Pour parvenir à déterminer ces 4 coefficients, il faut

d'abord chercher leurs valeurs approchées, après quoi on procède

à la correction de ces valeurs afin d'avoir les valeurs exactes.

La valeur de m s'obtient facilement, car c'est à très-peu près la

réfraction à 4S'' du zénith. En efiet, tant que sec z ne dépasse pas

beaucoup l'unité, et tel est le cas pour ^y^ les angles a, a! et a"

/2Â' sont très-petits , car v — est très-petit; on peut donc alors considérer les tangentes de la moitié de ces arcs comme égales à la moitié des tangentes des arcs eux-mêmes, de sorte qu'on a à très-peu près

tang i o" = l/tt? tang { a tang^a'=:l/^ tangua

et alors R devient à très-peu près, en supposant la température

(13 11 est évident que la formule (t) peut subir la même transformation que la formule (j). Dans ce cas les termes sous le signe 2 deviennent 2 (V^tang loT — V^v) tang i aO et le dénominateur 1 + ii/ — to devient alors 1 + 2 (!£?'— iv).

égale à zéro et la pression barométrique égale à TBO""", ce qui

réduit à l'unité le facteur r ^, *

R = msinjs y/ -r? tangua, ou , en remplaçant tang ^ a par sa valeur très-approchée ^ tanga,

ou 27 V — sec:?, 2 r '

R=intaDg2.

Pour z = 45®, tang js = i , on voit donc que, comme nous devions nous y attendre et comme cela résulte de nos premières formules, m est égal à la constante 60",616 de la réfraction, c'est-à-dire que m est égal à la déviation que, sous Tangle de 45®, éprouverait un rayon lumineux en passant directement du vide dans une couche de même densité que Tair à la surface du sol, car la réfraction à 45® du zénith et sous la pression 0",760 et à la température 0 est à très-peu près égale à cette constante.

On prendra donc pour m la valeur en question, qui est connue et donnée par des expériences de physique aussi bien que par les observations sur la réfraction dans le voisinage de 45*.

i80. — Pour obtenir les valeurs approchées des trois autres incon-

nues A', u; etu;', on ramène d'abord, au moyen du facteur '^ ,

une série de réfractions observées entre 75® ou SO^ et l'horizon à ce que ces réfractions seraient à une certaine température constante (peu différente de celle où les observations ont été faites), et à la pression barométrique 0",760; puis, en prenant les angles comme abcisses et les réfractions conune ordonnées, on marque par des points dans un tracé graphique les réfractions observées, et on trace à vue la courbe qui représente le mieux l'ensemble de ces observations. On en déduit les réfractions trèsapprochées qui conviennent à trois distances zénithales, par exemple à l'horizon, à un ou deux degrés au-dessus, puis vers 84 ou 85*^ de distance zénithale.

Alors on se propose de trouver les valeurs de h\w et u/, qui satisfont aux trois réfractions ainsi obtenues pour les trois distances zénithales choisies, dont une est l'horizon^ et dont nous appellerons z' et s" les deux autres.

AThorizon, où tang - a, tang 5 a', tang 5 ez", et sîn^ égalent Tunité, la formule devient en appelant Ro la réfraction horizontale très-approximativement connue par ce qui précède ,

On essaye alors une série d'hypothèses sur w' et w pour arriver à savoir quelle grandeur approximative il convient de leur donner, et pour chaque série d'hypothèses l'équation précédente donne la valeur correspondante de A', qui est

Mais pour bien diriger les hypothèses afin d'arriver vite aux valeurs approchées, on fait d'abord u;=l, cas dans lequel a=a, et qui répond à la contiguïté des deux couches atmosphériques, réquation (m) se réduit alors à

(ni") R = m sin s y/ jr^^ tang \ o"

dans laquelle

tang a = y/ sec z

et la formule (m') à l'horizon donne

Par cette dernière équation, w'h étant connu dans cette hypo* thèse, on calcule alors les réfractions que donne la formule {m!^) pour Tune des deux distances zénithales z' et 2", z! par exemple»

Pour seconde hypothèse^ on fait î^= 2 et w' — w = 1, d'où tt^'=3, c'est-à-dire qu'on augmente v) d'une unité par rapport à lliypothèse précédente, en même temps qu'on est amené à une première hypothèse sur w* — v).

Âvecces valeurs on calcule h par l'équation (m'); et par la formule (m), on calcule ensuite de nouveau la réfraction pour la distances'.

La différence du résultat avec celui qui a lieu dans Thypothèse de t(; = 1 , indique la variation de la réfraction pour une variation d'une unité dans la valeur de vo. En appelant x cette variation etx' la différence de la réfraction observée et de celle qui a été obtenue pour t^ = 1, on obtient une indication grossière de la valeur qu'il convient de donner à w quand uf — m; = 1 , par la proportion suivante

x' d'oïl i^ = 1 H •

Continuant de faire to' ->- u; = 1, on donne successivement à xo deux valeurs voisines de celles qu'on vient d'obtenir, et on en déduit pour ces deux nouvelles valeurs les grandeurs de la réfraction. Une proportion donne alors comme précédemment une nouvelle valeur de w plus rapprochée que la première, et, par deux ou trois essais , on arrive ainsi à avoir la valeur très-approchée t^o Qui convient à w pour la distance js*, et pour w' — m; = 1 .

On fait alors w^ — u;=2, et on obtient par le même procédé la valeur approchée t^i, qui convient pour w avec cette nouvelle valeur de w' — u;, et avec la distance zénithale si.

On calcule alors pour m; = lOp et pour w' — m; = I la réfraction qui aurait lieu à la distance zénithale z*'. On fait le même calcul pour wzizw^ ^i v) — m; = 2. La différence des deux résultais donne la variation de la réfraction à la distance zénithale ^' pour une variation d'une unité dans la valeur de w' — t^;. Une proportion fait alors connaître comme précédemment la valeur vers laquelle on doit chercher w' — w. Pour deux nouveUes valeurs prises vers cette limite, on recherche comme la première fois, à l'aide de la réfraction pour la distance zénithale ;z', les valeurs de w correspondantes. Puis, dans ces deux nouvelles hypothèses, on calcule de nouveau la réfraction pour la distance zénithale ^'; on obtient alors, par une proportion, une valeur déjà assez approchée de td — it', et, en continuant ainsi, on arrive enfin à une valeur très-approchée de w* — w, et on détermine la valeur correspondante de w.

Quand les valeurs des coefficients sont ainsi approximativement connues, on procède à leur dernière correction en partageant en un petit nombre de groupes la totalité des observations laites entre

ET POSmOMS GÉOGRAPHIQUES. 289

75* et 90* et en ayant soin de réunir dans chaque groupe celles qui sont faites pour des distances zénithales peu différentes. Dans chaque groupe, on prend la distance zénithale moyenne à laquelle les observations de ce groupe ont été faites, et à Taide de la formule, dans laquelle on a mis les valeurs approchées des coeffieients, on calcule, pour chaque observation, la différence de la réfraction pour la distance où l'observation a eu lieu et pour la distance zénithale moyenne des groupes. Â l'aide de cette différence, on ramène chaque observation à ce qu'elle aurait été à la distance zénithale moyenne du groupe, et on prend la moyenne des résultats, ce qui donne, pour cette distance zénithale, la valeur de la réfraction déduite des observations. On a ainsi 8 à 10 valeurs bien déterminées de ces réfractions pour 8 à 10 distances zénithales convenablement choisies.

Cela fait, on différentie l'équation (m), en y faisant varier A', w eiu/. Dans la différentiation s'introduisent les différentielles da^ dci et da'\ qui sont fonction de ces variables ; mais les équations qui donnent les valeurs de tang a, tang a', tang a", donnent les fleurs de ces différentielles en fonction de dh^ dw et dw\ Substituant ces valeurs de (]{a, da\ da", on a une équation qui ne renferme que les 3 différentielles dhj dwj dw\ Substituant successivement à R, dans cette équation, la valeur de la réfraction pour chacune des 8 ou 1 0 distances zénithales où elle a été calculée d'après les observations, et mettant en même temps pour z la distance zénithale correspondante, et pour A', w et w leurs valeurs approchées, et enfin substituant aux différentielles dh!, div, dw\ les corrections JA', ju;, ^lii à appliquer aux valeurs approchées de A', u), ui pour avoir les valeurs exactes, on a 8 ou 10 équations de la forme

MaA'-f-N5u;-H05a;' = P

dans lesquelles M, N, 0 et P sont des valeurs numériques connues. On peut alors résoudre le système de ces équations par la méthode des moindres carrés, et on a les valeurs de ^A'^ ^w et W, et par suite les valeurs exactes de A', xo et u! .

En calculant ensuite avec ces valeurs exactes les valeurs de la réfraction pour les 8 ou 10 distances zénithales, pour lesquelles on a obtenu la valeur vraie de la réfraction d'après les observations, on estalors certain, si les différences avec l'observation sont très-petites et de l'ordre des erreurs possibles en observant, que les termes sous

290 GOORDOMNÉES DES .\STftRS

le signe S de la formule {i) se réduisent à un seul. Dans le cas contraire, il faut introduire 2 termes sous le signe S, et par une série de tâtonnements dirigés de la même manière, on obtieudra, par la comparaison avec les réfractions observées pour les distances zénithales comprises entre 7S ou 80^ et l'horizon, les valeurs approchées des 4 coefficients w\ w^ w\j w,, et on corrigera ensuite les valeurs de ces coefficients de la même manière. Si les observations ne sont pas encore représentées complètement dans la limite de leurs erreurs, il s'en faudra de peu, et alors on essayera 3 termes sous le signe S. Nous avons déjà vu qu'il y a tout lieu de croire que ce dernier nombre ne devra pas être dépassé.

181. — Si, pour la détermination des coefficients, on emploie des valeurs de la réfraction déduites d'observations faites au-dessous de l'horizon, on obtient une équation simple qui diminue le travail de la recherche des valeurs approchées des coefficients. Supposons, en efiet, qu'on ait déduit du tracé graphique les valeurs de la réfraction pour 2 distances zénithales correspondantes, l'une audessus et l'autre au-dessous de l'horizon, par exemple pour 89*30' et 90** 30', ou d'une manière générale, pour 90* — b et 90* + b. Soient p et p' ces deux valeurs de la réfraction. En remontant à l'équation générale(t), dont l'équation (m) n'est qu'une transformation, on voit que tous les termes sous le signe 2 seront ^ux pour

ces 2 valeurs de ;3 ; il en sera de même du radical V^r* cos* z + 2rh! • Les formules ne difiéreront donc que par le signe du terme — r cos js, lequel devient — rsin6 pour la distance zénithale 90^ — b et + r sin 6 pour la distance 90'' + b. Dans un cas et dans l'autre, d'ailleurs, sin z devient cos b. En retranchant donc l'une de l'autre les 2 équations obtenues en remplaçant successivement dans (t) R et z par p' et 90* H- ô, puis par p et 90* — A, il vient

, 2m'rcosbsinb ni'rsinâft

Remplaçant h** par sa valeur u/ h', et h" par sa valeur u; h\ on a

m'r sin 2b

formule dont le premier membre se réduit à A (1 +u/ — u;) quand on ne considère qu'un seul terme sous le signe 2; et de plus, comme la réfraction varie très-vite dans le voisinage de l'horizon,

p'— p est une quantité assez grande pour que les erreurs d'observation aient peu d'influence, ce qui rend cette équation très-bonne.

Dans le cas d'un seul terme sous le signe 2, cette équation combinée avec l'équation {m') fournie par la réfraction horizontale, et qui donne h en fonction de w^iw\ conduit à une équation entre vo et «/; d'où il résulte que, pour chaque hypothèse sur id — w, la valeur correspondante de h est connue par l'équation (m'"), et l'équation (m') donne ensuite la valeur de w^ en y substituant la valeur de h et celle de w^ en fonction de w d'après la différence supposée entre ces deux dernières quantités. Quand w est connu, on a la valeur de w' à l'aide de cette différence. On n'a plus alors^ pour les diverses hypothèses sur w^ — w^ qu'à essayer le résultat qu'elles donnent pour la distance zénithale z\ prise entre SS"" et 88^, et par une simple proportion comme précédemment, on a trèsvite la valeur de w' — w.

C'est de cette manière que j'ai, au moyen de mes observations faites à Olinda sur la réfraction dans le voisinage de l'horizon, entrepris la détermination des constantes, en me servant, pour la détermination des valeurs approchées de ces constantes, des valeurs des réfractions aux distances zénithales 89*" SO', OO^'IO', 86*" et 90**, valeurs déduites du tracé graphique effectué d'après Tensemble des observations.

182. — Mais une circonstance fortuite m'a beaucoup abrégé le travail. En supposant d'abord w' — u; = l, comme il était naturel de le faire pour la première hypothèse, il se trouva qu'après avoir obtenu par les équations (m') et (m*') les valeurs correspondantes de h et de tv^ et après avoir calculé la réfraction pour SG"*, la valeurquej'avaisdéduitedutracégraphiquepourcèdernieranglese trouva si près d'être exactement représentée, qu'une nouvelle hypothèse sur w' — w devenait provisoirement inutile. Je remarquai de plus que la valeur obtenue pour w était voisine de 2, dont elle diiïë-

rait d'environ = en moins. J'adoptai donc comme valeurs approchées

2— = pour tt?, et par conséquent 3 — c pour v)'. En employant

ensuite ces valeurs approchées, je procédai à l'aide de la formule à ramener les observations très-voisines de l'horizon à ce qu'elles auraient été à l'horizon mêtoe^ pour en prendre la moyenne et avoir là réfraction horizontale exacte, que, pour la température de 27oj

moyenne du lieu, je trouvai de 181S"yl2 ; alors, à Taide de Téquation {w!) et de cette valeur de la réfraction horizontale, je corrigeai de nouveau A', en conservant les mêmes valeurs de u; et u;'. Ensuite, en calculant par la formule les réfractions pour les diverses distances au zénith comprises entre TS"» et l'horizon, afin d'avoir les différences avec quelques distances zénithales choisies dans cet intervalle (dans le but, comme je l'ai dit précédemment, de con* dure des réfractions observées les nombres se rapportant à ces distances choisies), je remarquai que les observations étaient toutes représentées dans la limite de leurs erreurs. J'ai donc pu regarder

4 fi fi

les valeurs deu; = 2 — 7 = * +i^eiw* =^2 + = comme définitives , et en même temps je me suis trouvé dispensé d'essayer l'emploi de plusieurs termes sous le signe Z, puisque je venais d'acquérir la preuve qu'un seul terme suffisait et représentait la réfraction pour la constitution réelle de l'atmosphère, depuis le zénith jusqu'au-dessous de l'horizon.

183. — La valeur de h! satisfaisant à la réfraction horizontale que je viens d'indiquer a été trouvée de 5 1 46 mètres, en mettant pour ni sa valeur obtenue pour 27*" de température et en employant dans le calcul de l'équation {ni) le rayon terrestre convenant à la localité d'Olinda, dont la latitude est de S"" l'sud. Cette valeur de h donne lieu à une remarque importante ; mais, pour la faire comprendre, nous allons présenter encore quelques considérations sur la forme de l'équation (t), dans laquelle nous rappellerons que

ni r, — y^iik, iit\ nt'fist autre que la constante k de l'équation (/),

équation qui n'est autre à son tour, en faisant p=c2R et a:=c^S, que réquation différentielle qui nous a donné R, après avoir considéré S comme une fonction de h. En remplaçant donc dans (0

ni -p =ryT]f — TTTv) par la constante A;, qui est la vrsde forme sous

laquelle cette quantité entre dans l'équation différentielle, l'équa* tion (t) peut s'écrire

l/f cos» z 4- 4^y"

^ ' rdy'

V^r^ cos" z -h 2ry

Car rintégrale de , .. ^ /^ ^ est l/r*cos*j5-f-2ry qui ,

prise entre les deux limites o et A', devient |/r*cos* « +2rA' — rcosj;, et la différence des intégrales de cette même expression

prise entre les limites o et A*', puis o et A" estl/r* cos* ^ + 2 r A*" —

l/r'cosz-h2rA".

Or, en remarquant que R ou la réfraction totale de Tatmos* phère est l'intégrale des réfractions prises depuis la couche inférieure jusqu'à la couche supérieure de l'atmosphère, l'intégrale du second membre de l'équation différentielle a dû être prise entre deux limites seulement, o et A^, Ai étant la hauteur de la dernière couche de l'atmosphère. Donc A', A**, A" qui entrent dans les limites des intégrales du deuxième membre, ne sont autres que les valeurs que prennent y, y'' et y' quand on fait la hauteur de la couche égale à celle de la couche limite de l'atmosphère. Conséquemmenty,y'ety sont des fonctions de la hauteur de chaque couche atmosphérique, et, en appelant A cette hauteur, on peut poser y=ç(A),y"=^,(A), y'=x(A),et alors A'=ç(A,),'A'"=+(A.), A"=:X(A,). L'équation précédente devient ainsi

. r^' r£/y(A) .C^'^r rd^(à)

/o Kr»cos«5-H2rç(A) Jo \V^r* cos» « + 2 r + (A)

rd/Ah) \

Vf*cos'«-H2r/(A)y'

c'est-à-dire que l'équation différentielle qui a donné la formule (}) était

[y^r* cos* z H- 2r <p (A) -^ \V/r' cos* a + 2r ^^ (A)

rdx(A)

V^r*cos»z-h2rx(A)et la quantité entre crochets n'est autre que la représentation

ae - de l'équation (/), où (a est le rapport de la densité de la cou-

che en contact avec le sol, à la densité de la couche de hauteur A, c'est-à-dire la fonction de A qui représente la vraie loi du décroissement des densités dans l'atmosphère réelle.

Comme, d'une manière générale, .y^ — « 9 fth\ '^P'^sente

le chemin parcouru dans une couche infiniment mince de hauteur / {h) , par la ligne partant du sol sous l'angle z avec la verticale, on voit donc que ç (A), ^^ (A), x (A), etc., représentent les diverses hauteurs entre lesquelles une même couche doit être partagée, pour que la somme des chemins parcourus parla ligne en question dans les diverses parties de cette couche ainsi divisée, sous Tangle z constant dans toute l'atmosphère, soit égale au chemin x fait par le rayon lumineux sous son angle particulier en atteignant cette couche, chemin divisé par la quantité (i. qui est fonction de h.

Mais remarquons que la hauteur d'une couche est une fonction du rang que cette couche occuperait dans l'atmosphère supposée de densité constante, de telle sorte que lesélévations f (A) ,6(A) , etc., des diverses couches sont des fonctions delà hauteur que chaque couche aurait si l'atmosphère perdant sa force élastique devenait un liquide possédant la densité que l'air a réellement à la surface du sol; de telle sorte que nous pouvons considérer la fonction comme renfermant non la hauteur réelle de la couche, mais bien la hauteur que cette couche prendrait dans ce dernier cas, et alors la limite Ai de l'intégration est la hauteur qu'aurait l'atmosphère si sa densité était la même qu'à la surface du sol. Cette considération est d'autant plus exacte que, pour l'homogénéité, la formule qui donne le décroissementdesdensitésavec lahauteur ne doit donner le rapport de la densité d'une couche à la densité de la couche de la surface du sol qu'en fonction du rapport de lahauteur actuelle àlahauteur que la couche en question posséderait si la densité était constante dans toute l'atmosphère, hauteur de laquelle dépend la pression supportée. Comme grandeur linéaire, c'est donc cette dernière hauteur qui doit intervenir.

n résulte de là que la limite Ai de l'intégration est la hauteur que l'atmosphère aurait sous densité constante, et par conséquent nos coefficients A', h'" et A'' sont les fonctions ç (Ai), ^ (A»), x (^)- Ces fonctions doivent donc avoir avec la hauteur A, quelque relation. Cette relation peut être compliquée, car cela dépend de la loi du décroissement des densités dans l'atmosphère ; mais quand ' on n pu déduire des observations les valeurs de A', A", A'", on peut se proposer de la découvrir.

i 84 . — Or, en calculant pou r la latitude d'Olinda la haute ur qu'au-

Er POSITIONS GÉOGRAPHIQUES. 295

Fait Tatmosphère sous densité constante à la température de 27"* etàla pression de 0",760, on trouve 8820" ,6 (1), hauteur que nous appellerons hy. D'un autre côté, nous avons trouvé A'=S146",0

et A"=wh'= (4 + * ) A', d'où K'—h'= ^ A' = 4410-,8, ou à très-peu près exactement la moitié de 8820'°,6, qui est

4410-,3(2). De l'équation A"— A'=^A>ous tirons A'=:g (A"— A'),

ou, comme nous venons de voir que A" — A'= ^ Ai , il en résulte

que A'^ j^ ht. D'un autre côté, h'=:w' h'=z (2 + =) h' ; or

'=A,+ |- et I A'=A"-A' = 1 A., d'où h"' = (3+|)^*

Donc l'épaisseur des couches est la même que si toute l'atmosphère ramenée à la densité constante, se divisait en deux parties, chacune d'elles se dilatant ensuite d'un sixième, puis comme si la moitié de cette atmosphère était reportée au-dessus de l'autre à une distance égale à la moitié de sa hauteur primitive.

185. -r- Nous voyons donc que A', A", A** ou, en d'autres termes, les fonctions ç (A), x(^) ^^ ^ W de l'équation différentielle, quand

onfaitA=A,,seréduisentà^l+g)yS(2 + |)^,(3 + i)^^ valeurs qu'on peutécrire respectivement rj-+- q j^*' Cô "*~ i "^ ^ j^i» f 2— ^ J At et qui, comme on le voit sous cette forme, représen-

(0 La hauteur de Tatmosphèrc sous densité constante varie pour une môme hauteur du baromètre avec l'intensité de la gravité^ car ]e poids est proportionnel à la gravité; le poids des molécules d'air et celui des molécules du mercure varient bicn^ il est vrai^ dans le même rapport^ de sorte qu'il semble au premier abord que le rapport des longueurs des colonnes d'air et de mercure devrait être constant. Mais quand la gravité augmente^ les couches inférieures de l'air doivent éprouver un accroissement de force ('lasUque pour résister à la pression supérieure, et, pour cela, il faut qu'elles }% compriment un peu. Le rapport est évidemment celui des gravités.

(2) II parait résulter de cet accord presque fabuleux qu'une compensation exacte s'était par hasard établie entre les erreurs des observations employées. Comme je ne veux pas attribuer ce fait à la perfection des obsenations, je dirai ici que les observations individuelles présentaient entre elles des divergences^ et que l'accord en question ne s'est présenté que dans la moyenne.

tent des rapports très-simples avec Ai . Mais il faudrait se donner de garde d'en conclure que les fonctions ç (A), x (A) et ^ (A) sont simplement (* +6J ô' (^"•'e) 2 ®^ V """âJ 2' ^^^ ^ est évident qu*on peut leur joindre une expression quelconque qui s'annule aux deux limites A= 0 et A =A| , conmie par exemple le ferait toute fonction algébrique de h{hi — A), ou comme le feraient également une multitude de fonctions transcendantes.

Ainsi donc avec une multitude d'expressions différentes pour les fonctions 9 (A), ^ [h) etx(A) , la réfraction est la même que dans l'atmosphère réelle, ce qui montre qu'il existe sur la loi des densités une multitude d'hypothèses différentes qui peuvent donner la réfraction observée. Mais toutes les hypothèses possibles ne satisfont pas aux observations ; il n'y a que celles ob les fonctions en question se réduisent pour h=hx aux valeurs ci-dessus, avec lesquelles les observations soient représentées.

Ceci nous explique pourquoi la formule de Laplace, quoique ne représentant le vrai décroissement des densités de l'air, a pu satisfaire très-approximativement aux réfractions observées. Cela doit venir de ce que cette hypothèse rentre dans celles pour lesquelles ? Wj ^W ^^X( ^) ^^^ sensiblement aux limites les valeursci-dessus.

186. — On remarquera que la valeur 1815'',12 que j'ai, à la température de 27^, trouvée à Olinda pour la valeur de la réfraction horizontale devient 2096^,48, à 0'*(i) et diffère d'une dizaine de secondes de celle qu'a trouvée Delambre, valeur qu' est de 2106", et a été admise par Laplace. Mais la différence n'est pas si grande qu'elle le paratt au premier abord. En effet, à Olinda, par la latitude de S"*,! sous la pression de O'^yTOOde mercure, la densité de l'air est moindre que vers le 4S* degré, où a été obtenue la valeur de 2106''. Le rapport, comme nous l'avons

(1) Nous avons fait varier ^i , dans cette rédaction pour passer de la température 27<»à0o, en le multipliant par le facteur ou t égale alors 27».

Cette variation de ^i avec la température, comme^ il est facile de le déduire de la formule, est sans influence appréciable sur les réfractions qui ne sont pas dans le voisinage de i'borizon^ mais il n'eu est pas de même près de ce plan. La différence entre la réfraction que j'ai trouvée à l'horizon et le nombre de Delambre, différence dont rend compte la variation de A„ est la cause pour laquelle, comme je l'ai dit dans le n* 173^ j'ai entrepris la recherche de la formule de la réfraction.

VU dans une note du n* 1 84, est égal à celui des gravités. Pour comparer mon nombre à celui de Delambre, il faut le multiplier par le rapport des gravités à iS"" de latitude et à S"", carie coefficient m de la formule est proportionnel au pouvoir réfringent, qui est lui-même proportionnel à la densité. Or, le rapport des gravités en question est 1,00245 (1). En ramenant donc la réfraction horizontale 2096'\48 observée au 8® degré de latitude sous la pression barométrique O^yTôO réduite à zéro, à celle qui aurait lieu si la den* site de Tair était alors la même qu'au 45® parallèle sous la pression 0",760j on trouve que cette réfraction devient 2102'', 15, c'est-àdire qu'elle augmente de près de 6". Ce fait montre que, pour étudier les réfractions près de l'horizon, il importe d'avoir égard à la variation de la gravité, quand on compare les observations faites sous des latitudes éloignées. Mais d'après notre formule, la réfraction horizontale ne varie pas seulement par suite de la variation du coefficient 7n pour la même hauteur du baromètre en deux latitudes différentes, elle varie aussi par suite de la variation de longueur du rayon terrestre et de la variation de A|. Ainsi h^ , qui à la température zéro, serait de 8013 mètres à Olinda, est de 7993*° à 45*" de latitude, car cette hauteur A, est en raison inverse des gravités. En ayant égard à la variation du rayon terrestre et à celle de h^j on trouve par notre formule que pour passer de 8** à 45'' de latitude, la réfraction horizontale augmente encore de G" ,91 , ce qui, d'après la valeur que j'ai obtenue à Olinda pour la réfraction horizontale, donne pour la même réfraction au 45* parallèle 2103",06, nombre qui ne diffère que de 3" de celui de Delambre. Le nombre de mes observations voisines de l'horizon était de 82.

187. — Ma formule de la réfraction avec ses coefficients numériques devient donc, en appelant M le rapport de la gravité sous le parallèle où on veut la réfraction à la gravité au 45* parallèle, et en

observant que w — w = l et 10= -=-, u? = -=->

R = 60",616 M v/^ (lang i a + y/y tang i a"

-v/Ttangia')/;±^sin.,

(I) L'expression de la gravité sous la latitude l est 9»^80606 -* 0,02503 cos2<.

dans laquelle tang a = \/ — sec z, tang a" = V -=- lang a,

/Ts

tang a'z=Y — tang a, et où r est le rayon de la terre sous la

i ^ fit latitude considérée et A' = 4663" — ^ — , car si h' yaiie avec la

température, il est indépendant de la pression atmosphérique.

Enfin n= 0,00375, t est la température actuelle, eil+y est le

rapport de la pression barométrique actuelle ramenée à zéro et

de la pression 0" 760.