DE LA RÉFRACTION ASTRONOMIQUE

168. ^- Les rayons lumineux qui nous viennent des astres $'in« fléchissent vers la terre en traversant notre atmosphère, dont les couches sont de plus en plus denses en approchant du sol. Voyant les astres suivant le dernier élément de la trajectoire lumineuse, il en résulte que nous les apercevons plus hauts au-dessus de l'horizoo qu'ils ne sont réellement, ou, en d'autres termes, leurs distances zénithales vraies sont plus grandes que leurs distances zénithales apparentes.

Dans la théorie de la réfraction, on considère comme horizontales les couches atmosphériques de même densité. C'est en effet ce qui a lieu dans Tétat normal de l'atmosphère, lorsque toutes les conditions sont identiques autour d'un même point. Quelles que soient les anomalies qui peuvent se produire, l'atmosphère s'écarte toujours très-peu de cette constitution , qui représente sensiblement son état moyen.

11 résulte de là que la réfraction élève les astres dans le plan même de leur verticale. Par conséquent, elle n'agit pas sur les azimuts, mais seulement sur les distances au zénith. En ce dernier point, la réfraction est nulle, puisque les rayons lumineux traversent normalement les couches d'air.

169. — Les tables de réfraction publiées dans la Connaissance des temps sont calculées à l'aide des formules données par Laplace et déduites des équations que ce savant a établies pour représenter le mouvement d'un rayon lumineux dans l'atmosphère. Les constantes que les formules renferment ont été déduites des observations, et ces constantes établissent l'accord entre les formules théoriques qui donnent la loi des variations de la réfraction suivant les distances au zénith, et les valeurs absolues trouvées pour la réfraction astronomique.

La loi de la variation de la réfraction avec les distances au zénith se simplifie beaucoup quand on ne considère que des distances zénithales inférieures à 75 ou 80 degrés au plus. La formule de Laplace applicable dans ce cas, et qui est donnée dans le tome IV de la Mécanique céleste ^ page 271, est, en appelant R la réfraction, z la distance au zénith, h la hauteur barométrique exprimée en millimètres et réduite à la température zéro, n le coefficient 0,0037S de la dilatation des gaz secs , coefficient trouvé par Gay-Lussac, t la température de l'air de la station en

degrés du thermomètre centigrade, et en posant -=^ = 1 + y^

(n T. tt(i4-y)tHDgjg tt*(i+y)*sini" (1 + 2 cos' s) tang z ^^ i+nt "*" 2.(1 -h m)» * cos»;5

formule dans laquelle a = 60" ,61 6^ valeur déduite par Delamtre d'un grand nombre d'observations faites par Piazzi et par lui-même.

260 COORDONNEES DES ASTRES

On peut donner à cette expression de R une forme plus simple.

ni , . l+nt l ni Pour cela remarquons qu on a 1 = 7 -=r hi .

Nous pouvons donc multiplier le troisième terme par cette expression de l'unité sans changer rien à la valeur de R, et par là

nous pouvons mettre j---^ en facteur commun. Nous remarquerons d'ailleurs que î = sec*z + 2 = 3 + tang*z, puis-

cos z

que sec';; = l -f- tang'z; en faisant ces transformations, il nous viendra donc

R = rr^t [(« + 1 «• sin 1 " (j^^ - 0,00125854 .) tang z

-Ki a> sin 1'' (^^f J — 0,001252o4«) tangos

—nt. 0,00i25254a(tang2 + taog^ji)]*

Remarquons maintenant que y et nt étant toujours de petites fractions, on peut dans les termes en a ' sin 1 '' , termes qui sont très-

petits, remplacer le facteur j—-^ par 4 + y — nt, ce qui revient à

négliger les carrés et les produits de nt et de y. En faisant cette substitution et en mettant pour asa valeur 60'', 616 trouvée par Delambre, il vient

(2) R =- fX^ [60",566797 tang z — 0",0670i7 tang* z

+y (0",026721 tang z + 0",008907 Ung» z) nt (0",049203 tang 3 + 0",067017 tang* 5)1-

Dans cette expression, la plus grande valeur que puissent prendre les termes en y et en 7it a lieu pour la plus grande distance zénithale à laquelle la formule soit applicable , distance qui est de 78*. Or pour cette distance zénithale on trouve que le coefficient de y devient l'',0532 ; de sorte que si y est égal à 0,1, l'erreur ne serait que d'un dixième de seconde, quantité inférieure aux incertitudes que donne déjà la réfraction à cette hauteur. D'un autre côté , la valeur 0,1 pour y dépasse les plus grandes excursions du baro-

mètre autour de 760 millimètres dans les lieux voisins du niveau de la mer. Dans les constructions des tables, on peut donc négliger le terme en y.

La plus grande valeur du terme en nt^ c'est-à-dire sa valeur pour -s = 78*, est, en mettant pour n sa valeur et en faisant tz=z 10% éçale à 0",2704; pour t=: 30% ce terme n'atteint encore que0",81. Or, si on remarque que les observations se font toujours entre les températures de — 20** et de -f- 40**, dont la moyenne est H- 10% on voit qu'on peut, dans la construction des tables , faire t constant et égal à la moyenne lO*" des températures d'observation, sans avoir à craindre d'erreur de plus de huit dixièmes de seconde. En faisant cette hypothèse, le terme en nt se réduit à- 0,001845 tangxf— 0,002513 tang'z, et la formule devient simplement

'^) ^ = T^Tt ^ ^"»^*9^2 tang z - 0",069530 tang^ z ) .

C'est avec cette formule ainsi réduite qu'on calcule les tables de réfraction , depuis le zénith jusqu'à la distance de 75 à 78 degrés.

170. — Lorsque les distances zénithales sont supérieures à 78**, il faut recourir à une autre formule donnée par Laplace t. IV, p. 264 de la Mécanique céleste. Cette formule est donnée pour la température 0 et une pression barométrique de 760 millimètres. Elle devient à peu près applicable aux autres pressions et aux

autres températures en y multipliant la valeur de R par — ^t^..

En y faisant cette addition et remplaçant , comme nous l'avons

fait en donnant la valeur de a pour l'équation (1) , les secondes

décimales employées dans la Mécanique céleste par les secondes

sexagésimales, la formule de Laplace devient, en conservant aux

lettres la signification précédente :

W ^^T^^i r(2106",00— 922304",42 ces* z) sin z e^' formule dans laquelle e est la base des logarithmes hyperboliques

262 COORDOiNNÉES DES ASTRES

et OÙ T = A n^ftHiTM*^^ tandis que t: représente le rapport de la

circonférence au diamètre.

Dans cette formule, si on fait z=90% pilors cosiJ= 0, T=0 et

par conséquent e = 1 ; en même temps la série s'annule ; de plus sin 2 >z = 0, et sin ^ = 1 ; la formule se réduit donc à

^=(îTli)

Si en même temps le baromètre marque 760 millimètres et si le

thermomètre est à zéro, le rapport — ^ = 1 ; conséquemment

la formule donne 2106'' ou 3S' 6'' pour la réfraction horizontale à la température 0 et la pression 760 millimètres. Cette n^fraction devient 33' 47", 9 à la température lO"" et à la pression de 760 millimètres de mercure supposé à cette même température de 10*.

Dans la formule (4), la série T — ô- + 7-0 « TTq t"-- ^^^

toujours par être convergente quel que soit T. Tant que T est petit, la convergence est très-grande et un petit nombre de termes suCQt pour le calcul. Cette série représente le développement de

l'intégrale de dte prise entre les limites zéro et T, et elle jouit de la propriété d'être alternativement plus grande et plus petite que cette intégrale, suivant que l'on s'arrête à un terme positif ou négatif. Il en résulte qu'en ajoutant à un nombre quelconque des termes de la série la moitié du terme suivant, Terreur sera moindre que cette moitié. On a donc là un moyen simple de juger du degré d'approximation.

Pour z = 78*, limite jusqu'à laquelle on est obligé de recourir à la formule (4), on a T = 5,4 environ. Pour cette valeur, on est conduit à prendre un grand nombre des termes de la série. A la page 253 du tome IV de la Mécanique céleste, Laplace donne une autre expression du développement de l'intégrale, expression qui devient plus convergente pour les valeurs un peu grandes de T.

171 . — En calculant les valeurs de la réfraction horizontale dans l'hypothèse d'une densité de l'air décroissant en proportion géomé-

trique, hypothèse qui suppose une température uniforme dans toute l'atmosphère, Laplace a trouvé une réfraction trop forte. En calculant ensuite dans Thypothèse d'un décroissement de la densité en progression atmosphérique, il a trouvé une réfraction trop faible. Il a donc admis une hypothèse composée des deux précédentes, et dans laquelle deux indéterminées interviennent. C'est par cette hypothèse mixte et en fixant les valeurs des indéterminées au moyen des observations que Laplace a réussi à obtenir les formules (i) et (4), qui s'accordent assez bien avec les réfractions observées. Plusieurs autres savants se sont occupés de ce sujet, mais les formules de Laplace sont encore jusqu'ici celles qui s'accordent le plus exactement avec les observations. Aussi la table de réfraction insérée dans la Connaissance des temps, et dont le calcul est dû à M. Gaillet , est calculée avec les formules de Laplace. Cette table donne pour chaque hauteur apparente au-dessus de l'horizon et de 10 en 10 minutes dans la zone des plus grandes variations jusqu'à 14**, et ensuite de degré en degré, jusqu'au zénith, lés valeurs de la réfraction à la pression barométrique de 760""* et à la température de 10* pour l'air et pour le baromètre. Une seconde table donne les facteurs par lesquels cette réfnction doit être multipliée pour avoir égard à la température actuelle de l'air et à la pression barométrique réduite à ce qu'elle serait à cette température de l'air. A l'aide de cette table, par une simple interpolation, on trouve rapidement les valeurs de la réfraction pour toutes les distances zénithales. Le facteur thermométrique y est donné depuis — 29° jusqu'à -h BO** , et le facteur barométrique depuis 630"" jusqu'à 789"*".

Si on observe dans les montagnes, à des hauteurs oîi le baromètre est au-dessous de 630"", on peut facilement calculer le

facteur barométrique dont l'expression est =^, h étant la pression barométrique en millimètres.

Quant au signe des corrections, il ne faut pas perdre de vue que pour transformer une distance zénithale apparente en distance vraie, on doit y ajouter la réfraction. La réfraction est, au contraire, à retrancher si on veut transformer une hauteur apparente en hauteur vraie au-dessus de l'horizon.

Si, avec les tables de réfraction, on veut calculer là réfraction correspondant à une distance zénithale vraie, on entre dans la

table avec cette distance, et en retranchant de la distance vraie la réfraction ainsi obtenue, on a la valeur très-approchée de la distance zénithale apparente, valeur à Taide de laquelle on prend de nouveau dans la table la grandeur de la réfraction qu'on retranche ensuite de la distance vraie pour avoir la vraie distance apparente.

172. — Il nous reste maintenant à faire comprendre comment on peut au moyen des observations obtenir la valeur de la réfraction correspondant à diverses distances zénithales, de manière à pouvoir , en égalant l'expression générale de la réfraction aux quantités obtenues par observation (après avoir substitué pour z, dans cette expression, les distances auxquelles ont eu lieu les observations) trouver les valeurs des constantes qui entrent dans les formules.

Une circompolaire passant au zénith, où la réfraction est nulle, a sa déclinaison connue , car celle-ci est égale à la latitude du lieu que d'abord nous supposons connue. Si l'étoile ne passe pas au méridien par le zénith même, mais dans le voisinage immédiat de ce point, on peut encore connaître sa déclinaison, car la réfraction est presque nulle dans le voisinage du zénith, où on sait qu'elle est à peu près d'autant de secondes que la distance au zénith a de degrés. On peut donc faire à la distance zénithale observée une petite correction provisoire pour la réfraction ; et ensuite la latitude du lieu, plus la distance zénithale de l'étoile à son passage, si celle-ci passe au méridien du côté du pôle de l'hémisphère, et moins cette distance, si elle passe du côté opposé, est la déclinaison de cette étoile.

LdL déclinaison étant connue, si on considère l'étoile en un point quelconque de son cours , on connaît deux côtés dans le triangle formé par le pôle, le zénith et l'astre, savoir : la distance polaire de l'étoile et la distance polaire du zénith, complément de la latitude ; de plus si on a noté l'heure du passage méridien, l'heure de l'observation fait connaître l'angle compris entre ces deux côtés, lequel angle n'est autre quel'angle horaire de l'étoile. On peut donc calculer le troisième côté qui donne la distance vraie au zénith. La différence avec la distance zénithale observée est la valeur de la réfraction.

Ce procédé suppose la latitude connue ; on l'obtient par les observations méridiennes des passages supérieurs et inférieurs d'une étoile voisiné du pôle, en adoptant une valeur provisoire de la ré-

fraction, sauf à modifier ensuite celle-ci, d'après une première approximation des tables de la réfraction, pour faire accorder entre eux les résultats obtenus par Tobservation de diverses étoiles polaires. En rectifiant ainsi progressivement la valeur admise pour la latitude à mesure qu'on corrige les tables de réfraction , on arrive à la fin à connaître la latitude du lieu et les valeurs des constantes de la réfraction astronomique.

On pourrait aussi obtenir la déclinaison des circompolaires au moyen de l'observation de leurs azimuts extrêmes. Des observations d azimut , sur lesquelles la réfraction n'agit pas , peuvent , au reste, donner à la fois la latitude du lieu et la déclinaison des étoiles. Après quoi la méthode que nous venons d'indiquer et qui suppose la latitude connue, devient très-facile d'application. Les anciens astronomes ont employé le procédé plus laborieux que nous avons signalé d'abord.

Quand, par le procédé que nous avons indiqué, la constante a delà réfraction pour la formule (1) est connue, on peut avoir facilement la latitude du lieu et les déclinaisons des étoiles par des observations de hauteur faites dans les limites oîi cette formule est applicable. Observant ensuite les mêmes astres à l'horizon, et calculant aux instants d'observation leurs distances zénithales vraies par la méthode ci-dessus, on a la valeur de la réfraction horizontale qui sert à construire la formule (4).

Nous ajouterons ici que M. Babinet a donné, dans les Comptes rendus^ une nouvelle formule de la réfraction. En partant du pouvoir réfringent de l'air, il arrive directement à la valeur trouvée parles observations pour la réfraction à l'horizon. Il serait intéressant de réduire en table les formules de l'illustre savant.

173. — La formule (4) de Laplace repose sur une hypothèse relative à la loi du décroissement de la densité de l'air à mesure que les couches atmosphériques sont plus élevées. D'un autre côté, les coefficients ne sont en réalité que des fonctions de deux constantes seulement , constantes que les réfractions observées à 45* et à l'horizon déterminent. Il résulte de là , pour cette formule, un inconvénient très-notable. Cet inconvénient consiste en ce que, si l'hypothèse sur laquelle repose la formule n'est pas rigoureusement exacte, et elle ne l'est pas puisque cette hypothèse ne satisfait pas au décroissement de la température observe dans les régions inférieures de l'atmosphère , la formule ne sera

rigoureuse que pour les deux distances zénithales auxquelles on Tassujettit à satisfaire, et elle pourra pour toutes les autres donner de petites erreurs. Ces erreurs seront à peu près insensibles, il est vrai, entre les distances zénithales 0 et TO"", parce que dans cet intervalle, comme on peut facilement le démontrer, la réfraction est presque complètement indépendante de la loi du décroissèment de la densité de Tair (sans l'être toutefois tout à fait rigoureusement). Mais dans le voisinage de l'horizon, les erreurs peuvent devenir très-notables.

Des observations que j'ai faites à Olinda sur la réfraction entre 80* et 90*, m ont donné des différences avec la formule de Laplace. On ne peut parvenir, en changeant uniquement les coefGcients de la formule , à corriger de ces différences les tables de réfraction. Il faudrait donc appliquer empiriquement les corrections à ces tables. Mais si on faisait ce travail empiriquement, à quoi alors servirait la formule 1 Autant dans ce cas faire empiriquement la table de réfraction elle-même, puisque la table corrigée ne représenterait plus la formule primitive.

Cette circonstance m'a engagé à reprendre la théorie de la réfraction astronomique, et je suis parvenu à découvrir une formule très-simple qui peut être amenée à l'accord le plus parfait avec les observations.

174. — Pour panenir à démontrer cette formule, nous examinerons d'abord la loi de la réfraction astronomique telle qu'elle est produite par une atmosphère limitée dont la densité décroît en progression arithmétique, et ensuite, nous verrons le moyen de passer de ce cas hypothétique au cas de l'atmosphère réelle.

Nous considérerons provisoirement la terre comme sphérique ; nous appellerons r son rayon et h la hauteur totale de l'atmosphère.

On démontre en physique que la loi de la réfiraction des rayons lumineux, en passant d'un milieu dans un autre, consiste en ce que les sinus des angles d'incidence et d3 réfraction sont dans un rapport constant. Nous appellerons n ce rapport pour les rayons passant d une couche atmosphérique très-mince d'épaisseur ih dans la couche située au-dessous d'elle, cette couche étant supposée assez mince pour qu'on puisse regarder sa densité comme constante. Comme le coefficient n est d'ailleurs proportionnel aux différences de densité des couches successives de l'atmosphère, et

comme ces différences de densité entre deux couches successives sont supposées constantes depuis le sol jusqu'à la limite atmosphérique, puisque nous supposons le décroissement de densité en progression arithmétique , il en résulte que le coefficient n est constant dans toute l'épaisseur de l'atmosphère.

Si donc nous considérons la couche atmosphérique dont la limite supérieure est à la hauteur h et dont l'épaisseur est Sh^ et si nous appelons z' l'angle que le rayon incident atteignant cette, couche forme avec la verticale au point oîi il l'atteint, on a, en nommant z l'angle du rayon réfracté avec la même verticale,

sin2'=n.sin2.

n est plus grand que 1 , puisque l'angle d'incidence est plus grand que l'angle de réfraction; nous ferons donc n= l + a, et a est une quantité très-petite puisque la différence de densité des deux couches consécutives très-minces est très-petite. Si nous faisons maintenant 2' = js + .6, p sera alors la réfraction occasionnée parla couche 8h, puisque c'est la différence des angles z' et z, c'est-à-dire l'angle des rayons réfléchis ou réfractés. En substituant ces valeurs de z' et de n dans l'équation précédente, il vient

sîn (s -h p) = ( 1 -l-a) sin s,

ou en développant sin (z -Hp) et remarquant que cos p= 1 et sin p=p, quand l'épaisseur de la couche tend vers zéro, auquel cas a tend vers zéro, il vient

(a) p = a tang z.

En considérant cette expression de ,B, il semble que 6 peut prendre une valeur appréciable quand z tend vers 90"*, auquel cas tang z tend vers l'infini, et dès lors il semble que la substitution de l'unité à cos p, dans le développement de sin (^ + P ), subs- ^ tilution qui revient à négliger un terme de l'ordre de p*, cesse d'être légitime. Mais il faut remarquer que, quelque grand que Ton suppose tang z , on peut toujours supposer la couche assez mince pour que a tang z soit très-petit et du premier ordre , donc l'équation p = « tang z est toujours rigoureuse pourvu qu'on regarde a comme infiniment petit, et alors p reste un infiniment petit du premier ordre. Cette considération légitime

réquation en question dont la formation est d'ailleurs conforme aux principes du calcul différentiel.

Prenons maintenant l'expression du chemin parcouru dans la couche d'épaisseur î A par le rayon qui y entre en faisant Tangle z avec la verticale. En appelant x' ce chemin, et remarquant que le rayon supérieur de la couche est r + h et le rayon inférieur r -+- A — 8hy et en posant pour abréger r^-hz^r'j nous aurons réquation suivante dans, le triangle rectiligne formé par ces deux rayons et par le trajet x

(r' — . 5 A)* = r'» + a:* — 2 r' J? cos 5,

ou en développant (r' — ^A)*, et remarquant que le carré de ^A est négligeable par rapport à r'^A,

2r'ÔA=2r'j:cosa — a;»,

équation que nous pourrons mettre sous la forme

2r'SA Bh

2r'cos-s — X X

X est une quantité très-petite , car c'est le chemin fait par le rayon dans la couche d'épaisseur 8hj et ce chemin devient même infiniment petit, si on fait tendre ^A vers zéro, c'est-à-dire si on le considère comme la différentielle dh, La plus grande valeur du trajet x dans la couche ^ A a lieu en effet, quand, à la limite inférieure de cette couche, le rayon est horizontal. Dans ce cas, on a

a:' = 2r'^A, d'où 5-7=^5-7, quantité infiniment petite quand on substitue à ^A la différentielle dh. Tant que cos js a une valeur

appréciable, on peut donc négliger ^ par rapport à ce cosinus, et alors on a x = . Mais quand on fait tendre cos z vers zéro, on