiles voisines de l'équateur, cette tangente est presque nulle, de sorte que, pour les étoiles rigoureusement équatoriales, le terme en n disparaît, et pour les étoiles rapprochées de l'équateur, il est trèspetit. D'un autre côté, le terme en n change de signe avec la déclinaison, tandis que le terme en d reste le même, car les sécantes ^nt de même signe pour les arcs positifs et négatif. Supposons

162 THÉOEUE DES INSTRUMENTS.

donc qu'on ait pu observer deux étoiles de même déclinaison, mais des deux côtés opposés de l'équateur, de sorte que Tune ait pour déclinaison D', et l'autre — D'. Comme il s'agit ici de passages supérieurs, on aura les deux équations

AR, = e» + T'+»tangD'+c'8ecD'

pour l'étoile de déclinaison D', et

A R, = 0, + t' — n tang D '+ c' sec D'

pour celle de déclinaison — D'.

Retranchant la deuxième équation de la première, il vient

AR,— AR, = e, — e,+2«tangD'

équation où tout est connu moins n, et qui conséquemment détermine n. Cette détermination serait très-bonne si surtout la déclinaison D' était grande. Si elle était seulement de 45"", auquel cas tang D' = 1 , le coefficient de fi deviendrait le facteur 2. Si on était dans une basse latitude, on pourrait choisir des étoiles dont la déclinaison serait beaucoup plus grande encore, et alors le facteur 2 tang D' qui multiplie n dans l'équation précédente deviendrait de plusieurs unités; conséquemment, dans la détermination de la valeur de n, les erreurs d'observation seraient divisées par un grand facteur.

En réalité, il est rare qu'on puisse observer des étoiles dont la déclinaison soit égale des deux côtés de l'équateur, mais il suffit que les déclinaisons ne soient pas très-différentes pour que la soustraction des deux équations fournies par l'étoile du nord et parcelle du sud donne une équation toujours indépendante de r'^ et dans laquelle, si les déclinaisons sont grandes, le coefficient de n sera grand et celui de c' très-petit.

Cette équation sera de la forme

(a) AR,— AR, = 6, e,+n (tengD, +-Ung D,)-l-c'(sec D. — secD,).

Supposons maintenant qu*on ait pu observer une même circompolaire à son passage supérieur et à son passage inférieur, en appelant D la déclinaison de cette circompolaire, AH sou ascension droite, le passage supérieur donnera l'équation

AR=6+T'-HntangD-|-c'8ecD,

et le passage inférieur donnera

i2»»-t-AR = e' + T'— nlangD— c'secD.

En retranchant la seconde de la première il viendra

(6) — 42»» = Ô— ô'+2ntangD4-2c'secD,

équation indépendante de t et dans laquelle le coeiBcient de c' sera plus grand que celui de n. En combinant les deux équations {a) et (A), on obtiendra par leur résolution une bonne détermination de n et de c'.'

94. — Si on n'a pu observer qu'un des deux passages d'une circompolaire, mais si on a observé une étoile équatoriale (si on a observé une série d'étoiles équatoriales, c'est mieux encore, car on fait la somme des équations fournies par ces observations , et OD prend l'équation moyenne en divisant l'équation somme par le nombre, ce qui répond à une observation plus parfaite), en retranchant l'équation fournie par l'étoile équatoriale de l'équation fournie par l'étoile voisine du pôle, on a également une équation indépendante de^', et dans laquelle les coeCQcients de n et de d sont très-grands et voisins de l'égalité. Cette équation combinée avec l'équation (a) fait connaître n et c'. Dans les très-basses latitudes, où on ne peut pas observer les passages inférieurs des circumpolaires, c'est cette dernière méthode qu'il faut employer; dans ce cas, on peut sommer les équations fournies par les deux étoiles de très-grande déclinaison nord et sud et qui ont donné l'équation (a) par leur différence. Dans cette somme, le coefficient de 'i s'annule presque, puisqu'il est de signe contraire dans les deux équations, tandis que les deux coefficients de c' s'ajoutent. Divisant l'équation somme par 2, et retranchant de cette équation celle qui est fournie par l'étoile équatoriale dans laquelle le coefficient de n est aussi nul, ou presque nul, on élimine t', et il reste une équation avec un fort coefficient pour c' et un coefficient presque nul pour fi. Combinée avec l'équation (a), cette équation donne alors n ei d.On voit donc que dans les très-basses latitudes, trois observations, dont une sur une étoile équatoriale, une sur une étoile de grande déclinaison nord , une autre sur une étoile de grande déclinaison sud, suffisent à déterminer n, t' et c'.

Quand n et c' sont connus, en reportant leurs valeurs dans l'équation fournie par l'observation d'une étoile voisine de l'équa-

164 THËOR[E DES INSTRUMENTS.

teur, ou mieux dans Téquatîon moyenne fournie par les observations de plusieurs étoiles voisines de l'équateur, il ne reste plus d'inconnu dans cette équation que V, qu'on obtient alors aussi indépendant que possible des erreurs sur n et c', puisque dans cette équation les coefficients de n et de c' sont minimum.

Une fois n, t' et c' connus, l'équation générale (2) fait connaître l'ascension droite d'un astre quelconque observé, pourvu que sa déclinaison soit connue , et il suffit que cette dernière soit seulement connue approximativement si l'instrument est réglé de façon à rendre n et c' très-petits.

9S.— Dans les très-hautes latitudes, on nepeut plus former Téquation {a) avec des étoiles très-distantes de l'équateur au sud et au nord. Bien que trois observations d'étoiles, l'une équatoriale, l'autre vers le 45"* degré, la troisième très-voisine du pâle, ou mieux les passages supérieurs et inférieurs d'une même circompolaire, combinés avec l'observation d'une étoile équatoriale, ou plus généralement encore le passage supérieur d'une circompolaire, le passage inférieur d'une deuxième circompolaire et celui d'une étoile équatoriale, puissent donner les valeurs de n et de c , et ensuite celle deT', toutefois les coefficients de n et de c' ne peuvent pas être rendus aussi distincts que dans les basses latitudes où on peut faire intervenir des étoiles très-distantes de Téquateur et de déclinaison opposée. C'est donc surtout dans les hautes latitudes qu'on a avantage à combiner deux observations, ou mieux, deux séries d'observations faites l'une avec la lunette dans la position directe, l'autre avec la lunette dans la position inverse, aGn de renverser la coUimation. La première étoile, position directe de

la lunette, donne en remplaçant c' par sa valeur j^r

AH| = 6, + T'-f-ittangD, + î^secD| -j= secD.»

la deuxième, position inverse de l'instrument, donne

AR,=0, 4-t'-i- filang D, — j^sccD, rg sec D,»

car c a changé de signe par le retournement, tout en gardant la même valeur. En remplaçant j^ par Ct pour simpliBer, et retranchant ces deux équations l'une de l'autre, il vient

THÉORIE DES INSTRUMEISTS. 165

{c) AR, — AR,=0» — e, + n(langD, — tangD,) + c, (sec D, + sec D,) j^ — ( sec D, — sec D,)*

Si les deux étoiles étaient rigoureusement équatoriales, tang Di ettang D, seraient égaux à zéro, et par conséquent le coefficient de n s'évanouirait, mais le coefficient de Ci serait minimum, puisque sec D| et sec D, seraient minimum. Si les étoiles sont de grande déclinaison, le coefficient de n pourra encore s'anéantir si la déclinaison est la même, tandis que celui de c^ sera très-grand. Si les deux déclinaisons ne sont pas rigoureusement égales, il suffit qu'elles soient peu diflérentes pour que le coefficient de n soit très-petit, tandis que celui de c^ serait très-grand. Cette équation remplacerait alors l'équation {a) que, dans les basses latitudes, on obtient sans déplacer l'instrument et à Taide des étoiles du sud et du Dord trës-éloignées de Téquateur ; seulement, au lieu que ce fût le coefficient de n qui serait très-grand par rapport à celui de c, ce serait le contraire. Il en résulte que, dans les basses latitudes, on peut également employer l'équation ainsi obtenue et la combiner avec l'équation (a). On a alors deux équations indépendantes de t^, dans l'une desquelles le coefficient de n est très-grand et celui de c presque nul, tandis que c'est le contraire dans l'autre. En les combinant ensemble, on remplace dans (a)

, c — 0,31 cos/ 0,31 cos/

f par sa valeur tï ou c, ^—j^ — .

"^ 15 lo