J COS*Z C08*Z

Les calculs pour déterminer —^ par la tangente sont donc un peu plus longs que pour la déterminer par le cosinus, et c'est pour

37/t COORDONNÉES DES ASTRES

cela que si on a lieu de soupçonner que Tare est grand la

formule du cosinus est plus commode. Mais, hors ce cas, la formule de la tangente doit ôtre préférée.

SiTastre a été observé exactement au méridien, la formule

tang(^) =^ se réduit à tang (^-^) = tang D, d'où — — =D etsinf— ^ — j = sin D. La formule cos T o " ) ^

sm f — ^ — J cos z . ,, .^.,

: — K se réduit alors à cos ( — ^r— Y— cos 5, d'où -rr-

sm D V 2 / ' 2

= z : on a donc les deux équations

d'où

/n^D + 3 et /' = D— 5.

La première solution est la vraie si Tastre passe au méridien entre le zénith et réquateur, et la seconde si Tastre passe entre le zénith et le pôle.

Les valeurs de / =D -4- 2 dans le premier cas, / =D — z dans le second, sont évidentes û/>rf on, mais nous avons voulu faire voir comment elles dérivent naturellement des formules pour les distances zénithales prises hors du méridien, lorsqu'on donne à ce:^ formules, comme nous Tavons fait, la forme qui renferme les deux solutions, au lieu de mettre des doubles signes, comme on a Thabitude de le faire. La forme avec les deux solutions est toujours plus claire à l'esprit que celle des doubles signes.

235. — Venons maintenant à la solution générale par la<iuelle on obtientla latitude par des observations extra-méridiennes dedistances zénithales simples ou multiples.

Soient toujours /la latitude, D la déclinaison d*une étoile, 2 la distance zénithale observée et P l'angle horaire, on a Téqualion

cos z = sin / sin D + cos / cos D cos P.

Remplaçons cos P par sa valeur

1 — 2sin«iP,

ET POSITIONS GÉOGRAPHIODES. 375

il vient

cos z = cos(/ — D) — 2cos/cos D sin' ^P.

Or/ — Dest la distance zénithale que possède Tétoile quand elle passe au méridien , et ce passage a lieu par rapport au zénith du' côté de réquateur si D est plus petit que l, et du côté du pôle si D est plus grand que/, auquel cas / — D est négatif. S11 s'agissait du passage inférieur d'une circompolaire, il faudrait dans cette formule remplacer D par 180* — D. Mais en général on n'emploie pas les passages inférieurs des circompolaires pour des déterminations de latitude par les hauteurs circumméridiennes.

/— D étant donc la distance zénithale de l'étoile quand elle passe au méridien, z — (/ — D) est l'excès de sa distance zénithale observée sur sa distance zénithale méridienne, et c'est cette quantité que nous allons nous proposer de déterminer ; car, pour chaque observation, en la retranchant de la distance zénithale observée, on réduira celle-ci, à ce qu'elle aurait été au méridien, et par conséquent à / — D. Or connaissant / — D et D, on en déduira /, et le problème sera résolu.

Posons donc z — (/ — D) = i, i est la correction cherchée. L'équation précédente peut s'écrire

cos (/ — D) — cos s = 2 cos / cos D sin' { P, ou

sin \ [ 5 — (/— D)] sini [s-h (/— D) ] =cos /cos Dsin'i P,

ou encore

/.v • i . cos /cos D sin' iP

(A) sin 4 I =-: — r-7 ; ^•

^ ^ ^ sin i (s 4- / — D)

Dans le second membre z et D sont connus. Si on connaît l'heure de l'observation, on connaît aussi P (n'*231). Il n'y a donc d'inconnu dans le second membre que /, mais on connaît toujours sa valeur plus ou moins approchée. On substitue donc cette valeur approchée dans le second membre , et on en déduit une valeur approchée de I, avec laquelle on obtient une valeur très-approchée de la latitude qu'on substitue une seconde fois dans l'équation (A), et on a alors la vraie valeur de / dans les limites d'erreur de l'observation.

236. — Il est facile de reconnaître que la substitution de la valeur

approchée de / dans réquation (Â) conduira par cette méthode à une valeur très-approchée de /. Soit en effets, la valeur approchée en question et /=X + « la valeur réelle de la latitude. En substituant à / dans l'équation (A) sa valeur X + « , cette équation devient en développant

. I . (cos X cos « — sin X sin a) cos D sin* { P

^ ~~ sini(s+X — D)cos^a + siniacos4(2 4-X — D)'

Or, comme a est un petit angle, en ne gardant que les termes du premier ordre en a, nous pouvons poser cos a = 1 , et de plus

fsini (z + X — D) -h cos i (s +X - D) sin* al ~ *

i COSi(g+X-D) ; ,

~8mi(s-+-X-D) sin'i(5+X-.D) ^ '

pourvu toutefois que ^{^-\-l — D) ne soit pas un très-petit arc,

c'est-à-dire pourvu que l'étoile ne soit pas observée dans le voisinage immédiat du zénith, et telle n'est pas en général la condition des observations employées, car on choisit une étoile passant au moinsàSoulO^duzénith. On a donc en négligeant les termes en

sin' a

, , cosXcosDsin* ^P

sinj (3-hX — D)

sm^t =

cosACosDsm*lPcos4(5-hX — D) . , sm4(2-f-X— D) *

sinXcosDsin'iP .

sin i («-+-/ — D)

ou en appelant i, la valeur approchée de i donnée par l'équation

. , . cosXcosDsin'iP * sini(«-|-A — D)

résultant de la substitution de X à / dans l'équation (A) et rempiaçant sin a par 2 sin ^ a, on a

sin^t = sin J i, (i — [cot i (s -+- X — D) 4- 2 lang X] sin| «]•

Cette équation montre que, pourvu que cot. 5(;5-4-/ — D)

+2tangX ne soit pas une très-grande quantité, c'est-à-dire

pounu que ^ (z + / — D) ne soit pas un très-petit arc ou queX ne

soit pas très-voisin de 90**, le terme Tcot ^ (2 -H X — D) + 2 tang X j

sin ^a sera très-petit par rapporta Funité, car sin ^ a est un très-

petit arc, etconséquemment inedifféreradeii que d'une très-petite fraction de sa valeur. Sauf donc pour des lieux voisins du pôle ou pour des étoiles observées tout près du zénith, la valeur de 1 sera obtenue très-approximativement^ en substituant X à / dans l'équation (A), et par conséquent on aura une valeur très-approchée de la latitude en calculant 1 à l'aide de cette substitution. £n substituant alors la valeur de /ainsi obtenue, on aura une nouvelle valeur de ij d'où on tirera la latitude avec une approximation suffisante.

237. — Mais, au lieu de répéter les approximations successives, on arrive plus vite au résultat par l'interpolation proportionnelle. Pour faire comprendre cette méthode, soit X la valeur approchée delà latitude. On calcule pour chaque observation les valeurs de t, en substituant X à / dans l'équation (A). Soient alors i,, t., etc., les valeurs correspondant à chaque observation, on retranche de la moyenne z des distances zénithales mesurées, la somme t, + f, + ... 4- la des arcs ainsi obtenus, divisée par le nombre n des observations; nous appellerons m le résultat de cette division. La différences — m donne une valeur de / — D approchée, et on en tire une nouvelle valeur approchée de la latitude, valeur qui sera z-^m+ D, et que nous appellerons X.. Gela fait, on calcule avec une autre latitude X 4- «, un peu plus différente de X que ne l'est \, mais dans le même sens , les nouvelles valeurs de i pour chaque observation. Soient alors iî -f-î'j. . . -f- i'n la somme de ces arcs, on la divise par n comme précédemment, et, soit m' le résultat de cette division, on obtient alors, en le retranchant de z, une nouvelle valeur de / — D, d'où on tire l=-z — m'-hD=X,.

Nous savons maintenant qu'un changement a dans la latitude X primitivement supposée a introduit une différence m! — m dans la correction calculée. Soit alors /=X + ar la vraie latitude, la différence introduite par la valeur de x dans le calcul de la correction à appliquer à la distance zénithale moyenne pour avoir /-*D sera donnée par la proportion

a : m' — rniix : y^

d'où

Ainsi la correction à appliquer à la distance zénithale moyenne, si

on faisait le calcul avec la vraie valeur X 4- a:, serait m -| x.

^ et,

La vraie valeur de / — D, qui peut alors s'écrire X + a: — D,doit

donc être égale à z — m x. Ainsi on a Téquation

oc

A+a: — D=zz — m x,

d'où

Mais z — m + D est ce que nous avons appelé primitivement X, c'est-à-dire la latitude calculée par la première approximation, et en ayant égard à ce que \=:z — m-f-D et X,=z — m'-*-D, on a m' — mz=:\ — X,.

Donc

et la vraie latitude est alors

expression dans laquelle X est la première latitude supposée, X, la latitude calculée avec la formule (A) dans l'hypothèse de /=X, X, la latitude calculée dans l'hypothèse de /=X+ a, et par conséquent a la différence des deux latitudes avec lesquelles on a calculé, différence qu'on choisit, comme nous l'avons dit précédemment, de telle sorte que X 4- x doive être compris entre X et X -h a. Suivant le sens de l'erreur primitivement commise sur X, a peut être positif ou négatif, et il faut bien faire attention à lui conserver dans le calcul de la formule le signe qu'on lui a donné.

La méthode de l'interpolation proportionnelle entre les résultats des calculs pour deux valeurs rapprochées est bien préférable à celle des approximations successives, car on n*a besoin défaire

ET POSITIONS GÉOGRAPHIQtES. 379

que deux fois le calcul de toute la série , tandis que, pour obtenir la même exactitude par les approximations successives dans les cas peu favorables à cette dernière méthode , il faudrait le faire trois ou quatre fois. Ces cas défavorables ont lieu , par exemple , quand la latitude est très-grande, ou si l'astre a passé très-près du zénith ; or , dans ces circonstances , l'interpolation peut encore fonctionner. Sa rigueur ne cesserait que si on avait pris primitivement une latitude très-erronée, auquel cas on aurait été conduit à prendre pour a une valeur un peu grande. Mais alors on obtiendrait une valeur encore très-approchée, et il suffirait de refaire le calcul avec cette valeur approchée, et en comparant le résultat de la même manière avec la plus voisine des deux valeurs primitives X etX + a employées pour les deux premiers calculs, on obtiendrait une approximation toujours suffisante.

Ce n'est pas seulement dans le cas des déterminations de latitude que la méthode des interpolation.^ proportionnelles l'emporte sur celle des approximations successives. Dans tous les problèmes d'astronomie où les approximations successives sont employées, l'interpolation proportionnelle peut leur être substituée avec avantage.

238. — La formule (A) du n"* 235 n'est pas exactement celle qu'on a l'usage d'employer pour la réduction au méridien des distances zénithales circumméridiennes. Mais elle offre sur la formule ordinaire d'assez grands avantages. Pour le faire voir, nous allons donner cette dernière.

Nous avons déjà vu précédemment que l'équation fondamentale de la trigonométrie sphérique se transforme dans la suivante

ces s = cos (/ — D) — 2cos / cosD sin' i F .

En posant js = / — D + î, cette équation devient

cos (/— D) cos t — sin (/ — D) sin t= cos (/ — D)— 2 cos / cos D sin^ P ;

remplaçant cos i par 1 — 2 sin* ^ *\ on a

(B) îcos (/ — D) sin' ^ i -h sin (Z — D) sin i = 2 cos / cos D sin' ^ P,

ou, comme l'arc i est très-petit, en remplaçant sin — i par^r-sin t,

2 COS / cos D sin 4 P , , ,, rxv . , . sin I = '. — 77 — Trr^ * cot [l — D) sm» I :

380 COOADONNfiES DES ASTRES

sin* t étant uae tràs-petite quantité, on le néglige provisoirement, ce qui donne

j . 8 cos/cos D sin'jP

sin ^ — D

Substituant cette valeur approchée de sin t dans le second membre de l'équation précédente, il vient alors

isOsin' jP

sin{/ — B)

î colU-D) /'£^i£2i£^liPY.

^ ' \ sin / — D J

Telle est l'équation usitée, mais elle a l'inconvénient d'être composée de deux termes, tandis que l'équation (A) n'en a qu'un, et malgré cela l'équation (A) offre encore l'avantage d'être rigoureuse, tandis que l'équation (C) n'est qu'approchée.

Pour faciliter le calcul de l'équation (G), on remplace sin i par t sin 1" afin d'exprimer i en secondes, alors il vient

-r,, . 2 sin' i P /cos / cos D\ 2 sin* i P /cos / cos D V . ,, ,,, et on a formé des tables qui donnent en secondes les valeurs de

sin i" sin 1"

chaque observation individuelle , le calcul est plus long que par la formule (A), pour laquelle d'ailleurs on peut aussi se servir des

tables qui donnent — .■ ', exprimé en secondes, tables qui portent le nom de tables de réduction au méridien. En effet, ta formule (A) est

'"' sin4(3-(-/ — b)

En y remplaçant sîn ^ t par -s i sin 1", ce qui, tant que les

bservations sont très-voisines du méridien, est aussi bien posàile qu'avec la formule (C), il vient

-g, .^aain'jP/ eosfcosD \

*^ ' sin l" ^■in4{* + /— D)/

2 sin'- P On voit donc qu'on peut prendre — : — jV dans les tables de

réduction au méridien, et alors si on calcule une seule observation , le calcul sera moins long qu'avec l'équation (D).

Mais l'avantage de la formule (D) est de faciliter le calcul d'une série observée au théodolite répétiteur, lorsqu'on n'a pas lu les angles intermédiaires. En effet, dans ce cas, on cherche dans les tables

2 sin* - P de réduction au méridien les valeurs de — : — ^ pour les divers

sm 1 '^

instants d'observation, c'est-à-dire pour les diverses valeurs de P^ et on fait la moyenne. On fait de la même manière la moyenne des

diverses valeurs de — . J, . Comme les tables donnent ces quan-

sml ^

tltés en nombres et non en logarithmes, le calcul des moyennes est assez rapide. Ce sont ensuite ces moyennes qu'on multiplie res-

cos/cosD ^ /cos/cosD\2 ., . . pectivement par g;^^^p^ et par (^sin(/— D)y ^ ^^^* ^^^^

si ce procédé est très-commode pour réduire une série d'observations de distances zénithales circumméridiennes dont on n'a que la somme et les instants d'observation, il a le défaut de ne pas permettre de comparer les résultats partiels pour voir si quelque accident ne s'est pas introduit dans les observations. Nous avons déjà dit en traitant de l'angle horaire qu'avec le théodolite répétiteur, il est toujours prudent de lire l'angle après chaque observation de double distance zénithale. C'est même réellement indispensable à cause des accidents qui peuvent se produire, et des erreurs de comptage et des erreurs d'étoiles, parfois possibles. Pour profiter de tout l'avantage de ces lectures,|il est utile de réduire les observations deux à deux afin déjuger de l'accord partiel des résultats. Or, dans ce cas , la formule (E) est plus avantageuse que la formule (D). On prend en effet, d'après les instants des deux observa-

2 sin*— P tiens, les valeurs de — : — n?- dans les tables ordinaires de réduc- ' sm 1

tion au méridien , et on fait la somme de ces deux valeurs. On