SERV AXIONS DE HAUTEUR

214. — Dans ce problème, il y a trois cas à considérer : r celui où la hauteur simple d'un astre a été observée à un instant connu ; 2** celui où l'observation se compose de la somme de deux distances au zénih obtenues à deux instants connus ; ^"^ celui où l'observation est faite avec le théodolite répétiteur, et se compose d'une somme de plusieurs distances zénithales prises à des instants connus.

l'' Cas des distances zénithales simples.

21S. — Le premier cas a lieu particulièrement dans les observations au sextant, soit qu'on ait pris l'horizon de la mer pour point de départ, comme on le fait sur l'Océan, soit qu'on ait employé un horizon artificiel à glace ou au bain de mercure, auquel cas la hauleur obtenue est doublée, mais répond cependant à un seul instant d'observation, de sorte que la moitié de l'angle trouvé est la hauteur de l'astre à l'instant cherché. Si l'observation a été rapportée à l'horizon de la mer, il faut diminuer l'angle mesuré de la quantité représentée par la dépression de cet horizon. Si, au contraire, il a été employé un horizon artificiel , le demi-angle lu sur l'instrument est directement la demi-hauteur apparente observée.

Avec le théodolite, on peut obtenir également des observations de

hauteur simple répondant à un instant donné. Pour cela, il suffit, à Taide de deux pointés sur un point terrestre et éloigné, faits l'un dans la position directe et l'autre dans la position inverse de Tinstrument, de déterminer la double distance au zénith de ce point fixe. On pointe ensuite sur ce dernier, puis sur Tastre, dont, on veut la hauteur; la différence des lectures répondant à ces deux pointés fait connaître la différence des distances zénithales du point fixe considéré et de l'astre observé à l'instant donné. Retranchant cette différence de la distance zénithale du point fixe, on a la distance zénithale de l'astre observé. J'ai vu quelquefois employer cette méthode, qui cependant doit être condamnée comme multipliant les chances d'erreur. En effet, d'une part la distance zénithale des objets terrestres varie parfois rapidement à cause de changements rapides dans la valeur de la réfraction terrestre ; d'autre part, les erreurs provenant, soit des pointés, soit de l'instrument, sont, pour la distance zénithale du point fixe, égales à celles d'une distance zénithale de l'astre lui-même observé à deux instants, et à ces erreurs se joignent celles qui sont commises dans la mesure de la différence de hauteur de l'astre et du point fixe considéré. Or ces dernières erreurs, qui se rapportent à un arc simple, ont à elles seules autant d'importance, quant aux pointés, à la graduation et au nivellement, que les erreurs qu'on aurait commises sur l'arc double fourni par les observations d'une même étoile à deux instants rapprochés. Donc, avec le théodolite, la mesure des distances zénithales simples d'un astre à un seul instant doit être toujours abandonnée. Les observations bien faites avec cet instrument rentrent donc dans le second cas.

II y aurait toutefois un moyen d'obtenir avec les théodolites les arcs simples sans avoir à déterminer la distance zénithale d'un objet éloigné, mais il faudrait pour cela que le théodolite employé fûtmuni d*un oculaire portantle système d'éclairage nécessaire pour la réflexion des fils du réticule sur un bain de mercure. En général, les théodolites ne sont pas munis de cet appareil, mais on pourrait appliquer cette disposition à ceux dont la construction permet le pointé de la lunette au nadir. Avec un tel appareil, il serait possible de pointer successivement à l'astre et au nadir, et le supplément de Tangle ainsi obtenu serait la distance zénithale de l'astre. Ce procédé, qui, au premier abord, parait avoir l'avantage de supprimer le niveau, laisse toutefois porter sur un arc simple l'erreur de deux

SUh COORDONNÉES DES ASTRES

pointés et celle de la graduation. Sous ce rapport, il est inférieur à la méthode des doubles distances zénithales, et cela, d*autant plus, que le pointé nadiral des fils sur leur image réfléchie est loin d'avoir la précision qu'on est tenté de lui attribuer, car il est trèsdifficile de reconnaître avec certitude si Timage directe et intense des fils recouvre exactement la totalité de la. largeur de l'image réfléchie qui est très-afTaiblie, de sorte qu'une très-petite déviation latérale de cette dernière n'est guère perceptible. D'un autre cdté, l'avantage du pointé nadiral, qui permet de supprimer le niveau, est de fait illusoire dans le cas présent, car on a besoin du niveau pour s'assurer si l'instrument n'a pas varié dans son nivellement en passant du pointé de l'astre au pointé nadiral, surtout dans le cas où le théodolite est placé sur son pied en bois ordinaire, comme il arrive nécessairement en voyage. Ces pieds en bois n'offrent pas en efTei une grande stabilité, de sorte que les corrections résultant des variations du niveau sont aussi nécessaires que dans le ca> des doubles distances au zénith.

Il résulte de ce qui précède qu'avec les théodolites , la méthode des doubles distances zénithales doit toujours être préférée : ce n'est donc qu'avec les instruments de réflexion (sextant et cercle de réflexion, à la condition pour ce dernier de lire l'angle chaque fois) qu'on a à calculer des arcs simples.

216. — Dans le cas d'une distance zénithale simple, le calcul de l'angle horaire se fait avec la plus grande facilité.

En effet, si nous appelons z la distance zénithale vraie que l'on déduit de la distance zénithale apparente donnée par l'instrument en y ajoutant la correction de réfraction, et en en retranchant la parallaxe s'il s'agit d'un astre à parallaxe sensible, et enfin en tenant compte de l'aberration diurne si on veut une grande précision (1 ), et si nous nommons de plus / la latitude du lieu d'observation, D la déclinaison de l'astre, et P l'angle horaire cherché, on a, en posant / — D=flet/-hD = é,

8in4P=5lîLMi±4iîfLi

cos/cosD

(i) Cette dernière correction indiquée dans le n*88 est si petite par rap* port aux erreurs d observation commises avec les instruments de réflexioD* qu'il n'y a pas lieu en général d*y avoir égard.

^o^.ip cosè(^4-g)cosi(6— g)

cos / cos D

d'où en divisant ces deux équations Tune par l'autre (1)

L'une quelconque des trois formules précédentes peut servir pour le calcul de l'angle horaire, avec la réserve toutefois de ne pas employer la première pour les grands angles horaires, ni la seconde pour les petits. La troisième formule, celle de la tangente, peut être utilisée dans tous les cas.

Les latitudes et les déclinaisons seront regardées comme positives dans un des hémisphères (l'hémisphère boréal, par exemple), elles seront regardées comme négatives dans l'autre hémisphère.

II est, au reste, facile de voir d'après la forme des formules précédentes qu'on peut à volonté regarder toujours la latitude comme positive \ mais alors la déclinaison sera regardée comme positive, si elle est du même hémisphère que la latitude^ et négative si elle est de l'hémisphère opposé.

Quant au signe de l'angle horaire , on le fait positif si l'astre est à l'ouest du méridien, et négatif dans le cas contraire.

(i) Ces formules dérivent immédiatement de la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique. En effets daus le triangle pôle^ zénith, astre^

on a

oos s = sin / Bin D + cos / cos D C08 P,

d'où

n cos 2 — sin ( sin D

COSP = ;