DES PARALLAXES

I9i. — Si un astre est immensément éloigné par rapport aux dimensions de la terre, il arrive que deux rayons visuels qui sont menés à ce corps de deux points différents de la surface de notre globe sont sensiblement parallèles. Dans ce cas, l'astre en question est vu dans la même direction que si l'observateur était au centre même de la terre. Tel est le cas des étoiles, pour lesquelles les observations n'ont pu faire percevoir aucun angle entre les rayons visuels menés des divers points du globe.

Mais il n'en est pas de même pour les autres astres, c'est-^-dire pour la lune, le soleil, les planètes et les comètes. Ces derniers corps célestes, plus rapprochés de nous, sont vus de deux points différents de la terre dans des directions un peu différentes. On appelle alors parallaxe l'angle formé par deux rayons visuels, dont l'un serait mené à ces astres du centre de la terre et l'autre d'un point de sa surface. La parallaxe est donc l'angle sous lequel, de Tastre considéré, est vu le rayon de la terre mené au lieu d'observation, à l'instant de l'observation elle-même. A cause de la rotation terrestre et du mouvement des astres, la parallaxe varie en un même lieu pour un même astre, suivant l'angle que fait le rayon terrestre en question avec les rayons visuels. Pour faire disparaître dans les observations ce qu'il y a à la fois de local et de particulier à l'instant de l'observation, il faut donc, à l'aide du calcul de la parallaxe, ramener les observations faites en un lieu quelconque de la terre à un instant donné à ce que ces observations auraient été si elles avaient été faites au centre même de la terre.

La parallaxe pouvant être regardée comme nulle pour les étoiles, et étant sensible pour les autres astres, il en résulte qu'en un même instant on voit de divers lieux de la terre ces derniers astres se projeter sur des régions différentes de la sphère étoUée, de sorte qu'en chaque lieu leurs ascensions droites et leurs déclinaisons semblent différentes, et ne sont pas celles qui sont inscrites dans les éphéroérides et qui, afin de pouvoir s'en senir par tx)ut le globe, sont calculées pour le centre delà terre. Cette considération nous montre l'utilité de la détermination de la parallaxe.

soit pour déduire des observations les ascensions droites et les déclinaisons réelles des astres à parallaxes sensibles , dans le but de vérifier et de perfectionner les éphémérides, soit pour faire servir au calcul des observations faites en un lieu donné pour la détermination de sa position géographique, les coordonnées de la position d*un de ces astres tirées des éphémérides.

Nous allons donc nous proposer de calculer l'effet de la parallaxe sur les hauteurs et sur les azimuts observés, afin de réduire les observations de hauteur et d'azimut à ce qu'elles seraient sans cet eflet, de manière à pouvoir ensuite effectuer les calculs dont on a besoin, comme si la parallaxe n'existait pas.

La plupart des ouvrages d'astronomie disent que la parallaxe n'agit pas sur les azimuts. Ce serait vrai, ainsi que nous allons le voir, si la terre était rigoureusement sphérique ; mais comme elle est ellipsoïdale, il y a une petite influence de la parallaxe sur les azimuts, influence dont il est essentiel de tenir compte dans les calculs précis.

192. — Nous allons d'abord calculer la parallaxe en supposant la terre sphérique, nous verrons ensuite les petites corrections que le défaut de sphéricité rigoureuse introduit dans ce calcul.

Par le centre de la terre, le lieu d'observation et le centre de Tastre observé, menons un plan qui sera celui de la figure 42. Soit 0 le centre de la terre, M le lieu d'observation, et L le centre de l'astre observé. La ligne OM est le rayon r de la terre, OL est la distance de l'astre observé au ^^^

centre de la terre, distance que nous appellerons A, et l'angle M L 0 est la parallaxe cherchée.

L'angle Z M L est la distance au zénith sous laquelle l'astre L est observé du point M. L'angle Z 0 L est l'angle correspondant qui serait vu ^^""" — ^ y)%. vu du centre de la terre. Or, dans le triangle LOM, onaZML=: ZOL -hMLO, c'est-à-dire que la distance zénithale apparente en M ^ale la distance zénithale au centre de la terre plus la parai* laxe. Maintenant, dans le triangle MOL, on a

sinMLO sinOML sin ZML MO "" OL ■"" OL '

OU, en appelante' la distance zénithale apparente ZMUetp la parallaxe MLO ,

sinp = — sin s'-

Cette équation ayant lieu quel que soit l'angle J a lieu aussi quand cet angle est droit. En appelant alors H la parallaxe correspon-

dante, on a sin H = ^. En éliminant alors - entre ces deux équations, il vient

sinj9=:sinHsin2'

et la distance zénithale vraie z est donnée par l'équation s =x;''/'. Dans la formule précédente , H est la parallaxe de l'astre à l'horizon, p la parallaxe à la distance zénithale apparente ^'. Pour une même distance A, H est constant pour tous les points de la terre, si la terre est sphérique. On appelle cette quantité la parallaxe horizontale, et les éphémérides la donnent jour par jour, à cause de ses variations par suite du changement de la distance À.

On voit que tout l'effet de la parallaxe s'est fait dans le plan de la figure, puisque les deux rayons visuels sont dans ce plan. La parallaxe ne dévie donc pas l'astre hors du plan passant par la verticale MZ, lequel plan définit l'azimut de l'astre. Donc, dans le cas de la terre sphérique, la parallaxe ne modifie pas les azimuts observés, mais agit seulement sur les hauteurs.

193. — Examinons maintenant l'effet de la non-sphéricité de la terre, et, conformément aux données de l'observation, regar^ dons notre globe comme un ellipsoïde de révolution autour de son petit axe, lequel petit axe coïncide avec l'axe de rotation.

Dans ce cas, la ligne menée du point M au centre de la terre ne coïncide plus avec la verticale, et cette ligne fait avec la verticale dans le plan du méridien un petit angle que nous appellerons t.

La ligne qui joint le centre de la terre au point M marque, en la prolongeant jusqu'à la rencontre delà sphère céleste, un point qu'on appelle le zénith vrai du lieu M, tandis que le point marqué par la verticale prolongée, est appelé le zénith apparent.

Or il est évident que^ dans le cas de la terre ellipsoïdale, la parallaxe agit de la même manière que dans le cas de la terre sphérique pour modifier les distances d'un astre au zénith vrai, mais celui-ci est alors distinct du zénith apparent, tandis que dans le

cas de la sphéricité, le zénith vrai et le zénith apparent se confondent. Quant aux azimuts, si on les mesurait autour du zénith vrai, 3s ne seraient pas modifiés par la parallaxe ; mais il n'en est plus de même quand on mesure les azimuts autour du zénith apparent, c'est-à-dire autour de la verticale du lieu.

Ainsi, en appelant 2' la distance au zénith vrai, on a toujours, comme dans le cas de la terre sphérique, en appelant ;>' la parallaxe

sinp' = — sta«'

et l'arc/?' se mesure sur Tare de grand cercle passant par l'astre et par le zénith vrai.

Toutefois il faut remarquer que dans cette formule r n'a plus la même valeur que dans le cas de la terre sphérique. Il change d'un Heu à un autre, puisqu'il représente la distance du point d'observation au centre de la terre et puisque ces distances ne sont pas toutes égales dans l'ellipsoïde.

En appelant H' la parallaxe horizontale du lieu d'observation, on a, en faisant ;>' = H' etz* =: 90*, afin d'obtenir l'expression de la

parallaxe horizontale du lieu, sin H'=:-^, et par conséquent comme précédemment, sin j!>' = sin H' sin z'. Seulement, dans cette ^pression, la parallaxe horizontale est celle qui convient au lieu d'observation, et elle varie d'un point à un autre, puisque

T varie par suite de la variation de r.

C'est à l'équateur que le rayon r est maximum : c'est donc à Téquateur que la parallaxe a sa plus grande valeur. On appelle parallaxe horizontale équatoriale celle de l'équateur, et c'est cette parallaxe qu'on inscrit dans les tables, et que nous continuerons d'appeler H.

En considérant Tellipsoïde terrestre comme de révolution, tous les lieux qui ont la même latitude ont le même rayon vecteur 7^, et par conséquent tous les lieux de même latitude ont la même parallaxe H'.

Les éphémérides ne donnant que la parallaxe horizontale H il importe d'abord de trouver la parallaxe horizontale H' qui convient au lieu d'observation. Pour cela nous remarquerons qu'en appelant rie rayon équatorial, on a les deux équations

sinH'=4 sinHrrl:

en les divisant membre à membre, il vient -t — tî = — .

' sm H r

Or, dans l'ellipsoïde terrestre, le rayon vecteur r' est donné avec

une approximation suffisante en fonction du rayon équatorial r

et de la latitude apparente / par l'expression :

r'=irfi — «isîn* /+ 1 u* sin» 2 1) .

formule dans laquelle u est l'aplatissement terrestre qu'au moyen

des inégalités lunaires dépendant du défaut de sphéricité de la

terre, Burckhardt a trouvé égal à n^jr. Pour cette valeur de w, on

alogt/=:log^=3,S187002.

Les recherches modernes sur la figure de la terre s'accordent à donner pour u une valeur un peu plus grande que ^jrn* L'aplatissement varie d'ailleurs un peu dans les diverses régions du globe. Sa valeur moyenne n'est qu'approximativement connue* Nous verrons plus tard les moyens d'obtenir la valeur de l'aplatissement pour les diverses régions de la terre.

En mettant pour r' sa valeur dans l'équation précédente, il vient

sin H' = sin H (i — «sin* '+ 1 «* sin» 2 1\

Dans cette équation, comme, à cause de la petitesse de u, le fac-

g teur 4 — usin*/H- g w' sin' 2 / diffère très-peu de l'unité, et

comme les arcs H et H' sont petits, on peut, sans erreur sensible, môme pour la parallaxe lunaire, remplacer les sinus par les arcs, et on peut écrire

H'=H (i — u sin* /+S*8in"2 A

Au moyen de cette formule et de la parallaxe horizontale équa* tonale déduite des éphémérides pour l'instant de l'observation, on

peut calculer la parallaxe horizontale H' qui repond au lieu â'ok> semtion , et alors pour la valeur de la parallaxe />' on a l'équation

sin p' = sin H' sin z'

expression dans laquelle sin H' est connu.

194. — La question de Tinfluence de Tellipticité de la terre pour faire varier la parallaxe horizontale en chaque lieu du globe se trouve eiposéedans tous les ouvrages d'astronomie pratique, et la formule que nous venons de donner pour calculer cette parallaxe en chaque lieu se trouve également dans les mêmes traités. Mais nous venons de voir que Tellipticité terrestre ne se borne pas à faire varier la parallaxe horizontale, elle agit encore en ce que la grandeur p du déplacement de l'astre pour une hauteur donnée n'est pas proportionnelle au sinus de la distance zénithale apparente, c'est-à-dire de la distance apparente au zénith apparent, mais bien au sinus de la distance apparente au zénith vrai. D'un autre côté, ce déplacement p est effectué non dans l'arc de grand cercle passant par le zénith apparent, mais dans celui qui passe par le zénith vrai. Ces deux remarques sont en général oubliées dans les traités d'astronomie, et c'est fort à tort, car, pour la lune, les erreurs que l'on commet, en négligeant ces deux considérations, sont très-notables. C'est précisément parce que le déplacement p ne s'effectue pas suivant la direction du zénith apparent, mais bien suivant celle du zénith vrai, que la parallaxe modifie un peu les azimuts observés, car ces derniers azimuts sont mesurés autour du zénith apparent.

Proposons-nous de calculer l'expression du déplacement azimutal dû à la parallaxe.

Soient P le pôle (fig. 43), PZZ' le méridien, Z le zénith apparent, Z' le zénith vrai, E la position réelle d'un * astre , E' sa position apparente, de sorte que EE' =;>' : Z'E' est alors la distance apparente au zénith vrai, que nous appelons z' , ZE' la dis- *■'»»• ^•

tance apparente au zénith apparent, distatice que nous appelons «, et qui est celle que les observations mesurent.

Nous appellerons / la latitude apparente ou latitude astronomi-

que répondant au zénith Z, latitude qui est celle que les observations astronomiques mesurent directement, et nous nommerons / — 1 la latitude vraie ou géodésique , c'est-à-dire celle qui répond au zénith vrai 71. L'arc ZZ' est alors égal à i, c'est-à-dire à la différence des deux latitudes. Nous appellerons de plus d* la distance vraie ZE au zénith apparent.

Dès qu'on connaît la latitude astronomique /, l'arc i est connu. Il est donné en secondes avec une approximation suffisante par l'équation

t=Ksin2/+iK*sin4/ dans laquelle K= K — ^ >, u étant l'aplatissement terrestre.

Si on fait tt = ^rr^r, on a

log tt = 2,8308366 log \u^ = 0,046218i .

Appelons maintenant a l'azimut apparent observé Z'ZE'. Nous aurons dans le triangle Z'ZE'

sin Z^i: sin Z^Zg sinZZ' ~ siuZ'E'

smx Nous avons maintenant dans le triangle ZEE'

8inEZg sinZgg sin E£' sin Z£ ou

8inEZE'="°^^'^'r^

sm z"

Mettant pour sin ZE'Z' sa valeur précédente, et pour sin ;/ sa valeur sin H' sin t!^ il vient

sm js''

Or l'angle EZE' est la déviation azimutale [de l'astre par l'effet de la parallaxe. L'expression de cette déviation montre qu'elle est maximum dans le premier vertical, c'est-à-dire quand a = 90* auquel cas sin a = 1 . Elle est aussi proportionnelle au sinus de

Tare f, dont la valeur maximum, qui a lieu pour une latitude de 45", est de 678 secondes ou 11' 18" pour l'aplatissement q^ru.

Quand la parallaxe lunaire est de 6r, on trouve alors que, dans

12" le premier vertical, l'angle EZE' = -. — 77. La déviation azîmu-

taie due à la parallaxe peut donc pour la lune atteindre à l'ho-

rizon jusqu'à 12" et à 30"* du zénith où sin z" = ^, elle peut atr-

teindre jusqu'à 24". On voit par conséquent que cette déviation est loin d'être négligeable.

195. — On peut donner à l'expression de la déviation azimutale EZE', que nous appellerons f , une forme indépendante de ^', c'est-à-dire de la distance zénithale vraie au zénith apparent. Eo effet, dans le triangle PZE, on a

sinZE sinPE sinZPE^sinPZE-

Or PE est le complément de la déclinaison D de l'astre : donc sin PE=cosD, ZPE est l'angle horaire de l'astre, que nous appellerons P, et on a pour l'angle PZE

PZE=PZE'+E'ZE=180- — a-t-ç

d'où

sin PZE = sin (a — cp) ; de là on tire

«••» «71? • n sinPcosD

sm ZE = sm « = -r— ; r-

sm (a — 9)

Reportant cette valeur de sin z" dans l'expression du sinus de l'angle EZE' que nous avons appelé 9, il vient

... . sin H' sin i sin a sin (a — 9)

(A) sm <p = :-5 =--i 37.

^ ^ smPcosD

En développant sin {a — ç), et divisant par cos ç, il vient

m» . 2sinH'sintsin*fl

\ } ^"*^""2sinPcosD-+-sinH'sinisra2a'

fonnule dans laquelle a représente l'azimut apparent observé.

La valeur maximum de sin 2 a étant de 1 , on voit que H' sin i sin 2 a ne pourra dépasser 12" même pour la lune, puis*

310 GOORDONiNÈES DES ASTRES

que nous avons vu dans le numéro précédent que la valeur maximum de H' sin e est de 12". On peut donc dans le dénominateur négliger sin H' sin i sin 2 a toutes les fois que P est grand, et alors la déviation azimutale est donnée par la formule

. sin H' sin t sin* a

" ^ sm P cos D

Mais si la lune était très-près du zénith, auquel cas sin 2 a peut être grand en même temps que sin P est très-petit, il faudrait employer la formule complète (B).

Si nous posons a — ? = a', auquel cas a' est l'azimut réel, on en tire a i^o' + <p. Substituant dans Téquation (A), il vient

sin H' sin t sin (a'+ o) sin a' sin ç =: . ^ ^ ' ^ •

smPcosD Développant sin {a' + <p), il viendra conome précédemment

iC\ tan — 2 sin H' sin t sin* o^

(Lj w»g^-2sinPco8D— îânH'sinisinâa '

formule dans laquelle a! est l'azimut réel. Cette formule se réduit à

. __ sin H' sin t sin* g' *'^"" sinPcosD

tant que l'astre n'est pas voisin du zénith.

Telles sont les expressions des déviations azimutales dues à la parallaxe. Gonune le zénith vrai est toujours du côté de l'équateiir par rapport au zénith apparent, on voit que la parallaxe agit en augmentant l'azimut compté à partir du côté du méridien opposé au pôle.

196. — Proposons-nous maintenant de trouver l'effet de la parallaxe sur les hauteurs apparentes mesurées à partir du zénith apparent.

Nous avons déjà vu que l'effet de la parallaxe sur la distance au zénith vrai est donnée par l'équation

sin p' = sin H' sin z'.

La vraie parallaxe de hauteur p est égale kZE — Z E (fig. 43) ou z — z'\ proposons-nous de la calculer en fonction dtp'.

Dans le triange E'ZE, on a

cos EE'= cos ZE' cos ZE +8m ZE sinZE cos E'ZE

cos p* = cos z cosz" + sin z sia z" cos ^ ou encore

cos jî' = cos (s — s") — 2sin z sîn z" sin* { cp.

Mais à cause de la petitesse de Tare 9, on peut poser sin ^ 0 =

i .. 1 sin H' sin i sin a

siiïZ

^ «:« -. 1 sin n sm « sin a . ,, ,

T sm 9 = ^î:rzn ? ®* comme z — z =;), on a donc

cos p — cos p' = - -: — r, sin' H'sin* i sin* a. ^ '^ 2 sin a"

Or, comme

cosp — cosp' = 2sin J(p'+p) sînj(p' — p),

3 vient

- j, f V 1 smx; sin' H smM sm* a

Mais, p et j!>' différant extrêmement peu, on peut, à des termes près du second ordre poser \ (p^ -hp) = p' et admettre que sin I {p'—p) = I sin (/>' — ;>), il vient alors

. , . . 1 sin 5 sin* H' sin* * sin* a

SIU tf/ — p) = 5 -: ■„ : ;

'^ 2sin5" sin p.

Remplaçant dans le second membre sin p' par sin H' sin ^, sa >aleur d'après le nM 93, on a

„. , , \ 1 sin z sin H' .... . sm (p' — p) = 5.-: — r -: — n s»n * «n* a

2 •smz' sinz"

^f *» — * sin z sin H' sin i ^. , ^

p p = - -: j : ;; Sm^ ù'

2 sm z' sin z"

Toutes choses égales d'ailleurs, on voit donc que la valeur de P'-^p est maximum pour fl= 90*, auquel cas sin' a= 1. Or alors pour H' = 61', et pour la valeur maximum de i, qui est de 678"

avec Taplatissement ôâk' on trouve que^sin H' sin i =z 0",018. La valeur maximum dep' — p est donc alors

'^ sm z' sin r

Sauf dans le voisinage du zénith, cette valeur sera donc toujours inférieure à 0",!, et on peut, à moins qu'on ne veuille une extrême précision, se dispenser d'y avoir égard, et poser

sin p = sin p' = sin H' sin z'.

Toutefois, si on veut avoir égard kp' — ;>, il faut simplifier la formule, et pour cela on remarquera que z' =:Zj à une quantité près très petite de l'ordre t ; on peut alors en négligeant les termes de l'ordre 0",018 sin t, faire z' =zz dans l'expression Aep'—pj et il vient

, i sin H' sin t . .

1> — P==5 — : — -— sm*a '^ 2 sm z"

sin P cos D

si on veut éliminer sin 2" on remarquera que sin z''=-: — ; r,

^ ^ sm (a — ?)'

d'après le n^ 195, et il viendra

, tsinH'sintf . . . , .

P — P= s-r-= -8m*a8m(a — cp),

^ ^ âsmPcosD ^ ^''

ou, enfin, à moins que la lune ne soit très-près du zénith, en négligeant sin f vu sa petitesse et celle de son coefficient

, ^ t sin H' sîn t . . ^ ^ ^ SsmPcosD '

expression dans laquelle on peut prendre à volonté pour a soit l'azimut calculé, soit l'azimut apparent.

197. — Nous venons de voir qu'il résulte de la petitesse de la valeur àep' — p qu'on peut, en général, regarder la parallaxe de hauteur, comme ^ale à la parallaxe horizontale multipliée par le sinus de la distance apparente au zénith vrai.

Proposons-nous maintenant de calculer cette parallaxe p' en fonction de la distance apparente z au zénith apparent/ Pour cela remarquons que ZE = z" = 2 — />, et Z'E = 5' — p\ Cela posé, dans le triangle PZE (fig. 43), on a

cos(s— p)=cosPZcosPE + sinPZsmPEcosZPE, . et dans le triangle P Z' E

cos (s'— !>') = cosP Z' cos PE+ sin PZ' sin PE cos ZPE.

Or cos PZ = sin /; cos PZ' = sin (/— i) ; sin PZ = cos /; sinPZ' = cos (/ — «).

On a donc, en remarquant que PE=:90* — D, et que ZPE égale l'angle horaire P,

cos (z — p)=i sin / sin D +C0S / cos D cos P, cos (a' — p') = sin {/— t) sinD+cos (/— •) cos D cos P.

Multiplions la première équation par cos (/ — t), la seconde par cos /, et retranchons membre à membre, il vient

cos (/ — i) cos (z — p) — cos / cos {z\ — p') = (sin / cos (/ — t) — sin(/— i) cos/)sinD

cos (/ — i) cos (s —p) — cos/ cos («'— p') = sin i sin D ;

de là on tire

cos (a' — i^TrzrCcost+tang/sint) cos («— p) - ^° * ^'° ^

cos /

ou encore

cos (^'-p') - cos (*-p) = Ëii£^j£z:£l=«E£ sin <

' cos /

— 2 cos (s — p) sin* ^ i*.

En remarquant que p' = p^k quelques centièmes de seconde près, d'après ce que nous avons vu dans le numéro précédent, et en notant qu'une erreur de quelques centièmes de seconde sur l'arc z', que nous voulons obtenir, sera négligeable sur la parallaxe/)', pandlaxe qui est égale à sin H' sin z', nous pouvons faire p'=p dans le premier membre de l'équation précédente, et il nous vient, en remplaçant la différence des cosinus par le produit de deux sinus

31â COORDONNÉES DES ASTRES

2 8in i {z^z') sin i (z^t^'-ip) = si°^cos('-P)-si"P sin .•