COS / COS U

de la on tire

l-cosP = ^5llt=D^:;cosj cos / COS D

cosicos D

Remarquant que 1 — cos P = 2 sin* - P, et 1 + cos P = 2 cos* ^ P, et que cos(i-. D) -cos z = 2 sin ^^^[^"^^ gin iH^TlHl, et que cos (/+D)

+ cos z= 2 cos ^ '^"o cos (ilL^Lzif et substituant ces valeurs, on

retombe sur les deux équations ci-dessus.

2"" Cas des distances zénithales doubles.

217 . — Les formules que nous venons de donner pour le calcul de l'angle horaire ne sont autres que celles qui sont généralement usitées. Elles ne conviennent qu'au cas des distanceszénithalessimples. Cependant ce sont elles qu'on a employées jusqu'ici le plus souvent pour le cas des distances zénithales doubles, c'est-à-dire de la somme de deux distances zénithales prises à deux instants séparés, telle que la donne le théodolite. Pour faire dans ce dernier cas usage des formules précédentes , on prend la moitié de la distance zénithale double obtenue, et on suppose qu'elle s'applique àTinstant moyen des deux observations consécutives. Mais cette supposition n'est pas exacte. L'erreur commise, il est vrai, peut être regardée comme nulle si les deux observations ne sont séparées que d'une minute à une minute et demie de temps ; mais cette erreur cesse d'être négligeable, lorsque l'intervalle est plus grand. Or, dans la pratique, les intervalles dépassent souvent cette limite, surtout quand le temps est peu favorable et quand les nuages sont abon* dants. La formule que nous allons donner a l'avantage de s'appliquer à un intervalle quelconque sans introduire aucune erreur.

Appelons z' la distance zénithale de la première observation et p' l'angle horaire correspondant. Appelons de même z" la distance zénithale de la seconde observation et p" l'angle horaire qui lui répond ; soient toujours d'ailleurs / la latitude de la station et D la déclinaison de l'étoile observée, z' et z" sont inconnus séparément; mais z' + z" est connu : c'est l'arc double 2 :; mesuré par l'instrument et corrigé de la réfraction répondant à la distance zénithale z, ainsi que de la variation du niveau entre les deui points (n* 13), p' eip" sont également inconnus, mais />' — /'est connu : c'est l'intervalle des deux pointés mesuré par l'horloge ou par le chronomètre et réduit en arc après transformation en temps sidéral.

Gela posé^ la première observation donne l'équation

(4) cos «' = sin /sin D + cos / cas Dcosp'.

La seconde observation donne (2) cos 2" = sin /sin D + ces/ cos D cosp\

Ajoutons ces deux équations membre à membre, il vient cos «' +COS a"= 2 sin / sin D -h ces /ces D (cosp' 4- cosp").

ou

ces

+ cos/cosDcos (E-—E^] cosf^ ~^ y

ou encore en faisant z' + z" =z2z^p' +p" =2 p

(3) cos^cos(î-I^-î- j = sinZsinD+ cos/cosDcospcos/^-^^^^j-

Dans cette équation, tout est connu, sauf z' — z" et l'angle/?, qui est la quantité à déterminer ou l'angle horaire moyen des deux observations. Il nous faut donc déterminer z' — z'\ et alors l'équation (3) servira à déterminer Tangle horaire moyen cherché.

218. — Pour déterminer l'angle z' — z", retranchons Tune de Tautre les équations (1) et (2), il vient

cos z" — cos s' = cos / cos D (cos p" — cosp'), ou

inffl^j sin (^ = cos/ cosD sin (S:±£yir.(S:^)

sm

ou encore

(.) ,„(£^j=. 00., COSD »£«.(£=£:).

L'angle horaire p n'est pas exactement l'angle horaire P, qui répond à la distance zénithale z^ mais il en diffère extrêmement peu, et seulement de la quantité qui était négligée dans l'ancienne

méthode. Or l'angle — ^ — ^^t toujours très-petit et n'entre dans

l'équation (3) que par son cosinus. Comme une très-forte erreur sur l'arc n'en fait qu'une très-petite sur le cosinus, il en résulte

que, dans le cas considéré, on peut calculer — ^-^ par l'équa-

tioQ (4), en substituant dans cette équation au rapport 4^ le

sin P rapport -: — ; l'erreur qui en résultera sur la valeur de p désin z ' ^ '^

duîte de l'équation (3) , sera du second ordre, par rapport à celle que Ton commet avec la méthode des distances simples. Ainsi

nous calculerons "—^ — par la formule

(5) sin

in f£llf:) = cos / cosD !!^ sin (tlztX V 2 y sin« \^ 2 y

Or P est lié à z par l'équation

cos s = sin/ sin D + cos /cosD cos P,

équation d'oîi résultent, comme nous l'avons vu précédemment (note du n" 215), les deux salivantes :

^ cos / cos D

cos» i p-^cQs|(^-l-D + g)cosè(/4-D — a).

cos/ cos D *

multipliant membre à membre ces deux équations, puis multipliant chaque membre par 4 et remarquant que 4 sin' | P cos' ^ P = sin' P, on a, en prenant la racine carrée des deux mem bre

sinP = 2l^sini[g+(/— D)]sin^[z^(/— D)]cos|(/H-D4-g)cos|(/+P-g)

cos/ cos D Substituant cette valeur de sin P dans l'équation (5), il vient

l^sin ^[g+(/— D)]8iné[g— (/— D)] cos^(/4-IM-g)cos^(/-t-D-g)

sm s

équation calculable par logarithmes, et qui détermine — 5 — >

de sorte qu'on peut procéder au calcul de p par l'équation (3).

219. — Mais, avant d'examiner conunent doit se faire ce calcul^ je ferai remarquer qu'en général il existe dans la pratique

des moyens plus simples d'obtenir ^ J" avec une approximation

suffisante, sans recourir à la formule (6). En effet, on ne fidt pas ordinairement une seule^observation de distance zénithale double,

ET POSITIONS GÉOGRAPHIQUES. 3/i9

mais on fait une série d'observations. Cela a surtout lieu quand on emploie le théodolite répétiteur et quand on lit chaque fois Tare double, ce qui est le meilleur moyen de vérifier le comptage du nombre des observations.

Or, quand on a ainsi une série d'observations doubles, si on appelle /. Tinstant moyen des deux pointés de la première observation double^ et (^ celui de la dernière, ^i -^ ^a représente en temps la variation d'angle horaire entre ces deux instants , variation qu'on transforme en arc. Nommons g l'arc obtenu par cette transformation, si de plus on appelle Zi la demi-distance zénithale répondant à la première des observations doubles, et ^2 celle qui répond à la dernière, on pourra, sans erreur bien sensible sur les arcs

-—^— répondant aux observations doubles, obtenir leur valeur

par la proportion d'où

Le rapport -î * étant le même pour toutes les observations

doubles de la série, on le calcule une fois pour toutes et on a alors rapidement les valeurs approchées de — 5 — pour toutes ces observations doubles, lesquelles valeurs approchées sont suffisantes^ puisque l'arc — 5 — n'entre dans l'équation (3) que par son cosinus.

Ainsi, on voit qu'en général, dans la pratique, on n'a pas besoin de l'équation (6), sauf dans le cas oh on n'a qu'une seule observation double.

220. — Passons maintenant au calcul de l'équation (3). Cette équation peut se mettre sous la forme

fz' — z"\ . , . r.

cosscosl — -T — — sm/smD fp'^p"\ V 2 y

cosp cos ( ^ ^ ^ 1 = . ^ » ^

^ \ ^ ) cos /cos D

On rend cette équation logarithmique en posant

850 COORDONNÉES DES ASTRfcS

cos z cos I ^!^— - — ) = cos Z,

cospcos (i— --£-) = cosA,

ce qui est toujours possible, puisque le produit de deux cosinus est plus petit que l'unité.

La formule devient alors

.- ^^^4 cos Z — sin / sin D

(7 cos A = ; =r j

cos/ cos D ou en retranchant chaque membre de l'unité

cos / cos D

. .. , sin4[Z + (/--D)]sin|[Z-(/^D)]

sm* i A = ^ r 57= ^1

^ cos / cos D

formule logarithmique qui donnera l'angle auxiliaire A. Cet angle pourrait encore s'obtenir par la formule

* cos / cos D '

qui résulterait de l'équation (7) en ajoutant l'unité à chaque membre, ou encore par Téquation

^ , ^ sîn^[Z + (/-D)lsin4r(Z-(/-D)1 tangtA- co8i(/4.D—Z)cosi (/+D—Z) '

laquelle résulterait de la division des deux formules donnant

sin* 9 ^ ®^ ^^^* 9 ^9 ®^ V^^ ^ l'avantage de permettre le calcul de

l'angle A, quelle que soit sa grandeur.

L'angle A étant obtenu par l'une des trois formules logarithmiques précédentes, on a l'angle p par la formule

cos A cosp --: -

cos

formule également logarithmique.

Il n'y a toutefois d'avantage à rendre l'équation (3) logarithmique que si on a une seule observation double à calculer. Si on

a une série de plusieurs observations du même astre, il est plus court de mettre tout simplement cette équation sous la forme

fz' — z"\

cos z cos [ ^!^— r= — ) — sin / siD D cosp = .

cos / cos D cos[^ ^^ j

et de calculer en passant des logarithmes aux nombres.

En effet, dans le cas en question, sin /sin D est une quantité constante dont le nombre est à obtenir une fois pour toutes. On a également une fois pour toutes le logarithme du produit cos /cos D. Il n'y a donc dans chaque cas qu'à prendre le nombre répondant

au produit COS J5 cos f — ^ — Jî on en retranche le produit constant sin /sin D, et du logarithme de la différence on soustrait d'abord celui de cos r" 9 )^ P^^^ ^^^^ ^® cos /cos D, et on aie logarithme de cosp. Le calcul se fait alors avec une grande rapidité.

22i . — Examinons maintenant quelle est l'expression de Terreur que l'on commet lorsqu'on suppose, au lieu d'employer la méthode précédente, que la distance zénithale moyenne se rapporte à l'instant milieu des deux observations. Pour cela, reprenons l'équation (3), mise sous la forme

fz' - z"\

cos s cos I — r — 1 — sin / sm D cosp cos

cos / cos D

en y remplaçant cos K T^ } par 1 — 2 sin' f^ ~^ ^ et cos (^ ~^ j par 4 —2 sin« P ~^ \ elle devient

cos a — sin / sin D , a • . /p' — p"\

cosp=' . +^cospsmM£ — tL]

'^ cos/ cos D '^ V ^ /

cos /cos D \ 4 y

Or admettre la supposition en question , c'est admettre que,

conformément à l'équation générale cos p = ^^g— sin /sin D,

'^ cos /cos D '

352 COOhDONNËES DES ASTRES

c'est par conséquent négliger sur la valeur de cos p la quantité

2 cosp sin« (P^) - 2 -^1- sin- f fJÇ^' Y ^ \ A J cos/cosD \ A j

Si on appelle a Terreur qui en résulte sur Tare p, de sorte qu'on ait à la fois les deux équations

cosz — sin/sinD cosp= j — ,

cos / cos D et

-.^«z- \ cosj» — sin/sinD , ^ • *^p'—p"\

cosip — a) = ; 1-2 cospsm* {(—.^

^^ ' cos/cosD '^ \ A }

2 cos* . ./'V — a"\ cos/cosD \^ 4 y

Il en résulte en développant cos(p — a) et remarquant que, vu la petitesse de Tangle a, on peut poser cos a= 1 et sin a = a sin 1", puis en retranchant les deux équations Tune de l'autre

(8) asinpsini" = 2cospsin'[Ç-— £-j