COS

peut toujours, quelque petite que soit la valeur qu'on lui attribue, donner à ih une valeur considérablement plus petite encore, et

telle que y x-r soit négligeable par rapport à la valeur actuelle de cos z. Donc l'équation x =: M sec z continue d'exister quand

z tend vers 90^, pourvu qu'on fasse tendre en même temps vers zéro répaisseur ^ A de la couche, c'est^i-dire pourvu qu'on substitue à êh la différentielle dh. Nous pouvons donc éliminer cos z entre cette dernière équation et l'équation (a), et il vient

Or, dans le cas du décroissement de densité en progression arithmétique, a est proportionnel à la différence de densité entre deux couches consécutives d'épaisseur e/A, il est donc proportionnel à dhj et en posant a=zkdhj k étant une constante, l'équation précédente se réduit à

L'angle z formé par le rayon lumineux avec la verticale de son point d'entrée dans chaque couche atmosphérique, n'est pas constant dans toute Tépaisseur de l'atmosphère. Il y a deux causes qui le font varier. L'une d'elles est l'inflexion du rayon vers la terre par l'effet de la réfraction elle-même, à mesure que ce rayon pénètre plus profondément dans l'atmosphère. Cette première cause tend à faire croître l'angle z à mesure qu'on considère le rayon à une distance plus grande de son point d'arrivée à la surface du sol. L'autre cause de variation de l'angle z est l'angle des verticales elles-mêmes aux divers points de la trajectoire du rayon lumineux. Or, l'angle formé par ces verticales et par celle du point de départ allant en croissant à mesure que la trajectoire s'éloigne de la surface terrestre, et l'angle z en un point quelconque de la trajectoire très-peu courbe, et que pour fixer les idées nous pouvons regarder un instant comme rectiligne, étant ^al à l'angle z que cette trajectoire possède à la surface du sol , moins l'angle formé par la verticale en un point quelconque de cette trajectoire et la verticale du point où celle-ci coupe le sol, on voit que par l'effet de cette seconde cause, contrairement à celui de la première, l'angle z tend à diminuer à mesure qu'on considère la trajectoire en un point plus éloigné de son point d'arrivée.

Si on considère une atmosphère très-basse dont la densité décroisse en progression arithmétique, les variations de z dues à la seconde cause que nous venons d'examiner seront très-petites, et comme l'atmosphère terrestre est en réalité très-basse par rapport

au rayon de la terre, cette hypothèse se rapproche beaucoup de la réalité. Les variations d^ z dues à l'une et Tautre des deux causes que nous avons examinées, sont très-petites quand dans la couche inférieure de l'atmosphère l'angle z est petit. L'une et l'autre de ces variations se réduisent alors à quelques secondes, et comme la variation réelle de z est leur différence , cette variation réelle est plus petite que la plus grande de ces deux variations particulières. On voit donc que nous pouvons , sans erreur sensible , regarder z comme constant , tant que cet angle z est petit.

Mais, d'im autre côté, les variations de z dans les diverses couches atmosphériques , variations dues à Tune et à l'autre des deux causes considérées, ne prennent de valeur un peu grande qu'à partir de 80** pour la valeur de z (dans la couche inférieure de l'atmosphère), et encore, à cette distance zénithale, ces variations sont, pour la première cause de variation, de moins de 6', et par l'efTet de la seconde cause de variation , elles restent d'un nombre de minutes inférieur à un demi-degré^ du moins pour toute la partie dense de l'atmosphère. Donc la variation totale n'excédera guère une vingtaine de minutes. Or, pour une valeur de 80*, la variation du sinus est déjà bien petite pour une variation aussi petite de l'arc. Enfin, quand en approchant tout près de 90'', les variations peuvent atteindre un degré, le changement de la valeur du sinus pour cet ordre de variation de l'arc est devenu presque négligeable. U en résulte donc que dans l'équation {d) on peut sans erreur appréciable regarder toujours sin z comme coastant, quel que soit z^ et on peut donner alors à ce sinus la valeur répondant à la couche inférieure de l'atmosphère , c'est--à-dire à la distance zénithale apparente de l'astre pour lequel on veut la valeur de la réfraction.

En introduisant donc cette condition dans l'équation (d) lorsqu'on l'appliquera à toutes les couches atmosphériques, on n'aura plus que p et a: de variables en passant d'une couche à une autre. Or X est l'élément de la trajectoire du rayon lumineux dans la couche considérée, et p est la réfraction due à cette couche. En faisant donc la somme des équations relatives à toutes les coucher atmosphériques , la somme des p représentera la réfraction due à l'atmosphère entière, et la somme des x la longueur de la trajectoire du rayon lumineux dans cette dernière. En appelant donc R

la réfraction totale et S la longueur de la trajectoire en question , on a

R=SA;sin:;.

Cette dernière équation, qui, comme on le voit, n'est autre que lint^rale de Téquation (d) dans laquelle en réalité p=c?Ret x=dS dans les cas oîx on fait sin z constant, peut encore être simplifiée. En effet, la trajectoire du rayon lumineux est très-peu courbe, puisque ses deux éléments extrêmes ne font entre eux que langle R, qui pour Thorizon même n'est que de 35 minutes en- \iron, et cependant cette trajectoire est alors très-longue et égale à un assez grand nombre de fois la hauteur de l'atmosphère. On peut donc substituer sans erreur sensible à la longueur de cette trajectoire celle de sa corde, que nous appellerons G. Nous aurons donc finalement l'équation

(e) R=CAsin2.

173. — Gela posé, passons maintenant au cas de l'atmosphère réelle, et supposons celle-ci partagée en une série de couches horizontales réfractant toutes également, c'est-à-dire possédant entre elles des différences égales dans l'indice de réfraction. Ges couches ne seront plus maintenant égales en épaisseur, comme dans le cas du décroissement de la densité en progression arithmétique. La loi de la variation de l'épaisseur de ces couches nous est inconnue pour toutes les régions supérieures de l'atmosphère, et nous ne ferons sur elle aucune hypothèse. Mais quelle que soit cette loi, nous pouvons effectuer sur une des couches infiniment petites les raisonnements qui nous ont conduit à l'équation (c). Seulement nous ne pourrons plus passer de l'équation (c) à l'équation {d) de la même manière que dans le cas du décroissement en progression arithmétique , car le rapport -rr n'est plus

constant.

Appelons donc e/A, l'épaisseur de la couche en contact avec le sol> et (A^A, l'épaisseur de la couche de hauteur, h possédant pour son indice de réfraction par rapport à la couche reposant sur elle le même excès a sur l'unité que la couche en contact avec le sol par rapporta celle qui repose sur elle. Nous aurons dh = [Ldh.y

[A étant un coefficient variable d'une couche à une autre. Substituant cette valeur de dh dans l'équation (c), et remarquant que le

rapport -77 est constant et n'est autre que le rapport k^ qui aurait

lieu si le décroissement de la densité était en progression arithmétique, nous aurons

(/) p=^Asinz.

X représente toujours le chemin parcouru âous l'angle z par le rayon dans la couche d'épaisseur \Ldh^ ; si cette couche n'avait eu

que l'épaisseur dhy ce chemin aurait donc été seulement -fCar dans

une couche sphérique d'épaisseur infiniment petite et de très-grand rayon, on peut, quel que soit l'angle z sous lequel elle est traversée par un rayon lumineux, considérer le chemin parcouru parce rayon dans la couche comme proportionnel à l'épaisseur de cette dernière ; en effet nous avons vu qu'on aa:=$A secjs (même pour js tendant vers 90''), quand 8 A est infiniment petit et devient la différentielle (f A.

Ainsi, en posant -= x', x* est le chemin que le rayon lumineux parcourrait dans chaque couche en supposant que celle-ci rest&t à la hauteur qu'elle possède dans l'atmosphère réelle, mais vtnt en se contractant à se réduire à l'épaisseur constante d^^ qu'elle posséderait dans le cas du décroissement de la densité de l'air en progression arithmétique. Il est évident d'ailleurs que, par cette réduction de leurs dimensions sans changement de hauteur, les couches deviendraient séparées les unes des autres et formeraient des enveloppes sphériques ayant pour centre commun celui de la terre. Ici encore, par les raisons que nous avons exposées précédemment, nous pouvons dans la formule (/), sans erreur appréciable, regarder sin z comme constant pour toutes ces couches.

Considérons le rayon qui traverse la couche d'épaisseur dh en faisant en entrant dans cette couche l'angle z avec la verticale de son point d'entrée. Prolongeons rectilignement ce rayon jusqu'à sa rencontre avec la surface terrestre, et soit £ son angle avec la verticale en ce point de rencontre. Dans le triangle formé par le rayon r + A de la couche, le rayon r de la terre et le rayon lu-

mineux que nous venons de considérer, on a entre les angles z et je' la relation

{3) sin z = — r-T sin «'•

Supposons maintenant que, z' restant constant, nous fassions un peu varier h, et cherchons la variation correspondante de z, ce qui revient à différencier l'équation précédente, nous aurons

, rdh . ,

cosad«=— jjq^.smz,

ou, en remplaçant sin id par sa valeur en sin z tirée de Téqualion (y),

d. = -p^tang..

Par l'effet delà réfraction produite par les couches comprises entre la siurface du sol et la couche de hauteur h, l'angle z sous lequel le rayon lumineux traverse cette dernière couche est différent de l'angle z" que ferait le rayon si, à partir du point d'observation, il continuait sa marche rectiligne. La différence est égale à la somme des valeurs de p pour toutes les couches inférieures à la couche considérée, valeurs qui, d'après l'équation (a), sont de la forme a t&ng js.Or, r variant peu entre toutes ces couches, on peut regarder cette somme des valeurs de ^ comme différant peu d'un facteur constant multiplié par tang js, z ayant la valeur répondant à la couche de hauteur h. D'un autre côté, nous venons de voir que, si on fait varier un peu la hauteur de la couche, la variation de l'angle sous laquelle le rayon la traverse est aussi proportionnelle à tang z. Il en résulte que, pour obtenir les valeurs de x' pour toutes les couches , nous pouvons, au lieu de faire varier l'angle z sous lequel ces couches sont traversées par suite de la réfaction existant entre elles et le sol, supposer une variation dans leur hauteur, de telle sorte que nous les regardions comme traversées par un rayon rectiligne partant de la surface du sol en faisant avec la verticale l'angle qui représente la distance zénithale apparente de l'astre : les variations de hauteur alors supposées, et d'ailleurs très-petites, doivent être telles qu'elles fassent traverser ces couches parle rayon rectiligne sous le vrai angle z [sous lequel elles sont, à leur hauteur réelle, traversées par le rayon courbe.

Si nous appelons G' la somme des chemins ainsi parcourus par ce rayon rectiligne dans toutes les couches ramenées àrépais-

seur^A,, C'sera la somme des ar' ou — de Téquation (/) qui a

H* lieu pour chaque couche. Remarquant donc que k sin z est constant et que la somme des ^ égale R ou la réfraction astronomique, on voit que la somme des équations (/) pour toute l'atmosphère donnera l'équation

(A) R=C'*sin«,

et cette équation (A) n'est autre que l'intégrale de l'équation (/)•

Nous arrivons donc à la loi suivante indépendante de toute hypothèse sur la constitution de l'atmosphère.

Dans r atmosphère réelle^ la réfraction est, de même que dans une atmosphère dont la densité décroît en progression arithmétique quand la hauteur augmente suivant la même loi, égale au sinus de la distance zénithale apparente z multiplié par un coefficient constant et par la longueur du trajet effectué dans f ensemble des couches de cette atmosphère par une ligne droite ématumt du solsoits l'angle z avec la verticale^ avec la différence toutefois que, dans f atmosphère réelle, il faut, pour le calcul de ce trajet, supposer les couches atmosphériques ramenées à la même épaisseur que dans le cas du décroissement en progression arithmétique, mais ces couches ne doivent pas être regardées comme contiguës, tandis qu'elles sont contiguës dans le cas de ce dernier décroissement.

176. — Dans ce qui précède, nous avons supposé infini le nombre des couches, et infiniment petite leur épaisseur. Nous allons maintenant montrer qu'on peut, sans erreur, substituer à cette conception un nombre fini de couches d'épaisseur finie, et de plus nous allons faire voir qu'on doit nécessairement satisfaire aux valeurs de la réfraction observées pour toutes les distancer zénithales, en supposant ce nombre de couches très^petit et de trois ou quatre au plus*

En effet, quand une couche atmosphérique s'éloigne de la surface de la terre, l'angle sous lequel elle est traversée par un rayon parti de cette surface en faisant l'angle m avec la verticale de son point de départ, diminue. Cet angle augmente, au contraire, si la couche se rapproche de la surface terrestre. Si donc nous considérons la série des couches infiniment petites comprises entre deux

élévations au-dessus du sol A' et h'\ nous pouvons supposer qu'une partie de ces couches s'abaisse et que les autres s'élèvent entre ces limites, de telle sorte qu'elles deviennent toutes contigu6s et ne forment plus qu'une seule et unique couche d'épaisseur finie et égale à la somme de leurs épaisseurs individuelles, couche dans laqueDe la ligne partie du sol sous l'angle z fera un chemin égal à la somme des chemins qu'elle aurait faits dans toutes les couches composantes infiniment petites si celles-ci étaient restées à leur hauteur primitive. Il est évident que, pour chaque angle z^ cette condition est possible. Mais pour qu'on puisse substituer dans la fonnule cette couche d'épaisseur finie à la somme des couches infiniment petites, il faut que la hauteur à laquelle la couche finie doit être placée soit la même pour toutes les valeurs de z. Or c'est ce qui a lieu si les limites h et A" sont peu différentes.

En eflet, si nous appelons A''' la hauteur (au-dessus du sol) de la limite supérieure de la couche finie en question, r + A'" sera le rayon de cette limite. La distance du point Â de la surface du sol d'où part, en faisant l'angle z avec la verticale, la ligne droite considérée^ au point B où cette ligne sort de la couche en question, se calcule dans le triangle ÂB 0, formé par les points Â et B et le centre 0 de la terre, en remarquant que le côté 0 A égale le rayon tenestre r, 0 B égale r + A"', et l'angle B AO égale 180* — z.

On a donc pour la distance A B

(r + A'")* =r» + AB» -h 2 r X A.B X cos z,

ou, en développant, r + A'" et négligeant le carré de A"', qui est négligeable par rapport à 2r A'",

2 rK" = AB» + 2r X AB X cos z, d'où

AB = l/r»cos»-5 + 2rA'" — rcoss*

La distance AB' comprise entre le point A et le point B' où la même ligne droite coupe la limite inférieure de la couche en question, dont nous appellerons hl^' la hauteur au-dessus du sol, sera de même

AB' * = V^t' cos" z + 2 r A/" — r cos z. On aura donc pour la valeur AB — A'B' du trajet de la ligne

en question dans la couche considérée, en posant ÂB — Â'B'=X,

X =l/r* ces »^4-2rA"'— |/r'cos'5-h2rAr

Si h" et A/" différaient d'une quantité infiniment petite, la différence des deux radicaux serait la différentielle du second radical par rapport à A/'', et en appelant x cette différentielle, on a

Tdh^" dhr

l^r»cos-*+2rA."' ^,^,.,^8^'

OU, en remplaçant rfA/" par h" — ^A,*,

aj = — — i

\/ cos'sH î-

expression dans laquelle A"' — A/ est une différence infiniment petite. Mais cette équation existera encore à des quantités près du 2* ordre en V — A/", si, sans être infiniment petite, cette différence h" — A,'' est seulement très-petite.

Or, pour chaque couche infiniment petite d'épaisseur dà, , située à la hauteur A comprise entre les hauteurs peu différentes A' et A", on a de môme, pour l'expression du chemin parcouru par le rayon,

dA.

\/ cos* 5 H

ou, en posant A=Ai''+ y, elle devient, en négligeant les quantités du 2* ordre en y,

v/cos. , + if' ^ rcos-s+îA."';'

et la somme pour toutes les couches comprises entre les hauteurs A' et A" sera, en remarquant que la somme des dhi est égale à h" — At'^, et que Aj*' peut être déterminé de sorte que la somme des y soit nulle

y/cos»s-h?^

c'est-à-dire qu'elle sera égale au chemin parcouru dans la couche d'épaisseur finie aux termes près du 2* ordre, c'est-à-dire de l'ordre du rapportde y* et de i^h" — hi")* au carré du rayon de la terre.

Nous pourrons doue considérer l'atmosphère comme composée d'un nombre limité de couches d'épaisseur finie ; et, d'après ce qui précède, en remarquant que pour la couche inférieure en contact ayec le sol , et dont nous appellerons h! la hauteur, le

trajet est l/r" cos' z+2rh' — r cosz , et que pour une autre couche dont nous appellerons h" et h" les hauteurs des limites, le

trajet est l/r* cos* z -4- 2rA*' — l/r*côsV+2rÂ^ , nous aurons, pour la valeur de G' de l'équation (A),

G =l/r* cos* z 4-2 rA'— rcos« + 2 (l/r«cos»«-t-2rA'" — l/Fcôs^7+27F')-

La somme des épaisseurs des couches sera alors

et cette somme est une quantité constante.

Pour que la formule (A) donne la réfraction en secondes, nous

m' poserons k = -j-, — ^ .,„ , ,, . , ce qui rendra la formule (A)

homogène, et alors l'expression générale de la réfraction, dans bqueDe R, c'est-à-dire la réfraction totale atmosphérique, et m' seront exprimés en secondes, sera

(0 R=^ .y ^.^/,, fj,. I |/^r*cos'g-f-2rA' — rcosz

-1-2 (l/fcos*J5-h2rA'" — l/r'cos*« + 2rA")l •

1T7. — Le nombre des termes sous le signe 2 ^st resté indéterminé dans notre formule, et cela vient de son caractère particulier de généralité en vertu duquel elle est indépendante de toute hypothèse, et convient à toutes les atmosphères possibles, aussi bien à celles des planètes qu'à celle de la terre. Mais il est facile de reconnaître que la formule satisfera nécessairement aux observations avec un nombre très-petit de termes sous le signe 2-

En effet, si nous mettons r en facteur commun hors des radicaux, chacun des termes sous le signe 2 V^^^ s'écrire

^[y ^^^'^ V co* -«H — y

Or les fractions et sont extrêmement petites , car la

hauteur totale de l'atmosphère est très-petite par rapport au rayon

de la terre, et les diverses valeurs de h" et de h' sont moindres que

cette hauteur. Dans le développement des radicaux, dès q[ue cos j:; a

une valeur un peu grande, les carrés des fractions — et seront presque négligeables, et la différence des deux radicaux se réduit à très-peu près aux termes du i*'ordreenÂ'eten A", termes qui, multipliés par le facteur r de cette différence, se transforment en [h" — A") sec z, c'est-à-dire en l'épaisseur de la couche multipliée par sec js. La sonmie de ces termes du 1" ordre pour toutes les différences de deux radicaux sous le signe ^ est alors égale à la somme des épaisseurs de toutes les couches multipliée par sec Zj et on voit que ces termes du i*' ordre sont tout à fait indépendants de la hauteur à laquelle on suppose les couches situées. Il est donc pour eux indifférent que celles-ci soient contiguès ou séparées. Or je vais montrer que ceci a lieu aussi pour le terme suivant, et que les autres termes sont négligeables jusqu'à une très-grande distance du zénith.

En effet, prenons le développement de l'expression

il est

(A"'-A")8ec«-j^ «^'* + jj^ — p sec»*

— I — sec'z

Or (A" — A") sec 2 est facteur commun de tous les tennes; on peut donc écrire la série de la manière suivante

(A -AOsec*^!— {-5— ^r-8ec*+î:5:5 js «ec*x