F — H — AR

232. — Nous avons précédemment indiqué le moyen d'obtenir l'angle horaire lorsque les observations ont fait connaître la distance zénithale d'un astre dont la déclinaison est connue. Le problème inverse consistant à trouver la distance zénithale d'un astre dont on connaît l'angle horaire et la déclinaison, est parfois utile dans les calculs. Ce problème est d'une grande simplicité, car la fonnule générale de la trigonométrie sphérique donne, comme nous l'avons vu, en appelant z la distance zénithale,

cos 2 = sin / sin D + cos / cos D cos P,

formule qui détermine la distance zénithale z cherchée.

Pour rendre cette formule logarithmique, remarquons qu'elle peut s'écrire

cos s = sin / (sin D + cot / cos D cos P) ;

si nous posons

tangf = cot/ cosP,

il viendra

.,,.-.,, ^. . , /sin D cos 9 4- sin 9 cos D\ coss = 8m/(sinD + lang9COsD) =sm /f 1 î 1»

ou

/*\ • »sin(D+9)

(A) cos js == sm / — ^^ — ^-"»

' cos®

La formule (A) ^ laquelle on joint l'équation

(B) tang ç = cot / cos P,

qui détermine 9, donne donc la distance zénithale z par une formule logarithmique.

(1) Cette opération est abrégée par les tables de conversion du temps iQoyen en temps sidéral^ tables dont l'usage est semblable à celui des tables de conversion du temps sidéral en temps moyen.

Dans réquation (B) il faut, suivant le signe de tang f , donner à l'arc f la valeur positive ou négative qui est inférieure à 90"* comme valeur absolue.

Les équations précédentes donnent z par un cosinus ; conséquemment quand la distance zénithale est petite, cette distance n'est pas obtenue avec une grande exactitude. Or, en remplaçant dans la formule générale de la trigonométrie sphérique cos P par 1 — 2 sin • I P, cette formule devient

(a) cos 2 = cos (/ — D) -r- 2 cos / cos D sin " ^ P .

En retranchant chaque membre de l'unité , cette équation devient

(b) sin » J s = sin 4 (/ — D)H- cos / cos D sin ' i P,

formule qu'on rend facilement logarithmique en mettant cos /

cos D sin'i P en facteur commun et en posant

sini(/— D) ., . , ,

tang 6= ■: — , ^/^ , .,, il vient alors, en remarquant que

^ sm ^ P K cos / cos D

i + tang* p = sec* p,

^ sin \ P

sin J s = l/cos / cos D ^^^^ ■

C'est cette formule qui devra être employée quand l'astre est voisin du zénith.

Toutefois si P était plus petit que / — D, il y aurait avantage à

mettre sin' ^ (/— D) au lieu de cos / cos D sin ' | P en facteur

sin i P

commun, et alors on poserait tang a = l/cos / cos D -: — j^ s?^^ y\\

et on aurait de la môme manière sin i z = — li-H-J.

' cos a

Quand P et (/ — D) sont des arcs de quelques minutes seulement, on peut dans l'expression de tang a remplacer les sinus par les arcs.

DÉTERMINATION DES LATITUDES PAR DES OBSERVATIONS hZ HAUTSUR*

233, — Pour le problème des latitudes comme pour celui des angles horaires, il y a à considérer les cas où on a des distances

zénithales simples (sextant, cercle de réflexion, etc.) et celui où on a seulement des distances zénithales doubles ou multiples (théodolite).

Lorsque l'heure est connue exactement, ce qui, par exemple, peut avoir lieu par l'emploi d'une lunette méridienne (n° 97), une distance zénithale mesurée hors du méridien peut donner la latitude au moyen d'un calcul assez simple.

En effet, dans le triangle formé par l'astre E, le zénith Z et le pôle P, on connaît deux côtés, savoir : i*" la distance z de l'astre au zénith, qui n'est autre que la distance mesurée par l'instrument et corrigée de réfraction ; 2** la distance de l'astre au pôle, qui est le complément de la déclinaison D de l'astre, et de plus on connaît l'angle opposé à la distance zénithale, lequel est l'angle horaire P. On connaît donc deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux ; on peut par conséquent déterminer le troisième côté, qui est la distance du zénith au pôle ou le complément de la latitude.

Pour résoudre ce triangle, abaissons de la position E de l'astre observé un arc de grand cercle perpendiculaire au méridien, et soit M le point où cet arc rencontre le méridien. Dans le triangle rectangle PME formé par cet arc, par le méridien du Heu et par le méridien de Tastre, on a

lang PM = lang PE cos P ;

mais tang PE= cotD; l'équation peut donc s'écrire

tang PM = cot D cos P ou cot PM = ÎEI^. ° cosP

Cela posé, remarquons que le problème a deux solutions, car si de l'astre E, comme centre, on décrit un cercle avec la distance zénithale z observée, ce cercle coupera le méridien en deux points également espacés du pied M de l'arc perpendiculaire abaissé du même point E sur le méridien. Il y a donc deux latitudes répondant à la donnée de l'observation. Appelons / la plus grande de ces deux latitudes et /' la plus petite. La distance du point M à

l'équateur est égale à— ^, par conséquent PM = 90**— — ^

on a donc

, //+/'\ tangD

372 COORDONNÉES DES \STRRS

et la distance du zénith au point M ou Z M est égale à — ^ —

Dans le triangle PEM, on a encore cos PE = cos PM ces EM, d'où

sinD

cos EM =

en mettant pour cos P E et cos PM leurs valeurs. Maintenant dans le triangle rectangle EMZ, on a cos ZM =

— ^rrt ou, en mettant pour cos E M sa valeur précédente,

cosj:

cos

sin D

l—l Si —5— n'est pas trop petit, cette équation peut déterminer sa

valeur et en la joignant à Téquation tang T— 5^- ) ^ — ^ q"i

fait d'abord connaître l'arc — ^9 on a l'arc /en ajoutant ces deux

arcs, et en les retranchant on obtient l'arc t^ c'est-à-dire les deux solutions du problème. La connaissance de la latitude approchée, connaissance que l'on a toujours , indique celle des deux solutions qu'on doit choisir.

234. — Mais si ^ — est petit, sa valeur ne peut être bien fixée

par un cosinus, et il faut t&cher d'obtenir une formule qui donne

Pour cela remarquons que dans le triangle rectangle Z M E, on a

tang Z M = tang ZE cos EZM = tang ZE l^i — sin"ËZM, ou

tang (^^) = tang z U^l — sin^EZM ;

mais on a par la règle des sinus

sin EZM =2^, 'Sinx

Er POSITIONS GÉOGRAPHIQUES. 878

et daos le triangle rectangle P E M on a

sinEM= sin EPM sin PE ou

sin EM = sin P cos D;

reportant cette valeur de sin E M dans celle de sin E ZM , il vient

c;«w7w sinPcosD

sin bZM = : — • — j

sms

et substituant cette valeur dans celle de tang f — ^ — J , on a

//—A , . /■] sin' P cosVD

d'où

OU encore

, // — /'\ sin'z — sin' P ces* D

COS" z

Le problème peut donc se résoudre dans tous les cas par les deux équations suivantes

tangri+0=^' ®V 2 y cosP

et

z — sin* P C08* D

COS'jS

La seconde formule n'est pas logarithmique, mais on peut la rendre telle en posant

sinP cosD = siDcp^ car alors elle devient

lang' f^~n = sin* z — sin* y sin (a 4-») sin (g