DE LA LUNE

251. — Dans le n'^S, nous avons indiqué brièvement (pageS), comment on peut, avec la lunette méridienne, obtenir la longitude d'un lieu à l'aide d'observations faites à la lunette méridienne, et dans la théorie des instruments méridiens que nous avons exposée page 162, nous avons fait voir comment peut être effectué le placement de l'instrument dans le méridien, et conmient les observations peuvent être affranchies de l'effet des erreurs instrumentales, de façon à obtenir l'ascension droite d'un astre quelconque et par suite celle de la lune à un instant donné. La théorie delà détermination des longitudes par des observations méridiennes de la lune est entièrement comprise dans ces théories. Nous reviendrons au reste plus tard sur la méthode de détermination des longitudes par les passages méridiens de la lune , méthode dite des culmmatiom lunaires et nous allons nous occuper d'abord de la détermination des longitudes au moyen des observations de bau* teurs de la lune au-dessus de l'horizon.

Les observations de hauteur de la lune faites dans le but d'obtenir les longitudes, doivent être très-précises, et cette circonstance exige qu'elles soient faites avec le théodolite, et surtout avec le théodolite répétiteur. Avec les instruments de réflexion, on emploie de préférence la méthode dite des distances lunaires dont nous parlerons plus loin, et qui consiste à mesurer la distance de la lune à une étoile ou au soleil.

252. — Nous nous occuperons d'abord des observations faites avec le théodolite.

Le principe de la méthode consiste à déduire des distances zénithales de la lune observées à une heure connue du lieu, l'ascension droite de la lune. Cherchant alors dans les éphémérides rheure où , sous le premier méridien , l'ascension droite de la lune a la valeur trouvée, la différence de l'heure du lieu et de celle du premier méridien donne la^ longitude exprimée en temps. On n'a plus alors qu'à la réduire en arc.

Afin de rendre les mesures plus indépendantes delà réfraction, au lieu de mesurer directement les distances de la lune au zénith, il vaut mieux prendre les différences de hauteur de la lune et d'une étoile voisine. L'heure connue du pointé sur l'étoile permet d'avoir l'angle horaire de cette dernière, et d'en déduire au moyen de sa déclinaison sa distance au zénith. On ajoute ou on retranche ensuite la différence de hauteur avec la lune, suivant que la lune était plus basse ou plus haute que l'étoile, après avoir toutefois corrigé cette différence de l'influence des réfractions, et on a la distance de la lune au zénith, à l'instant du pointé sur cet astre, comme si on avait observé cette distance directement. Mais il est évident dans ce cas que si on a eu soin de choisir une étoile dont la hauteur diffère très-peu de celle de la lune, les réfractions seront très-peu différentes pour les deux astres, et la différence des réfractions subies,* différence qui représente alors la correction de la réfraction, sera très-petite par rapport à la réfraction totale que la lune éprouve. Si donc les tables de réfraction ne sont pas très-exactes , l'erreur commise sera, par l'emploi du procédé que nous indiquons, réduite dans le rapport de la ditTérence en question à la réfraction totale. De plus il y a des chances pour que les anomalies de réfraction qui peuvent se produire affectent sensiblement les deux astres de la même manière et disparaissent du résultat , puisque ces deux astres sont dans la même région du ciel, de sorte que leurs rayons ont traversé des couches d'air peu éloignées les unes des autres. Enfin, les flexions de l'instrument sont sensiblement aussi les mêmes pour les deux astres, et disparaissent du résultat.

Si on observait les passages de la lune et de l'étoile par la même hauteur, c'est-à-dire sous le fil horizontal de l'instrument (la lunette conservant le même angle avec l'horizon) la différence des réfractions et celle des flexions disparaîtrait complètement. Cette méthode d'observation semble donc encore préférable à la précé-

dente. Elle a encore un autre avantage, qui consiste en ce qu*on n'a pas à introduire la mesure de Tare indiquant la différence des hauteurs, mesure sur laquelle on peut commettre encore quelques petites erreurs. Il est vrai que si les passages des deux astres étaient séparés par un long intervalle de temps, ce dernier avantage serait compensé par Tinconvénient résultant de ce que dans cette durée, le chronomètre peut avoir des anomalies dans sa marche (chose qui a bien fréquemment lieu pour les chronomètres fatigués par les transports d'un voyage sur terre). Mais on peut choisir une étoile qui soit presque à la même hauteur que la lune, de sorte que Tintervalle des passages ne soit guère plus long que celui qui aurait lieu pour obtenir deux pointés consécutifs, et alors le chronomètre n'a plus le temps de varier sensiblement ; d'ailleurs il ne varie pas plus que dans l'autre méthode. L'inconvénient de la méthode des passages par la même hauteur vient donc uniquementde l'intervention des équations personnelles, intervention plus grande que dans le cas des pointés. Lorsque la lune est pleine, on ne voit pas assez bien les étoiles du voisinage pour les pointer avec les petites lunettes des théodolites, et on est obligé de choisir une étoile un peu éloignée en azimut. Il en résulte que si on répète plusieurs fois les observations, la même étoile ne peut continuellement servir. En effet, les différences de hauteur des deux astres vont en croissant, de sorte que les intervalles des passages croissent aussi. Mais on peut remédier à cela en changeant d'étoile quand il est nécessaire.

2S3. — Lorsqu'on observe les passages de la lune et d'une étoile par la même hauteur, on a l'avantage, si on retourne chaque fois l'instrument de manière à opérer alternativement dans la position directe et dans la position inverse de ce dernier, de mesurer directement sur le limbe les doubles distances zénithales de Tétoile observée. Cette circonstance permet d'employer à la détermination de l'heure du lieu les pointés effectués sur Tétoile, de sorte que la détermination de l'heure se trouve faite en même temps que celle de la longitude. En voyage, l'expérience m'a appris que cette simultanéité est d'un avantage inappréciable, car, je le répète, on ne peut compter sur la marche régulière d'un chronomètre ayant voyagé par terre. Les chronomètres de poche ne sont jamais parfaits, et les chronomètres de marine, au milieu des difficultés d'un voyage continental en pays inconnu, ne peuvent être transportés avec le»

ET POSITIONS GÉOGRAPHIQUES. ÛOl

soins suffisants. Le choc et les secousses ne tardent pas à déterminer dans leur marche des anomalies notables. De plus, quand on observe en plein air, ces instruments se trouvent soumis à des variations rapides de température, et la compensation est insuffisante pour en empêcher les inconvénients, car les divers métaux employés ne s'échauffent pas avec la même vitesse. Enfin, la pratique apprend qu'un métal ne se dilate pas d^une manière continue, mais par sauts brusques successifs. La marche de l'instrument est sans cesse variable, et il m'est arrivé de constater des anomalies dans l'intervalle de temps nécessaire pour faire deux séries distinctes d'observations au théodolite répétiteur, surtout quand ces séries étaient un peu prolongées.

D est donc d'une très-grande importance que l'heure se trouve déterminée par la même série d'observations que la longitude, et non avant ou après.

Le procédé dont je viens de parler ne nuit nuUement à l'emploi de la répétition de l'instrument. En effet, avec le théodolite répétiteur, supposons qu'on ait mis d'abord les zéros des deux limbes en coïncidence, puis qu'on attende le passage de la lune par une hauteur donnée. Notons l'heure de ce passage, et avant de toucherde nouveau àl'instrument, effectuons les lectures du niveau. Cela posé, sans rien changer à la hauteur de Tinstrument, changeons l'azimut pour diriger la lunette vers l'étoile et attendons le passage de cette dernière, dont nous noterons l'heure. Après ce passage, effectuons de nouveau les lectures du niveau pour nous assurer si la hauteur de la lunette n'a pas varié dans le changement d'azimut. En général, quelque soin qu'on ait pris à niveler, il y aura un changement auquel contribue d'ailleurs le défaut de stabilité du pied de l'instrument. Mais cela ne fait rien, la différence des lectures du niveau aux deux pointés sur la lune et l'étoile, différence réduite en arc à l'aide de la valeur connue des divisions du niveau, fait connaître de combien de secondes d'arc le passage de la lune a été observé plus haut ou plus bas que celui de l'étoile, et on tiendra compte de cette correction dans le calcul.

Maintenant, détachons le limbe alidade et faisons prendre à Tinstrument la position inverse, attendons le passage de la lune par une hauteur donnée, notons l'heure de ce passage et la position de la bulle du niveau. Puis déplaçons l'instrument en azimut, sans changer la hauteur de la lunette, pour viser à lëtoile,

notons Theure du passage de cette dernière derrière le fil horizontal et observons la position du niveau. La différence des lectures du niveau dans la position inverse nous fera de même connaître la quantité dont la lune a été observée plus haut ou plus bas que l'étoile.

Cela posé, effectuons la lecture du limbe, puis, sans rien changer à la position relative des deux cercles, donnons de nouveau à l'instrument la position directe, de manière à recommencer l'opération en prenant pour point de départ la lecture qui répond à la situation actuelle des limbes. Nous obtiendrons après les mêmes opérations, position directe et inverse, une seconde lecture, avec laquelle nous reprendrons l'opération entière, et ainsi de suite. On voit de cette manière que les doubles distances zénithales s'ajouteront consécutivement sur le limbe. La lecture finale donnera donc la somme des distances zénithales de l'étoile observée, et les différences successives des lectures consécutives donneront la série des doubles distances zénithales du môme astre.

Considérons maintenant sur le cahier où les observations ont été enregistrées, la série des opérations faites sur l'étoile seulement. Cette série est en tout semblable à celle qu'on aurait effectuée pour une détermination d'heure. Comparant les lectures du niveau dans les pointés inverses de l'étoile aux lectures dans les pointés directs, nous déduirons de leurs différences (n* 1 3) les corrections à appliquer aux arcs successifs, afin d'avoir les vraies distances zénithales telles qu'on les aurait obtenues si le niveau n'avait pas varié. On corrige alors de la réfraction ces doubles distances apparentes, et on a les doubles distances vraies. On calcule ensuite l'angle horaire correspondant à la moyenne des instants des deux pointés répondant à chaque double distance zénithale, en suivant pour cela la méthode que nous avons donnée (n®217). Puis on fait la moyenne des angles horaires de toutes les opérations , et la moyenne des heures marquées par le chronomètre pour les pointés effectués sur rétoile. De l'angle horaire moyen, on tire l'heure exacte répondant à l'instant moyen, et la différence avec l'heure du chronomètre donne la correction de cet instrument. On corrige alors les heures marquées par le chronomètre aux instants des pointés sur l'étoile afin de les ramener à l'heure réelle, et on calcule les distances zénithales de l'étoile pour tous ces instants (n^ 232), distances qui se trouvent alors connues sans être affectées comme leurs pro-

près mesures individuelles par les erreurs de lecture faites sur ïïnstrument.

Toutefois, on peut abréger le calcul des distances zénithales de l'étoile à chacun de ses pointés. En efiet, en appelant z\ z\f ^1 .... les distances zénithales pour les pointés positions directe et -'♦Aj-a^'i.- les distances correspondantes pour les pointés inverses,oDalesvaleursdez'+z",z'i + z"i,z', + z",,... quisontdonnées par les différences des lectures consécutives du limbe, et on a déjà été obligé pour l'obtention de l'heure de calculer les sommes deux à deux des angles horaires correspondants />'+/?",yi+/?"i,... pour l'obtention desquels on a eu à calculer les valeurs de p — fy p\ — p"i, etc., qui ne sont autres que les différences des heures données par le chronomètre aux instants des pointés directs et inverses sur l'étoile, différences réduites en temps sidéral puis en arc. Au moyen de ces valeurs dejo' — p'\p\-^p'\ ^^ ^ eu également pour le calcul des angles p +/>", p\ + p'\ à déterminer les arcsz' — «"jjs'i — j5"i, Or, ces arcsz' — z", etc., ont pu

être déterminés par les procédés expéditifs que nous avons indiqués ; mais on peut aussi les avoir par la formule précise (n^ 218)

' sinz \ 2 y

formule dans laqueUe a = / — D, A = /-|-Detz= — 5 — >

quantités connues.

Or, lesz' — z" étant ainsi connus, de même que les si -4-^', on en déduit les z' et les z'', et on a alors toutes les distances zénithales de l'étoile qui ont donné l'heure.

n est vrai que les z', z", z'i, s^\ ainsi obtenus, sont affectés

des erreurs des lectures intermédiaires du limbe; mais leur somme n'en est pas moins rigoureuse, puisque si l'une des lectures intermédiaires est augmentée, deux des arcs z* et z'^ ont, à la vérité, été augmentés, mais les deux suivants ont été diminués de la même quantité. La moyenne des hauteurs lunaires qu'on déduira de cesz',z",jz'„j5",, etc. ainsi calculés, en y ajoutant seulement les corrections dues au niveau et provenant des différences aux pointés lunaires et stellaires^ sera donc également rigoureuse. Seulement certaines hauteurs seront augmentées de la quantité dont

les autres sont diminuées^ et Tascension droite moyenne de la lune déduite de l'ensemble des pointés effectués sur cet astre sera aussi exacte que si chaque hauteur individuelle avait été rigoureuse.

Au point de vue de la rapidité des calculs, il y aura donc avantage à opérer comme nous l'avons dit en dernier lieu. Le premier procédé de calcul ne donnerait pas non plus rigoureusement les hau« teurs individuelles, car il suppose nulles les anomalies chronométiiques. Si ces anomalies existent, comme cela a lieu en général, les hauteurs individuelles sont aussi altérées, mais les moyennes ne sont pas changées, comme il est facile de le reconnaître.

Une fois les distances zénithales de Tétoile connues, comme nous venons de le dire, pour chacun des pointés de cet astre, on en tire celles de la lune en ajoutant les corrections provenant des diflërences de niveau aux pointés de la lune et de Tétoile, et on a les distan* ces zénithales apparentes de la lune déjà corrigées de réfraction, mais encore affectées de parallaxe et trop grandes ou trop petites d'un arc égal au demi^diamètre si on a visé à un seul bord de la lune. Si on avait observé les passages des deux bords, on aurait pris l'heure moyenne, qui aurait donné le passage du centre, quel que fût d'ailleurs l'aplatissement de l'astre par la réfraction, car chaque bord, en arrivant à la même hauteur, aurait été affecté de la même erreur de réfraction, qui est aussi celle qui aurait affecté le centre à cette hauteur. On ramène les observations au centre de l'astre, s'il y a lieu , en ajoutant, si on a observé le bord supérieur, le demirdiamètre amplifié d'après la distance zénithale connue, et en retranchant ce demi-diamètre si on a observé le bord inférieur, puis on fait la correction de la parallaxe , et on obtient ainsi les distances zénithales vraies de la lune aux instants marqués par le chronomètre. On corrige ceux-ci de leur erreur d'après la correction de l'instrument donnée par l'observation de l'étoile, et on a définitivement les distances zénithales vraies de la lune à une série d'heures connues du lieu d'observation.

254. — C'est ici le moment de faire une remarque importante au sujet de l'absence d'influence sur le résultat de la part de toute erreur provenant de la réfraction . Nous avons dit qu'à cause de l'égalité des hauteurs des deux astres, ces erreurs n'existaient pas. Cependant, dans le calcul des distances zénithales de Tétoile, nous avons qouté la réfraction aux distances apparentes mesurées, et c'est aux dis-

tances ainsi corrigées que nous avons appliqué les corrections données par le niveau, puis celles du demi-diamètre et de la parallaxe afin d'avoir les distances zénithales de la lune. U semble donc au premier abord que nous avons introduit les corrections de réfraction dans le résultat, mais il n'en est rien, puisque nous avons changé l'heure correspondante. En effet, en introduisant par le calcul des réfractions une erreur qui altère la distance zénithale de l'étoile, la correction du chronomètre est modifiée ; il faut donc, comme en effet cela résulte de notre mode de calcul, que cette même erreur affecte la distance zénithale de la lune afin qu'il y ait compensation. La compensation, toutefois, ne serait tout à fait rigoureuse que si les deux astres avaient la même déclinaison, parce qu'alors un môme changement sur la hauteur altérerait l'angle horaire de la même quantité pour chacun d'eux. Mais comme cette condition n'est pas rigoureusement remplie, il reste une petite erreur ; toutefois cette erreur est trèspetite comparativement à celle qu'on aurait faite dans des mesures directes de la hauteur de la lune , effectuées à l'heure réelle du lieu donnée par un instrument méridien, par exemple, instrument par lequel Theure obtenue ne serait affectée d'aucune erreur provenant de la réfraction.

Pour le faire voir, appelons F l'angle horaire de la lune altéré de la parallaxe d'ascension droite, et D' la déclinaison affectée de la parallaxe de déclinaison au moment où le centre de l'astre passe par la distance zénithale z. Appelons P l'angle horaire de l'étoile et D sa déclinaison, on a les 2 équations

,. ( cos«=8in/8inD'-(-cos/cosD'cosF l co8«sssin/sinD4-cos/cosDcosP.

Les erreurs que la réfraction introduit sur z sont les mômes dans les deux équations ; nous les ferons égales à «, de sorte qu^au lieu de la distance z^ on a calculé avec la distance z 4- a ; les erreurs correspondantes sur F et P seront obtenues en remplaçant dans les équations précédentes, en môme temps qu'on substitue z 4- « à z, P par P + ç,^P' par F -f ç', et comme « est trèspetit, de môme que f et <p', on pourra faire cos a, cos f et cos i %aux à 1 y et les sinus des petits arcs a, 7 et f ' pourront ôtre remplacés par les arcs eux-mômes. En faisant ces substitutions

S (o), et en ayant égard à ces éqaati<

mêmes, U vient

a sin « = (f' cos / cos D' sin P' a sin « = f cos / cosD sin P.

Or, remarquons que dans le triangle formé par le pôle, le zénith

et un astre, on a d'après la règle des sinus -t— s^ = -. — > a étant

'^ ^ smP sin a

l'azimut deTastre compté du méridien ; on en tire

sin 2 sin a =: cosD sin P.

En appelant donc a' Tazimut de la lune et a celui de l'étoile, la relation que nous \enons d'indiquer transforme les équations (6) en

a = ff'cosls\na' a = f cos/sina d'où

^ ^ V^^s'sin^' cos /sin a/'

f ' — f est l'erreur commise sur la différence |& des angles horaires des deux astres, aux instants de leurs passages à la distance zénithale z. Otj comme cette différence |a jointe à l'intervalle observé des passages en temps sidéral , intervalle réduit en arc, est la quantité à retrancher de l'ascension droite de l'étoile pour avoir l'ascension droite apparente de la lune, il s'ensuit que, par l'effet des erreurs sur la réfraction, l'ascension droite de la lune sera en erreur seulement de cette quantité f' — f . Si au contraire on avait directement mesuré la distance zénithale de la lune, sans faire intervenir une étoile passant par la même hauteur, l'erreur sur l'ascension droite eût été égale à l'erreur sur l'angle horaire ou à f', qui est égal lui-même à

— , . ,. Si donc les deux astres ont été observés dans des azimuts coslsina

peu différents, ce qui aura lieu si la différence des déclinaisons est

petite, il est clair queç' — ?, c'est-à-dire — >( -: — > ; — ) est

^ ^ u T Tj cos/\sma sinfl/

très-petitpar rapport à — ^.. Ainsi par la méthode en que^

tion, l'erreur des réfractions est presque annulée. Remarquons d'ailleurs que a ou l'erreur sur la distance zénithale $ ne seoompose

pas seulement de Terreur introduite par la réfraction et qui affecte de la même manière les distances zénithales pour les deux astres, mais elle se compose de Terreur de réfraction, plus celle de flexion, plus enfin ceUe des lectures, et c'est l'ensemble de toutes ces erreurs réunies qui affecte les observations des deux astres de la môibe manière. Toutes les fois donc que sin a =sin a', ces diverses erreurs réunies n'altèrent pas Tascension droite de la lune donnée par les observations, laquelle par notre méthode est alors obtenue d'une manière tout à fait indépendante de ces erreurs, tandis que par les mesures directes de la distance zénithale de la lune, Tascension droite obtenue pour cet astre aurait été affectée des erreurs en question. L'angle horaire de l'étoile qui nous donne l'heure, est, 0 est vrai, modifié par ces erreurs, et il en résulte sur la longitude une erreur égale à celle qu'on commet sur cet angle horaire. Mais si Terreur avait porté sur Tascension droite de la lune, son efTet sur la longitude aurait été trente fois plus grand, puisque la lune emploie environ 30 jours à se mouvoir de 360** en ascension droite, tandis que Tangle horaire de l'étoile varie de 360^ en un jour. Sin a peut être égal à sin a! de deux manières, si a = a' et si a =180 — d. Pour que a = a', il faut que les deux astres soient de même déclinaison, de façon à passer par le même point. Mais en général la clarté de la lune empêche d'observer des étoiles dans son voisinage immédiat. Il est donc bon^ autant que possible, de choisir des étoiles dont la distance au premier vertical soit égale à celle de la lune, mais du côté opposé de ce premier vertical, auquel cas on a a = 180 — ci etsina=:sina'.Âmoins que la lune ne soit elle-même dans le premier vertical, cette condition est facile à remplir, et alors les erreurs de réfraction, de flexion et de lecture du limbe n'influent pas sur la détermination de Tascension droite de la lune.

mm

255. — L'équation az=çcos/sin a, d'oîi on tîreç= — 7-: — 5 ^ ^ ^ cos/sma

nous apprend que Terreur f sur Tangle horaire est minimum quand sin a=: 1, c'est-à-dire quanda=:90*, ou encore, en d'autres termes, dans le premier vertical. On a donc avantage pour la détermination de Theyre à choisir une étoile peu éloignée du premier vertical. Toutefois, comme sin a varie très-lentement dans le voisinage de 90*, on voit qu'on peut choisir sans inconvénient une étoile à plusieurs degrés du premier vertical, et placée par rap-

m COORDONNÉES DES ASTRES

port à ce grand cercle, autant que possible, symétriquement à la lune. L'avantage d'éliminer alors l'influence des erreurs de lecture, de flexion et de réfraction sur la détermination deTascension droite de la lune, est trop important pour le sacrifier à la condition de prendre Tétoile rigoureusement dans le premier vertical, chose dont l'avantage réel peut d'ailleurs être regardé comme nul, tant qu'on ne s'écarte pas trop de ce grand cercle.

256. — Outre les erreurs dont nous venons d'examiner les effets, les autres erreurs d'observation que l'on peut commettre sont rdatives à l'appréciation des instants des passages des astres par le fil horizontal. Soit h' l'heure réelle sidérale du passage de la lune derrière le fil de l'instrument, à la hauteur que ce dernier occupe^ et h l'heure réelle du passage de l'étoile. Pour avoir l'ascension droite apparente de la lune, il faut retrancher de celle de l'étoile la somme de la différence h' — h réduite en arc et de la différence F — P. Mais l'observateur, au lieu de noter l'heure A', a pu noter l'heure A'-f-P', et au lieu de A, A -H p. La différence p' — p réduite en arc sera donc une erreur qui se reportera sur l'ascension droite de la lune.

Or p' et P sont des quantités dont l'ordre de grandeur est celui des erreurs qu'on commet dans l'appréciation du temps. Ce sont des erreurs de môme ordre, par conséquent, que celles que l'on commet dans les estimations des passages méridiens, où les différences d'ascension droite sont également affectées d'erreurs telles que P>^ — p. Donc les erreurs commises dans l'appréciation du temps, introduisent sur la longitude des erreurs de même grandeur dans les culminations lunaires ou dans la méthode dont j'ai exposé le procédé d'observation. Gomme dans cette méthode, ce sont les seules erreurs qui restent si l'azimut de l'étoile est convenablement choisi par rapport à celui de la lune, on voit que notre procédé est aussi précis, au point de vue des erreurs d'observa* tion, que celui des culminations, puisqu'il n'est précisément affecté que par les mêmes erreurs et de la même manière.

Le seul inconvénient que la méthode en question possède par rapport aux cukninations, consiste en ce qu'il faut appliquer de$ corrections de parallaxes, de sorte que si la valeur de la parallaxe tabulaire, ou celle du rayon terrestre calculé d'après l'aplatissement moyen et à l'aide duquel on réduit la parallaxe horizontale à celle du lieu , sont en erreur, le résultat s'en ressent. Mais, si on

ET POSITIONS GÉOGRAPHIQUES. m

remarque qu'à Test la parallaxe augmente l'ascension droite de la même quantité dont elle la diminue à l'ouest pour la même distance zénithale, on voit que la moyenne de deux opérations faites des deux côtés du méridien, est indépendante de la parallaxe si les hauteurs sont rigoureusement égales. Il est vrai que la parallaxe tabulaire varie dans l'intervalle des deux séries en question, mais la grandeur de cette variation est connue par les tables avec exac* titude, de sorte qu'en tenant compte de cette variation, les erreurs introduites par la parallaxe disparaissent également. Si les hauteurs, à Test et à l'ouest, ne sont pas égales, la différence de leurs résultats permet également d'obtenir la correction de la parallaxe pourlelieu d'observation, comme nous le verrons plus loin. Ainsi, rineonvénient des parallaxes n'existe pas, si les observations sont convenablement dirigées.

Par contre, notre méthode offre sur les culminations l'avantage d'opérer avec des intervalles chronométriques toujours plus petits entre les passages. Par là on évite les erreurs provenant des anomalies du chronomètre, anomalies bien graves, surtout pour les instruments qui ont été transportés par terre dans les voyages lointains, et qui ont beaucoup souffert du cahot des transports. Elle permet en outre de répéter plusieurs fois l'opération dans la même journée, et par là, on arrive en moins de temps à plus de précision qu'avec les culminations. Enfin, elle n'exige pas la stabilité de l'instrument en azimut, condition irréalisable en voyage d'une manière absolue avec les pieds portatifs. Or, l'absence de cette stabilité azimutaledes instruments jette sur la méthode des culminations de grandes incertitudes, aussi bien que les anomalies des chronomètres.

En somme, la pratique m'a appris que la méthode d'observation que je viens d'indiquer est en voyage beaucoup plus pratique que celle des culminations. Elle est, en outre, d'un usage plus fréquent, moins sujette à être empêchée par le mauvais temps, et enfin plus sûre comme résultat. Nous allons maintenant indiquer le moyen de calculer les observations.

257. — Je conunencerai d'abord par faire remarquer que la méthode de calcul est la même, soit qu'on ait mesuré des différences de hauteur de la lune et d'une étoile, soit qu'on ait observé des passages de la lune ou d'une étoile par la même hauteur. Dans un cas comme dans l'autre, après le calcul des distances zénithales de

&iO COORDONNÉES DES ASTRES

rétoile aux instants où elle a été observée, calculs dont nous avons déjà parlé, on, arrive à connaître finalement une série de distances zénithales de la lune affectées de parallaxes et les heures du lieu correspondantes.

Le cas même où on aurait directement mesuré des doubles distances zénithales de la lune peut encore se ramener au cas précédent^ car nous avons vu les moyens de calculer les angles horaires avec les doubles distances zénithales d*un astre dont la déclinaison varie (n*" 222), doubles distances corrigées de parallaxe. On peut donc, par les formules que nous avons données, calculer les V +2?" et les li — js" corrigés de réfraction et de parallaxe et on en tire les z' et les z'' vrais. On arrive donc toujours finalement à des séries de distances zénithales vraies de la lune (et par conséquent de distances zénithales affectées de parallaxe comme dans le cas précédent en ajoutant à ces distances vraies les correo- . tions de parallaxes primitivement retranchées pour les obtenir), pour chacune desquelles on connatt l'heure du lieu correspondante. Cela posé, appelons L la longitude approchée du lieu exprimée en temps et L + ^ la vraie longitude, x étant la quantité à déterminer et représentant un certain nombre de secondes de temps. Nous supposerons de plus que la longitude est comptée vers Touest, de sorte que L et L + x représentent des longitudes occidentales. Soit H rheure sidérale du lieu à laquelle a été faite une observation et pour laquelle, par conséquent, on connaît la distance zénithale apparente de la lune corrigée de réfraction. Cette heure sidérale est précisément l'ascension droite de l'étoile observée, plus son angle horaire en temps, au moment du pointé sur la lune, lequel angle horaire est l'angle horaire observé de l'étoile, plus ou moins l'intervalle du pointé de la lune et de l'étoile mis en temps sidéral. H + (L + a:) sera l'heure sidérale correspondante au premier méridien. Nous transformerons H -hL en temps moyen du premier méridien, et nous aurons dans les tables la parallaxe horizontale équatoriale ic répondant à cet instant que nous appellerons H, , puis nous prendrons le mouvement horaire de la parallaxe, que nous appellerons to, et la parallaxe à l'instant de l'observation sera alors ir + to^.

De la parallaxe horizontale équatoriale i? nous déduirons la parallaxe horizontale locale par les méthodes connues, et de cette dernière nous tirerons, à l'aide delà distance zénithale apparente

ET POSmOMS OfiOGRAPHIQUES. &li

du centre de l*astre, la parallaxe de hauteur que nous retrancherons de la distance observée, et nous aurons la distance zénithale vraie de lalune, que nous appellerons jzp, laquelle sera altérée seulement de la correction de la parallaxe wx. A cause de la petitesse des deux facteurs w et Xj nous calculerons Teffet de cette correction wx sur la distance zénithale sans tenir compte de la diSérence des zéniths Trais et apparents , de sorte que l'effet sur la hauteur sera wx multiplié par le sinus de la distance zénithale observée, ou en appelant to' la valeur de w multipliée par ce sinus, la distance zénithale vraie de la lune sera z — wlx.

Nous chercherons également dans les tables l'ascension droite et la déclinaison de la lune répondant à l'instant Hi du premier méridien. Soient A cette ascension droite et D cette déclinaison, D étant positif dans l'hémisphère boréal, négatif dans l'hémisphère austral. Nous prendrons également dans les tables le mouvement horaire de la lune en ascension droite à l'instant Hi , et soit m ce mouvement exprimé en secondes d'arc. Soit également n le mouvement horaire du même astre en déclinaison au même instant^ n étant positif si la lune marche vers le pôle boréal, négatif si elle marche vers le pôle austral; alors l'ascension droite réelle de la lune

àrinstantH + h+x sera A + ^^t^t x. et la déclinaison réelle

ooUU

l'ascension droite ainsi que la déclinaison de la lune qui doivent entrer dans le calcul seront

Soient maintenant P l'angle horaire que la lune aurait pour la distance zénithale z si sa déclinaison était D, et P-t- y son angle horaire pour la déclinaison D -F rix et la distance z — w'x. On aura les deux équations .

cosjs=sin/ sinD-^cos / cosDcosP cos (5— ti;'a:) = sin/sin (D+n'j:)-hcos/cos(D 4-nar)cos(P4-y).

La première équation qui peut se transformer en la suivante

ài2 COORDONNÉES DES ASTBES

t,„,. I p ^ sinU. + (/~D)] sinj [;.-(i-^D)] ^ ^ cosi(/+D+â)co8 4(/ + D— a) ^

nous fait connaître la valeur de P.

La seconde équation, en la développant et eo ayant ^ard à la première, et remarquant de plus que, vu la petitesse des arcs, cos n'Xj cos w'x et cos y peuvent être remplacés par l'unité, tandis que le produit sin rix sin y étant du deuxième ordre peut être négligé, devient

sin z sin ufx + (cos / sin D cos P — sin / cos D) sin n'x

= — cos / cosD sin P sin y,

ou, en remplaçant les sinus par les arcs

tangDcosP — tang/ , sinz ,

^ sinP cos^cosDsinP

L'angle horaire réel de la lune est P — ( — ^ . ~ — — «'+

° V sm P

sinz ,\ , tangDcosP — tang/ .

7 T7-T-75 II/ 1 a:; ou, en posant - — 2 — 2 n ^

/cosDsmP j ^ ^ tr gjjjp

j — ^ . -^ w':=.k. cet angle devient P — kx. P et A: étant

cos/cosDsmP ' ° '

connus.

L'ascension droite de la lune étant alors égale à l'heure sidérale moins son angle horaire, on a pour la valeur de cette ascension droite, d'après l'observation H — V + kx. Mais cette ascension droite est aussi A + nt!x ; on a donc l'équation

H— P+te=A+TO'a?, d'où a?=°~'*T^»

équation dans laquelle x donne directement des secondes de temps, parce que ntl et k ont précisément reçu les valeurs nécessaires pour qu'il en soit ainsi.

Si la valeur ainsi trouvée pour x n'est que de quelques secondes, on considérera comme définitive la valeiA* L + ^. Si la valeur dex était grande, il faudrait refaire les calculs en prenant pour nouvelle valeur de L la valeur L + a: ainsi trouvée, parce qu'alors on aurait commis une petite erreur dans le calcul en faisant cos n' x, cos u) X et cos y égaux à l'unité, et en remplaçant les «nus des petits arcs ri x, w* x^iy par les arcs eux-mêmes. Mais dans le se-

cos

oond calcul) la nouvelle valeur de^; ainsi obtenue serait tellement petite qu'il ne serait pas nécessaire de faire le calcul une troisième fois.

En calculant, comme nous venons de l'indiquer^ toute la série des observations, on aura une suite de valeurs de L + ^9 dont la moyenne sera la longitude du lieu.

258. — Si on a deux séries de distances zénithales, Tune à Test, Vautre à l'ouest, et si la moyenne des distances au zénith dans chaque série sont égales, la moyenne des longitudes données par chacune d'elles sera indépendante delà parallaie, et par conséquent iodépendante des erreurs tabulaires de cet élément et des incertitudes que les inégalités du sphéroïde terrestre jettent sur la trans* formation de la parallaxe horizontale équatoriale en parallaxe horizontale du lieu. Si les moyennes distances au zénith sont différentes des deux côtés, la compensation des erreurs de parallaxe n'aura plus lieu. Mais on peut encore appliquer au résultat la correction provenant de Terreur commise sur la parallaxe. En effet,soient z la moyenne des distances au zénith observées à l'est, etz'la moyenne des distances observées à l'ouest; appelons a la petite erreur inconnue commise sur la parallaxe horizontale, qu'on a supposée ir pour la première série, et -k pour la seconde, et qui devait ètreTc + a pour la première série etic' + a pour la deuxième.

L'erreur commise à l'est du méridien sur la distance z corrigée sera donc a sin z, car vu la petitesse de a, on peut négliger la différence de position des zéniths vrais et apparents ; l'erreur sur la distance s! sera de même a sin z\ Appelons z^ et z!^ les distances - et z! corrigées des parallaxes ir et w' . Ce sont celles qu'on a employées dans le calcul, tandis qu'on aurait dû employer les distances 5Ji — a sin z etz', — a sin 2'. Cela posé, en appelant D la déclinaison de la lune pour l'instant moyen de la première série, D' cette déclinaison pour l'instant moyen de la seconde série, on a pour calculer les angles horaires correspondants P + p et P + p' les équations

cos (5, — a ftin z) 7= sin /sinD +cos {cos D cos(P-|- p) C08 (a', — a sin z') = sin l sînD' 4- cos / cos D' cos (P' -t- p'),

tandis qu'on a calculé les angles horaires P et P' par les équations

/ X cos^i = sin / sin D +cos /cos D cos P

^ ^ cos «,' ?= sin/ sin D' + cos / cos D' cos F.

àiU COORDONNÉES DES ASTRES

En développant les deux premières équations, et en remarquant que a étant un très-petit arc, on peut taire cos (a siaz\ cos (a sin ^\ cos p et cos p' égaux à l'unité, il vient

cos z^ + sin Zi sin (a sin z) = sin /sin D+ cos /cos D cos P

— cos / cos D sin P sin p

cos js/ + sin Zt sin (« sin z') = sin / sin D' + cos / cos D' cos P

— cos / cos D'sin P' sin p\

En introduisant dans ces deux équations pour Pet F les valeurs déduites des deux équations (a), et en ayant égard à ces mêmes équations, il reste en remplaçant les sinus des arcs « sin z, d sin js', p et p' par les arcs

a sin z sin js, s=s — p cos / cos D sin P a sin -s' sin «/ = — p' cos / cos D' sin P.

On tire de là

sin z sin Zi

cos / cos D sin P

g, sîn js^sîds^

cos / cos D sin P'

et tout dans ces expressions de p et p' est connu moins a.

Gela posé, soient H l'heure sidérale répondant au milieu de la première série, H' l'heure répondant au milieu de la seconde, H' — H est le mouvement du ciel dans l'intervalle considéré, et soit a le mouvement d'ascension droite de la lune donné par les tables pendant le temps sidéral H' — H (pour trouver a dans les éphémérides, on réduit H' — H en temps moyen, et les tables donnent ensuite le mouvement de la lune pendant cet intervallepour l'époque des observations), alors on remarquera que l'ascension droite de la lune à l'instant de la première série, où la lune était à l'est, était H — P— p, P renfermant son signe qui est négatif, et pour la seconde série, où la lune était à l'ouest. H' — P — p' . La différence de ces deux quantités doit être égale àa, on adonc l'équatioo

H'F — P'— (H— P — 10=a, ou

Or H — W+a 4- P* — P est une quantité connue, et

fl -p>~ ^( siP^sins, sinz^sin^. JV g

V<^06 / cos D sin P cos/cosDsinP/

ET POSITIONS GÉOGRAPIUQUES. 415

K étant une quantité connue, on a donc

ce qui fait connaître la correction a à appliquer à la parallaxe.

259. — a étant connu, on peut déterminer les valeurs de p et de p' ou la correction des angles horaires qu'on a employés pour le calcul de la longitude. Or, la correction de cette dernière a été donnée par les équations suivantes dans lesquelles x se rapporte à l'observation avant le méridien et x* à l'observation après le méridien,

m — k ml — h! '

On aura donc pour les vraies valeurs de x

x — 7 X -^ -. fi '

et les valeurs de or et a;' que l'application de la correction de parallaxe aura rendues égales, seront la correction à ajouter à la longi* tude supposée L, pour avoir la vraie longitude.

260. — En général, dans la méthode que nous venons d'exposer, les observations se rapportent au bord même de la lune, à moins qu'on n'emploie ma méthode de pointé du n"" 40, par laquelle on peut directement obtenir la distance du centre de la lune. Lorsqu'il s'agit de l'observation de l'instant d'un passage par une hauteur donnée et non d'un pointé en hauteur effectué à une seconde précise de l'horloge, suivant le procédé que j'ai indiqué dans le n"" 134 ou celui du numéro précédent, la méthode du n® 40 pour obtenir directement la distance zénithale du centre de l'astre devient d'une application assez délicate, quoique je la considère encore comme plus exacte avec un peu d'habitude que la méthode du pointé tangentiel au bord de l'astre.

En outre de l'incertitude auquel il donne lieu, le pointé tangentiel présente un gralid inconvénient provenant de ce qu'en général un seul bord de la lune est observable. Il en résulte qu'avec cette méthode de pointé, le diamètre de l'astre intervient dans le résultat, et cette remarque s'applique à la méthode des culminations lunaires aussi bien qu'à celle des longitudes par les hauteurs. Or chaque instrument, à cause des défauts de son

Iii6 COORDONNÉES DES ASTRES

objectif, de Taberration de sphéricité , de la difiraction , etc. , donne à l'astre un diamètre apparent différent. II en résuite donc qu'en calculant^ à l'aide de la valeur du demi-diamètre donné dans les éphémérides, les distances zénithales du centre de la lune au moyen de celles de l'un de ses bords, on commet généralement une erreur dont la grandeur dépend de l'instrument employé, et même aussi de l'œil de l'observateur, à cause de la variation de l'irradiation suivant les individus. Il importe donc qu'un observateur connaisse l'erreur qu'il commet ainsi avec son instrument. On y peut parvenir en faisant des observations le jour de la pleine lune, quand les deux bords sont observables.

Supposons, en effet, que parla méthode ex posée précédemment, on observe une série de passages des deux bords de la lune et d'une même étoile par une même hauteur. Inscrivons à part les observations du bord supérieur et celles du bord inférieur. Soient H l'heure sidérale répondant à l'instant moyen de la première série (bord supérieur), et H' l'heure sidérale répondant à l'instant moyen de la seconde série, et soit comme précédemment a le mouvement de la lune en ascension droite pendant le temps H'— H.

Soit maintenant \l l'excès du demi-diamètre donné à la lune par l'instrument relativement au demi-diamètre qu'indiquent les éphé* mérides. En réduisant au centre de l'astre les observations de la première série (bord supérieur), à l'aide du demi-diamètre tabulaire, nous commettons sur la distance zénithale moyenne de cette série une erreur (i., de telle sorte que cette distance zénithale que nous avons supposée z^ est z, + \l. De même pour la seconde série, nous commettons la même erreur (i., mais en sens contraire, de sorte qu'au lieu de la valeur z\ que nous supposons à cette série, c'est la valeur z!^ — (a que nous aurions dû admettre. Or, nous aurions dû calculer les angles horaires? +p de la première série et F + .B de la seconde série par les équations

cos (a, + k) = sin / sln D + cos / cos D cos(P + p) cos {z\ — jji) = sin / sin D' -^ cos { cos D' cos (P* + P' ) ,

formules dans lesquelles D est la déclinaison de la lune à ^io^tant moyen de la première série et D'ia déclinaison à l'instant moyen de la seconde série.

Au lieu de cela, nous avons calculé les angles horaires P et P par les équations

cos JSi = sin / sin D + cos / cos D C06 P cos 2/ = sin / sin D' + cos / cos D' 00s P'.

En développant lés deux premières équations et en remarquant que (1, p et ^' étant de très-petits arcs, on peut faire leurs cosinus %aux à l'unité et remplacer leurs sinus par les arcs correspondants, il vient, en remplaçant P et P' par leurs valeurs déduites des dcui dernières équations, et en ayant égard à ces mêmes équations

fAsin ;^, = p cos / cos Dsin P

fA sin z' = — P' cos / cos D' sin P'.

Or, remarquant que pour la première série l'ascension droite de la lune était H — (P -4- p), et pour la seconde série H' — (F + p'), et que la différence de ces deux valeurs doit être égale à a , il vient , en mettant pour P et p' leurs valeurs en fonction de (i. déduites des équations précédentes,

H--H-(P--P)H-rf /'"^^ + ""^ ^ = a

^ ' vcos i cos D' sin P' cos / cos D sin Py

équation qui fera connaître la valeur de (i..

Quand cette valeur de (i. est ainsi connue pour l'instrument employé, il suffit de l'ajouter aux demi-diamètres donnés par les éphémérides, et corrigés pour la hauteur apparente de l'astre, et les observations faites à un seul bord, peuvent être ramenées à ce qu'elles auraient été si on avait observé au centre de l'astre.

261. — Nous avons déjà démontré que si on fait deux séries d'observations, l'une à l'est, l'autre à l'ouest du méridien, et à des distances sensiblement égales des deux côtés de ce plan, la longitude obtenue est indépendante de l'erreur que Ton peut commettre sur la valeur de la parallaxe. Il en est de même dans ce cas de Terreur qui pourrait, vers l'époque des observations, exister dans les tables au sujet de la déclinaison, car l'angle horaire calculé est trop grand de la même quantité pour les deux côtés du méridien , ce qui donne d'un côté de ce plan une ascension droite et par conséquent une longitude trop petite de la quantité dont on la &it trop grande de l'autre côté. Le résultat moyen est donc dans ce cas indépendant de l'erreur qu'on commet sur la déclinaison en prenant cette dernière dans les tables.