i» ^ cos/cosD

multiplie alors cette somme par le facteur . i , — —7 — rrr- , dans ^ ^ sin^(z-|-/ — D) '

lequel on prend pour valeur de z la moitié de l'angle mesuré et

corrigé de réfraction , angle qui n'est autre que la moyenne des

deux distances zénithales correspondantes; en retranchant le pro-

382 COORDONNÉES DKS ASTRES

duit obtenu de l'angle mesuré, on a le double de la valeur de/ — D. On voit que, dans ce cas, le calcul est plus rapide qu'avec Téquation (D), et on a l'avantage que la formule est plus exacte. Si les observations sont un peu loin du méridien, auquel cas on ne trouve plus

2 sin' - P dans les tables les valeurs en nombre de — ; — j^, l'avantage est

sm r ' ^

plus grand encore , car alors on se sert de la formule rigoureuse

. , . cos/cosDsin*i P sin ^ (s H- / — D)

et on fait séparément le calcul pour chaque opération, en mettant toujours pour;z le demi-angle observé corrigé de réfraction, puis on ajoute les deux valeurs de i obtenues. Dans ce cas, non-seulement le calcul est plus rapide qu'il n'aurait été avec la formule (D), mais encore cette dernière formule n'aurait pas été suffisamment exacte, taudis que la nôtre est rigoureuse.

Il est vrai qu'au lieu d'employer la valeur de z répondant à chaque observation, comme il aurait fallu le faire pour la rigueur absolue de la formule, nous avons employé la moyenne des deux valeurs de z. Mais cela se compense sensiblement sur la moyenne des résultats, car les deux observations sont rapprochées, et par conséquent les deux valeurs de sin ' , P diffèrent peu. Dès lors l'emploi d'une valeur trop grande de z dans un des calculs, et trop petite de la même quantité dans l'autre, donne le même ré* sultat moyen que si on avait employé pour chaque cas la valeur de z qui lui correspond.

Toutefois, si l'intervalle des deux pointés est grand, ce qui arrive surtout dans les cas de ciel très-nuageux, il est bon d'employer les vraies valeurs de z. On les obtient facilement. Nous avons \u, en effet (n"" 218), qu'en appelant l'une z' et l'autre £" , on a, en désignant par z la moyenne de z' et z" et en nommant p !<') moyenne des angles horaires correspondants p' et p'\

, fz' — z"\ cos / cos D sin p . fp' — Jt>"\

De cette équation dont tout le second membre est connu, oo tire la valeur de z' — z". Soit a cette valeur, on a les deux équations

d'où on tire

et on peut alors calculer la formule (A) dans toute sa rigueur.

On voit donc par ce qui précède que Téquation (A) , applicable à toutes les distances possibles du méridien, est dans la pratique plus commode que la formule (D) qui ne peut servir que dans le voisinage immédiat du méridien. L'équation (D) ne doit être employée que si on avait, contrairement aux renseignements fournis par l'expérience, négligé de faire au théodolite répétiteur les lectures intermédiaires.

239. — L'oubli d'une seule des lectures intermédiaires ne nuit pas à l'usage de la formule (A), car alors on peut prendre pour z le quart de l'angle mesuré , qui représente le quadruple de la distance zénithale. Si les lectures intermédiaires sont oubliées et si Tastre est loin du méridien, la formule (D) elle-même ne peut servir. Il faut donc dans ce cas calculer les distances zénithales à l'aide de l'angle horaire (n^* 232) et introduire ces distances dans le calcul par la formule (A).

On pourrait au reste rendre la formule (D) un peu plus rigoureuse, à l'aide de la formule (A) elle-même. Nous avons en effet tiré cette formule de l'équation (B) , qui est elle-même rigoureuse et qui nous donne

. . 3cos/cosDsin*iP a^^*/f tw «• .i-

sua f = : — -; -r-2 2 cot (/ — D) sm* \ t.

sm (/ — D) ^ /a

Substituant dans cette équation pour sin 1 1 sa valeur rigoureuse donnée par l'équation (A), il vient

,. . â cos / cos D sin' i P ^ ^4 /i i^\ ces' / cos» D sin* A F

^'°*= ^-7ï =rr-i— 2C0t(i— D) ■■. . . — ; ^.

sm(/— D) ' sm*^(3-|-/ — D)

Remplaçant sin i par t sin 1", sa valeur approchée, on a

/« . ^ 2 sin' ^P /'cos / ces D\

^ ' * imr^ \,sin (/ — 0)7

2sîn4^P/ cos/cosD V^^w^^p.

sinl" Vsin4(«+^— 0)/

On calculera avec cette équation (F), comme avec l'équation (D); seulement dans le facteur -. — ri î — ttx'^ on mettra pour z sa

su COORDONNÉES DES ASTRES

valeur moyenne donnée par rinstrument, après toutefois la cor- . rection de réfraction, et le résultat sera toujours un peu plus exact qu'avec la formule (B), sans que pour cela le calcul se trouve allongé.

240. — Dans toutes les formules précédentes, les angles horaires P sont obtenus en faisant la différence de l'heure de Tobservation et de rheure connue du passage de l'étoile au méridien. En temps sidéral, cette dernière n'est autre que l'ascension droite de l'étoile. Si le chronomètre est au temps sidéral et ne possède aucune avance ou aucun retard, ou aucun mouvement diurne, la différence de l'heure qu'il marquera et de l'ascension droite de l'étoile donnée en temps par les tables est directement la valeur de P exprimée en temps. Mais en général, le chronomètre n'est pas exactement à l'heure. Dans ce cas, si son mouvement diurne est nul, il suffit de calculer à quelle heure du chronomètre l'étoile passe au méridien, ce qu'on obtiendra en ajoutant à l'ascension droite de l'étoile l'avance du chronomètre, ou en retranchant son retard de la même ascension droite. La différence de l'heure d'observation et du passage méridien donne ensuite encore la valeur de l'angle P exprimé en temps. Si le chronomètre possède un mouvement diurne d'avance ou de retard, l'angle P ainsi obtenu doit être modifié proportionnellement à cette avance ou à ce retard. Le plus communément, le chronomètre est au ten)p^ moyen, de sorte qu'il possède par là même, par rapport au tenip:> sidéral, un mouvement de retard de 3"S6',S55 dans la durée d'un jour moyen, et de plus il a dans le même temps une avance d'un certain nombre de secondes , nombre que nous appellerons a (a étant négatif dans le temps de retard). Cette avance provient de ce qu'il ne se trouve pas exactement réglé sur le temps moyen. En résumé, le chronomètre peut être considéré comme un chronomè' tre au temps sidéral dont le retard diurne serait de 3*56',555 — a ou de 236", 555 — a; c'est-à-dire qu'en 24 heures moyennes, le chronomètre qui a battu 86400 + a secondes aurait dû en frapper 86400 +236^555 pour marquer le temps sidéral.

Supposons donc qu'ayant transformé en temps moyen l'heure sidérale du passage de l'étoile au méridien, et tenu compte de l'avance ou du retard du chronomètre à cet instant, on ait ainsi l'heure H marquée par le chronomètre au moment du passage de l'étoile, et soit H' l'heure d'un pointé marquée par le même ins-

trument. L'angle horaire correspondant P sera égal au temps

H' — H indiqué par le chronomètre, multiplié par le rapport

QnKf^f^ — ' — î rapport que nous appellerons u et qu on a som

de calculer. Alors on aura pour la valeur de P exprimée en tempsP=(H'-H)t^.

Pour transformer P en arc, on n'a donc qu'à réduire en arc la valeur H' — H, et soit p cette valeur, on a alors pour la valeur de P exprimée en arc P=up, Or si toutes les observations ont eu lieu à peu de distance du méridien, auquel cas les angles P sont tous petits, on peut poser sans erreur sensible

sin' ^ Mp = w' sîn' ^ p.

Ainsi l'équation (A) du n' 233 peut s'écrire

. , . tt* cos / cos D sm* i p * sin^fs+/ — D)

et l'équation D ou même encore l'équation plus exacte (F) devient

2 sin* I p/u* cos / cos D V 2 sin^ j pf u^ cos / cos D V^^^ ., ^. sinl" \ 8in(/— D) ) sinl" \^sini(a+/— D)y ^ ^'

et dans ces équations p est la différence réduite en arc entre les heures d'observation et l'heure du passage de l'étoile données l'une et l'autre en temps du chronomètre. Comme dans ces équations m' cos / cos d est déterminé une fois pour toutes, on voit qu'on a sirapliGo les calculs de réduction de la série, puisqu'on n'a plus à réduire tous les p en P. Cette simplification n'est possible que pour des observations voisines du méridien. Mais c'est ordinairement le cas dans lequel on emploie les formules en question.

241. — Si au lieu d'observer une étoile, on a observé le soleil, dont la déclinaison varie, ou tout autre astre à déclinaison variable, on peut, si la série est courte, efifectuer le calcul en employant la déclinaison qui répond à la moyenne des instants des observations, et les calculs se font alors comme si l'astre observé était une étoile. Seulement la valeur de u serait différente ; elle serait, en appelant K l'accroissement qu'éprouve en 24 heures l'ascension droite de Tastre observé, K étant exprimé en temps,

Si oa ^^A one cstrScie ppêdâû^ eC â la série se prolonge un f^^ Wo &i méridien, il derânt ixr^eat de mettre pour chaque fjij-sem*lon, U lakor de D qrn lui correspond el d'employer la krmiJe (A; dani lagneHe oa iiii ^in ' P = an ' up^ u eip étant déierminés comme préeédomnent. En letnnchaDt de la somme des dlirlances zénithales obsenées la soomie des oorrectioDS t, le résultai après di^isioa parle nomlMedes «rfisennations est ^al à / — D, daoà lequel D a pour Taletir la dêdinaisoD répondant à la moyenne des instants des obsenations.

242. — Dans ee qai précède, nous aTons supposé que Theure est rigoureusement connue. Cela n*a pasliea en général, car en voyage le plus souvent on n'emploie que des obsenratioos de hauteur, et alors Theure n'est eOe-mème connue que si on connaît la latitude. Toutefois on obtientllieure très-af^raximativement en employant la latitude approchée pour la calculer.

Appdons donc a l'erreur commise sur l'état du chronomètre en temps moyen. Supposons-la transformée en temps sidéral , puis en arc, et soit ^ le résultat de cette transformation, de sorte qne les angles horaires calculés P sont tous en erreur de p, leur vraie valeur étant P + ^ (P pouvant être positif ou négatif). Proposons-nous maintenant de déterminer Terreur commise en entployant dans le calcul de la latitude les angles horaires fautifs P au lieu des angles horaires vrais P+ p. Pour cela, substituons dans la formule (A), P+ ^ à P, il vient

. . . cos/co6Dsin'^(P-hp) .

*'°**~ sinj(5+/-i)) '

en développant, puis en faisant cos^ p= i et négligeant le carré de sin | p il vient

. ,. cos/cosDsin*!? 2cos icosDsiniPcosiP . .^

Remplaçons maintenant i par i + y, faisons cos | = 1 et remarquons que 2 sin ^ P cos I P==: sin P ; on a

.... t^ • t cos / cos D sin' I P , cos/cosDsinP ... «nii+co8i<smjY= ■. , . , , — frv+ ^i/ , i — îû^iûiP-

Quand on a calculé sin 1 1 par la formule

. , . cos / cos D sin* ^ P

ET POSmONS GÉOGRAPHIQUES. 387

.^ , , r 1- ^ 1 A-**^ cos/cosD sînP . , on voit donc qu on a négligé la quantité -7-77 j — =r. siii ^ p

et de plus qu'en appelant y Terreur commise sur t, on a pour déterminer Y l'équation

. - cos / cos D sin P . . ^

sm i Y = -r-T-7 -—, jr: ï"-. Sm ] fi.

Or, si les observations sont toutes très-voisines du méridien, sin \ {z + l — D) cos^i est une quantité presque constante et la moyenne de sa valeur est à très-peu près égale à sin ^ (z ^ 4- / — D), z, étant la moyenne des distances zénithales observées, car cos | i est sensiblement égal à 1. On peut donc adopter sans erreur sensible cette valeur pour toutes les observations, et en

remplaçant les sinus de ^etde | parleurs arcs, il vient

cos/ cos D û • T% sm 4 (s,4- /— D) *^

La moyenne des y sera donc égale à la quantité constante

cos /cos D -r-|-^ j — =-- p multipliée par la somme des sinus P divisée par

ie nombre des observations. Mais comme les arcs P sont très-petits, on peut admettre sans erreur bien sensible que les arcs sont proportionnels aux sinus, et dès lors la moyenne des sin P est égale au sinus de la moyenne des arcs P.

En appelant donc P, la moyenne des angles horaires des observations et y. la moyenne des y, on peut poser sans erreur notable

^ cos / cos D sin P. g ^•"' sinj(jr. +/ — D) ^'

Ainsi la vraie valeur de / — D sera z^ — t, — y,, «, étant la moyenne des i calculée avec la valeur P au lieu de la vraie valeur P+ p, comme z, est la moyenne des z et y^ celle des y. La latitude sera donc égale à z, — t, +D — y,. Orz, — i,-*- D est le nombre qu'on avait obtenu avec la valeur fautive de P : donc la correction à appliquer à la latitude obtenue sera — y, ou

— cos / cos D sin P, ^ , ,, ,. , . j .. *• ^ •*

— r-T-T î — FTT-^Pî et 1 application de cette correction évitera

sin|(j5, + /— D) ^^ ^^

de recommencer tous les calculs*

388 OCX>RDONNÉES DES ASTRES

Avec la latitude ainsi corrigée, on corrigera de nouveau la détermination de Theure par une formule aussi simple que la précé* dente et qu'on obtient en différentiant la formule générale de la trigonométrie sphérique par rapport à / et P seulement, z et H étant supposés constants. On obtiendra alors la variation de Tangle horaire avec la latitude comme nous avons obtenu sa variation avec la déclinaison dans le n* 225, et on tire de la même manière la correction de Theure. Avec cette correction on fera une nouvelle correction à la latitude et ainsi de suite par les approximations successives.

243. — Mais il est plus simple d'employer à la fois pour la correction simultanée de l'heure et de la latitude, la méthode des interpolations proportionnelles entre deux valeurs très-voisines.

Soient donc deux séries faites au théodolite répétiteur, l'une près du méridien pour la détermination delà latitude, l'autre loin du méridien pour le calcul de l'heure.

Avec la latitude approchée X, on calcule d'abord la série &ite loin du méridien et on en tire la correction approchée de l'heure. Avec cette correction et la même latitude approchée, on calcule la série pour la latitude, et on obtient une nouvelle latitude plus approchée que nous appellerons X,. On choisit alors une autre valeur de la latitude approchée que nous appellerons X + a, et qui est telle que a soit un peu plus grand et de même signe que X. — X.

Avec cette valeur X + a, on calcule de nouveau la série qui a donné rheure,eton obtient une nouvelle correction de l'angle horaire (1). Avec cette nouvelle valeur de l'heure et la latitude approchée X + oi) on calcule de nouveau la série voisine du méridien qui donne pour la latitude la nouvelle valeur x^

(i) On pouiTaitsc contenter de calculersimplement pourrhcurc la correction résultant de Taccroissement de latitude a en employant dans ce but la méthode expéditive que j*indique dans leuuméro précédent; mais si on veut une grande approximation^ le mieux est de calculer de nouveau la série entière de l'houre avec la nouvelle valeur de la latitude X 4- a, comme je viens de le dire. Ce calcul d'ailleurs n*est pas long, car dans la formule de TbeurCy on

— 2 — j ^^^ V — 2 — / ^^* °*^ changent pas, puisque la valeur de (s' — s*) employée peut rester la même. Presque toatK' calcul est déjà fait et la modification introduite par le changement de >eu X -f a n'oblige qu'à reprendre une petite partie du calcul.

ET POSmOMS GÉOGRAPHIQUES. 389

On a abrs comme dans le n® 237 pour l'expression de la vraie latitude

et la vraie latitude / est ainsi connue.

Pour avoir la vraie correction de l'heure, appelons alors (jI| la correction de Theure du chronomètre donnée par le premier calcul effectué avec la latitude \ et \l^ la correction obtenue en calculant avec la latitude X + «•

Nous avons alors, en appelant (i. la vraie correction, la proportion

fA, — jAi : a :: [a— fx» : l — ^, d*où

Ainsi on se trouve avoir la vraie latitude / et la vraie correction de l'heure \l.

 moins d'avoir fait une erreur considérable sur la latitude supposée X, auquel cas a serait grand, les valeurs définitives ainsi obtenues sont parfaites. Si a était très-grand, on ferait de nouveau les calculs avec une nouvelle latitude X + a„ a. étant très-peu différent de a et on prendrait X+a à la place de \ etX+ a. au lieu de X + « dans les formules de correction précédente ; on aurait alors à la fois la latitude et l'heure aussi approchées qu'on pourrait le désirer. Mais il faudrait que l'erreur sur a eût été considérable , d'un degré par exemple, pour qu'il fût nécessaire de recourir à cette nouvelle approximation.

Si, au lieu d'une seule série d'observations voisines du méridien on en avait plusieurs, la méthode serait la même. On calculerait toutes les séries avec la latitude X, puis avec la latitude X + «, et les latitudes Xi etX^ employées dans le calcul de la latitude exacte seraient les moyennes des résultats donnés par les diverses séries. Il en serait de même si on avait plusieurs séries pour la détermination de l'heure.

244. — Dans les séries voisines du méridien et faites en vue de déterminer la latitude, on peut, plus commodément encore que pour la détermination de l'heure, changer d'étoile dans la durée de la série, si c'est nécessaire ; il suffît simplement d'en prendre note afin d'employer les déclinaisons et les angles horaires qui

390 GOORDONNËES DES ASTRES

conviennent à chaque cas lors du calcul des angles t. La somme des i se retranche toujours de la même manière de la somme des arcs mesurés et corrigés de réfraction (la somme des corrections de réfraction s'ajoute à l'arc mesuré, il faut seulement dans le calcul de chacune d'elles avoir égard à la distance zénithale correspondante). L'arc restant après cette soustraction de la somme des i est la somme des / — D, c'est-à-dire, est égal knl — 2 D. La latitude a alors pour expression Zi — 1| +

— 9 dans laquelle z^ est toujours la moyenne des distances zénithales observées (corrigées de réfraction), t\ la moyenne des t, ZD la somme des n déclinaisons des astres observés.

Les changements d'étoiles pendant la durée des séries ont l'avantage de rendre les résultats plus indépendants des erreurs particulières existant sur la déclinaison des étoiles observées.

24S. — Si on fait deux séries, l'une au sud, l'autre au nord du zénith, sur des étoiles passant à peu près à la même distance de ce point de part et d'autre^la moyenne des résultats devient indépendante des erreurs des tables de réfraction, car ces erreurs affectent les observations en sens contraire.

En effet, en appelante' et z'' deux distances zénithales apparentes observées au méridien et r* et r" les deux réfractions correspondantes, les distances vraies sont z'+ r' et z'^+r^'; on a alors pour l'étoile qui a passé du côté de l'équateur / — D = «' -f- r' , et pour celle qui a passé du côté du pôle D' — l=iz" +r^'. De la première équation on tire /=;5'-f-r^-f-D, de la seconde /=D' — z!' — r" et, en ajoutant les deux valeurs de /, il vient 2/= D -*- D' -*-(«'— z") +{f^—r") : on voit donc que la valeur de / n'est altérée par la réfraction que

de — ^ — • Si les deux astres ont passé sensiblement à la même

distance du zénith, auquel cas r" ==/, l'effet des réfractions sur la valeur obtenue est nul. Les flexions de Tinstrument sont égàr lement éliminées de la même manière.

On voit donc que la réfraction ne peut plus intervenir que par ses anomalies, qui sont très-petites dans le voisinage du zénith. À cause de cela, il est toujours bon de choisir des étoiles qui ne passent pas au méridien par trop loin du zénith» du moins toutes les fois que l'atmosphère le permet dans la station au moment des observations*

246. — Il arrive quelquefois en voyage qu'on a besoin de détenniner la latitude dans une station, et que dans Tunique soirée qu'on peut consacrer à cette observation, l'état de l'atmosphère a empêché les observations voisines du méridien. Dans ce cas, on obtient encore la latitude à l'aide de deux séries de distances zénithales observées au théodolite répétiteur sur des étoiles éloignées du méridien.

Pour le faire voir, appelons H la moyenne des heures marquées par le chronomètre aux instants des observations de la première série, H' la moyenne des heures indiquées par le même instrument aux instants des observations de la seconde série. Prenons la différence H' — H de ces deux moyennes , transformons-la en temps sidéral en tenant compte en même temps du mouvement diurne du chronomètre, puis transformons le résultat en arc, et nommons 6 Tare ainsi obtenu.

Soient maintenant ÂR l'ascension droite de l'étoile observée dans la première série, ÂR' celle de l'étoile de la seconde série, et nommons a la différence ÂR — ÂR' des ascensions droites des deux étoiles, différence qui sera positive si ÂR est plus grand que AR', et négative dans le cas contraire.

Cela posé, si nous appelons F l'angle horaire de la première étoile à l'instant H marqué par le chronomètre, et F' l'angle horaire de la seconde étoile à Tinstant H', auquel cas F et F' sont les moyennes des angles horaires de chaque série, angles positifs à l'ouest du méridien, négatifs à l'est, nous aurons

P" = F + 9 + « d'où F'— P'=e + (i.

Soit maintenante la latitude supposée; calculons successivement les angles horaires de chaque série par les méthodes que nous avons précédemment indiquées, d'abord en employant la latitudeX — x, puis ensuite la latitude X + ^, ^ étant une petite quantité qu'on choisit arbitrairement et qu'on fait d'autant plus petite que la latitude supposée est regardée comme plus approximative. L'essentiel est de choisir x de telle sorte que la latitude vraie doive être comprise entre X — x et X +x, x étant d'ailleurs le plus petit possible.

Appelons p' et /?" les angles horaires moyens donnés par les deux séries dans Thypothèse de la latitude X — x, eip'i eip'\ les angles horaires donnés par les deux mêmes séries dans l'hypothèse de la latitude égale à X + x« On aura alors la proportion

(!>".— P'.)—(i>"-p') : 4x :: (P"— F) -(p" —p) : * ou, en remplaçant P' — F par sa valeur connue 0 + a

ce qui donnera la quantité x à joindre à X — x pour avoir la vraie latitude /, qui sera alors

La vraie latitude étant ainsi connue, on aura ensuite les vrais angles horaires par une proportion entre ceux qu'ont donnés les latitudes X — x et X + 9c, et par l'équation du n^ 229 on en déduira l'état du chronomètre.

247. — II y a avantage à ce que les deux séries soient aussi rapprochées que possible afin d'éliminer les anomalies de la marche du chronomètre ; mais comme les deux angles horaires doivent être très-différents, on choisit deux étoiles présentant une grande différence d'ascension droite. Si surtout le mouvement diurne du chronomètre est imparfaitement connu/ il y a intérêt à ce que les deux séries se suivent immédiatement afin qu'il n*y ait entre elles qu'un intervalle de quelques minutes.

Si au contraire on observe la même étoile des deux côtés du méridien, a est nul, et 0 est très-grand. On tombe alors, si l'étoile est observée à la même hauteur des deux côtés du méridien, sur l'emploi de ce qu'on appelle les hauteurs correspondantes. Les hauteurs correspondantes ne sont donc qu'un cas particulier de la méthode précédente, et outre leur incommodité, on voit qu'elles sont, à cause des anomalies possibles du chronomètre dans leur intervalle, moins exactes que l'observation immédiatement successive de deux étoiles différentes.

On peut dans chaque série changer d'étoile si l'atmosphère l'exige; on n'en prend pas moins les angles horaires moyens; seulement, dans l'équation, a est égal à la différence — ; —

n et ri étant les nombres des observations de chaque série « et ZÂR et SÂR' les sommes des ascensions droites des étoiles observées, ascensions droites répétées pour chacune d'elles autant de fois que cette étoile a servi.

248. — La méthode que je viens de décrire est applicable d'une manière très- commode au problème de la détermination en mer de la latitude et de l'heure par deux hauteurs du soleil, seulement, il faut tenir compte ici de ce que les deux observations, à cause de la marche du navire, n'ont pas eu lieu au même point : mais on sait par la boussole corrigée de la déclinaison (sa déviation du méridien) dans quel azimut on a marché, et par le loch on connaît quelle était la vitesse dans l'intervalle des deux observations.

Appelons donc 0 le temps vrai écoulé entre les deux observations et transformé en arc , y l'augmentation de longitude occidentale dans le même intervalle par suite de la marche du navire, et 3 l'accroissement correspondant de latitude : y et ^9 qui seront négatifs si on a marché vers l'est ou vers l'équateur, sont faciles à calculer et s'obtiennent par les procédés en usage dans la réduction des routes du navire.

Soient D la déclinaison du soleil à l'heure de la première obser*vation, D' la déclinaison à celle de la seconde observation, h la première hauteur observée, corrigée de réfraction, parallaxe et dépression de l'horizon; h' la seconde hauteur, également corrigée des mêmes erreurs; enfin X la latitude supposée lors de la première observation. Posons X — 5' = f, puis calculons successivement les deus angles horaires/?' eip\j répondant aux deux latitudes t et /*+ 10' et à la déclinaison' D et la hauteur h. Calculons de même les deux angles horaires p' ^ip\ , répondant aux latitudes /* + p et Z' + P+ 10' et à la déclinaison D' et la hauteur h'. Nous supposons toujours les angles horaires positifs à l'ouest : on regardera alors comme négatifs ceux qui sont à l'est.

Soit maintenant a: le nombre de minutes à ajouter à la latitude t pour avoir la vraie latitude / répondant à la première observation.

L'angle horaire de la première observation aura pour valeur

f -f ■ ' ^ X expression dans laquelle />', — p' est exprimé en

minutes.

." ^__ -jfi

L'angle horaire de la seconde observation serajo" +■ 'ia ^ et on aura l'équation

d'où

Le numérateur et le dénominateur étant réduits en minutes, cette équation donne alors la valeur de x en minutes, de sorte que la latitude est Z' + a: pour la première observation, et i' + ^+x pour la seconde observation.

Les angles horaires correspondants sont alors />' +^* ^ ^ x

pour la première observation , p" + \f^ ^ pour la seconde observation.

Cette méthode très-simple qui n'emploie que quatre calculs d'angles horaires, calculs très-rapides et très-familiers aux marins, est beaucoup plus exacte que celle de Douwes qu'ils emploient parfois, et elle egt très-expéditive sans toutefois qu'il ait été rien sacrifié de la précision.

La môme méthode pourrait être appliquée à l'observation de deux hauteurs de la lune ; seulement alors il faudrait tenir compte du mouvement de la lune en ascension droite pendant l'intervalle des deux observations. Pour cela , on réduirait cet intervalle en temps sidéral avant de le transformer en arc; et soit V sa valeur en arc ; en appelant m le mouvement de la lune en ascension droite dans le même intervalle, également réduit en arc, il suffi* rait alors dans l'équation (1) de remplacer 0 par 0'*-m, et par conséquent de faire cette substitution dans la valeur de x.

Avec une hauteur du soleil et une hauteur de la lune, le calcul serait le même; seulement on remplacerait encore 0 par 6' + «, a étant la différence des ascensions droites des deux astres au moment de leurs observations. U en serait de même si on employait dans le crépuscule la hauteur d'une planète et celle de la lune, ou, pendant un grand clair de lune, les hauteurs de deux astres quelconques. Dans ce cas, ces hauteurs pouvant être prises du même lieu on serait débarrassé du calcul de p et de y qu'on ferait alors égaux à zéro.

249.— Le problème de la détermination siroultanéedel'heureetde la latitude au moyen de hauteurs de deux astres ou de deux hauteurs d'un même astre, peut être résolu par des formules trigonométriques exactes et sans recourir aux interpolations proportionnelles. Seule-

ment cette solution n'est pas applicable aux sériesdonnées par le théo* dolite répétiteur. Dans la marine, cette même solution est trop compliquée pour les marins, et exige pour le second point d'observation la réduction de la hauteur observée en ce que cette hauteur aurait été au premier point. Dans ces divers calculs, des erreurs désignes sont trop faciles pour les marins pour lesquels les erreurs sont de la plus haute gravité par leurs conséquences. La méthode trigonométrique ne doit donc être employée qu'à terre, et elle ne peut servir que dans le cas de hauteurs simples obtenues avec un sextant et un horizon artificiel, car nous avonç vu qu'avec le théodolite on ne doit pas chercher à obtenir de hauteurs non répétées.

Bien que la méthode trigométrique soit donc rarement employée, cependant nous allons l'indiquer ici.

Nommons p le pôle et e et e' les positions des deux astres quand on a observé les deux distances zénithales corrigées de réfraction js' et js".

Appelons / le temps écoulé entre les deux observations, réduit en temps sidéral ; transformons-le en arc et soit 0 le résultat de cette transformation. Appelons toujours, comme précédemment a la différence ÂR — ÂR' des ascensions droites des deux astres.

Dans le triangle epé^ la valeur de l'angle epé est connue, car elle est égale à 0 4 a. Les côtés ep et ep' sont également connus, car ce sont les compléments des déclinaisons des astres observés. On a donc l'équation

CCS ee' = sin D sin D' + cos D cosD' cos (6 + a),

ou en remplaçant cos (0 + a) par 2 cos *i(8 + a) — 1 et en retranchant chaque membre de l'unité

An* \ e«' = cos* J (D-t-D')— cosDcos IKoos^ (6 -h «) :

en posant donc

sin» y = cos D cos D' cos" J (ô + a), on a

.in4e«'=co, (^ + y) cos (5+»! - y),

ce qui donne ee' par une formule logarithmique : nous appellerons A cet arc maintenant connu.

On a ensuite l'angle peé par la formule du rapport des sinus des oAtés aux sinus des angles opposés, ce qui donne

396 COORDONNÉES DES ilSTRES

sin ee' sinA

Appelons maintenante le zénith; dans le triangle ezé^ on connaît les trois côtés, car nous venons d'obtenir ee\ et les côtés ^: et éz ne sont autres que les distances zénithales js^ et z".

On aura donc l'angle zee' par la formule

^ sinasin(a'£)

formule dans laquelle on a fait «=5 (^ + ^' + A \

Connaissant les angles peé et zee\ on connaît leur somme ou leur différence qui n'est autre que l'angle /)^z que nous appellerons b. Dans le triangle jo^z, on connaît donc l'angle 6, le côU* adjacent ez qui est égal à la distance zénithale 2! et le côté ep qui est le complément de la déclinaison D de l'étoile e. Le côté pz est le complément de la latitude, /est donc donné par l'équation

sta / = cosz' sin D + sin js' cos D cos6,

équation dont on rendra le calcul logarithmique en posant cos 6=2 cos*| d — 1 et en retranchant les deux membres de Tunité. Il \ient alors

sin' (45»— i /)=sin» (45 — i (D — «0) — sin Jt' cos D ces* 4*,

ou en posant sin* y' = sin z' cos D cos* \ b

in- (45*-iO = sin ^46*-5^ + y'^sin Us"— £=li' -y').

sin

La latitude étant ainsi connuei on obtient l'angle horaire dans le triangle ;s /> 6 par la règle des sinus, on a en effet,

sin 2' sin 6

sm %pe =

cos/

Cette méthode admet deux solutions, suivant qu'on a fait l'angle b égal à la sonune ou à la différence des deux angles peefelze^. Les conditions de l'observation font généralement savoir laquelle des deux valeurs de b doit être adoptée, car le plus souvent on reconnaît

à vue si Tangle b est égal à la somme ou à la différence des deux arcs en question. Dans le cas de doute, on obtient avec les deux valeurs de i deux latitudes très-différentes, et la connaissance de la latitude approchée fait savoir laquelle des deux solutions on doit adopter.

250. — Siy au moyen des méthodes que nous avons précédemment exposées, on détermine les dis^nces zénithales méridiennes d'une même étoile circompolaire à son passage inférieur et à son passage supérieur , en ramenant, par les procédés que nous avons indiqués, les observations circumméridiennes à ce qu^elles auraient été au méridien même, la latitude obtenue est indépendante de la déclinaison de l'étoile observée.

En effet, en appelant z la distance méridienne de l'étoile à son passage supérieur, on a D — /= z, et en appelant js' la distance méridienne de la même étoile à son passage inférieur, on a 180* — D — / = js' ; la première équation donne / = D — jb, la seconde /= 180* — D — z'\ et ajoutant ces deux valeurs de /, il vient

/=90" — iiti!.

On voit donc que la déclinaison de l'étoile employée disparaît du résultat.

Malgré cet avantage, la détermination de la latitude par les étoiles circumpolaires est inférieure en précision au résultat qu'on obtient par les observations de deux étoiles passant au nord et au sud du zénith, à peu près à la même distance, car les réfractions et les flexions de l'instrument ne sont pas éliminées dans le cas d'une étoile circompolaire, comme elles le sont dans celui de deux étoiles passant au nord et au sud à égale distance du zénith. En effet, en appelant /et f les flexions supposées du côté de l'objectif, '^ et r' les réfractions, et z, et jz/, les distances observées, on a z = z, +f— ^jz/ziTz', +1^ — f. En substituant ces valeurs décret de z' dans la valeur de /, on a pour les circompolaîres.

et on voit ainsi que le résultat est affecté de la moyenne des réfractions et de la moyenne des flexions. Il est vrai que si l'étoile observée est très-voisine du p61e, et si la latitude est grande, les

398 GOORDONNËXS DES ASTRES

deux passages ayant lieu à peu de distance du zénith, les réfractions sont petites, de sorte que Terreur qui peut provenir d'elles est très-faible. H en est de même des flexions, surtout si rinstrument est petit. Mais dans les basses latitudes qui renferment la majeure partie des contrées inconnues, les réfinctions sont très-grandes pour les circompolaires, et Taj^antage d'éviter les déclinaisons qui sont d'ailleurs très-approximativement connues, est très-minime comparativement aux inconvénients que cette méthode entraîne.