P 8ec»s+ J

Dans cette série, chaque terme se trouve, par rapport au précédent, multiplié par une quantité qui, en appelant n son rang, est

sec* z multiplié par une quantité de Tordre —, ou , plus

simplement, chaque terme est par rapport au précédent multi-

2 j sec*z-. Cette série

est donc très-convergente tant que sec z n'est que d'un petit nombre d'unités. Or, pour ^=60*, sec'js n'égale encore que 4 ; pour :^=70%sec';s n'atteint que 8,5. Ainsi, on voit que, pour toutes les distances zénithales comprises depuis zéro jusqu'à 70 ou TS*", les termes au-delà du 2® ordre sont négligeables, de sorte que la série se réduit alors à

Si nous remarquons que A'" — K' égale l'épaisseur e de la couche

A'" -h A" et que — ^-^- n'est autre que l'élévation u du milieu de cette

couche au-dessus du sol, nous voyons que la différence des deux radicaux se réduit à

u e sec a — e - sec* -s.

Or la somme des e sec js, comme nous l'avons déjà dit, est complètement indépendante de la hauteur des couches. Le second

sec* 2 terme devient 2*^5 or il existe toujours une hauteur ti

pour laquelle on peut poser 2* «^ = «' 2*- Une seule couche située à cette hauteur li et d'épaisseur égale à la somme des épaisseurs de toutes les autres pourra donc les remplacer toutes, et cela est même d'autant plus vrai que le chemin parcouru dans la couche en question représente en outre une grande partie delà valeur des termes réellement négligeables et que nous avons négligés, de sorte qu'il n'y a en réalité de négligé qu'une fraction de la valeur de ces termes déjà négligeables en totalité.

n résulte donc de là que, dans toute la zone comprise depuis le zénith jusqu'à environ 75"* de distance zénithale, le nombre des couches supposées sera indifTérent : par conséquent la distribution

atmosphérique admise pour rendre compte delà réfraction vers 75'' de distance zénithale satisfera à toutes les distances inférieures; en effet, si on n'a admis qu'une seule couche, on lui aura donné la hauteur ul qui, convenant à cette distance zénithale convient à toutes les autres : si pour satisfaire aux distances zénithales plus grandes, on a admis 2, 3 ou n couches, on leur a donné des hauteurs telles que la valeur de ]^eu fournie par leur ensemble satisfait à la réfraction à TS"", et par conséquent aux réfractions qui ont lieu pour toutes les distances moindres.

On voit donc d'après ce qui précède que, si nous cherchons la distribution atmosphérique, c'est-à-dire le nombre de couches qu'il faut admettre pour satisfaire à la fois à la réfraction obtenue pour une seule distance zénithale inférieure à 75» et aux réfractions observées pour les distances comprises entre 75"* et l'horizon et même un peu au-dessous de ce plan, dans les limites oîi on peut y observer, la formule sera exacte pour toutes les distances zénithales possibles.

D'un autre côté, il est évident que si nous admettons pour la disposition des couches atmosphériques un nombre de couches et une distribution des hauteurs à l'aide desquels on satisfasse à la réfraction observée pour deux distances zénithales peu distantes, cette distribution satisfera, à des quantités près d'un ordre trèspetit, à la réfraction observée dans l'intervalle de ces deux distances zénithales, car il est évident que la disposition des couches à adopter pour les angles intermédiaires ne peut pas beaucoup différer de celle qui convient à deux angles limites peu différents entre eux. Gela se voit de suite en remarquant que, pour une petite variation dans la hauteur d'une couche, le chemin parcouru dans cette couche par le rayon lumineux varie peu, de sorte que la loi de la variation avec la distance au zénith est à bien peu près la même que si les couches dont il aurait fallu supposer un léger déplacement restaient fixes entre deux limites peu distantes.

Si, maintenant nous remarquons que chaque terme delà forme

ï/r'cos"z+2rA'"— l/r«cos'z-H2rA", introduit 2 coefficients indéterminés, on voit qu'il faudra bien peu de ces termes pour assujettir la formule à représenter les réfractions observées dansles i5 degrés voisins de l'horizon, car, outre les indéterminées de ces termes, nous avons encore dans la formule les indéterminées m' et A. On aperçoit donc que, dans la pratique, deux ou trois termes au plus sous le signe ^ doivent suffire pour permettre à la formule

de représenter rigoureusement 6 ou 8 réfiractions pour des distanceszénithales distribuées entre 90'' et TS"", et par conséquentpour lui faire donner les réfractions pour toutes les distances intermédiaires, avec un degré d'exactitude suffisant. Donc on voit à priori que le nombre des termes sous le signe ]^ doit être regardé comme très-petit et ne doit pas excéder 3 ou 4.

Mais pour fixer ce nombre qui dépend uniquement de la constitution de Tatmosphère réelle, il devient utile de s'adresser aux observations. On pourrait y parvenir par des hypothèses, mais ce n'est pas un moyen conforme à la vraie méthode scientifique. Il faut donc essayer d'abord si un seul des termes placés sous le signe 2 peut représenter les réfractions dans toute la région voisine de l'horizon. Si la formule faite dans l'hypothèse d'un seul terme ne suCBt pas pour représenter les réfractions dans la limite des erreurs d'observation, il faudra essayer 2 termes, puis 3 au besoin, et il est très-douteux déjà à priori qu'on soit obligé d'aller jusqu'à 4 termes.

Or, en passant delà théorie à la pratique et en essayant, comme je le dirai plus loin, la comparaison de ma formule avec diverses valeurs que j'ai obtenues en 1860 à Olinda pour là réfraction entre 75° et l'horizon, j'ai trouvé qu'un seul des termes placés sous le signe ^ était suffisant, et que par conséquent la formule définitive de la réfraction se réduit à

... „ m'sina r, y

y) R= j^/ , j^>f> j^>t K r'C08'a-h2rA'— rcoss

+ V/^r»cos' 5-h2 rA" — l/r» cos» z-^^rh' 1 .

178. — On peut donner à cette formule une forme beaucoup plus commode pour le calcul, et d'autant plus nécessaire que le calcul des radicaux, quand l'un des deux termes qu'ils contiennent est trèspetit par rapport à l'autre, ne peut se faire avec une grande exactitude à l'aide des logarithmes. Pour cela nous remarquerons que si on considère un triangle rectangle dont on ferait un côté égd à

rcosz et l'autre à 1/2 rh' , l'hypothénuse de ce triangle sera égale

^ l/r*cosz+2rA'. Or, en appelant a l'angle opposé au côtél/2rA', on a pour déterminer cet angle a la relation

(*) tanga=v/Ç

sec 2.

282 GOORDOMNËES DES ASTRES

De plus, l'hypothénuse gui n'est autre que le radical est alors

éff aie à » on a donc

° cosa

l/r*cos"^+2rA' — rcosjs=:rcosjs \7^^ — O

1 — cosa

=rcos2 ,

cosa

mais

1 — cosa 2sin*ia 2 singez . ,

cosez cosa cosa ^

Or de l'équation (k) on tire, en remplaçant tanga par et

remarquant que sin a = 2 sin ^ a cos ^ a,

2 sin j g . /^ sec z

cos a y r cos^a'

Substituant cette valeur dans l'expression de > on a

'^ 4 cosa

cosa et par conséquent

i^cosa t /2*\ ,

= V^ — tang ^ a sec z

l/^r» cos* z + 2 rA' — r cos s =:r y'^— tang4a=|/2f*Ungi«.

Maintenant nous remarquerons que

l/r»cos'« + 2rA'" — l/FcoTT+ïrF = k'r* cos* « -h 2 rh'" — rcos z — (l/r* cos* «H-2 rA" — r cos s)

et nous trouverons de mfime en posant

{k) tang a' = v/— sec*

(k") tang a"= y tl!L sec s

|/i^coFI+TrF — l^r» cos» «4-2 r A" = kTrF Ung | a"

— l/iTFtangia'.

La formule (y) devient donc, en substituant ces valeurs dei radicaux,

— l/2rFtang^o'],

les valeurs des arcs a, d et a" étant données par les 3 équations (A;), \^] et (A"). Dans ces 3 équations quand z = 90*, sec z = oo , et par conséquent les tangentes des arcs a, d et d^ égalent Tinfini ; donc les arcs égalent alors 90*" et leurs moitiés sont des arcs de 45*", dont les tangentes égalent l'unité, et on a à Thorizon où sin js=1

Ce qui est, comme on le voit, la valeur donnée pour Rpar Té* quatioD (/) quand on y fait 2 = 90^, auquel cascosz=0.

Quand z devient plus grand que 90*", sec z devient négatif; les tangentes des arcs a, d et a" sont donc négatives, et ainsi ces arcs deviennent supérieurs à 90"" ; par conséquent leurs moitiés dépassent 45o, de telle sorte que les tangentes des arcs \ a,

d et \d* continuent de croître, quand z crott au-delà de 90^. Bien que, pour transformer la formule (7) dans la formule (/), nous ayons raisonné dans le cas de cosz positif, il est facile de voir que la formule (/) continue de représenter la formule (j) pourvu qu'on donne à coszson signe dans les équations (A;), {]i) et (A;")«

En effet, quand z dépasse 90^, nous pouvons poser js = 1 80'' — :iy i étant le supplément de z^ lequel supplément est alors positif. Nous avons donc cos 2= — cosz' et par conséquent

l^r* cos* « -1- 2 f A' — r cos z = |/^r" cos' ;?' + 2 r A'4- r cos «'•

Or, si nous considérons toujours notre triangle rectangle, dans lequel nous ferons un côté égal àrcosz' et l'autre à 1^2 rA', nous aurons pour l'angle opposé à |/i2 rA', angle que nous appellerons d

/2Â' tanga' = v — ^^ *'

^ il nous viendra

l/r'cos«j5'-h2rA' + r cos z' = r cos «' ( ? + 1 )

, 2 cos» J d

= rcos«' T-,

COS a '

car on sait que 1 + cos a'=2 cos' \ d.

De réquation qui nous donne tang a', on tire ensuite comme précédemment,

2sin

cosa ^ r

d'où

2cos|a' , /JT secg^ cos a! •^ r sin i a"

et par conséquent

V/r*cos*J5 + 2rA'— r cos s = l/r * cos' a* + 2 r A' -h r cos s'=|/2rA'cot \ a\

Maintenant, comme cos 5'= — cos J5, d'où sec z'= — sec s, si on remplace z' par z dans l'expression de tang ei', on a

tanga' = -v/li!

secz

et par conséquent, en continuant de faire tang a = v — sec 5,

on a tango*:::— tanga, d'où a' =180* — ei, et par conséquent

- a* =90* — 5 a; donc cot ^ a* = tang 5 a. Ainsi on a toujours

pour les valeurs de z supérieures à 90^

l/f cos" « + 2fA' — fcos*5= 1/^2 r A' tang ^ a, a étant déterminé par la formule

tanga=:V — seca,

La même remarque s'appliquant à a* et a'\ on voit donc que la formule (/) peut être substituée à la formule (j) pour toutes les valeurs inférieures, égales ou supérieures à 90"*.

Si on fait h" =? w'h' et h" = toA' , to' et u; étant les rapports constants de h" et de h" à A', en substituant ces valeurs de h' et de h" dans l'équation (/) et dans les équations (A') et (A"), qui donnent les

fit secjs

valeurs de o' et de a", il vient, en faisant m' = m ^ , m étant

alors la valeur constante de l'indice de réfraction pour la température 0 et la pression barométrique O^^^TGO.

(m) / tanga=y/ —

tang a" = l/^ id' V — secj5=l/M;'tanga

tang a' = l/to v — sec « = l/îo tanjj a

Les 4 indéterminées de la formule deviennent alors m, h\w et