C0SS

cos /cos

Remplaçant cosjs par sa valeur sin/sinD + cos /cos D cos ;>, et divisant par sin josinl'', il vient

2tangJtangpcoseçg

.ff sm

sm 1'

formule dans laquelle a est exprimé en secondes d'arc et qui pourrait servir à corriger l'angle horaire obtenu par la méthode ancienne pour obtenir l'angle horaire réel.

Dans cette expression de a, le second terme devient nul si l'observateur est à l'équateur, car alors tang/=0. Ce deuxième terme est également nul si l'étoile est à l'équateur, car tangD=0.

Le premier terme est toujours positif, car sin^ ^ est toujours plus grand que sin — ~ — , sauf si l'astre observé et l'observateur

sont tous les deux dans l'éguateur^auquel cas, le premier terme est nul, car alors z' — z" =/>' — p\ On voit donc que a est nul si Tobservation est faite à Téquateur sur une étoile équatoriale, puisque, dans cette condition, le second terme est également nul. Mais, hors ce cas, le premier terme n'est jamais égal à zéro.

Si / et D sont de signe contraire, le second terme de a devient positif; a se trouve alors composé de la somme de deux termes positifs. Si / et D sont de même signe, il est composé de la diOé* rence de deux termes.

On peut encore donner à l'expression de a une autre forme, en remarquant, comme nous l'avons vu précédemment (n^ 218), que

sin I — - — I = cos/ cosD -r— ^ sm { ^ ^^ J, V 2 y smj5 \ 2 y

ou, si les arcs — 5 — et ex sont petits,

sm ( — - — == cos /cosD -r— ^ sm ( ^ , ^ ) ; \ ^ J sm 2 \^ 4 y

il vient alors, en reportant cette valeur dans l'équation (8),

= \—^ — L fcot f) —

(9) a = ^^ — L (cot p— cot jzcosecjs cos /cosDsin o).

sml

Cette formule est d'un emploi plus commode que la précédente dans les cas où on voudrait corriger la valeur obtenue par la méthode

ordinaire, car elle ne nécessite pas le calcul de l'angle — t — .

222. — Dans ce qui précède, nous avons supposé que la déclinaison de l'astre observé était la même lors des deux observations qui ont fourni une distance zénithale double. Ceci n'a lieu que pour les étoiles. Il est vrai que ce sont les astres que l'on doit toujours choisir de préférence lorsqu'on emploie le théodolite pour la déterniination de l'heure. Toutefois il importe, dans le cas oîi on aurait obsené le soleil, la lune ou une planète, de pouvoir également calculer l'observation avec précision. Pour le soleil, l'astre le plus employé après les étoiles, la variation de déclinaison est assez f^le pendant le court intervalle qui sépare les deux observations, pour que l'on puisse employer la déclinaison qui répond à l'instant

35a COORDONNÉES DES ASTRES

moyen des deux pointés. Toutefois, nous allons indiquer uoe méthode pour, avec un astre dont la déclinaison varie, effectuer le calcul, en tenant compte de la variation de la déclinaison. U faut seulement avoir au préalable corrigé de la parallaxe les distances zénithales, ce qu'on fait en corrigeant du double de la parallaxe répondant à la moyenne hauteur les doubles distances zénithales obtenues, comme on le fait d'ailleurs pour la réfraction.

Appelons D la déclinaison répondant à l'instant moyen des deux observations, et D + p celle qui répond à la première observation, D — p sera celle de la seconde. On a alors les deux équations suivantes, dans lesquelles :;' et £' sont les distances zénithales vraies :

cos js' = sin l sin (D -h p) 4- cos / cos { D + p) cos j>', cos a" = sin / sin (D — p) + cos / cos (D — p) cos /)",

ou en développant les sinus et les cosinus de D -i- 3 et de D — p , et en ajoutant les deux équations

cos i + coss" = 2 sin / sin D cos p 4- cos / cos D cos p (cos p' + cos f)

+C0S / sin Dsin p (cosp" — cos/)'),

ou encore

cos

x)s /^fi^^^'j cos r^l— llWsin/sinDcosp +COS / cos D cos p cos ( ^^i^ J cos ( ^-^^-^

'OS / sin D sin p sin (^ "T^ ) sin ( S ^V

En posant, comme précédemment , ^ ^ ■=, z et ^ ^ =/),

on a cos 2 cos

— 3-I. j=sin/sinDcosp -hcos/cosDcospcos»cos(^-3^) •+- cos /sin D sin p sin p sin y~^ \

Dans cette équation, remplaçons p par p -i-y, il vient en négligeant le terme en sin p sin y sin (^ ~^^ J qui est du 3" ordre,

cos2cosf — - — }=ssin/smDcosB + cos/cosDcospcospcos Ycos r - T^ ) — cos/cosDcospsinpsinY cos [ ^ ~^ J +COS /sin Dsin psinp cos y sin f*^ "7 j*

Déterminons maintenant y P&r Isi condition d'égaler à zéro les deux derniers termes du second membre, nous aurons

(a) tang y = tang D tang p tang Ç' ~^ j,

et il nous reste l'équation

cos J5 cos ( — ^-^ j =siD / sin D cos^

+ cos / cos D cos p cosp cos Y cos r T J» d'où on tire (6) cosp cos (^ 'Z^ ) cos Y

cos 5C0S f — ^ — j — sin /sin D cos p ! cos/ cos D cosp '

y étant d'abord déterminé par l'équation (a), et — - — par la mé-

thode ordinaire; en employant pour déclinaison celle qui répond à l'instant moyen, tout est connu dans l'équation (d), qui donne alors cos/7. On la rend logarithmique en posant

cosp cos r T^ 1 cos Y = cos A, ^^^cos ( ^ ~^ ) = cos Z. \^ 2 / cos p \^ 2 y

La première équation est toujours possible, la deuxième ne ces*

serait de l'être que si z étant voisin de 0% cos — = — était plus

grand que cos % mais cela n'a jamais lieu dans le cas des observatioQs, car on n'entreprend pas de déterminer les angles horaires avec un astre au zénith ; donc la seconde équation est également

toujours possible dans le cas des observations. L'équation {b) devient alors

A cos Z — sin / sin D

cos A = z =r >

cos / cos D

équation qui, comme nous l'avons vu, se transforme en

sini[Z+(/~'D)]smKZ-(^~D)] ^ ^ cosi (/+ D — Z)cos i (/ + D+ Z)

On détermine donc A par cette formule logarithmique , et on a ensuite

cos A

(c) cos p = —

cos

formule également logarithmique qui donne la valeur de/?, et alors /? +y est l'angle horaire cherché.

Si rintervalle des deux observations était un peu grand et si l'astre observé était la lune, il faudrait pour calculer Tobservation double recourir au procédé que je viens dindiquer.

223 . — Ce même procédé peut encore servir à utiliser une observation double dans laquelle on n'aurait pas observé la même étoile aux deux observations, mais deux étoiles voisines et par conséquent diOérant peu de déclinaison. Une méprise de ce genre, quoique rare, peut avoir lieu quand, faisant une longue série d'observations au théodolite répétiteur, on observe par un temps trèschargé de nuages. Elle se manifeste en ce qu'un des groupes de deux observations ne concorde pas avec les autres. On peut alors facilement reconnaître quelle étoile a pu 6tre prise entre les nuages pour celle qu'on voulait observer, et en essayant le calcul, on reconnaît, s'il y a accord parfait, que la méprise a réellement eu lieu. Dans un calcul de ce genre, on prend pour D la moyenne des déclinaisons des deux étoiles, et pour p' — p" la différence du temps des pointés exprimée en arc ± la différence des ascensions droites des deux astres, suivant que cette différence augmente ou diminue la différence des angles horaires, ce qu'on reconnaît à première vue. C'est à l'aide de cette valeur de p' — p" qu'on calcule la valeur approchée de z'^-z"; mais il faut pour cela que la différence des déclinaisons soit très-petite. Si elle dépasse quelques minutes, il faut calculer z' — s!' d'une autre manière*

Pour cela on diOerentie par rapport à js, D et P la formule générale

cos z s= sin / sin D + cos l cos D cos P,

et on a

. (cos / sinD cos P — sin / cosD) dP-f- cos/ cos D sin PdP .

Sin 2

remplaçant alors les difierentielles par les variations qui sont z!-~z" pour la différence de distance zénithale,;?' — /?"pour la différence d'angle horaire, et D' — D" pour la différence de déclinaison , il vient

(cos / sin D cos P— sin / cos D) (D' — D^^) + cos / cos D sin P (p' — p")

sin s

En remplaçant dans cette formule cos P par 1 — 2 sin^ ^ P, mettant pour sin* ^ P, sa valeur

sini[« + (/-D)]sini[z-(/-D)]

cos / cos D '

et pour sin P sa valeur qui est, d'après le n' 218,

H^sinj|g+(/— D)1sin|[2-(/— D)Jcos|(/+D— 3)cos|(/+D+^)

cos/ cos D

il vient, en posant pour abréger /— D = aet/+D = ô,

•' ^z!'=( — sino— 2tangDsin|(g-f-a) sin^(g-^a)^ ,^, ^„ \ sinjs p '

âl^sin A (« -*- a) sin ^ (z — a) cos {(b + z) cos J {b — z) + IITT^ [P'-Pl-

sin z

Dans cette formule, on met pour ^ la demi-distance zénithale donnée par l'observation, pour D la moyenne des déclinaisons des deux étoiles, et pour/?' — p" sa valeur obtenue, comme nous l'avons dit précédemment. La valeur de p donnée ensuite par l'équation (c) du numéro précédent se rapporte à l'instant moyen des observations et à un astre fictif dont l'ascension droite serait la moyenne des ascensions droites des deux étoiles observées. Par conséquent on connaît en cet instant l'angle horaire de chacune des deux étoiles, en ajoutant à /? la différence de cette moyenne et de leur ascension droite.

En calculant la valeur de 2' — 5" par la formule précédente, on peut utiliser des observations où les deux étoiles observées arriveraient jusqu'à différer de quelques degrés en déclinaison.

224. — Il résulte de ce qu'on peut calculer les observations donnant la somme des distances zénithales de deux étoiles diOérentes de la même région du ciel que, dans un cas de ciel défavorable où on a besoin d'un angle horaire pour utiliser des séries antérieures pour la latitude ou la longitude, on peut, pour accélérer les observations, si surtout on craint que le ciel ne se couvre tout à fait, changer d'étoiles dans le cours des observations. Les ouvrages théoriques ne prévoient pas ce cas. Mais, dans la pratique, on reconnaît qu'on peut avoir besoin de recourir à ces changements, et tel est le motif pour lequel j'ai donné quelques développements à cette théorie.

Si les deux étoiles observées étaient dans des régions du ciel éloignées l'une de l'autre, les formules précédentes ne seraient plus applicables. Cependant les observations pourraient être encore utilisées. En effet, en appelant p l'angle horaire de la première étoile observée, D' sa déclinaison, B l'excès de son ascension droite sur celle de la seconde étoile, et G la différence en temps sidéral et réduite en arc des temps des observations des deux étoiles, on aurait en appelant;?" l'angle horaire de la seconde étoile

ou en posant G + B = <p

fi' = ;?' 4- ^.

Si donc D'' est la déclinaison de la seconde étoile, 2 z la double distance zénithale donnée par l'observation, et si z' et 2" sont les distances zénithales des deux étoiles au moment de leurs observations, on a les trois équations :

cos / = sin / sin D' 4- cos /cosD' cos p', cos J8" = sin / sin D"H- cos / cos D" cos (/?' -f- y),

Ges trois équations ne renferment que trois inconnues : 5*, r" et/)'; on voit donc qu'elles peuvent ôlre toutes les trois déterminées.

Si 9 est très-grand et si D' et D" sont très-différents, le mieux à faire est de résoudre ces équations parles approximations successi-

ves. Pour cela on substitue dans les deux premières équations une valeur approchée k pour/?', valeur qu'on peut toujours connaître d'après l'heure approchée de l'observation donnée par le chronomètre. On en tire les valeurs correspondantes de z' etz"; on donne ensuite à p une valeur un peu phis grande A -f- m, et on obtient de nouvelles valeurs pour 2' et s". Soient a la valeur de z + z" déduite du premier calcul, et p la valeur déduite du second. On forme alors la proportion

d'où

Si la quantité • — est très-petite, la valeur de /)' ainsi

obtenue sera très-exacte ; si cette quantité est un peu grande, on , prend pour valeur de k la nouvelle valeur de p' ainsi obtenue, et on recommence les calculs, après quoi on a, avec une approximation suffisante, la valeur de jd'.

On voit donc que dans la pratique on peut, au besoin, observer des étoiles quelconques toutes les fois que le temps y oblige. Le seul' avantage que l'on a à continuer toujours les observations sur le même astre, provient de ce que les calculs sont alors plus rapides. Mais comme les calculs définitifs ne se font ordinairement qu'après les voyages, les observateurs ne doivent pas, pour s'astreindre à observer le même astre, manquer les observations ou déterminer l'état du chronomètre trop loin de l'instant d'un phénomène observé.

225. — Lorsqu'on observe un astre à déclinaison variable comme le soleil, la lune ou les planètes, la déclinaison pour l'instant des observations n'est connue qu'autant qu'on connaît l'heure exacte des observations. Or, précisément les calculs d'angle horaire ont pour but de déterminer cette heure. On ne connaît donc par le calcul que l'heure approchée, et, par conséquent, la déclinaison approchée. Après avoir obtenu l'heure, il faudrait donc recommencer les calculs avec la nouvelle déclinaison, en considérant l'heure ainsi obtenue comme une nouvelle approximation, plus grande toutefois que la première. Mais si les obsei*vations de la série sont nombreuses, il est plus simple de corriger le résultat au

moyen de la différentiation de la formule générale de la trigonométrie sphérique,

cos z = sin / sin D -t- cos l cos D cosp.

En considérant dans cette formule z et l comme constants, la diCTérentiation fait connaître la variation de p par rapport à D. En effectuant cette différentiation, on a, en efTet,

0 = (sin /cos 0 — cos/ sin D cosp) dO — cos/cosDsin pdp^

d'où

dp sin / cos D — cos/ sin D cosp . rfD "" cos / cos D sinp '

p et D étant approximativement connus (et on emploie ceux qui se rapportent à l'instant moyen de la série), on peut calculer

le second membre, et on a la valeur très-approchée de ^*En multipliant cette valeur de •-£. par la correction qu'il faudrait ap- '

pliquer à la déclinaison, on a la correction à appliquer à Tangle horaire moyen fourni par la série, sans pour cela recommencer tous les calculs de cette série. Si on emploie les étoiles, dont les déclinaisons sont fixes, on est débarrassé de ces corrections. Au point de vue de la rapidité des calculs comme à celui de la précision des résultats obtenus, les observations sur les étoiles doivent donc toujours être préférées.

3* Cas d'une somme de plusieurs distances zénithales.

226. -f- Ce cas a lieu si le théodolite a été employé comme instrument répétiteur. L'arc final lu sur l'instrument est alors la somme d'une série de distances zénithales obtenues à des instants connus. Ce cas rentre dans le précédent si on a eu soin de lire l'arc sur le limbe après chaque observation double, et je vais faire voir que, dans cette manière de procéder, l'avantage de la répétition subsiste-

En effet, chaque double distance zénithale estdonnée alors par la différence des deux lectures consécutives faites sur le limbe. Or si l'unedes lectures a été faite trop grande, ce qui donnerait un arc trop grand, on aura un arc trop petit de la même quantité pour la double observation faite après celle-ci, quand on vient à retran-

cher de la suivante cette lecture trop grande. Soit donc x l'excès d'une lecture, excès d*où résulterait pour une observation Tangle trop grand de Xy et, pour la suivante, l'angle trop petit de x. L'angle horaire, répondant à la première observation, sera trop grand de la quantité x multipliée par une fonction de z^ et celui de la seconde observation sera trop petit de la même quantité x multipliée par la même fonction. Or, dans l'intervalle de deux séries consécutives, la position de l'astre n'a été que peu changée, de sorte que z et p ont très-peu varié , et, par conséquent, la fonction qui multiplie x n'a varié que d'une quantité inappréciable. La moyenne des deux observations deviendra donc indépen* dante de a: à une grandeur près du second ordre , et, par conséquent, la moyenne générale de toutes les observations de la série sera indépendante des lectures intermédiaires, et ne dépendra que de la lecture d'origine et de la lecture finale, de sorte que les erreurs de graduation et de lecture se trouvent divisées par le nombre des observations, comme si les lectures intermédiaires n'avaient pas existé et n'avaient pas été employées dans le calcul. Mais, outre la facilité des calculs qui se font alors par la méthode du cas précédent, le grand avantage qui résulte de ces lectures intermédiaires, consiste en ce qu'on est sûr du nombre des répétitions, nombre qui se trouve vérifié par la loi de variation des différences des lectures consécutives, de sorte que des accidents dans la série deviennent immédiatement manifestes. Ainsi, si une des vis de l'instrument n'a pas été bien serrée, on s'en aperçoit par la divergence des résultats, et ce cas se distingue immédiatement de celui des erreurs de lectures en ce qu'une observation seule est altérée, tandisqu'une erreur dans une des lectures intermédiaires auraitagi en sens contraire sur deux résultats consécutifs^ de sorte que leur moyenne se serait accordée avec les autres pour donner le même état du chronomètre. On reconnaît ainsi les anomalies qui proviennent des erreurs de lecture, et comme elles n'altèrent pas le résultat, on reste sans inquiétude sur la valeur de la série, tandis que les accidents des vis se reconnaissent et permettent de rejeter un résultat vicieux, tout en employant le reste de la série. Dans le cas d'anomalie dans un des résultats partiels, il est bon toutefois, avant de les rejeter, de s'assurer si cette anomalie ne viendrait pas, dans le cas de mauvais temps, d'une erreur d'étoile. Mais si en essayant les étoiles voisines de même grandeur, on n'arrive

pas à des résultats concordants avec les autres, alors l'erreur vient certainement des vis, et l'observation fautive doit être rejetée. Les lectures intermédiaires servent aussi de vérification h la lecture finale et h la lecture primitive. De fait^ en considérant toutes les erreurs possibles qui peuvent s'introduire dans une série au théodolite répétiteur, on voit qu'il est très-imprudent de faire une telle série d'observations sans prendre note des lectures intermédiaires, qui donnent les moyens de faire connaître ces erreurs et de rejeter celles des observations qui en seraient affectées. Avec la précaution de détruire le jeu des vis de rappel et de faire toutes les lectures intermédiaires, le théodolite répétiteur se trouve à l'abri des objections qu'on lui a faites^ et reste le plus parfait des instruments propres à mesurer les angles.

227. — Toutefois, si une ou deux des lectures intermédiaires avaient été oubliées^ la série n'en serait pas moins bonne^ car la loi des variations des lectures précédentes et suivantes ferait facilement connaître si la somme des arcs dont les lectures ont été oubliées ne renferme pas d'anomalie. Seulement, dans ce cas, le calcul de la somme d'arcs en qtiestion ne pourrait plus être fait par les méthodes que nous avons indiquées, et comme il y a avantage à tenir compte de toutes les observations pour assurer la totalité du bénéfice de la répétition, nous allons indiquer le moyen de calculer une série dont les lectures intermédiaires n'ont pas eu lieu. On appliquera alors cette nouvelle méthode à la partie de la série dans laquelle elles ont été oubliées.

Soient z\z'\ z'" chacune des distances zénithales d'une

étoile, distances dont la somme seule est connue. Soieni p',p\ p'" les angles horaires correspondants. On a les équations

cos 2'= sin / sin D + cos / cos D cosp cos z"= sin / sin D -4- cos / cos D cosp" (A) { cos j5'"= sin / sin D + cos l cos D cos p'"

cos jr. = sin / sin D + cos / cos D cosp^.

Soient z la distance zénithale moyenne et P l'angle horaire qui lui répondrait, angle donné par l'équation connue

ET POSITIONS GÈOOnAPHÏOUKS. 363

Soit maintenant P + y, l'angle horaire moyen de la série, qui répond à rinstant moyen des observations. Appelons a' , a" ,

d" a„ la différence du temps des observations et de l'instant

moyen, réduite en temps sidéral et transformée en arc (les premières différences seront négatives, les dernières positives^ mais nous admettons que les lettres ron forment leur signe). Nous aurons alors

Posons2'=Z' + 6',z" =Z" + A". -».=Z„ + ô„, équations dans lesquelles b\b'\ b^ sont de petites quantités arbitraires, et substituons ces valeurs de p\z\p\ 5", etc., dans les équations (À), il viendra

CCS Z' cos 6' — sin Z' sin i' = sin / sin D -h cos / cos D cos (P — a') cos y

— cos /cos D sin (P — a*) sin y, fosZ"cos6" — sin Z" sin 6"=sin /sin D + cos /cos D cos (P — a") cosy

— cos / cos D sin (P — a") sin y,

cos Z'" cos 6'"— sin Z"'sin 6'"=sin / sin D-hcos /cos D cos(P— a'") cos y

— cos / cos D sin (P — a'") sin y,

cos Z, cos 6.— sin Z, sin ô. = sin / sin D-f-cos / cos D cos (P — û,) cosy

— cos /cos D sin (P — aj) sin y;

comme A', A", ô'", ô„ sont arbitraires, posons

Isin Z' sin b' = cos / cos D sin (P — a!) sin y sin Z" sin 6"= cos / cos D sin (P — a") sin y sin Z. sin fr« = cos / cos D sin (P — a.) sin y

y étant un très-petit arc, nous pouvons poser sin y=y et cos y = 1. Or, comme les seconds membres des équations (B) sont trèspetits, tandis que Z', Z", Z'" Zn sont nécessairement assez

grands, puisqu'on n'observe pas tout près du zénith, on voit que la condition que nous avons supposée, d'après laquelle b\ *"> etc., seraient de très-petits arcs, est possible avec les équations (B). Nous poserons donc cos A' = 1 cos ou, =1, et

sin 6' =6', sin b" z=i b" sinA„, = 6„. Afors les équations

ci-dessus deviennent

364 GOORDOMISËES DES ASTRES

cosZ' = siD/sinD + cos/cosDcos(P — a*), cos Z" = sin / sin D + cos / cos D cos (P — a"), cos Z'"= sin / sin D + cos / cos D cos (P — a'"),

cos Z. = sin /sin D + cos /cosDcos (P — aj,

équations dans lesquelles P — a', P — a", P — a. sont connus, de sorte que ces équations déterminent Z', Z",Z"'...Z,. Les équations (B) deviennent

., cos / cos D sin (P — o")

~ sinZ' ^>

.„ cos / cos D sin (P — a")

, ,„ cos / cos D sin (P — a'")

* iEr' y'

. COS / cos D sin (P — o J

équations dont tous les seconds membres sont connus, moins y; en les ajoutant, nous avons

A' i A" i- #.'" i- i A y COS l cos D sin (P —a)

' sinZ

j 1 11 ^ cos /cos D sin (P— a) , ,.,,

dans laquelle 2 . „ ^ est une quantité connue que

nous appellerons H.

Nous aurons alors

Mais z' + 5" -^ s'" + -H :Sfl» est connu, c'est Tare mz lu sur

l'instrument; Z', Z", Z'". . . Z„ sont également connus, de sorte que leur somme que nous appellerons M l'est également. L'équation devient donc

m4 = M-i-Hy, d'où y=^^~ — ,

équation dans laquelle le second membre composé de quantitc^ connues tait connaître y, et comme P est connu, on connaît Tangle horaire P + y répondant à l'instant moyen de la série. 228* — La méthode précédente se simplifie beaucoup si la du-

rée totale de la série qu'il s'agit de calculer est courte et ne dépasse pas 10 à 12 minutes.

En effet, reprenons l'équation générale

(1) cos2 = siQ/sinD + cos/cosD cosP;

Si on y remplace z par z -h S^? et P par P -f- ^ P, en représentant par z la distance zénithale moyenne de la série et par P Tangle horaire qyii a lieu pour cette distance z, il vient en développant les cosinus de z-^^z et P 4- ^P et en remplaçant les cosinus de Iz et de JP par 1 — 2 sin '^ ^z et 1 —2 sin' \ *P et en ayant égard à l'équation (1),

(â) 2 C0S2 sin' \^z+ sin z sin Ss = 2 cos / cos D cos P sin* \ oP

+ cos / cos D sin P sin 8P.

Remplaçant sin ^z par î z sin 1" et sin ^ Ppar î P sin 1", ce qui est possible si la série est de peu de durée, et résolvant par rapport à ^P, cette équation devient

.«. gp ^^ } COS / cos D sm i

sinl'' sin z .

cos / cos D sm P

Sin*|îP et sin '| ^z sont de très-petites quantités par rapport à sin )P et sin ^z. Si donc on les néglige dans l'équation (2), il vient approximativement

sin 2 sin $2 = cos/ cos D sin P sin $P,

ou encore

. , ^^ cos/cosDsinP . , ^^ smiôjsz= : smiSP.

^ sm 5 ^

Substituant cette valeur très-approchée de sin \ 8z dans l'équation (3), cette équation devient

/.x gp 2sin' j 8P / . p ^ cosf cosDsin Pcotg\

sin 1" \ 1 sin^ j

cos / cos D sin P

Dans cette formule, 8 P est pour chaque observation la différence de l'angle horaire répondant à cette observation avec l'angle horaire qui répondrait àla distance zénithales, valeur moyenne de la série. La somme des ^P pour toutes les observations de la

série est donc la correction à appliquer à l'angle horaire P répondant à la distance zénithale z et donné par l'équation générale (1). En appelant donc ip la correction à ajouter à l'angle horaire P ainsi calculé pour avoir l'angle horaire moyen de la série, on a

f *n cos/cosDsinPcot3\ V 2sin*iôP

v-.-(^cotp ^5;^^ j^-iiirF-

sin:: ^^^^

cos/cosDsinP

Or z étant la distance zénithale moyenne de la série^ ou l'arc somme lu sur le limbe et divisé par le nombre des observations, il s'ensuit que 2 jz=o, car 2 jz n'est autre que la ditférencede toutes les distances zénithales avec leur moyenne, somme qui est nécessairement nulle. On a donc définitivement

,^. ^ / .n cos/cosDsînPcotz'N « 2sin"iôP

(5) 0/}=— (cotP : )2 :—fr, — y

\ siaz J sml'

formule dans laquelle :; est la distance zénithale moyenne donnée par l'observation, P l'angle horaire correspondant donné par l'équation (1) et jP la différence réduite en arc entre l'instant de chaque observation et la moyenne des instants de toutes les observations de la série. L'angle horaire répondant à cette moyenne des instants de toute la série est alors P + ^p.

On a pour les calculs de latitude construit sous le nom de tables de réduction au méridien, des tables dans lesquelles on entre avec l'angle horaire ^Pexprimé en temps et qui donnent directe-

2 sin*^ ÎP ment les valeurs de — . ?„ . Avec ces tables, le calcul de la for-

sm 1 '

mule précédente se fait très-rapidement.

En terminant nous ferons remarquer que si on a des séries de distances zénithales de la même étoile ou de deux étoiles de déclinaison peu différente observées à l'est et à l'ouest du méridien, l'heure qu'on en pourra tirer sera sensiblement indépendante de l'effet des erreurs des tables de réfraction et des flexions de l'instrument. Ces dernières sont au reste négligeables dans les petits instruments.

En traitant plus tard des longitude», nous ferons voir que le? observations dans le voisinage du premier vertical offrent des avantages particuliers pour la précision des résultats.

ET POSrnONS géographiques. 367

Détei*mination de l'heure.

229. — Lorsqu'on a déterminé l'angle horaire d'un astre dont on connaît l'ascension droite, l'heure sidérale de l'observation est immédiatement connue; en effet en appelant H l'heure sidérale, AR l'ascension droite exprimée en temps conformément à Tusage adopté dans les éphémérides, et P l'angle horaire réduit en temps, et qui est positif si l'astre est à l'ouest du méridien et négatif s'il esta l'est, l'ascension droite du point de l'équateur céleste qui est au méridien est AR + P; et cette ascension droite n'est autre que l'heure sidérale; on a donc pour déterminer H, l'équation

H = AR-f-P,

formule dans laquelle il faut avoir bien soin de donner à P son signe. Si, au contraire, H et P sont connus, cette équation détermine l'ascension droite.

230. — L'heure sidérale H étant connue, il est facile d'obtenir Theurede temps moyen correspondante.

Pour cela, on cherche d'abord quelle heure sidérale il était à midi moyen du lieu d'observation. Les éphémérides donnent pour chaque jour de l'année, sous le titre de temps sidéral à midi moyen^ celte heure sidérale à midi moyen pour le premier méridien. En appelant L la longitude occidentale de la station par rapport au méridien auquel se rapporte l'éphéméride, L étant supposé réduit en heuresetfraction décimale d'heure, il sufQt d'ajouter aux nombres donnés par l'éphéméride le nombre de secondes représenté par l'expression 9',8S6S x L pour avoir les heures sidérales répondant à midi moyen pour le lieu d'observation. Ainsi T étant le temps sidénal à midi moyen pour le premier méridien à une date quel^ conque, T + 9*,8S6S x L est le temps sidéral à midi moyen à la même date de l'année pour le lieu dont la longitude occidentale est L. Nous l'appellerons T|.

Tj étant calculé, comme nous venons de le dire, pour la date astronomique de l'observation, c'est-à-dire pour le midi précédant 1 observation, H — ^Tj est laquantitéde temps sidéral qui s'est écoulée

depuis midi moyen (1). Or la seconde sidérale est plus courte que la seconde moyenne, puisqu'en vingt-quatre heures de temps moyen où il y a 86400' de temps moyen, il y a 86636%5S54 de temps sidéral. En appelant donc H' la quantité de temps moyen écoulée depuis midi , c'est-à-dire l'heure moyenne, on a la proportion

d'où on tire

H' = (H -• TO X 8 Jae^v

formule dans laquelle H — T, a dû être réduit en secondes, et alors H' est donné en secondes et on le transforme ensuite en heures, minutes et secondes.

On a fait des tables à l'aide desquelles on évite ces transformations de H — Ti en secondes, et par lesquelles H' ou l'heure moyenne est directement donnée en heures, minutes et secondes. Ces tables donnent pour chaque nombre d'heure<« «idérales de i à 24 le nombre d'heures, minutes et secondes moyennes correspondantes, et pour chaque nombre de minutes et secondes sidérales de i à 60, les nombres de minutes et secondes moyennes correspondantes. Les mêmes tables donnent en outre la transformation des centièmes de secondes sidérales en centièmes de secondes moyennes. Avec ces tables, le calcul de H' se fait très-rapidement; on transforme successivement les heures, les minutes et les secondes de H — Ti en heures, minutes et secondes moyennes, et la somme de ces heures, minutes et secondes ainsi transformées est la valeur de H' .

231. — D'après ce qui précède, il est facile de voir comment doit se résoudre le problème inverse du précédent, c'est-à-dire la recherche de l'heure sidérale répondant à l'heure moyenne.

On transformera l'heure moyenne H' en temps sidéral, en la

multipliant par — ôïïtââ — après l'avoir réduite en secondes, on aura alors le nombre de secondes sidérales écoulées depuis midi

(i) Il importe de remarquer que si H était plus petit que T,, il faudrait lui ajouter 24**. 11 faut faire bieu attention en prenant T dans les épbémérides ù ce que ce soit la valeur de T qui répond au midi précédant l'obsenatiuu.

moyen^ et on réduira ce nombre en heures, minutes et secondes (1 )• En y ajoutant ensuite Ti, ou le temps sidéral à midi moyen, donné comme précédemment, on aura l'heure sidérale H.

On aura ensuite sans difficulté , et avec son signe ^ l'angle horaire P d'un astre quelconque, car l'équation du n"" 229 donne