COS V
— 2 COS {z — p) sin" ^ t .
Posons 2 — 2' = p, d'où z' = z — p, l'équation précédente devient
^in ^ p ^ sin / COS (a — j?) — sin D ^.^ ^. cos(g— p)ân4t 2cos /sin[ a — p — |.j sin (z — p — ^ J
ou, en remplaçant sin* { i par { sin ssin|i,
. , û cos(5— p)(sini — cos/sinAi)— sinD ^. . sm ^ P t= — i — £-Z.i 2-:^- sm t
2 COS / sin
ou encore, en remarquant qu'à des termes près du troisième ordre en f , on peut dans cette formule remplacer sin / par sin/cos^ t,
«:« I o cos(a — ^p)sin(/ — i 1) — sinD . . sm ^ p = i ^ ^ — i-^ — -T^ — sm t.
2 COS /sin (5 — p — s-)
Si nous multiplions les deux membres de cette équation par
sin^z — /^~i j
: — . V — , et si nous développons sin (z — p — | J , il vient
en remarquant que sin | cos | égale sin | à des quantités près du
troisième ordre, puisque p est de l'ordre 2,
-.•« I o cos (a — p) sin (/ — if) — sinD ... ., x ..lo
smi B = — i — ^ . > / V sm I + cot (2 — p) sm* \ p.
"^ 2 COS /sm {z — p) ^ '^' ^^
Tant que cot {z — p) n'est pas très-grand, le terme en sin* \ p peut être négligé, car il est du second ordre en i. Cela a lieu tant que l'astre est loin du zénith, mais s'il en était rapproché, il faudrait calculer p par l'équation précédente du second dçgré. Toutefois en général on peut faire
«•-. 1 û sin(/ — |t)cos(« — p)-»sinD . ^ "^ 2 cos/sm(«— -p)
ou en négligeant les termes du deuxième ordre en t
fl sin / cos (g — p) — sinD .
cos /sin (s — p)
et dans ce cas on fait p' z=z p. L'expressipn de la parallaxe de hauteur est donc
sin j} = sin H' sin (s — p)
ou, en négligeant les termes de Tordre P*,
sinp = sin H' sin 2 — sin H' cos « sin p
ou
. „, . . „, sin / cos (2 — p) — sinD .^.
sinp = sin H sm z — sin H cosz /. ,' — r sm 1
cos /sm(2 — p)
ou encore, en négligeant les termes de Tordre sin * H' sin 2,
(D) sin p = sin H' sin s — ^'" ^' ^^ ^ (sin / cosz — sin D) sin t. ^ ' '^ cos / ^
Telle est l'expression de la parallaxe de hauteur en fonction de la distance apparente z au zénith apparent. Si on fait p=zm — n^ on a pour déterminer m et n,
sin m = sin H' sin s
sin H' cot Z/ . , • *v\ .
n = ''JL^ — (sm / cos jK — sm D) t :
cos / cos m on rendra cette dernière quantité logarithmique en posant
sin / cos :;
cosD et il vient
= tang A
sin ff cot g sin (A — D) .
cos / cos m cos A
Pour juger de la grandeur de Terreur que Ton commet lorsqu'on détermine la parallaxe p par la formule sinp = sin H' sin z^ nous remarquerons que i sin H' peut atteindre jusqu'à 12" pour / = 45^, comme nous l'avons déjà vu précédemment; Terreur sur la parallaxe de hauteur peut donc être égale à
rrr— (sm 45"* cos ;? -* sm D) :
die est donc nulle pour z^idO""; mais le facteur multipliant 12" peut devenir plus grand que Tunîté quand Tastre est à une grande
hauteur, surtout si la déclinaison est négative. Pour D=0 et 2 = 48% cette erreur est déjà de 12" sin 48% c'est-à-dire de8",5.
198. -— La valeur de l'aplatissement que nous avons adoptée dans ce qui précède, est celle qui déduite des inégalités lunaires, conviendrait à l'ensemble du globe. Mais on sait que cette valeur varie suivant les localités. Si on connaît la valeur de l'aplatissement ti . qui répond à une région donnée et la valeur correspondante R' du rayon équatorial qui aurait lieu si cet aplatissement u' se prolongeait jusqu'à l'équateur, il faudrait, dans le calcul, employer pour parallaxe horizontale équatoriale celle des tables multipliée par
R' le facteur -5- , R étant le rayon équatorial admis pour la formation
des tables. Le calcul se ferait ensuite comme précédemment, en calculant ta l'aide des formules que nous avons données, formules dans lesquelles on substituerait u' à u; on aurait alors pour la parallaxe horizontale locale H ti — v! sin*/-f-^t/'sin'2/ j. Tous
les calculs se feraient ensuite comme précédemment. En général, pour la majeure partie des régions du globe, l'aplatissement local est inconnu. II faut alors employer les formules précédentes en calculant t et H' à Taide de l'aplatissement moyen. U est bon toutefois de remarquer que, dans un observatoire, des observations précises continuées pendant longtemps sur la lune, observations permettant de mesurer la valeur du déplacement azimutal de cet astre par la parallaxe , feraient connaître conune conséquence la valeur de l'angle t pour cet observatoire, et par suite celle de l'aplatissement répondant à la région de cet étid)lissement.
199. — Dans ce qui précède, nous avons calculé la parallaxe de hauteur en supposant connue la distance zénithale apparente. C'est le cas où on a le plus besoin du calcul de la parallaxe de hauteur, afin de réduire en distance zénithale vraie la distance apparente observée. Toutefois, il arrive quelquefois qu'on a besoin de calculer la distance apparente au zénith répondant à une distance vraie donnée. Nous allons indiquer le moyen de résoudre ce problème.
Soit connue la distance vraie z" au zénith apparent, on calcule d'abord, à l'aide de la latitude, la distance i du zénith apparent au zénith vrai. U faut ensuite calculer la distance vraie £" nu zénith vrai. Pour cela , remarquons que nous avons les deux équations.
C0S2" = sin / sin D + cos{ cos D cosP cos z'" = sin (/ — f) sin D + cos (/ — t) cos D cos P.
z!'j D et / étant connus, on peut calculer P par la première équation en la transformant suivant l'usage pour la rendre logarithmique, et' alors on peut calculer z"^ par la seconde équation. Mais on peut aussi éliminer P entre les deux équations , en multipliant la première par cos (/ — i), la seconde par cos/ et en les retranchant ensuite l'une de l'autre^ il vient alors
cos {l — i) cos s" — cos / cos «'" = sin D sin t
d'où
cos z!- = £?!i^ cos ." - ?!E£4L\ cos / cos /
Cette équation peut se transformer comme l'équation analogue du n* 197, donnant la valeur de cos {z' —p')* Si donc nous faisons z"'—s^:= p, il viendra comme dans le numéro que je viens de citer
. , ^ cos-8"sin(/— it)— sinD ... .^t . ,10 sini 6= ^ — . * \, smi+cota"sm*iB.
P étant de l'ordre «, nous pouvons tant que cot z" n'est pas très-grand, c'est-à-dire tant que l'astre n'est pas tout près du zénith, négliger le terme en sin ' | p qui est du deuxième ordre (près du zénith, sin i P sera donné en résolvant l'équation du second degré). En général , on a donc, en négligeant les termes du second ordre en 2,
û cos^'^sin/ — sinD .
En faisant alors
sin/ cos g"^ nos D
il vient
sstangA
sin(A^-D) .
cos A cos / sin z"
', qui est égal hz!' — p, étant alors connu, on remarquera que z^iz^-^-p^ et l'équation sin ;>' = sin H' sin z' devient
sinp' = sinH'8În(«"'+p') ou
sinp' = sin H' (sin z"' cosp' + cos %"' sin p')
d'où, en divisant par cos/>',
sinH'sina"'
(E) tangp' =
i — sinH'cosjs
équation qui fera connaître ;>' et qu'on résout facilement en posant
. „, «^ • 1 . 1 . ^ sinH'sinjs"
sin H cos z =sin* Y , et on a alors tang p = 3 •
'^' ° '^ cos X
200. — Dans les ouvrages d'astronomie, on développe la formule (E), qui peut se mettre sous la forme
tang p' = sin H' sin z'" (1 — sin H' cos «'") ~ *
ou, en développant
tang p' = sin H' sin «"' + sin* H' sin z'" cos z'
et en remplaçant la tangente par Tare, c'est-à-dire en faisant tang /?'=;)' sin 1" et sin H' = H' sin 1", il vient
(F) p' = H' sin s'" 4- 4 H'* sin 2 «'" sin 1".
jft
Cette formule n'est pas rigoureuse, et donne une petite erreur. Elle sufBt dans les approximations. Dans les calculs rigoureux , il faut employer la formule (E) , dont le calcul est plus court que celui que Ton aurait à faire en poussant le développement jusqu'au troisième terme, et en tenant compte en même temps de l'erreur commise en remplaçant les tangentes et les sinus par les arcs. Toutefois la formule développée (F) peut être employée pour tous les astres autres que la lune, et même dans ce dernier cas on peut se limiter à son premier terme et faire 2"=;;", ce qui dispense du calcul de p.
Une fois l'arc p' obtenu par la formule (E), on peut en général regarder p^ comme égal à ;>, et alors z'^ +p' peut être considéré comme égal à la distance zénithale apparente z. Si on veut une précision extrême , il faudra calculer p' — p par la formule que nous avons donnée précédemment (n* 196),
r t sin H' sin t . ,
P — P = a — : — TT-sm'a.
2 sin a
Mais si on ne connaît pas l'azimut apparent a, on pourra se dispenser de le calculer en remarquant qu'on a, comme nous Tavons vu précédemment (n* 195),
sin(a— <p)= — : — rr-^y
mais Tare f peut, à moins que la lune ne soit tout près du zénith, être négligé à cause de sa petitesse dans l'expression dep' — py par
/ * A • . sin*Pcos*D ^ ,
conséquent on peut y poser sin'a= — r-j-77 — > et alors
, t sîn H' sin « . , t* «. t^
^~P = 2 sin^^- sm'Pcos'D.
L'angle P pouvant être connu du moment où on connaît z!', et cet angle ayant généralement été d'ailleurs calculé pour pouvoir effectuer le calcul de z", ou donné pour obtenir la valeur de z!' qu'on veut transformer en distance apparente, on voit que/?' — p est déterminé. En posant p' — p=zWy on en tire p=^p' — m;, et alors la distance zénithale apparente est z" 4- f>' — tv.
La déviation azimutale correspondante sera alors (n"" 194)
sîn H' sin 1 sin a . sin H' sin s . ^ ^^
sinç= ; — -77 ousin9 = — . * „ sm P cos D, en
I , . sinPcosD
remplaçant sin a par
sin z"
201 . — Les déviations azimutales par la parallaxe sont négligeables pour tous les astres autres que la lune. On peut aussi, pour le soleil et les planètes, négliger dans les calculs de la parallaxe de hauteur la différence des distances au zénith vrai et au zénith apparent, et môme on peut substituer les arcs à leurs sinus. On a alors, pour l'expression de la parallaxe de hauteur en fonction de la distance apparente z^
p = H' sin z.
Cette considération simplifie beaucoup les calculs de parallaxes du soleil et des planètes. Les calculs de parallaxes ne sont donc compliqués que pour la lune.
202. — Ce dernier astre présente aussi une variation dans son diamètre apparent, suivant la hauteur à laquelle on l'observe. Soient 0 (fig. 44) le centre de la terre, Z le zénith vrai du point M, L le centre de la lune. Du centre de la terre, le demi-diamètre lunaire sous-tend l'angle LOK; du point M, il âous-tend l'angle
LN
LMN. Or, dans le triangle LMN, on a sin LMN = TTr , et dans
^^^ ; œORDONHÉES DES ASTRES
le triangle L0K,8inL0K=:^; mais comme LK=LN, en
divisant ces deux équations membre
h r«««.i^«^ -1 • * sin LMN OL a membre , il vient . -^-^ = 57=-
sm LOK ML Mais dans le triangle MOL , on a OL sinZML , sinLMN ML ~ sin ZOL ' ^^^^ sin LOK "" sinZML sin ZOL'
. ''**• ••• Remarquons maintenant que ZOL
est la distance vraie z*" au zénith vrai, ZML la distance apparente z au même zénith ; sin LOK est le demi-diamètre lunaire vu du centre de la terre, c'est celui qui est inscrit dans les éphémérides et que nous appellerons ^; enfin sin LMN est le demi-diamètre vu du point M pour la distance apparente z! au zénith vrai, nous appellerons 8* ce diamètre. H vient donc
. «, . « sin z' sin$ =sind-:
sinz'"*
Mais js"' = ^ — y, donc
sin z'
sio$'=sind-7
sin {z' — p")
Gomme le demi-diamètre lunaire n'atteint jamais 17' et comme le sinus et l'arc de 17' ont la même valeur jusqu'à la septième décimale^ on peut sans aucune erreur sensible remplacer id les sinus des arcs è et 8' par ces arcs eux-mêmes, et il vient
sin {z' — p") cos p — siu p' cot x'
Remplaçant dans cette équation cos;>' par sa valeur très-appro-
chée 1 — ^sin*;>', et sinp' par sa valeur sin H' sin z', il vient
S' = fi
1 — i sin* H' sin* z' — sin H' cos s' '
d'où
j, ^ ^ j sin* H' sin* z' + sin H' cos x'
1 —i sin* H' sin* «'—sin H' cos a''
OU en négligeant les termes en osin'H', qui sont du quatrième ordre par rapport à la parallaxe
8' — 8 = srsinH'cos«'+^sin>H'(4+cos*5')l.
203. — L'accroissement S — 8 du diamètre de la lune se trouve ici exprimé en fonction de la distance z! au zénith vrai ; si on le veut en fonction de la distance z au zénith apparent, il faut remarquer
en négligeant les termes de l'ordre t* dans la valeur de p, termes qui, dans l'expression de 8' — 8, donneraient des termes du quatrième ordre en i, 8 et H'.
On a alors
8'~8 = 8 fsin H' cos{«—p)+i8in* H' (l+C08«(a-p)l.
P étant de l'ordre i, on peut remplacer dans le second terme du econd membre cos* {z — p) par cos* z, à des termes près du quarième ordre, et on a alors
^'^t=B |s!nH'cos(s— p) + isin*H'(l + cos*a)|.
En développant et remarquant qu'on peut faire cos p = i à des termes près du quatrième ordre, il vient
— 8 = 8 jsin H' cos z -h sin H' sin X sin p 4- i sin' H' (1+ cos* -s) j -
Or, dans l'expression de sin p, on peut négliger p' à des termes près du quatrième ordre dans la valeur de 5' — 8, et on a alors
. û sin/cosz — sinD . .
smp= r-r sm I.
En substituant, il vient
r-S=8rsinH'
t'—8s=sB sinH'cosz+sinH'sini
. „r • • sin/coss — sinO
i sin' H' (1 + cos' z)1
cos/
322 COORDOJNNÉES DES ÂSTKES
Le plus souvent, on peut négliger les termes en sin H' sin t et sin'H', gui réunis ne forment qu'une fraction de seconde, et on a alors
S' — 8 = 5sinH'cos5.
Les formules précédentes font connaître très-simplement l'accroissement du demi-diamètre de la lune en fonction de la distance apparente du centre de Tastre au zénith astronomique. Si on n'a observé qu'un des bords de l'astre, auquel cas on n'a que la distance apparente de ce bord au zénith astronomique, on effectue d'abord la correction de réfraction, puis on ajoute ou on retranche, suivant qu'on a observé le bord supérieur ou le bord inférieur, la valeur que possède à l'horizon le demi-diamètre de l'astre. On a alors z d'une manière très-approchée, et on calcule ^ — S par la formule. On corrige ensuite la distance z apparente à l'aide du diamètre corrigé^ mais il est inutile de recommencer le calcul delà correction de ce diamètre, parce que la différence avec la correction précédente serait de l'ordre de £* sin ^ H' ou du quatrième ordre.
204. — L'altitude d'un lieu au-dessus du niveau de la mer augmente la parallaxe, parce qu'elle augmente la distance de ce lieu au centre de la terre. Cette altitude modifie aussi légèrement l'angle i entre le zénith vrai et le zénith apparent. Soit^ en effet, 0 (fig. 45) le centre de la terre, OP son axe de rotation. Considérons un point M au niveau de la mer. En ce point , la verticale apparente est ZM, la verticale vraie estZ" MO et on a ZZ"= i. Considérons maintenant un point m pris sur la verticale apparente de M ;
les points m et M auront la même latitude astronomique et le môme zénith apparent Z ; mais le zénith vrai de m sera en Z* sur la 11gne 0 m prolongée : alors l'angle Z m Z' dif* férera de ZMZ" ou i de l'angle Z'OZ", on a
donc
ZmZ' = i— Z'OZ",
et en appelant t' l'angle ZmZ' pour le ""**''^ lieu d'altitude A, c'est-à-dire pour lequel
mM=/<, ona«'=i — Z'OZ". Mais, dans le triangle MwiO, on a
5inZ'0Z"=ïîr.sini'.
MU
Or, en appelant r le rayon MO et remarquant que, vu la petitesse des arcs i' et Z'OZ'\ on peut remplacer les sinus par leurs arcs, il vient
Z'OZ"= * i'.
Substituant dans Téquation précédente, on a
i'=i--i', d'eu t'=— j—t.
Ainsi, pour avoir l'angle i entre le zénith vrai et le zénith apparent d'un lieu d'altitude A, on calculera par les formules ordinaux Tangle i pour le niveau de la mer, et on le multipliera
par— -7, r étant le rayon terrestre à la latitude du lieu, rayon
^ooné par la formule habituelle ; mais à cause de la petitesse des altitudes h auxquelles on peut observer par rapport à ce rayon,
on peut prendre pour r le rayon moyen de la terre.
sin i Dans le triangle m MO. on a encore mO=MO -. — irjou très-
° ' sin e '
approximativement mO=:r-7 = r + A. Or la parallaxe horizon-
taie pour le lieu d'altitude h est à celle qui existe au niveau de la
mer dans le rapport des distances de ces deux lieux au centre de
la terre. La parallaxe horizontale H', calculée pour le niveau de
r + A la mer et la latitude / , devra donc être multipliée par
pour être rapportée à l'altitude h.
208. — Nous avons supposé dans lé calcul précédent que le point m âtué sur la verticale astronomique de M avait la même latitude apparente que ce dernier point ; cela n'a pas rigoureusement lieu à cause de la courbure de la verticale. Cette courbure provient de ce qu'à mesure qu'on s'élève au-dessus du niveau de la mer, la pesanteur diminue tandis que la force centrifuge augmente. Soit, en effet, 0 (fig. 46) le centre de la terre , OP Taxe polaire, et, pour plus de simplicité, supposons la terre sphérique et de rayon r. La pesanteur est alors dirigée suivant le rayon MO; soit g l'intensité de la pesanteur à la . ^'^' ^'
surface de la terre ; à la hauteur h au dessus du point M, c'est-à-
3n COOKDONNÊES DES ASTRES
dire en m, la pesanteur sera alors 7— ^tttî- En M au niveau de la
mer, la vitesse de rotation d'un point de la surface terrestre est égale à la vitesse t; de Téquateur multipliée par cos/; à lahau-
teur h elle est égale à v cos/ . Conséquemment, au point M
„ , , , - , .p t^'cosV v'cos*/
à la surface de la mer, la force centrifuge sera ,,,. ou 7-
' ° MK rcos/
V* cos / ^ — H-
ou enfin — cos /: à la hauteur /i elle sera — 7 — . ,x — 7— cru — cos / r ' (r + //)cos/ r
: mais — n'est autre que la force centrifuge à Téquateur, la-
quelle est ^^ de la gravité^. La force centrifuge au niveau de la mer
sera donc ^—t? cos /, et à la hauteur /i, elle sera ^^ cos /
Cela ppsé, le fil à plomb, sollicite par la gravité et la force centrifuge, se place suivant la résultante des deux forces, et sa direction prolongée marque le zénith apparent. Or la force centrifuge se décompose en deux autres forces, Tune suivant la direction de la gravité, mais de sens contraire, et l'autre perpendiculaire à cette direction. En appelant / la force centrifuge, la première compo5antc est /cos/, la seconde / sin /. Ainsi, par la force centrifuge, la gravité sera diminufe dans sa vraie direction de /cos/;
elle deviendra donc ff(l — ^rr^ cosV j au niveau de la mer; et
(/ , 775 — zéïi cosV , c est-û-dire g ( 7-, —
5^cos'/J à la hauteur h. En posant — =r m, cette dernière
expression devient y (l 4- m) Q^^^., — ^ cos'/J-
On a maintenant pour les composantes perpeudiculaires à la dircclion de la gravitent cos/ sin/ au niveau de la mer, et
fi f -4-// o
rftû cos /sin /, ou -^ (l-l-w/)cos/sin/ îi la hauteur A.
ET POSITIONS GËOGRAPHIQUEa 325
Or la tangente de la déviation de la verticale par Teffet de la force centrifuge a pour expression cette dernière composante divisée par la gravité. En appelant donc a au niveau de la mer la déviation en question , a' cette même déviation, à la hauteur A, on a
. 4 sin/cos/ sin/cos/
tang a =
28U. 1 ,# 289 — cos»/
1 cos* /
j^ r__J sin / cos / /i 1^x3 sin/cos/
^^""289 i 4 ^.y""^ ^ 289 — (4 -+-»»)' cos'/'
On peut remplacer les tangentes par les arcs, et en retranchant ensuite les deux équations membre à membre, il vient
' — ,^sin /cos/ r (i + my I 1
sin 4" L289 — (4 -+- »w/ cos' / 289 — cos vj'
L'angle a' — a donné par cette expression est Tangle que la force centrifuge détermine entre les verticales de deux points dont Tu n serait au niveau de la mer et l'autre dans le prolongement de la
verticale apparente du premier.
Si on fait /= 45" et h= 4 kilomètres, auquel cas m =^7:7:11, et
fi^74 l+m=^s^, on trouve que a'— a =0", 675 4.
On peut simplifier l'expression de a' — a, en ne gardant que les termes du premier ordre en m. A lors (4 + nif se réduit à 4 -h 3 w , et la quantité entre crochets devient
' (4+ 3 m) (289 — cos* /) — (289 — cos' / — 3 m cos' /) ;. (289 — cos'/) (289— cos' /— 3 wi cos'/) '
.o„ • /j ux 3m X 289 .
ce qu» se réduit à (289-cos'/)(289-cosy-3mcosV) ^"> '"^ ^^
gligeant encore les termes enm% à j^^ j-rr,, on a alors
, 3 sin /cos/ 289 m
■ sin 4" (289— cosV)'* Pour A=: 4000 millimètres et /=45', cette formule donne a' — a
= 0",6749, tandis que la première formule donnait 0",6751 ; la différence n'est que de deux dix-millièmes de seconde pour les plus grandes hauteurs auxquelles on observe vers la latitude pour laquelle la valeur de a' — a est maximum.
L'expression de a' — a peut encore être simpliflée, car en développant le dénominateur et en divisant le numérateur et le dénomi-
nateur par 289, et négligeant dans ce dernier ^^ cosV, qui n'introduirait que des termes du deuxième ordre à cause de la petitesse de son coefficient ^^ , il vient
f 3 sin / cos / m
* ~*~ sinl" 289— 2 cos* /•
Remarquons que c'est vers le 4S« degré que la valeur de a' — a est maximum ; cette valeur est nulle à l'équateur et au pôle ; on peut donc, sans erreur sensible, donner à cos*/ la valeur qui convient au 45* degré. Il n'en résultera aucune erreur pour le 45* degré, et pour les autres latitudes l'erreur sera excessivement petite. Or, au 45' degré cos*/=:^; donc nous pouvons sans erreur sensible admettre pour od — a l'expression
, 3 sin/ cos t m
* *~ sinl' 288 ou
' ^38in8/ m 3sin2/ i h "~ 2 sin 4" 288 2 sin 1" 288 r*
Telle est l'expression de l'augmentation de la latitude astronomique avec l'altitude, par suite de la diminution de la pesanteur et de l'accroissement de la force centrifuge avec l'élévation audessus du niveau des mers.
206. — Mais, pour l'obtention de cette formule, nous avons supposé que la gravité diminue on raison inverse du carré de la distance au centre du sphéroïde ; ceci a lieu, en effet, si on ne considère que l'attraction de la partie du sphéroïde comprise jusqu'au niveau des mers ; mais en s'élevant sur une montagne, il faut joindre à cette attraction celle des couches atmosphériques, qui, de supérieures à la station, deviennent inférieures, et de plus l'attraction de la montagne elle-même. D'après le docteur
Young, cette action diminue de 0,28 à 0,50 de sa valeur le décroissement de la pesanteur déterminé par Taugmentation de l'altitude. D'après Baily, la diminution serait du tiers. Enadmettantle facteur 0,30, valeur qui paraît convenir aux massifs montagneux , la gravité, au lieu de décroître en raison inversedu carré de la distance au centre du sphéroïde, ne décroîtrait qu'en raison inverse de cette distance.
En effet en posant toujours - = m, et en appelant g la gravité à
l'altitude A et ^ la gravité au niveau de la mer, on aurait dans
Thypothèse du carré des distances ^ = f J = ( 1 4- m ) "
ou, en négligeant les termes du second ordre en m, ^=l-4-2m:
d'où y'— y =2 m y. En diminuant de moitié la valeur de g' — y,
il vient alors y' — g =my,ou ^z=l -fm= •
En reprenant le calcul de a' — a d'après les raisonnements efTectués dans le numéro précédent et d'après l'hypothèse que la gravité diminue simplement en raison inverse de la distance au centre du sphéroïde terrestre, on trouverait
, ^ gsin/cosf 289m * *~" sinr (289 — cos* /)*
expression qui se réduirait alors, comme précédemment, à
, sin2/ m __ sin2/ 1 h
" *"* sin 1" 288 "" snTP ^ r"
Cette valeur de a' — a doit être regardée comme plus approchée encore que la première.
207. — A l'altitude A, l'angle i" entre le zénith vrai et le zénith apparent est par rapport à l'angle i qui aurait lieu au niveau de la mer diminué, comme nous l'avons vu dans le n* 204, dans le rapport de rà r+ A, et ensuite augmenté de a' — a. Nous allons voir maintenant que ces deux effets se compensent sensiblement.
PourFangle i à la surface de la mer, nous avons en effet
t»Ksin2/+iK'sin4/,
328 GOORDONNÉES DES ASTRES
expression dans laquelle K= 0370 iOuK=. en négligeant les termes du second ordre, u étant l'aplatissement.
En admettant pour u la valeur ^^ , il vient alors K = t??*
On a donc
. 1 sing/ i / 1 Ysin4/ * 304sinl" "*■ 2^3047 sin 1"
En appelant t' l'angle i réduit dans le rapport de rà r + A,ou àei h l+rrij nous avons d'ailleurs
En négligeant les termes de l'ordre tm% il vient
d'où
Vf • f •
i — t=a — a — mt.
En mettant dans le second membre pour i sa valeur précédente et en négligeant les termes en roÂr) ^j ^^ ^
3048inl"'
mettant pour a' — a sa valeur donnée dans le numéro précédent,
i" — i^m(l i \sin2/A / 16 ^8in2/
^288 304ysin i'' "" r \wM8 X304y sin !''
Pour /= 45*, cas où i' — i est maximum et pour h =4000"; on trouve alors que t" — t = 0",02, quantité tout à fait négligeable, comparativement aux anomalies locales, et dont par conséquent il est complètement inutile de tenir compte.
De là résulte ce théorème. A la surface de la terre, t angle entre le zénith vrai et le zénit\ apparent petit être regardé comme constant, quelle que soit f attitude, du moins jusqtCaux limites où peuvent être faites des observations.
Les calculs de la parallaxe ne sont donc modifiés par l'altitude
ET POSITIONS GÉOSRAPHIQDES. 329
qu'en ce que la parallaxe horizontale à faire entrer dans le calcul est augmentée dans le rapport dé . Quand la parallaxe horizontale de la lune possède sa valeur moyenne qui est de 57', son augmentation par kilomètre est donc de jj^^de S'^S ©t par conséquent de 0",54, ce qui donne 0",054 par 100".
On n'a besoin de réduire les latitudes astronomiques etgéocentriques au niveau de la mer que dans certaines opérations géodésiques. Cette réduction se fera d'après ce qui précède, en retranchant des unes et des autres la valeur de a'-*-a, c'est-à-dire le
nombre de secondes donné par l'expression tt^tî — r-rn»
'^ '^ 288rsinl
Dans le calcul de a' — a, nous avons supposé la gravité dirigée vers le centre du sphéroïde, quoiqu'elle en soit un p,eu déviée. Mais cela ne change pas la valeur de oi — a, du moins lorsqu'on la considère comme représentant l'effet de la diminution de la gravité et de l'accroissement de la force centrifuge. Il n'y aurait que la différence de la direction de la résultante des forces attractives elles-mêmes, différence entre cette direction à la surface de la mer et à l'altitude A, qui viendrait s'ajouter à la valeur de ai — a pour représenter l'effet total; mais cette différence déjà petite par rapport à a' — a qui est lui-même presque négligeable, peut être complètement négligée, vu surtout les anomalies qui l'emportent de beaucoup sur la variation régulière.
208. — Nous avons donné (n" 194) l'expression de la déviation azimutale par la parallaxe en fonction de l'azimut a par la formule
,r,\ . sin H' sin i sin a .
(G) Sm(p= : ;; ;
on peut dans cette formule éliminer l'azimut apparent a, sans introduire l'angle horaire P. En effet, dans le triangle formé par le pôle, le zénith astronomique et la position vraie de l'astre, on a, en remarquant que l'azimut vrai égale a — <p,
sinD = sin / cos z" 4- cos / sin z" cos ( 180® — (a — sp) j,
car (6g. 43, page 307) cos PE=sinD, PZ=90*— /etZE = 5V ou la distance zénithale vraie.
Nous avons appelé a l'azimut apparent E'ZZ', et ç est l'angle E'ZE de sorte que EZZ'=a— 9 et PZE=180*— fa— <p). La formule précédente se transforme en les deux suivantes
sin D = sin (/ + a") — 4 cos / sin s" ces" (^^^^)
d'où
sinD=8in{/— s")+îcos/sinx"sin* (^^^)
2 cos* C^=^\ = 2""n^+g"-D)c<»i(^ + «"-»-D) V, 2 / cosisinz"
. ■ 2sin i (D—(l—zr)) coi^fo-^-a—z"))
in- ^=1) = ^^ i^i 1
\ 2 J cos/smz''
2 sin
ou en posant pour abréger l + zf'=s et / — z"z=sfj multipliant les deux équations membre à membre et prenant la racine carrée, il vient
^l^f^ X 2l^sini(5-D)co8H^H-D)sin^(D-Ocosi(D 4-0 ^ ^' cos / sin z"
Remarquant que dans la formule (G) on peut, sans erreur sensible, sauf dans le voisinage immédiat du zénith, remplacer a par {a — 9) et J5" par z, on a
gjj^ 2 sinff sin 1 j/^sin j (5— D)cos ^ (5+D) sin ^ (D s') cos { (U4- Q ^ cos / sin* z
Cette expression, dans laqueUe alors s=^l+z eis'=:zl — ;:, donne f en fonction de la distance zénithale apparente z.
209. — Par Teffet de h parallaxe, le soleil, la lune, les planètes et les comètes sont vus , comme nous l'avons déjà dit dans le n^ 191 , avec une ascension droite et une déclinaison différentes de leur ascension droite et de leur déclinaison vraie, c'est-à-dire avec une. position différente de celle que ces astres occuperaient s'ils étaient vus du centre de la terre. Or c'est cette dernière position qu'on inscrit dans les éphémérides. Dans un assez grand nombre de problèmes, on a besoin de connaître les différences en ascension droite et en déclinaison, qui existent entre les positions apparentes et les positions vraies. Ces différences sont appdées parallaxes d'ascension droite et de déclinaison.
ET POSITIONS GÉOGRAPHIQUES. 33i
Nous oommeacerons par calculer la parallaxe d'ascension droite, qui Q*est autre que l'augmentation de l'angle horaire due à l'effet de la parallaxe.
Soient P (fig. 47) le pôle, N le zénith vrai et A la position vraie d'un astre. Par l'effet de la parallaxe, cet astre est transporté de A en B sur le prolongement de l'arc de grand cercle NA, de
telle sorte que AB est la parallaxe de hauteur;)' donnée par l'équation
sin/>' = sinH'sin«',
dans laquelle z' est la distance apparente NB au zénith vrai N.
Le triangle PAB, dans lequel le côtéPA=90*— D, D étant la déclinaison vraie de l'astre, et Tangle APB égale la parallaxe xi d'ascension droite, donne l'é'quation
sinB sinAPB
sin P A sinAB '
sinB sintrf
cosD sinp'*
ou encore, en remplaçant sin p' par sa valeur
Fig. 47.
sinB sin zi
cos D sin H' sin z'
Le triangle PNB, dans lequel le côté PN=90 — /, / étant la latitude géodésique de la station, et l'angle NPB égale l'angle horaire P plus la parallaxe ti d'ascension droite, donne à son tour l'équation
sin NPB sinB
sinNB sinPN' ou
(h) sin (P 4- tjj) sin B
sin z' cos /'
Multipliant membre à membre les équations (a) et (*), sin B et sin 2f disparaissent, et il vient l'équation
(f \ sin (P + vS) ^ sint;^
cos D sin H' cos/*
En développant sin (P + xn^), divisant par ces ni les deux membres et résolvant par rapport à tang xiy cette équation devient
,.. , , sin H' CCS /sin P
0) ^»"g ^ = — n ^TT ; c»
cosD — sinUcos/cosF
équation qui donne Taccroissement xj de l'angle horaire par la parallaxe, c'est-à-dire la parallaxe d'ascension droite.
On rend facilement l'équation (1) propre au calcul logarithmique en posant
. ^ sin H' cos I sin P tang « = — j—
^ cos D
il vient alors
. . 1 sin P sin «
tangtrf=
cot « — cot P sin P cos a — sin « cos P
ou enfin
/a\ I . sin P sin a (J) tang xi = -T-7B r-
A moins qu'on n'exige une extrême précision , on simplifie le
,,,,,, , H' cos /sin F
calcul de langle a en posant «= rr — •
° *^ cos D
Je préfère la formule (2) qui est trèssimple, au développement
en série de la formule (1), développement qu'on obtient en posant
pour abréger p=: rr — , puis en développant la puissance — !
du dénominateur et en remplaçant tang xi par xi sin i". H vient alors
psiaP . P'sinîP ^""STF^âsinr ^
Comme ^ est très-petit, on a rarement besoin de pousser la série jusqu'au troisième terme. Toutefois le calcul de la série est plus long que celui de l'équation (2), et il est moins exact pour la parallaxe lunaire, à cause du remplacement de tang tj par t$ sin 1". Le calcul d'un grand nombre de termes de la série pourrait aus!^i devenir nécessaire pour une comète très-rapprochée de la terre et située dans une direction voisine de celle du pôle.
Mais quand la parallaxe est tr^*petite, ce qui est le cas pour le soleil, les planètes et la majorité des comètes, on peut employer
ET POSITIONS GÈOGliAPHIQUES. 333
la série réduite au premier terme. Dans ce cas, la formule de la parallaxe devient en remplaçant sin H' par H' sin 1" dans la valeur de ^
,, cos/sinP
xi = W
cosD
Sauf le cas dont nous venons de parler, il vaut mieux pour le calcul de vi employer la formule (2) que la série.
L*angle xi est l'accroissement de l'angle horaire dû à la parallaxe. Or Fangle horaire exprimé en temps égale Theure sidérale moins l'ascension droite. (Jn accroissement de l'angle horaire répond donc à une diminution de l'ascension droite. En appelant ÂR' l'ascension droite apparente affectée de parallaxe, AR l'ascension droite vraie» et enfin xi^ l'angle xi réduit en temps, on a par conséquent
AR' = AR — trf.
et dans le calcul de l'angle t^, il faut avoir soin de donner à l'angle horaire P son signe, qui est positif à l'ouest du méridien, négatif à Test, afin d'avoir le signe de xi et par conséquent de tii. trf, devenant négatif à l'est du méridien, la formule montre que de ce côté du ciel l'ascension droite apparente est plus grande que l'ascension droite vraie, comme d'ailleurs on reconnaît à première vue que cela doit avoir lieu.
210. — Nous allons maintenant passer au calcul de la parallaxe de déclinaison. En appelant D' la déclinaison apparente, c'est-àdire la déclinaison affectée de la parallaxe, on a dans le triangle PNB(fig. 47), PB = 90»— D'; on a d'ailleurs PN = 90— /, et en appelant z la distance apparente au zénith vrai N, on a dans le triangle PNB, par l'équation fondamentale de la trigonométrie sphérique,
sin D' = sin l cos s' 4-cos / sin z' cos PNB.
On a de même dans le triangle PNA, oîi on fait la distance zénithale vraie NA = s et où PA = 90 — D,
sin D = sin / cos s + cos / sin 5 cos P N B .
Egalant les valeurs de cos PNB cos/ données par ces deux équa- ^ons, il vient, en chassant les dénominateurs,
sin z (sin D' — sia / cos z') = sia z' (sin D — sin / 006 z), ou
sin z smU = sin z' sin D — sin f (sin z' cosz-^siaxcosz^.
Mais sins^ cosz — sin zcos;s=sin {i^ — z)=: sinp'j et nous avons vu dans le u'' 193 que sin/?'=sin H' sin 2'. L'équation précédente devient donc
(d) sin z sin D '= sin x' (sin D — sin H' sin /)•
D'un autre côté, la règle des sinus appliquée successivement aux triangles PNÂ et PNB donne en remarquant que NPA est l'angle horaire P, et que NPB = P+t!{, xi étant la parallaxe d'ascension droite,
rinPNB = *^""°P et sin PNB = £2i£4!L<DZ^
Sin z sin z
Égalant ces deux valeurs de sin PNB , il vient
sin 2' cos D sin F
(e) 8injs(cosD' =
sin(P + x*) '
Divisant membre à membre l'équation {d) par l'équation (e), on obtient
(3) tangD' = ^'°P-^'°»p"»^ia(P-i.^, ^ cos D Sin P '
formule qui donne la déclinaison apparente D' quand la parallaxe d'ascension droite xi est déterminée.
On rend l'équation (3) propre au calcul logarithmique en posant,
sin H' sin /
tang Y = -— ,
cosD
et il vient
tangD'= (tangD-tang y) îîï^ff^^, ou
(4) tangD'=5i£<2zjT^«îL(P+^.
' ^ cesDcosysinP
Quand H' est très-petit, on peut faire y = H' — pt et on fcit
alors cosysi dans la formule (4), qui devient ainsi
ET l>OSmQNS GËOGRAPUIQUES. 335
tang D' = sin(D-T)sin(P + trf),
cos D siu P
Cette simplification peut môme être employée pour la parallaxe lunaire, à moins qu'on n'exige une extrême précision.
ïï étant obtenu par l'équation précédente, D'— D est alors connu, et c'est la parallaxe de déclinaison.
Quand P est très-petit, le rapport — ^^t— ^ — - devient celui de
deux très-petits arcs, et, dans le calcul, cette circonstance fait perdre à la formule (4) un peu de sa précision. Pour éviter cet incon- >énient, remarquons qu'on a, en développant sin(P + t:(),
sm(P-i-trf) ^costrf(i+tangtrfcotP).
sm P \ o /
En remplaçant tang xi par sa valeur donnée par l'équation (1) (n* 209), a vient
sm P cos D — smH' cos /cos P
Q. ^ 1 * sinH'cos/cosP ., . ^
bi on pose alors tang x= =r , il vient
'^ ° cosD '
^i" (P + vi) cosxj cosxj cosirfcosxcos45^
sin P "" i — tang x "~ tang 45* — tang x "" sin (45* — x)
Cette formule servira à obtenir le rapport ^^^. p quand P est très-petit.
On peut encore rendre logarithmique la valeur de ^^"\ JT^
sinP
donnée par l'équation (/*) en posant
il vient alors
«;.. a ,. — ^'" H' cos / cos P .
SlU Z " ^— ■ ^ «
cosD
sin (P -f- xj) ^ costrf cos Vf sin P i — sin 2 v ■" 2 sin* (45«— u)*
336 COORDONNEES DES ASTRES
On peut facilement de l'équation (3) déduire le développement de la parallaxe de déclinaison D' — D en série, mais le calcul par la série ne me paraît offrir aucun avantage ni au point de vue du temps, ni à celui de l'exactitude, et il présente l'inconvénient que des erreurs de signe sont alors plus faciles à commettre qu'avec la formule primitive elle-même.
211. — Le demi-diamètre delà lune varie avec la distance au zénith, et nous avons vu (n® 202) qu'en appelant 8 sa valeur à l'horizon et H' sa valeur à la distance zénithale apparente z',oi\ a, en appelant :; la distance zénithale vraie,
sin t' sin z'
sin B sin z*
Remplaçant -, — par sa valeur déduite de l'équation (e), il vient, en remplaçant les sinus de i' et de 8 par leurs arcs,
cos D sm F
Quand les parallaxes d'ascension droite et de déclinaison sont connues, cette équation fait connaître le demi-diamètre apparent de la lune, sans qu'il soit nécessaire de calculer la distance zénithale. On a soin, si P est petit, de calculer — -. — =? — - à l'aide
' ^ smP
d'une des deux transformations que nous avons indiquées (n*2i0).
212. — Passons maintenant au calcul des parallaxes de longitude et de latitude.
Si, à l'instant où nous voulons ces parallaxes, nous déterminons la distance X du zénith vrai à l'écliptique, et par conséquent la distance 90® — X de ce zénith au pôle de l'écliptique, et si nous déterminons en outre l'angle compris à ce pôle entre le zénith vrai et l'astre dont on veut la parallaxe, angle que nous appellerons n, il est évident que les parallaxes de longitude et de latitude seront données par les mêmes formules que les parallaxes d'ascension droite et de déclinaison, en remplaçant par n l'angle horaire P et par X la latitude /du zénith vrai, et en substituant aux déclinaisons vraies et apparentes les latitudes vraies et apparentes de Tastre, car on construirait alors par rapport au pôle de l'écliptique la figure 47 que U'ius avons construite par rapport au pôle de l'équateur, en
considérant toujours N comme le zénith vrai; seulement P devient alors le pôle de Fécliptique, PN = 90*— X au lieu de 90*— /, NPA = n au lieu de P, PA est égal à W — L, L étant la latitude vraie de Tastre, et PB à 90**— L', L' étant la latitude apparente ; enfin l'angle APB égale la parallaxe xi' de longitude. On aura donc, comme précédemment, en posant
. ; sinH'oosXsinn
tang a' = = ,
^ cos L
ia\ A .f sinllsina'
formule qui donnera la parallaxe ri de longitude et se réduira à tf =H' = — pour le soleil et les planètes.
La latitude apparente L' sera donnée en posant tang y =
sinH'sinX ,,.
""cosL ^ P^r 1 équation
(7) tangU = ^'"^'--;^^)^^"/°-!;^^) ;
' ° cos L cos y' sm II
enfin le demi-diamè^ je de la lune sera fourni par l'équation
(8^ a' = 5 CQS U sin (Il 4- Tii')
cos L sin Q '
n ne nous reste donc plus qu'à indiquer le moyen de calculer \ etn.
213. — Pour calculer X, remarquons que l'ascension droite du pôle nord de l'écliptique est de 270® ou 18''. En appelant donc S ITieure sidérale de l'instant pour lequel on veut effectuer le calcul des parallaxes, S — IS** est en temps l'angle horaire du pôle de l'éclipiique. Nommons s l'heure sidérale réduite en arc, on a : angle horaire = 5 — 270* = 360® -h s — 270® == 90" + s. Maintenant, dans le triangle formé par le pôle de l'équateur, le pôle de l'écliptique et le zénith vrai, nous connaissons l'angle 90* H- $ au pôle de l'équateur; nous connaissons de plus la distance du zénith à ce dernier pôle, distance qui est le complément de la latitude géodésique / de la station, et enfin nous trouvons dans les éphémérides la distance du pôle de l'équateur au pôle de l'écliptique, laquelle n'est autre que l'obliquité co de l'écliptique
pour rinstant cherché. Nous connaissons donc deux cAtés et Tangle compris, et il est facile de trouver le troisième côté, qui est la distance 90 — X du zénith au pôle de Técliptique. La formule générale de la trigonométrie sphérique nous donnera alors pour déterminer X
(a') sin X = sin / cos &> — cos / sin «d sin s.
Maintenant remarquons que la longitude du pôle nord de Téquateur est de 90**; si donc nous appelons N la longitude du zénith, Tangle au pôle de Técliptique entre le pôle de Téquateur et le zénith sera 90" — N. La règle des sinus appliquée au triangle zénith, pôle de Técliptique et pôle de Téquateur, nous donnera donc réquation
,,^ cos X cos /
^ ' cos s cosN
En outre, la formule générale de la trigonométrie sphérique appliquée au côté représentant la distance du pôle de l'équateur au zénith donne Téquation
(c') sin / = sin X cos 01 H- cos X sin ai sin N.
Si dans Téquation {c') nous mettons pour sin X et cos X leurs valeurs déduites des équations (a) et (6'), et si nous remplaçons sin / — sin / cos' (o par sin / sin ^ co, il vient après division de réquation par sin o) cos /
tang / sin 0» = — cos co sin 1 4- cos s tang N, d'où
{d') tang N = cos co tang s + ^^"g ^ ^in co
" jCOSJ
ou
tang N =tang s f cos« 4- ^"^ sin w j.
tanfir / Si nous posons -r-^— = cot ?, d'oîi tang f = cot / sin 5, il
vient alors
tang N = ■ . ^ (cos w sin 9+ sin « cos •), sinf ^ ^"
(e-) tangN = i22££i|£i:i±j}.
sm «p
En posant également, dans Téquation (a')y tang ^ =cot / sin 5, après y avoir mis sin / sin m en facteur commun, on a
{I) sin X = sin / sin ai (cot co •-- tang cp) = sin / iîilîlli.
Quoique cette dernière équation soit logarithmique, elle a le défaut de donner Tare par un sinus, mais on peut l'avoir par la tangente, en divisant cette équation membre à membre par Té-
cos / cos s
quatîon Œ) mise sous la forme cos X = r? — : il vient alors
^ ^ cos N '
tang X = ^"g^CQsNcos(o>4-?)
coscpcoss
équation qu'on peut simplifier en mettant pour cos N sa
?aleur déduite de l'équation {e') dans laquelle on remplace
, ,, sin N . , .,
tang N par — =j; ce qui donne pour cos N
çqgM- sincpsinN , tang5 sin(ci)4-(py
il vient alors
tang X = — 5S- tang 9 sin N cot (w + 9). ^ sins ^ ^ T/
sin s Mais tang ç = cot / sin s = j : donc
tang X = sin N cot (cii+ «p)-
Ainsi donc au système des deux équations (a!) et (d) qui don* nent X et N, on peut substituer pour avoir les mêmes arcs le système des trois équations suivantes :
tang (p = cot / sin 5
(A) ! tangN = Î2H££SΣ(ïL±î2 ^ ° sinç
tang X s= sin N cot (a> + cp).
Dans les équations (A), les arcs étant donnés par des tangentes, leurs valeurs peuvent être très-exactement obtenues, mais à une
3/iO COORDONNÉES DES ASTRES
même tangente répondent deux arcs qui diffèrent de 180*. Nous avons donc à examiner quel est celui de ces arcs qui devra être choisi suivant les cas.
Pour l'arc 9, il n'y a pas de difficulté, c'est un arc auxiliaire qui doit être pris entre 0 et 90"* avec le signe 4- ou le signe —, suivant celui de sa tangente. (On voit au reste immédiatement qu'en augmentant l'arc f de 180®, les valeurs de tang N et de tang X ne changent pas.)
Mais pour l'arc N qui représente la longitude du zénith, comme cet arc peut varier de 0 à 360®, il importe d'examiner quel est celui qui doit être choisi parmi les deux arcs différant de ISC" et répondant à la valeur obtenue pour la tangente.
Pour cela remarquons que le point de l'écliptique dont la longitude est N est celui sur lequel tombe le pied de l'arc abaissé du zénith perpendiculairement surl'écliptique, arc qui, prolongé, passe par le pôle de l'écliptique. Ce point de l'écliptique qui varie d'un instant à l'autre, porte le nom de nonagésime^ et l'arc N s'appelle alors la longitude du nonagésime. Ce nom de nonagésime vient de ce qu'en un instant donné, le point de l'écliptique en question est le point de ce cercle qui est le plus rapproché du zénith ; il se trouve par conséquent à 90® des deux points du même cercle situés dans l'horizon. Le nonagésime étant à la distance X du zénith, on voit donc que ce point est à la hauteur 90® — X au-dessus de l'horizon.
Gela posé, en rappelant que l'heure sidérale est l'ascension droite du point de l'équateur qui est au méridien, nous remarquerons que la longitude du point de l'écliptique au méridien diffère peu de l'heure sidérale réduite en arc, avec laquelle cette longitude va en croissant, et, d'un autre côté, la longitude du nonagésime ne diffère jamais beaucoup de celle du point de l'écliptique au méridien. Si donc nous notons que l'arc s et la longitude du nonagésime passent précisément ensemble par 90® et 270®, car quand l'heure sidérale est de 6**, auquel cas 5=90®, le pôle de l'écliptique qui a 18* d'ascension droite est au méridien, de sorte que le nonagésime qui se trouve par conséquent au méridien possède 90® pour longitude. Après cet instant, la longitude du nonagésime continue de crottiv en même temps que l'heure sidérale, et quand cette dernière est de 18**, c'est-à-dire quand 5 =270®, le pôle de l'écliptique se trouvée son passage supérieur au méridien, et la longitude du nonagésime
est de 270" comme l'angle 5, c'est-à-dire comme l'heure sidérale transformée en arc. On voit donc ^u'on a, pour reconnaître lequel des deux arcs différant de 180'' et répondant à tang N doit être choisi, la règle suivante qui est très simple. Tant que s est com^ pris entre 90** et 270*, on doit prendre pour N tare compris entre 90* et 270° qui répond à la valeur trouvée pour la tangente. Quand s est compris dans P autre moitié de la circonférence entre 0 et 90* ou entre 270° et 360°, on doit également prendre pour N les arcs compris dans cette dernière moitié de la circonférence.
Quand s égale 0 ou 180% on a 9=0 ; par conséquent on a à la fois tang 5=0 et sin ©1=0, la seconde des équations (A) donne
alors tang N =3 ^; mais si on remonte à Véquation (cP) d'où elle
est tirée, on voit qu'alors tang N=tang / sin co pour 5= 0 et tang N = — tang / sin wpour 5 = 180°. Or quand sin s est trèsvoisin de zéro, la seconde des équations (A) ne donne plus N avec une exactitude suffisante. Dans ce cas, il faut recourir à l'équation [d) qu'on peut rendre logarithmique sous une autre forme
en mettant en facteur commun ; il vient alors
cos s
tang N = — ^ ( cot w sin 5 4- tang /). cos s ^ '
Si ensuite on pose
{3') tang «= cot 0) sin 5,
on a
cos 5 cos / cos a
équation qui donne N également par la tangente et qiii détermine cette tangente avec exactitude, puisque le second membre ne peut
jamais se réduire à -, à moins que si s étant égal à 90^ ou à
270% a devenait égal et de signe contraire à la latitude /, ce qui n'est possible que quand / = ± (90 — co), c'est-à-dire aux cercles polaires. Mais, quand ^ a la valeur dont nous venons de parler, la seconde des équations (A) donne N avec exactitude.
Ainsi donc, en général, il y aura avantage à substituer à la seconde des équations (A) les équations (A') et [g').
3/i2 COORDONNÉES DES ASTRES
N étant connu, la troisième des équations (A) fait toujours connaître X avec exactitude et sans ambiguïté, car on doit toujours prendre pourX Tare inférieur à 90** et positif ou négatif suivant le signe de la tangente. Cela résulte de la manière même dont X a été introduit dans les formules où il a été supposé inférieur à 90*.
Si maintenant on appelle M la longitude de Tastre dont on veut les parallaxes de longitude et de latitude, on a
n et X étant ainsi connus, on peut calculer les parallaxes de longitude et de latitude ; les équations (6), (7) et (8) (n"" 212)don<nent ces parallaxes et.le demindiamètre de la lune.
DÉTERMINATION DE l'aNGLE HORAIRE d'uN ASTRE AU MOYEN d'OB-
