Mais rien ne peut compenser l'erreur que les tables

4i8 COORDONNEES DES ASTRES

peuvent renfermer sur l'ascension droite de la lune, erreur d'où il résulte que l'instant que Ton compte au premier méridien, quand la lune a Tascension droite donnée par les observations, est luimême erroné, à moins toutefois que, vers le même instant physique, on n'ait des observations de l'ascension droite faites sous le premier méridien , lesquelles donneraient l'erreur des tables. Il est bien rare que cette condition puisse se trouver exactement remplie.

Autant que possible, quand on a, par une méthode quelconque, effectué des observations lunaires en un lieu donné afin d'obtenir la longitude de ce lieu, il faut, quelle que soit la méthode employée, tâcher de se procurer les résultats des observations qui ont pu être faites vers la même époque , soit sous le premier méridien , soit sous un méridien bien déterminé. En comparant les ascensions droites et les déclinaisons de la lune fournies par ces dernières observations à celles qui sont données par les éphémérides pour les mêmes instants, on a les erreurs de ces éphémérides aux instants en question. Â moins qu'on ne distingue dans la variation de ces erreurs avec le temps quelque loi semblant indiquer soit un accroissement, soit une diminution, soit encore, si la série est un peu longue, quelque variation périodique, on se contente de prendre la moyenne de ces erreurs, qu'on considère conune une erreur constante des tables vers l'époque des observations. Appliquant ensuite aux éphémérides une correction égale à cette erreur et de signe contraire , on peut considérer celles-ci comme donnant les vraies ascensions droites et les vraies déclinaisons de la lune.

Il y a quelques années, dans les éphémérides , les positions de la lune étaient calculées au moyen des tables de Burckhardt. Ces tables, fondées sur des formules beaucoup moins complètes que les tables actuelles de Hansen, donnaientsurles positions de l'astre des erreurs périodiques très-notables , provenant des termes négligés ; et parmi ces erreurs, il y en avait à très-courtes périodes; il était alors impossible de pouvoir regarder les erreurs des éphémérides comme constantes, même pendant un temps très-court. Aujourd'hui, avec les nouvelles tables de Hansen, il n'en est plus ainsi. Les formules, qui sont très-complètes, tiennent compte de tous les termes périodiques de perturbation à courte période, et il est certain que toutes les perturbations à courte période sont beau* coup plus exactement données par les tables, grâce au degré

d'exactitude qu'elles possèdent aujourd'hui, qu'elles ne le seraient par une série d'observations de courte durée, à cause des erreurs des observations elles-mêmes. La principale incertitude qui plane encore aujourd'hui sur les tables lunaires de Hansen vient de la possibilité de l'oubli de quelque terme à longue période, et surtout d'un certain vague qui règne encore sur la grandeur de la variation séculaire du mouvement de la lune.

La théorie de la gravitation, comme l'a fait voir M. Delaunay, ne parait pas suffire à rendre compte de la grandeur totale de cette variation, et les coefficients introduits empiriquement par Hansen pour la représenter peuvent fort bien n'être pas complètement rigoureux. Il pourra donc se faire qu'à la longue , les tables de ce savant finissent par présenter des différences notables avec l'observation, mais ces différences pourraient alors être regardées comme sensiblement constantes pendant un certain temps. Le mode de correction que nous avons indiqué est donc bien alors celui qu'il faudrait appliquer aux éphémérides calculées avec ces tables, même quand les erreurs, aujourd'hui très-petites, seraient devenues notables.

Il est évident d'ailleurs que si on croit remarquer dans les erreurs tabulaires fournies par les observations effectuées sous le premier méridien, une loi quelconque d'accroissement ou de diminution pendant la durée de la série, on pourra diviser celle-ci en plusieurs parties, dans chacune desquelles on prendra l'erreur moyenne qu'on rapportera à l'instant moyen des observations correspondantes. On pourra ensuite par interpolation calculer l'erreur répondant à l'instant des observations faites à la station dont on veut la longitude. Cette interpolation pourrait d'ailleurs être efifectuée soit par les méthodes générales d'interpolation, soit par un simple tracé graphique en prenant le temps comme abscisse et les erreurs comme ordonnées, et en traçant la courbe qui représentât le mieux possible l'ensemble de ces erreurs. Quelle que soit la méthode d'interpolation employée , il est certain qu'il restera toujours un léger vague provenant de ce qu'on n'aura pas ainsi la vraie forme de la variation, forme que dissimulent d'ailleurs les erreurs d'observation, et cette circonstance est ce qui limite beaucoup le degré d'exactitude qu'on peut atteindre dans la détermination des longitudes des pays lointains^ détermination pour laquelle on ne peut recourir qu'aux observations lunaires.

Mais il est certain que, si on possède dans la station dont on \eut la longitude une série d'observations un peu nombreuses et faites aux diverses phases de la lune , une compensation tend à s'établir pour les erreurs gui viendraient des termes de perturbation à courte période, oubliés ou mal déterminés, puisque les observations correspondraient tantôt à des valeurs presque nulles, tantôt à des valeurs positives, tantôt à des valeurs négatives de ces termes d'ailleurs très-petits; et dès lors, si on a appliqué à toute la série la correction égale et de signe contraire à Terreur moyenne répondant à l'époque de cette série, de manière à tenir compte de l'influence des termes à longue période dont la valeur varie peu, il est clair que le résultat pourra être regardé comme sensiblement indépendant des erreurs tabulaires, gr&ce surtout à la perfection des tables actuelles dans lesquelles aucun terme très-important n'est oublié, comme le montre l'accord des observations et des éphémérides calculées avec ces tables.

263. — Si, indépendamment d'une série d'observations faites à l'est et à l'ouest du méridien, on observait les distances zénithales circumméridiennes de la lune en ramenant parla méthode du n*24i ces observations au méridien (à l'aide de l'angle horaire qui esttrèsapproximativement connu, ce qui suffit pour cette réduction), on en déduirait une série de valeurs de la déclinaison de la lune répondant aux instants des pointés indiqués par l'horloge, et on en tirerait la déclinaison de la lune répondant à l'instant moyen de ces pointés. Ayant ensuite égard au mouvement de la lune en déclinaison, mouvement donné par les tables, on en déduirait les déclinaisons de la lune aux instants des diverses observations faites à l'est et à l'ouest du méridien, et le résultat se trouverait ainsi indépendant des erreurs tabulaires de la déclinaison, quand même les angles horaires eussent été différents pour les observations à l'est et à l'ouest du méridien. Alors la différence des longitudes obtenues par les observations de Test et de l'ouest ferait parla méthode du n^ 2S8 connaître la correction de la parallaxe avec beaucoup d'exactitude. Ce procédé peut être employé pour déterminer la parallaxe lunaire ; toutefois il importe de remarquer que dans ce cas la déclinaison obtenue par les distances zénithales circumméridiennes de la lune n'est pas complètement indépendante de la parallaxe; de sorte qu'en appelant a la correction de la parallaxe et z la distance zénithale méridienne obtenue, il faudra dans cba-

que formule, pour les observations de Test et de l'ouest, appliquer à la déclinaison la correction a sin 2, c'est-à-dire remplacer D par D + asinz. Afin d'obtenir les ascensions droites, on pourra dans leurs expressions développer alors les sinus et les cosinus de D + a sin ^2; , en faisant égaux à Tunité les cosinus de a sin z , et en remplaçant les sinus par les arcs ; on aura ainsi dans les expressions de l'ascension droite de nouveaux termes en a à joindre à ceux que nous avons donnés dans le n*" 258 ; et en égalant les différences de l'ascension droite données par ces expressions à la différence tabulaire pour l'intervalle H — H' des observations des deux séries , on aura comme précédemment la valeur de a.

Dans les basses latitudes où souvent la lune passe tout près du zénitb, la petitesse de sin z rend presque nulle la correction en question. Cette condition est avantageuse pour la détermination des corrections de la parallaxe lunaire.

264.— La même méthode peut être employée avec avantage pour déterminer la parallaxe d'une planète au moyen d'observations de hauteur faites en un seul lieu, surtout quand la planète en question passe au méridien, tout près du zénith. C'est cette méthode que j'ai appliquée à Rio de Janeiro pour obtenir la parallaxe de la planète Mars à son opposition de 1860, en comparant de part et d'autre du méridien et très-loin de ce plan la hauteur de la planète à celles d'étoiles voisines.

205. — Quand la lune est voisine de l'équateur, son mouvement horaire en déclinaison est très-grand, et peut devenir à peu près la moitié de son mouvement horaire en ascension droite. Dans ce cas, la déclinaison de la lune à l'instant moyen des pointés, déduite des distances circumméridiennes de cet astre comme nous venons de le dire dans le numéro précédent, peut donner la longitude de la station, car il suffit alors de chercher dans les éphémérides quelle heure il était au premier méridien quand la lune avait cette déclinaison : la différence de cette dernière heure et de celle de la station est la longitude cherchée exprimée en temps. Mais cette méthode n'est applicable que quand le mouvement de la lune en déclinaison est très-grand.

Si les observations n'étaient pas faites très-près du méridien, sans cependent en être très-éloignées, cette méthode servirait encore, à la condition que les observations fussent faites des

deux côtés du méridien et à des distances sensiblement égales et correspondantes, afin que les erreurs sur l'angle horaire employé pour la réduction au méridien fussent sensiblement égales et de signe contraire.

266. — Nous allons maintenant exposer la méthode des distances lunaires. Cette méthode consiste à mesurer, en un instant donné, avec un instrument de réflexion, la distance apparente de la lune au soleil ou à une étoile ou une planète. Pour cela, comme on ne peut viser au centre même de la lune, on mesure la distance d'un de ses bords à l'étoile ou au bord du soleil, en employant, pour s'assurer que la distance mesurée est la plus courte distance des deux astres, les précautions indiquées dans le n? 146 pour obtenir la plus courte distance d'un astre à l'horizon de la mer.

En ayant ensuite égard à la valeur du demi-diamètre de la lune (et à celle du demi-diamètre du soleil, s'il s'agit de cet astre), on déduit de la distance du bord lunaire à l'astre considéré la distance du centre de la lune à l'étoile ou au centre du soleil ou de la planète employée (1).

(1) Dans cette opération^ comme dans toutes les rédactions du bord au centre dans les observations de la lune, il ne faut pas oublier d'avoir éprard à l'augmentation de son demi-diamètre apparent avec la hauteur de Tastre au-dessus de l'horizon. Mais il y a, de plus^ une autre petite correction à faire ; cette seconde correction vient de ce que, par l'effet de la réfraction, qui élève plus le bord inférieur qiic le bord supérieur de Tastre, le disque de la lune parait elliptique. En prenant, dans les tables de réfraction, les valeurs de la réfraction pour les distances zénithales que possèdent alors le bord supérieur et le bord inférieur de la lune, la différence de ces deux valeurs est la diminution que la réfraction fait éprouver au diamètre vertical. Appelons k celte demi-différence, et d le demi-diamètre de la lune, doDuc par les tables, et'augmcntc pour la hauteur actuelle au-dessus de rhorizon. Un des demi-diamètres (f de la lune, faisant l'angle m avec le diamètre horizontal, sera alors, en ayant égard au développement de l'expression du rayon dans l'ellipse :

en se limitant à la première puissance de l'aplatissement -% , qui est tn:5-

petit. (Dans cette expression, d doit d'ailleurs être multiplié par le rapport da sinus de la distance zénithale apparente au sinus de la même distance corrigée de réfraction, afm de tenir compte de la diminution du diamètre horizontal par l'accroissement de hauteur de Tastre sous l'influence de la réfracUon.) Vu la petitesse de la correction, il suffit que l'angle •• soit approximative*

ET POSITIONS GÉOGRAPHIQUES. &2d

En même temps qu'un observateur mesure la distance apparente des centres des deux astres, deux autres observateurs me* surent les hauteurs apparentes des mêmes astres au-dessus de l'horizon, de façon à connaître les trois côtés du triangle apparent formé parle zénith et par les deux astres.

Au reste, un seul observateur peut suffire, pourvu qu'il mesure d abord la hauteur apparente de la lune, puis celle du soleil ou de rétoile, en notant Theure de ces mesures, après quoi il mesure la distance des deux astres, en notant l'heure de cette opération, comme nous l'avons déjà dit, puis il recommence la mesure des hauteurs des deux astres, en inscrivant de nouveau l'heure de ces mesures. Au moyen du calcul, on réduit ensuite les hauteurs à ce qu'elles étaient à l'instant de la mesure de la distance des deux astres, et pour cela on répartit la différence des hauteurs trouvées avant et après cette mesure proportionnellement au temps, ce qui, vu la petitesse de l'intervalle, est suffisamment exact, surtout lorsque les astres sont loin du méridien. Par cette répartition proportionnelle, l'effet de la marche du navire, quand l'observation est faite à bord, est éliminé, aussi bien que celui du mouvement de l'astre.

Au lieu de mesurer les distances apparentes des centres des deux astres au zénith, on pourrait aussi les calculer au moyen de l'heure de l'observation. Mais ce procédé a moins de précision, à cause de la nécessité d'introduire dans le calcul la longitude approchée pour trouver l'heure du premier méridien , afin de prendre les ascensions droites et les déclinaisons dans les éphémérides, et surtout à cause de l'intervention de la latitude du lieu dans le calcul, latitude qui en mer, où cette méthode est souvent appliquée, n'est pas connue avec une grande précision. D'ailleurs, il est plus court de mesurer que de calculer les hauteurs apparentes.

Les trois côtés du triangle apparent formé par les deux astres et parle zénith étant connus par un des procédés que nous venons d'indiquer, il est facile de calculer l'angle au zénith. En effet, en ap-

ment connu, et cet angle peut être facilement obtenu à vue. Il est d'ailleurs facile à calculer^ quand on connaît la distance zénithale des deux astres et leur distance mutuelle^ c'est-à-dire les trois côtés du triangle que ces deux astres font avec le zénith.

Dès que la lune ou le soleil sont élevés de 10 à i5<> au-dessus de ThorizoD, la^aleor de k est si petite que la correction peut être négligée.

àU COORDONNÉES DES ASTRES

pelant S la distance apparente des deux centres, z la distance zénithale de la lune, z' celle de l'étoile ou du centre du soleil, on a, en posant z + z' + $= 2p, et en appelant Z Tangle au zénith

(1) tang4Z="'"^^-^)^'"^P-*^

formulée Taide de laquelle on calculera l'angle Z.

Maintenant, en ajoutant aux angles z et z' la réfraction qui correspond aux distances zénithales apparentes, puis en retranchant de z ainsi corrigé la parallaxe de hauteur de la lune et retranchant de V également corrigé de réfraction la parallaxe de hauteur du soleil ou de la planète observée, si le second astre n'est pas une étoile, on obtient la distance zénithale vraie de la lune, distance que nous appellerons Zi, et la distance zénithale vraie du second astre, que nous appellerons z\.

Dans le triangle formé par le zénith et les positions vraies des deux astres, on connaît donc deux côtés qui sont les distances zénithales vraies z^ et z\ des deux astres, et l'angle au zénith compris entre ces deux côtés est égal à l'angle Z donné par l'équation (1) corrigé de la parallaxe azimutale de la lune (celle des étoiles est nulle, et celle du soleil et des planètes est négligeable) , parallaxe que nous appellerons f et qu'on calcule par la formule du n"l94 (1), formule dans laquelle l'angle azimutalade la lune est compté à partir du côté du méridien opposé au pôle. Gomme f augmente l'azimut compté dans ce sens, on voit que l'angle Z est augmenté de f toutes les fois que la lune n'est pas entre l'étoile (ou le soleil) et le méridien. Dans ce dernier cas, l'angle Z est diminué de f • Nous appellerons donc Z. l'angle Z corrigé

(1) La formule du n« 194 donne siny= ^''^g^''^'^^ ou ^= '-^^i^

H' ou la parallaxe horizontale du lieu^ t ou ladifTcrence des latitudes astronomiques et géodésiques et z, sont connus : a est facile à calculer, car il suftU de l'obtenir approximativement, et on connaît toujours la latitude approchée l et la déclinaison approchée D de la lune. Alors, dans le triangle pôle, zénith, lune, on connaît les trois côtés qui sont 90** — /, 90 -- D et s,. On peut donc aisément calculer l'angle au zénith, qui n*est autre que l'angle a, si on ne Ta pas obtenu approximativement à l'aide de la bou.^ sole. Tout est alors connu dans la formule, et on a la valeur de ^p, à l'aide de laquelle on corrige l'angle Z en suivant, pour le signe de la correction, la règle indiquée dans le texte.

ET POSITIONS GÉOGRAPHIQUES. Zi25

delà parallaxe azimutale de la lune, et on voit ainsi que dans le triangle fonné par le zénith et les positions vraies des deux astres, on connaîtra les deux côtés z^ et z^i et l'angle compris Z^, On aura par conséquent le troisième côté A qui est la distance vraie du centre de la lune à Tétoile (ou au centre du soleil) à Taide de Téquation

{i) ces A = cos z^ cos z\ + sin «, sin z\ cos Z,

qui peut s'écrire

cos A = cos (z^ — z\) — 2 sin s, sin z ', sin* J Z^.

En retranchant les deux membres de l'unité, on obtient une équation qui, divisée par celle qu'on a en ajoutant l'unité aux deux membres de cette même équation, donne, en remarquant que 1 — cos A = 2 sin ' I A et 1 4- cos A =: 2 cos* .J A,

C08'^ («, — a ,) — sin Zi sin z\ sui' ^Z,

en divisant le numérateur et le dénominateur du second membre par sin ^ {zi — z\)cosl i^i — z\)ei en posant

. j sin jg, sin g', sin* ^Z, 2sinZ|Sinjs',sin« jZ,

^ ^ "~ sin ^ («, — z'i) cos J^ (Zi — z\) "" sin (5, — z\)

on a

tang^A==^°8t^^--"f;)+^g/y ^ * cot4(s» — z\) — tang i y

ou (4) tang i A = tang i («, — x\ +y) tang ^ {z^ — z\).

La combinaison des équations donnant tang ^ y et tang ^ A, l'une et l'autre logarithmiques et fournissant les arcs par les tangentes, permet d'obtenir alors par un calcul facile et avec beaucoup d'exactitude la distance vraie A des deux astres tant que 2, — z\ n'est pas très-petit.

Si z, — z', est très-petit, on peut employer pour la formule (2) une des transformations données dans le n"* 232, et on a la valeur de sin { A.

La distance A étant obtenue, on n'a plus qu'à chercher au

moyen d'une interpolation dans les tables de distance lunaire données dans les éphémérides quelle heure il est au premier méridien quand cette même distance y existe. La différence des heures correspondantes à la station et au premier méridien donne alors la longitude cherchée.

La méthode que je viens d'exposer diiïère un peu de la méthode des distances lunaires, telle qu'on la donne ordinairement. Cela vient de ce que dans cette dernière on ne tient pas comptede la parallaxe azimutalede la lune^ qui, conmie nous l'avons vu précédemment, peut atteindre jusqu'à 12" à l'horizon pour le 45* parallèle. Or, dans ce cas, l'erreur que l'on commet ainsi sur la distance vraie des deux astres peut atteindre jusqu'à 11", quand, les deux astres étant dans l'elliptique, ce grand cercle se trouve en même temps ne faire qu'un angle de 21'' i avec l'horizon au 45* parallèle. Or, une erreur de H" sur la distance répond alors à une erreur égale sur la longitude de la lune, et par conséquent à une erreur d'environ 5\5 sur la longitude de la station. On voit donc que la méthode de Borda exposée dans les ouvrages est essentiellement vicieuse. Dans cette méthode, l'erreur se produit quand on égale les angles au zénith dans les deux triangles formés, l'un par ce point et les positions apparentes, l'autre par le même point et les positions vraies.

267. — La méthode des distances lunaires pour la détermination des longitudes serait d'une très-grande précision si les observations étaient précises. Mais malheureusement, n'étant applicable qu'avec les instruments de réflexion dontles lunettes ne peuvent pas avoir un grossissement suffisant pour la précision des mesures, car avec un fort grossissement il serait impossible, en tenant Tinstrument à la main, de conserver les astres dans le champ, cette méthode ne peut donner de résultats satisfaisants, et les erreurs dépassent souvent un quart de degré. Aussi la méthode des distances lunaires n'est-elle employée qu'à la mer, où celle des hauteurs de la lune ne peut pour la même cause que donner des résultats encore inférieurs. En mer même, la méthode des distances lunaires n'est guère utile aujourd'hui que dans des cas exceptionnels; pour avoir la longitude du navire on se sert des chronomètres du bord , comme nous l'avons indiqué dans le numéro 164.

Quand on applique la méthode des distances lunaires , il im-

porte toutefois que rinstrument soit parfaitement rectifié et que la lunette du sextant ou du cercle soit bien parallèle au plan du limbe. Ce parallélisme se reconnaît facilement quand dirigeant vers un point éloigné le plan de l'instrument appuyé contre un plan fixe, l'image de ce point paraît au milieu des fils , ou quand rimage du soleil étant au milieu du champ, une autre personne reconnaît par l'ombre que le limbe est dans la direction des rayons solaires. Comme on ne peut pas toujours arriver à établir exactement le contact des images au milieu du champ, on cherche à estimer à vue à quelle fraction de l'intervalle des fils il s'est produit, et l'intervalle des fils étant connu facilement, on tient compte, s*il y a lieu, de l'effet que cette déviation a pu introduire sur la mesure, ce qui revient à multiplier le sinus de la moitié de l'angle lu sur l'instrument par le cosinus de l'angle de déviation pour avoir le sinus de la moitié de l'angle réel. L'intervalle des fils se détermine, d'ailleurs, en tournant la lunette pour les placer dans la situation voulue pour qu'on puisse par un mouvement de l'alidade avoir une image directe sous l'un d'eux et l'image réfléchie correspondante sous l'autre, puis on fait coïncider les deux images. La différence des positions de Talidade donne l'intervalle des fils.

Dans les distances de la lune au soleil, la direction perpendiculaire aux cornes de la lune, indique en visant directement à ce dernier astre la direction à donner au plan de l'instrument pour pouvoir obtenir l'image réfléchie du soleil. Je ferai encore remarquer que la mesure de la distance d'étoiles connues est peut-être le meilleur moyen d'étudier la graduation d'un sextant, car en calculant pour l'heure de l'observation les distances au zénith, on peut réduire la distance apparente en distance vraie en tenant compte de la réfraction. Sauf l'absence des parallaxes , ce calcul ressemble à celui des distances lunaires.

Nous allons maintenant nous occuper de la détermination des longitudes par les occultations et les éclipses.

Des occultations et des éclipses.

268. — Les éphémérides donnent l'indication de toutes les étoiles jusqu'à la sixième grandeur qui peuvent être occultées par la

un COORDONNËES DES ASTRES

lune, et en même temps Tinstant de la conjonction en ascension droite. Ces étoiles sont celles qui sont comprises dans une zone qui s'étend de part et d'autre de Torbite lunaire jusqu'à une distance angulaire égale à la parallaxe horizontale plus le demidiamètre de la lune. Mais toutes les occultations ainsi indiquées dans les éphémérides ne sont pas vues en une station donnée. Pour reconnaître s'il y a lieu de se préparer à observer une occultation dans une certaine station, il faut voir d'abord, d'après l'heure de la conjonction, si l'étoile sera sur l'horizon du lieu vers cet instant. De plus, d'après la latitude de la station et l'angle horaire que possédera l'étoile vers l'époque de la conjonction, on reconnaît à vue, dans la majeure partie des cas, si le sens d'action des parallaxes d'ascension droite et de déclinaison est de nature à amener ou à empêcher le phénomène. En se rappelant que la parallaxe abaisse la lune dans son vertical, un peu d^attention fait saisir immédiatement si les ascensions droites et les déclinaisons sont par là diminuées ou augmentées, choses qu'indiquent d'ailleurs les formules de parallaxe d'ascension droite et de déclinaison. D'après cela, il est aisé de voir s'il y a quelque chance qu'avec son orbite apparente le centre de la lune passe près de l'étoile à une distance inférieure à son demi-diamètre. Dans ce cas seulement , il peut y avoir occultation dans la station en question. Par l'examen préalable que nous venons d'indiquer, on évitera, pour le lieu où on observe , le calcul d'une quantité considérable d'occultations indiquées dans les éphémérides , et on se limitera à la déte^ mination des occultations probables pour cette station.

Les éphémérides donnent aussi l'indication des éclipses de soleil qui auront lieu chaque année, et elles accompagnent même cette indication d'une carte marquant les limites de retendue dans laquelle l'éclipsé sera visible , de sorte qu'on reconnaît de suite si la station où on se trouve est située dans la région de U terre où cette éclipse est visible, et de plus on voit si on est près de la ligne où Téclipse est centrale , ligne qui est marquée sur la carte.

269. — Quand on a ainsi reconnu à première vue, par un ex«« men des éphémérides, qu'une éclipse ou une occultation est visible dans une station et quand on se propose de l'y observer, il est utile de calculer à l'avance les instants des phases du phénomène, afin de se préparer à l'y observer à l'instant voulu.

Ce calcul est des plus simples, et se réduit en réalité à savoir cal* culer la distance de la lune à une étoile ou au centre du soleil à un instant donné. Nous allons indiquer d'abord comment cette opération doit être effectuée, nous passerons ensuite à l'exposition de la méthode par laquelle on calcule les diverses phases du phénomène.

A Taide de la latitude astronomique de la station, on calcule d'abord la latitude géodésique ; puis avec la longitude du lieu , connue exactement ou approximativement , on détermine pour l'instant donné de cette station Theure du premier méridien , en ajoutant à l'heure de la station la longitude occidentale de cette dernière. Puis, avec l'heure moyenne du premier méridien on cherche dans les éphémérides l'ascension droite et la déclinaison, la parallaxe horizontale équatoriale et le demi-diamètre horizontal de la lune; enfin de la parallaxe horizontale équatoriale on tire la parallaxe horizontale du lieu. Gela fait, on calcule à l'aide de l'heure moyenne l'heure sidérale de la station, et la différence de cette heure sidérale et de l'ascension droite de la lune donne Tangle horaire de cet astre. On procède ensuite au calcul des parallaxes d'ascension droite et de déclinaison et à celui du demidiamètre apparent de la lune. Ayant ensuite égard aux parallaxes ainsi calculées, on obtient l'ascension droite apparente et la déclinaison apparente de la lune.

Si le phénomène pour lequel on fait le calcul est une éclipse de soleil, on prend aussi dans les tables l'ascension droite, la déclinaison, la parallaxe horizontale et le demi -diamètre du soleil, puis on calcule également pour cet astre les parallaxes d'ascension droite et de déclinaison, el on a l'ascension droite apparente et la déclinaison apparente du soleil. S'il s'agit d'une occultation, on trouve directement dans les éphémérides pour l'instant de la conjonction, l'ascension droite et la déclinaison de l'étoile pour laquelle on n'a pas à s'occuper de la parallaxe , et il est inutile , vu la lenteur de la variation de ces éléments, de les calculer pour un autre instant.

Cela posé , appelons D' la déclinaison apparente de la lune et D celle du soleil s'il s'agit d'une éclipse , ou celle de l'étoile s'il s'agit d'une occultation, et nommons a la différence des ascensions droites apparentes de la lune et du soleil dans le premier cas, et la différence de l'ascension droite apparente de la lune et de l'ascension droite de l'étoile dans le second cas. Alors, dans le triangle

formé par les positions apparentes des deux astres et le pAle, on connaît deux côtés et l'angle compris, savoir les distances polaires des deux astres, complément des déclinaisons, et l'angle a. On a donc, par la formule générale de la trigonométrie sphérique, pour le troisième côté A, qui n'est autre que la distance des centres des deux astres, l'équation

cos À = sin D sin D' + cos Dcos D' ces «.

En remplaçant dans cette équation cos a par 1 — 2 sin* | a, et retranchant les deux membres de l'unité, cette équation se transforme en

(A) sin* i A = sin' i (ly — D) -h cos D cos D' sin» { «,

équation qui donnera A, et que l'on peut rendre logarithmique en recourant aux transformations indiquées dans le n** 232 (1).

(1) Le calcul de A peut, à Taide des latitudes des deux astres et de leur différence de longitude, être fait de la manière que nous venons d'indiquer t*t par la même formule en substituant les latitudes apparentes aux déclinaisons apparentes, et la différence des longitudes apparentes à la différence des ascensions droiles apparentes. Car on a entre les deux astres et le pôle de récliptique le triangle correspondant à celui que ces deux astres donnent par rapport au pôle de Téquateur. Dans ce cas, il faudrait prendre dans les éphémérides les longitudes et les latitudes des astres au lieu des ascensioos droites et des déclinaisons et de plus calculer les parallaxes de longitude et de latitude, ce qui nécessite le calcul de la longitude du nonagésime et de la distance de ce point au zénith \Tai ou latitude de zénith vrai.— Mais à cause des calculs du nonagésime, ce calcul par les longitudes et les latitudes qu'on exécuterait facilement d'après cette simple indication, e<t plus long que par les ascensions droites et les déclinaisons.

Le calcul de A pourrait encore se faire dans le triangle formé par le zénith yrai ougéodésique et les deux astres, en calculant, à l'aide des ascensions droites et des déclinaisons vraies, les distances zénithales des deui astres et leurs azimuts, d'où on tirerait la différence en azimut vrai ou géi^ désique. Les calculs de parallaxe ne se rapporteraient alors qu'aux distances zénithales. Substituant ensuite les hauteurs apparentes aux déclinaisons apparentes et la différence d'azimut à la différence d'ascension droite, un aurait, par la formule ci-dessus, la valeur de A. Mais ce calcul est également plus long que par les ascensions droites. Nous n'indiquons donc les procédés de calcul de A par les latitudes et les longitudes, ou par les distances zénithales et les azimuts, que pour faire voir que le problème a plusieurs solutions.

ET PaSlTIONS GÉOGRAPHIQUES. &3I

Danslecasprésenty comme les centres de deux astres seront très- \oisins, D' — D, a et A seront de très-petits arcs, et on peut remplacer les sinus par les arcs, ce qui donne

A* =(D'— D)' + (cos D cos D^ «'.

Dans le cas d'éclipsé de soleil, on abrège le plus souvent le calcul en employant les ascensions droites et les déclinaisons vraies de cet astre, et alors on diminue les parallaxes d'ascension droite et de déclinaison de la lune en employant pour parallaxe horizontale de cet astre la différence de sa parallaxe horizontale et de celle du soleil. Cette simplification est légitimée, d'un part, parce que les deux astres dans le cas d'éclipsé étant très*près l'un de Tautre, il est à peu près indifférent pour la parallaxe solaire, qui est très-petite, de la calculer avec Tangle horaire et la déclinaison de la lune au lieu de ceux du soleil, et, d'autre part, parce que les déplacements du soleil par la parallaxe sont de même sens que ceux de la lune, et par conséquent diminuent l'effet de la parallaxe lunaire sur la distance des deux astres.

A étant déterminé de la manière précédente, si on appelle p' le demi-diamètre apparent de la lune et p le demi-diamètre du soleil, on reconnaîtra dans le cas d'occultation que l'étoile est occultée à l'instant donné si A est plus petit que p', et dans le cas d'éclipsé du soleil, il suffit pour que l'éclipsé ait lieu à l'instant en question^ que A soit plus petit que p' -f- p.

270. — Après le calcul de A, si on veut connaître l'angle au centre de la lune formé par le pôle et l'étoile, dans le cas d'occultation, ou le soleil dans le cas d'éclipsé, on remarquera que la règle des sinus donne dans le triangle formé par le pôle et les deux astres, en appelant V l'angle cherché,

.ni • t cos D sina

B) sm v' = :-— — .

^ ' smA

Le même triangle donne pour l'angle à l'étoile ou au centre du soleil entre le pôle et la lune, c'est-à-dire pour l'angle de la ligne des centres et du méridien de l'astre à l'instant en question, en appelant v cet angle,

,^^ . cos D' sîn a

^ ' smA

/i32 COORDONNÉES DES ASTRES

Au même sinus répondent deux arcs, mais tout doute est levé sur celui qu'on doit choisir en remarquant que si D' est plus grand que D, v sera plus petit, et V plus grand que 90*. v est au contraire plus grand, et V est plus petit que 90*" si D' est plus petit que D. De plus, v doit être compté à Test du méridien de Tastre etV àFouest si l'ascension droite de la lune est plus grande qu) celle du soleil ou de l'étoile; l'inverse a lieu si elle est plus petite.

271 . — Maintenant que nous avons vu le moyen de calculer la distance apparente des centres et la direction de la ligne des centres en un instant donné, nous pouvons indiquer la méthode à suivre pour prédire toutes les phases d'une éclipse ou d'une occultation. Supposons d'abord qu'il s'agisse d'une occultation.

Pour deux instants arbitraires, avant et après la conjonction, par exemple, une heure avant et une heure après, calculons les ascensions droites et les déclinaisons apparentes de la lune et les deux distances apparentes A des centres des deux astres. Nous pouvons avoir le déplacement à^ de la lune sur le ciel depuis le premier jusqu'au second de ces instants. Il nous sera donné par la formule

sin» i Ao = siQ» { (D'i — D.) + cosD, cos D', sin* i*.

dans laquelle Di eU D'i seront les déclinaisons apparentes de la lune aux deux instants en question, et a, la différence de l'ascension droite apparente en ces deux instants. Cette formule, identique à la formule (A), s'obtient de la même manière dans le triangle formé par le pôle et les deux positions apparentes de la lune sur le ciel. Gela posé, dans le petit triangle formé par l'étoile et les deux positions de la lune aux deux instants en question, on connaît les trois côtes qui sont les deux distances des centres et la distance A^ des deux positions de la lune, et comme ce triangle est très-petit, on peut, sans erreur appréciable, le regarder comme rcctiligne pour la première approximation (J). Nous pouvons aussi, dans la première approximation, regarder

{{) Nous ferons remarquer que, dans ce triangle, Tangle à l'étoile ptmrrail être également connu en calculant par la formule (C), pour les deax iosUnts en question, les angles v avec le méridien de l'étoile, angles dontladifrc* rcDce est l'angle en question. Cet angle étant connu, ainsi que les deoi côtés qui le renferment, les règles de la trigonométrie donneraient le bxM* sièmc côté, ou la distance des deux positions de la lune.

le mouvement de la lune comme uniforme et supposer que la lune a décrit la ligne droite- passant par les deux positions calculées.

Cela posé) dans le triangle formé par l'étoile et les deux positions de la lune , triangle dont les trois côtés sont connus, nous pouvons calculer par les règles de la trigonométrie rectiligne l'un des angles ayant pour sommet une des deux positions de la lune, et en appelant p cet angle^ et A, la distance de Tétoile à son son^met, c'est-àdire à la position correspondante delà lune, que nous supposerons être la première, on aura pour la longueur A; de la perpendiculaire abaissée de l'étoile sur la trajectoire de la lune A; = A| sin p , et pour la distance \l du pied de cette perpendiculaire à la même position de la lune f*. = A, cos p. Si on appelle T le temps compris entre les deux instants pour lesquels on a calculé les positions de la lune qui a dans ce temps décrit l'espace connu A^, le temps T employé par cet astre pour décrire l'espace \l sera donné par la proportion T : A^ :: t : (x. On aura donc l'instant du passage de la lune par le pied de la perpendiculaire en question en ajoutant T avec son signe, qui sera celui de (a, à l'instant pour lequel on a calculé la distance apparente A, de la lune à l'étoile. (Il est évident d'ailleurs que (a sera positif si l'angle ^ est aigu, négatif dans le cas contraire ; et si A^ se rapportait à la seconde position au lieu de la première, il faudrait retrancher t au lieu de l'ajouter.) Si donc nous appelons / l'instant répondant à la première position, l'instant approché de la plus courte distance des centres sera / + t, et nous sera connu, ainsi que cette plus courte distance k.

Si k est plus grand que le demi-diamètre de la lune, c'est qu'alors l'occultation n'a pas lieu ; s'il est plus petit , on procède au calcul de l'heure approchée de l'immersion et de l'émersion.

Supposons qu'on décrive de l'étoile pour centre un cercle ayant le demi-diamètre apparent de la lune pour rayon, ce cercle coupera la trajectoire apparente de la lune en deux points équidistants du pied de la perpendiculaire de longueur k abaissée sur cette trajectoire, et la distance u de ces points au pied de la perpendiculaire est facile à calculer. En effet, en appelant toujours p' le demi-diamètre apparent de la lune, on a m" = p" — A' =(p' — A) (P' + k)j formule calculable par logarithmes. On a ensuite pour le temps t' employé par la lune à décrire l'espace u la proportion

T : A„ :: V : w, d'où on tire la valeur de t', et alors Tinslant de rimmersîon est ^ + t — t', et celui de l'émersion / 4- t -h t'.

272. — Ces instants, toutefois, ne peuvent être regardés que comme approchés, parce qu'on a supposé le mouvement delà lune rectiligne et uniforme pendant un temps assez long. Ils suffisent toutefois pour se préparer à l'observation; mais si on veut une plus grande précision, on calcule pour ces deux nouveaux instants les distances de l'étoile au centre de la lune, et en outre le demidiamètre apparent delà lune répondant à chacun d'eux. Si les dis* tances sont plus petites que le demi-diamètre , l'occultation est déjà commencée s'il s'agit de l'immersion, et pas encore finie s'il s'agit de l'émersion. On refait alors le calcul pour un instant choisi quelques minutes plus tôt de t" dans le premiers cas, et plus tard dans le second. La différence entre les distances des centres à ces deux instants séparés du court intervalle t'^ donne, en la divisant par t" réduit en secondes, la variation de la distance des centres par seconde vers l'instant de l'immersion, et en divisant par cette variation la différence du demi-diamètre de la lune et de la distance des astres à l'instant / H- t — t', on a le nombre de secondes à retmncher de ce dernier instant pour avoir l'instant de l'inuDersion. En opérant de même pour l'instant / 4- t + t', on a le nombre de secondes à y ajouter pour avoir Tinstant de l'émersion. Les corrections seraient de signes contraires, ainsi que t", ^i aux instants / -^ t — t' et / + t -h 'f' la distance des centres était plus grande que le demi-diamètre de la lune. On vérifie alors le résultat par le calcul direct de la distance des centres pour les nouveaux instants obtenus, et on corrige encore par le même procédé, s'il y a lieu. Si ensuite on veut connaître les points du contour de la lune par lesquels se feront l'immersion et l'émersion, la formule (B) donnera les angles de ces points avec le méridien de la lune, et on voit ainsi que toutes les circonstances du phéno* mène seront connues.

273. — Passons maintenant au cas des éclipses de soleil. La méthode est identiquement la même, sauf qu'il faut substituer au demi-diamètre de la lune la somme des demi-diamètres de la lune et du soleil (i). De plus, il y a encore à remarquer que si la pIu)*

(i) Il est suus-entendu que, dans le calcul de la distance des centres, <>u tient compte de la parallaxe solaire^ comme nous TaTons déjà dit, en traitant de ce calcul.

ET POSITIONS GÉOGRAPHIQUES. UZb

courte distance k des centres est plus petite que la différence des deux demi-diamètres, il y a en outre deux contacts intérieurs, et l'écIipse est totale si le diamètre augmenté de la lune est plus grand que celui du soleil, annulaire dans le cas contraire. On calcule les instants de ces deux contacts intérieurs de la même manière que ceux des contacts extérieurs, sauf que dans ce cas on substitue la différence à la somme des deux demi-diamètres.

n y a toutefois une remarque importante à faire, c'est que le centre du soleil n'étant pas, comme l'étoile, immobile sur le ciel, la distance A^ des deux positions de la lune aux deux instants pour lesquels on la calcule ne doit plus être, dans le cas des éclipses de soleil, la distance des deux positions de la lune dans sa trajectoire apparente réelle , mais la distance d^s deux positions dans la trajectoire apparente relative, en considérant le soleil comme fixe. Il en résulte que dans l'équation

sin'l Ào = sîn* l (D', — D,) + cos D» cosB'» sin*i «1.

«1 est alors la différence des ascensions droites apparentes de la lune aux deux instants considérés, diminuée de la différenée des ascensions droites du soleil aux mêmes instants, et au lieu de D\— D|, différence des deux déclinaisons apparentes de la lune, il faut mettre cette même 'différence diminuée de la différence des déclinaisons apparentes du soleil aux mêmes instants. U faut avoir bien soin de faire algébriquement cette soustraction, c'est-à-dire de bien conserver leurs signes aux différences des déclinaisons (1). En ayant égard dans le calcul de A^ à la précaution que nous venons d'indiquer, une éclipse se calcule ensuite conune une occultation, avec la seule différence qu'il faut substituer au demidiamètre lunaire la somme ou la différence des demi-diamètres des deux astres. On obtient donc, comme précédemment, les instants approcliés des deux contacts extérieurs ou des deux contacts Intérieurs, dans le triangle formé par le centre du soleil et les deux positions apparentes de la lune dans l'orbite

(i) Nous remarquerons^ d'ailleurs^ que si on calcule ^o à l'aide .des deux distances des centres et de la différence des angles v donnés par l'équa* tion(Q, comme nous l'avons indiqué dans la note du n" 270^ la valeur de A« ainsi obtenue est bien celle qui convient à l'orbite relative et qui doit être employée dans le calcuL

relative , positions distantes de A« calculé comme nous venons de le dire. On corrige ensuite ces instants, comme dans le cas des occultations , par le calcul direct de la distance des centres à ces mêmes instants et à d'autres instants rapprochés de ceux-ci. On a ensuite par l'équation (G) (n"" 270} les angles de la ligne des centres avec le méridien au moment des contacts.

274. — La plus courte distance des centres et l'instant de cette plus courte distance s'obtiennent en répétant pour deux instants très-voisins de celui qui a été obtenu pour cette plus courte distance par la première approximation, l'opération qui a donné cette plus courte distance la première fois. L'erreur alors est nulle, parce que le rapprochement des deux instants en question rend rigoureuse l'hypothèse du mouvement rectiligne et uniforme de la lune, hypothèse qui n'était qu'approchée pour un intervalle plus grand. La plus courte distance des centres étant connue, il est facile de voir, en ayant égard au demi-diamètre apparent de la lune calculé pour cet instant, queUe longueur du diamètre solaire est découverte au maximum de la phase quand l'éclipsé n'est que partielle. En appelant p le demi-diamètre du soleil, p' le demi-diamètre apparent de la lune, et k la plus courte distance des centres, cette longueur est p — (p' — A), ou p — p' + A : le rapport de la fracUon couverte au diamètre est alors

âp 2p

D'une manière générale, la phase d'édipsequi réponde un ins-

p + p'— A tant donné, est ^^ — ^ en ajqpdant A la distance des centres en

cet instant et en nonmiant p' le demi-diamètre apparent de la lune au même moment Si on veut avoir en cet instant la demi-distance des cornes, on TobUendra dans le triangle rectiligne forme par les centres des deux astres et une des cornes , triangle dont les trois cAtés ^ux à A distance des centres, et à p et p' demi-diamètres des deux astres, sont connus. Dans ce triangle , on calculera langle y au centre du soleil, et en remarquant que la demidistance dos cornes est ^ale à la distance de lune d'elles à la ligne prolongue des centres des deux astres, on aura pour valeur do cotte dernière distance p sin y.

Quand on oonuatt les instants des contacts d*une éclipse, on

peut pour ces instants calculer les angles horaires du soleil et ensuite la distance zénithale de cet astre dont la déclinaison est connue. Dans le cas d'occultation on peut de même calculer la distance zénithale de la lune et on voit si le. phénomène est dans de bonnes conditions d'observation.

Dans le triangle formé par le pôle, le zénith et l'astre, on peut aussi calculer l'angle Â à l'astre entre le pôle et le zénith. Cet an* gle est donné par la règle des sinus si on . a déjà calculé la distance zénithale. Si on ne fait pas le calcul de cette distance, on peut également obtenir l'angle en question par les analogies de Neper qui donnent un angle dans un triangle dont on connaît deux côtés et l'angle compris. Si alors on a calculé l'angle v par la formule (G), V— A est l'angle au centre de l'astre, entre le vertical du soleil et le point de contact ; cet angle est du côté du pôle si sa valeur est négative : V doit d'ailleurs être regardé comme positifquand l'angle horaire de la lune est moindre que celui du soleil, et comme négatif dans le cas contraire. Dans le cas d'occultation, l'angle Â est calculé pour le centre de la lune, et on substitue à v l'angle V donné par la formule (B); on a alors, par rapport au vertical de la lune, l'angle de la ligne joignant l'étoile au centre de la lune, ou l'angle sur le contour lunaire à partir du point supérieur de ce contour auquel aura lieu l'immei^sion ou i'émersion.

275. — Les planètes Vénus et Mercure passent quelquefois devant le disque solaire. Ces phénomènes sont rares; ils n'arrivent pour Vénus que deux fois par siècle à huit ans d'intervalle. Pour Mercure, les passages sont plus fréquents quoique rares. Les instants des contacts extérieurs et intérieurs de ces planètes lors de leurs passages se calculent facilement pour un lieu donné en suivant identiquement la même méthode que pour les éclipses de soleil, et en substituant les coordonnées, les parallaxes elles demi-diamètres de ces planètes aux données correspondantes de la lune. La parallaxe horizontale de ces astres est égale à la parallaxe moyenne du soleil multipliée par le rapport du rayon moyen de l'orbite terrestre au rayon vecteur géocentrique de la planète. On trouve dans les éphémérides la valeur de ce rayon vecteur, et conmie il y est exprimé sous forme de rapport au rayon moyen de l'orbite terrestre, c'est le nombre même par lequel doit être divisée la parallaxe moyenne du soleil pour avoir la parallaxe horizontale de la planète en question à l'instant donné. Le demi-diamètre de la planète est égal à sa parallaxe

multipliée par le rapport constant et connu de ce demi-diamètre à la parallaxe. Avec ces éléments et les ascensions droites et les déclinaisons données directement par les éphémérides, on peut appliquer la méthode que nous venons d'indiquer.

276. — On admet généralement que la réfraction n*agit pas sur les instants des contacts des éclipses et des planètes inférieures, ainsi que sur les immersions et les émersions lors des occultations. Gela n*est pas rigoureusement exact. Puisque les rayons lumineux venant des astres se brisent à leur entrée dans Tatmosphère et s'infléchissent alors vers la terre, il est clair que ces rayons rencontrent la surface terrestre en un point un peu différent de celui où ils l'atteindraient si la réfraction n'existait pas. Ainsi, les rayons qui atteignent l'œil de l'observateur passeraient un peu au-dessus de sa tête sans Texistence de la réfraction. Si donc on supposait que celle-ci cess&t et que l'observateur , sans changer de position géographique, s'élev&t un peu au-dessus du niveau qu'il occupe et jusqu'à la rencontre du rayon lumineux, alors il verrait à cette hauteur identiquement le phénomène que par suite de la présence de l'atmosphère il voit à la surface même du sol. Mais à une petite élévation au dessus du sol, les parallaxes qui sont proportionnelles à la distance au centre de la terre sont plus grandes qu'à la surface même du globe. On voit donc que l'effet de la réfraction atmosphérique est de faire que le phénomène soit vu de la station comme si la parallaxe de la lune était un peu plus grande que la parallaxe réelle. En appelant h la hauteur à laquelle il faudrait s'éleverpour rencontrer le rayon lumineux et r le rayon de la terre, enfin H la

parallaxe horizontale de la lune, H serait la parallaxe qui devrait être employée dans le calcul.

n est impossible de calculer avec certitude la valeur de A, car elle dépend de la forme de la trajectoire du rayon lumineux dans l'atmosphère ; seulement, vu la petitesse de la réfraction et la petitesse de la hauteur de l'atmosphère par rapport au rayon de la

terre, h n'est que de quelques mètres. L'accroissement — de la

parallaxe dû à la réfraction atmosphérique peut donc être négligé sans erreur sensible.

277 . — Les éclipses de lune sont visibles de la même manière pour tous les lieux de la terre qui ont la lune sur leur horizon, c'est-à*

dire pour un hémisphère entier. On en effectue donc le calcul pour le centre de la terre, et les éphémérides donnent les heures d'entrée de la lune dans le cône d'ombre de la terre, ou les heures de sortie hors de ce cône en temps du premier méridien. On a ces heures en temps d'un lieu quelconque, en retranchant de l'heure du premier méridien la longitude occidentale du lieu réduite en temps. Si on appelle ÂR l'ascension droite du soleil et D sa déclinaison, l'ascension droite de l'axe du cône d'ombre sera pour le centre de la terre par lequel passe cet axe ISO^'+AR, et la déclinaison de cet axe sera — D. ^ SO'-f AR et — D sont donc les coordonnées du point du ciel que rencontre cet axe prolongé, point que, pomr abréger, nous désignerons par A. Les calculs d'éclipsé de lune se réduisent donc à obtenir au centre de la terre les distances angulaires A de la lune à ce point A. Elles sont données par l'équation (A) du n"" 269, dans laquelle on substitue à D la déclinaison du point A et à D' la déclinaison vraie de la lune, c'est-à-dire la déclinaison non affectée de parallaxe, et ou substitue pour a la différence de l'ascension droite du point A et de l'ascension droite vraie de la lune. Si maintenant nous appelons H la parallaxe horizontale de la lune, n «"elle du soleil, et p le demi-diamètre angulaire du soleil, on remar*^ quera que le demi-diamètre K que sous-tend au centre de la terre la section du cône d*ombre à la distance où la lune traverse ce cône, a pour expression K = H -f- w — p (1). On recherchera donc ensuite

f I) En efTety si on mène un plan par les centres de la terre et du soleil, les sections de ces deux corps seront deux cercles, dont les tangentes communes se coupant derrière la terre à Topposé du soleil, représenteront la section du cùne d'ombre. L'angle de Tune de ces tangentes et de la ligne passant parles deux centres est égal à p — n^ car la perpendiculaire abaissée du centre de la terre sur le rayon du soleil mené du centre de cet astre au point de tangence sera parallèle à la limite du cône d'ombre. Or, cette perpendiculaire rencontre le rayon du soleil à une distance du centre de ce corps égale à R — r, H étant le rayon solaire et r celui de la terre, et si on appelle d la distance

des deux astres, — ^ — est le sinus du petit angle de la ligue en question avec la ligne unissant les centres du soleil et de la terre; or, ^ est le demidiamètre p du soleil, tandis que ^ est la parallaxe du soleil, p — n représente donc bien l'angle en question. Si maintenant, pour abréger, nous appelons C la pointe du cône d'ombre, T le centre de la terre et L le point de '

àliO COORDONNÉES DES ASTI\ES

parla même méthode que pour les occultations les instants auxquels A est égal à K + p' ou à K — p', p' étant le demi-diamètre vrai de la lune au centre de la terre. Les premiers instants sont les contacts de la lune avec le cône d'ombre, les seconds le commencement et la fin de la totalité. Mais, pour ce calcul, on se contente de la première approximation, parce que la réfraction terrestre infléchit les rayons lumineux du contour du cône d'ombre d'une manière assez variable, de sorte qu'une grande précision serait ici superflue.

278. — Les observations des contacts des éclipses de soleil et celles des immersions et des émersions des étoiles occultées par la lune, sont employées pour la détermination des longitudes terrestres. Ces observations consistent uniquement à déterminer avec soin l'état du chronon^ètre par rapport au temps sidéral, en employant une des méthodes quelconques que nous avons indiquées, et ensuite on note la seconde^ et autant que possible la fraction de seconde à laquelle a lieu le phénomène. Alors, à l'aide de l'état du chronomètre, on corrige l'heure obtenue aûn d'avoir en temps du lieu l'heure sidérale exacte correspondante. Cet instant et la latitude de la station qu'on a eu soin de déterminer avec exactitude, sont les seules données nécessaires à emprunter à Tobservation pour ce problème.

En réalité, le problème de la détermination de la longitude se réduit à conclure de la distance des centres des deux astres (distance qui est égale alors au demi-diamètre apparent de la lune en cas d'occultation et à la somme des demi-diamètres du soleil et de la lune en cas de contact extérieur d'une éclipse de soleil, ou enfin à la différence de ces demi-diamètres dans le cas d'un contact intérieur), l'ascension droite ou la longitude de la lune à l'instant

la limite du cône d'ombre situé à la distance de la lune^ nous aurons, dans le triangle CTL, où C = p — n, l'équation suivante entre les trois angles, T 4- C = i 80» — L. Or, 1 80» — L ou le supplément de l'angle L est Tangl een L dans le triangle rectangle formé par la ligne TL égale à la distance d 'de la terre à la lune, par la ligne limite du cône d'ombre et par le rayon de la terre.qui lui est perpendiculaire. Le sinus de cet angle, qui est très-petit, et auquel on peut

substituer l'arc, est alors égal à n., c'est-à-dire à la parallaxe borizoD-

tale H de la lune ; on adonc, en mettant pour C sa valeurp — n, TéquatioD T + p — n = H d'où T=H + n— petT n'est autre que l'angle sous-tendu au centre de la terre par une section faite dans le cône d'ombre à la distance de la lune.

ET POSITIONS GËOGR/IPHIOUES. m

de l'observation, et en cherchant dans les éphémérides l'instant où celui de ces éléments qu'on a calculé possède la valeur trouvée, la différence des heures comptées au premier méridien et à la station donne la longitude occidentale de cette station (1).

On peut diriger le calcul de façon à obtenir directement l'heure du premier méridien correspondante à celle de la station. Cette méthode que nous allons exposer est la plus exacte de toutes, parce qu'elle tient compte des variations de déclinaison ou de latitude.

En ajoutant la longitude occidentale supposée, réduiteen temps, à l'heure sidérale du phénomène observé, on obtient l'heure sidérale approchée /e de ce phénomène en temps du premier méridien, puis on calcule pour deux instants trè&-rapprochés /« — a et /o+ ^ qu'on réduit en temps moyen du premier méridien, les ascensions droites et les déclinaisons vraies des deux astres (2)^ les parallaxes horizontales et le demi-diamètre horizontal de la lune, et enfin, s'il s'agit d'une éclipse, la parallaxe horizontale et le demi-diamètre'du soleil.

On calcule ensuite la latitude géodésique à l'aide de la latitude astronomiqueobservée, en retranchant de cette dernière l'angle % donné par la formule indiquée dans le n* 194 , puis on calcule les parallaxes d'ascension droite et de déclinaison en employant successivement pour ce calcul les ascensions droites et les déclinaisons répondant aux instants t^ — aeit^ + a^ ce qui ne présente aucune difficulté, puisque les angles horaires sont la différence entre l'heure sidérale connue de l'observation des contacts à la station et les ascensions droites en question. On a ensuite les ascensions droites et les déclinaisons apparentes des deux astres dans les

(i) On a généralement l'habitude de conclure de l'ascension droite ou de la longitude obtenue pour la lune l'instant de la conjonction des deux astres en ascension droite ou en longitude , instant qu'on obtient alors en temps de la station , et c'est ce dernier instant qu*on compare à linstant correspondant donné par les éphémérides pour le premier méridien^ afin d'avoir la longitude du lieu.

(2) Tout ce que nous disons ici s'applique identiquement aux éclipses et aux occultations, sauf que pour ces dernières l'ascension droite et la déclinaison de l'étoile sont les mêmes aux deux instants <« — a et fe + a, tandis que dans le cas d'éclipsé, les coordonnées correspondantes sont variables puisqu'elles se rapportent au soleil.

m coordonnRes des astres

deux hypothèses , savoir dans le cas où les ascensions droites et les déclinaisons seraient celles qui répondent à rinstant/^ — a du premier méridien, ou bien dans le cas où les mêmes coordonnées seraient celles qui ont lieu à Tinstant io + a. On peut ensuite effectuer par la formule (A) du n** 269 le calcul de la distance apparente des centres dans les deux hypothèses. Nous appellerons A, la distance des centres ainsi obtenue dans la première hypothèse, A', la dislance répondant à la seconde hypothèse (1). Enfin, on complète ces calculs préparatoires par celui du demi-diamètre apparent de la lune dans les deux hypothèses en question (2). Cela posé, si dans la première hypothèse nous désignons par p, le demi-diamètre apparent de la lune dans le cas d*une occultation, ou la somme des demi-diamètres du soleil et de la lune dans le cas d'un contact extérieur d'éclipsé de soleil, ou enfin la différence des demi-diamètres des deux astres dans le cas d'un contact intérieur, puis si nous appelons p', le même élément pour la seconde hypothèse, et enfin si nous nommons t^ — a 4-ar l'heure du premier méridien correspondante à celle de l'observation à la station, nous aurons pour déterminer x la proportion

car 2a est l'intervalle du temps du premier méridien entre les deux instants /« -♦- « et /, — a répondant aux deux hypothèses, A. — p, est la différence de la distance des centres et du demidiamètre qui doit s'anéantir, et (A» — p,) — (^\ — p',) est la variation de cette différence dans le temps 2a.

De la proportion précédente on tire la valeur de x et en la joignant à io — a, on a l'heure sidérale du premier méridien correspondante à celle où le phénomène a été observé à la station. La

(1) Au lieu d'effectuer le calcul de la distance apparente des centres par les ascensions droites et les déclinaisons, on aurait pu reffectuer par les longitudes et les latitudes répondant aux instants donnés, comme oou$ l'avons dit dans la note du n^ 269. Il est clair que les deux résultats seraient complètement identiques.

(2) On peut le calculer pour Tinstant moyen (o seulement, car sa variation, provenant de la faible difféfenccdcs angles horaires dans les deux ea> est négligeable. A la rigueur, on pourrait agir de même pour les parallaies d*as€ension droite et de déclinaison. Mais il y a d^autant plus d'avantifrr à Taire les deux calculs que l'un sert de vérification à Tautrc.

différence de ces heures sidérales est la longitude cherchée expri* mée en temps.

Comme vérification, on refait ensuite directement le calcul avec les coordonnées des astres prises à l'instant sidéral /« — a + x du, premier méridien, et s*il reste une petite différence dans la valeur Â— p obtenue, on la corrige de nouveau par comparaison avec la plus rapprochée des deux différences A, — p, et A\ — p', en recourant pour cela à une nouvelle proportion analogue à la précédente. Mais cette seconde correction n'aurait lieu que si on avait commis une forte erreur sur la longitude supposée, de telle sorte que les instants /« — ^ et t^+a fussent loin de celui du contact, ou si on avait pris trop grand l'intervalle 2a (1).

279. — Remarquons que (Aj '— p,) — (A', — p',) est égal à A< — ^'iH- p'i — Pf Or Pi est sensiblement égal à p'i, puisque nous avons vu qu'on peut même se dispenser de calculer séparément ces deux quantités, mais prendre pourp'i et Pila môme valeur. Dans

(i) Le plus communémeat^ etsartout pour les éclipses de soleil, on fait les calculs de distance des centres par les longitudes et les latitudes. Si alors on remarque que le soleil est dans récliptiqae, la différence des longitudes apparentes peut être considérée comme la distance des deux astres^ projetée sur récliptique» et comme la latitude du soleil est sensiblement nuUe^ on a, an moment du contact, en appelant p la somme ou la différence des deux diamètres, suivant qa'il s'agit d*un contact intérieur ou extérieur, et en nommant « la différence des longitudes apparentes des deux astres, et X la latitude apparente de la lune diminuée de la très-petite latitude dn soleil :

«•=:p«-X*=(p-X)(P + Xl

car la différence des longitudes, la latitude de la lune et la distance p {forment les trois côtés d'un triangle rectangle très-petit qu'on peut regarder comme rectiligne.

L'équation précédente donne la valeur a de la différence des longitudes des centres des deux astres, et en ayant égard au mouvement relatif de la lune en longitude par rapport au soleil, mouvement dont la valeur est donnée par les éphémérides, on calcule par une simple proportion le temps qui doit s'écouler pour que cette différence soit nulle. En ajoutant ce temps^ qui peut être positif ou négatif, à l'heure du lieu, on a l'instant de la conjonction en temps du lieu. Le comparant à l'instant de la conjonction en temps du premier méridien, on a la différence des longitudes.

Cette méthode est moins exacte que celle que j'ai donnée dans le texte> parce que la latitude apparente x est calculée à l'aide de la longitude supposée, et n'est pas la vraie latitude apparente à l'instant du phénomène.

tous les cas, p'i — pi, si on ne le regarde pas comme nul, est une très-petite quantité qui peut être considérée comme indépendante du diamètre lunaire, car sa variation avec ce diamètre serait de Tordre de cette différence elle-même, déjà négligeable, multipliée par le sinus du diamètre lunaire qui est très-petit. A, — À'.est à son tour complètement indépendant du diamètre lunaire. Nous pouvons même regarder A. — A'i qui sera une très-petite quantité si 2a est très-petit, comme indépendant d'une petite variation de quelques secondes dans la parallaxe horizontale de la lune , ou d'une petite variation également de quelques secondes dans la déclinaison de cet astre, car ces petites variations augmenteraient de la même manière A, et A', à des quantités près du second ordre. 11 résulte de là que A, — A*, -h p', — p, peut être considéré comme une quantité m. connue et indépendante des petites erreurs qu'on pourrait supposer sur le demi-diamètre de la lune, la parai* laxe horizontale ou la déclinaison de cet astre. Remarquons encore que /« étant Theure sidérale du phénomène qui aurait lieu au premier méridien si la longitude était celle qu'on a primiUvement supposée, et /« — a-hx l'heure réelle, la différence de ces heures avec celle de la station, c'est-à-dire la longitude exprimée en temps diffère de or — a dans les deux cas , donc x — a est la correction SL à ajouter à la longitude supposée pour avoir la longitude exacte. En remplaçant dans la proportion précédente (A, — p,)— (A', — p',) par sa valeur constante m„ calculée pour l'instant du phénomène , nous aurons pour la valeur de x

X = |2 (A. - p.) d'où «L=!5 (A, - p.) - «.

Différencions maintenant l'équation (A) du n"* 269 par ra(^rt à A,D' et a, éléments qui varient avec la déclinaison de la lune et les parallaxes horizontales, nous aurons, en remplaçant les différentielles par les variations,

sin àSA = [sin (D' — D) — 2 cos D sio D' sio 4 «] SD'

-t- cos D coaD' sin aoa.

Or, D' étant la déclinaison apparente de la lune, sa variation se composera de l'erreur Jrf de la déclinaison vraie de la lune, plus Terreur provenant de la parallaxe lunaire. Si nous appelons x5, la différence connue D' — </ de la déclinaison apparente et de

la déclinaison vraie de la lune, t^o est la parallaxe de déclinaison dé la lune, laquelle nous est ainsi donnée avec son signe et est proportionnelle à la parallaxe horizontale^ toutes choses égales

d'ailleurs. En appelant donc H cette dernière parallaxe^ -r^ JH

sera la variation de la déclinaison apparente due à la variation SU

de la parallaxe; on a donc JD' = Sd + tt^H. Maintenant nous

remarquerons que l'angle a est indépendant de la déclinaison de la lune et est modifié par la parallaxe lunaire de l'angle xij provenant de cette parallaxe, dans le sens indiqué par la différence entre l'angle connu a et l'autre angle connu a, qui existe entre l'ascension droite vraie de la lune et l'ascension droite apparente du soleil , de sorte que vi = a — oLy. En donnant à vi qui égale d'ailleurs la parallaxe d'ascension droite de la lune, le signe de la différence en question, on a ^a=

|7-dH. Substituant dans l'équation précédente ces valeurs de ^D'

etde ja, nous aurons la valeur de ^À en fonction de ^ef etde^H,et si nous mettons pour A la valeur A„ et pour D\ D et a^ leurs valeurs correspondantes avec lesquelles A| a été calculé, nous aurons l'expression de la valeur de ÂA à l'instant considéré, valeur qui, après avoir fait les substitutions numériques dans les coefficients, sera, en l'appelant JA., de la forme

aA. = Mld + NdH,

M et N étant connus.

Si maintenant nous supposons que dans les tables la déclinaison est en erreur de 8d et la parallaxe horizontale de jH, et que le demi-diamètre horizontal est trop petit de jp', nous devrons pour avoir la vraie valeur de èL substituer dans son expression au lieu de A„ A, + 5A„ et au lieu de p„ p, + 5p' (1).

(1) ^p' peut être regardé comme constant, quoique le demi-diamètre de la lune varie avec la hauteur, parce qu'à des quantités près du second ordre, la variation est la même, soit que ce demi-diamètre soit p' ou p' -|- ^p'. Le demi-diamètre apparent sera donc p, + ^p'9 quand dans les cas d'occultation p, représente le demi-diamètre apparent de la lune. Dans les cas d^éclipse de soleil, ce sera la somme des deux demi-diamètres du soleil et de la lune sur laquelle il faudra supposer l'erreur ^p', s'il s^agit de contacts

UUa COORDONNÉES DES ASTRES

En faisant ces substitutions dans la formule précédente qui donne JL, on aura

f9l| I9t| fll| '^

Si dans la même station on a observé l'immersion et Témersionj en supposant que Téquation précédente se rapporte à Timmersion, et en appelant M', N', a', m,, A,, p, les quantités correspondantes aux homologues de l'équation précédente et calculées pour l'émersion , on aura une seconde équation

8L = — (A, — p,) — û' 4- —U'^d + — N'8H — ^ V- Mj fit, fils ni|

Les deux corrections èh devant être égales dans les deux cas^

on égalera leurs valeurs , ce qui donnera une équation de la

forme

dans laquelle A, B, C, et K seront connus.

Si on suppose que l'occultation a été observée en plusieurs stations, on aura plusieurs équations de cette forme, et si leur nombre est supérieur à 3, les valeurs des inconnues id, iE et if' pourront être déterminées par la méthode des moindres carrés. En mettant ensuite les valeurs de ces quantités dans les deux équations en ^L de chaque lieu, on aura deux valeurs sensiblement égales de $L dont on prendra la moyenne (1), puisque les différences restantes ne pourront plus être attribuées qu'aux erreurs d'observation.

Si le phénomène observé est une éclipse totale ou annulaire de soleil auquel cas il y a quatre contacts^ on pourra égaler les valeurs de èh données par les contacts extérieurs, et de même celles qui sont données par les contacts intérieurs, on aura alors deux équations entre les corrections, mais dans l'une de ces équations if' représentera l'erreur if\ sur la somme des deux demidiamètres, dans l'autre l'erreur jp', sur leur différence. On aura

eitérieurs, ou la différence des deux demi-diamètres s'il B*agit de contacts intérieurs. Dans ces cas^ p, représente dans notre formule cette somme oo cette différence des demi-diamètres.

(\) Od n*aurait, par les deux équations^ qu'une seule valeur de tl, s*il n*y avait que trois équations pour les trois inconnues.

donc une inconnue de plus, puisque Sf' en fournit deux autres. Quand les quatres inconnues Sd, ^H, if\ et Âp's auront été déterminées par l'ensemble des équations formées par les diverses stations, on remarquera qu'en appelant v Terreur sur le demidiamètre du soleil et v' l'erreur sur le demi-diamètre de la lune, on aura les deux équations

le signe 4- se rapportant au cas où le demi-diamètre du soleil est plus grand que celui de la lune, le signe — au cas contraire. De ces deux équations on tirera les valeurs de v et de v\ ou les corrections des diamètres des deux astres.

280. — Si l'une des stations oîi une occultation a été observée est au premier méridien, on doit y trouver âL=0, après les corrections de demi-diamètre^ de parallaxe et de déclinaison. Si cela n'a pas lieu , c'est parce que les tables sont en erreur. Si on trouve 8L positif, cela indique que les coordonnées devaient être prises dans la table un temps 8L plus tôt. L'ascension droite de la lune donnée par les tables est donc trop grande du mouvement de la lune pendant le temps JL. Les déclinaisons , parallaxes et demi-diamètre doivent être également prises un temps iL plus tôt avant d'y ajouter les corrections 8d, SU. et ^p', après quoi on a tous ces éléments exactement à l'instant de l'observation. Leurs différences avec les valeurs données par les tables sont les corrections de ces éléments dans les éphémérides. Quant aux autres stations oîi le phénomène a été observé , leur différence de longitude avec la longitude qu'on a trouvée pour le premier méridien est la vraie longitude indépendante des erreurs des tables. Dans tous les cas, il est facile de se rendre compte que les différences de longitude des diverses stations où une même occultation a été observée sont indépendantes des erreurs tabulaires , pourvu que le demi -diamètre, la parallaxe et la déclinaison de la lune aient pu être corrigés de jp', ÂH et j(f.

La lune étant observable aux époques de sa révolution oîi on peut observer les occultations des étoiles, il arrive qu'en général, si Toccultation n'était pas visible au premier méridien, au moins (sauf le cas de mauvais temps en ce point) cet astre a pu y être observé vers l'époque de l'occultation. Alors, avant de faire les calculs, on corrige des erreurs tabulaires les ascensions droites et les

llUS COORDONNÉES DES ASTRES

déclinaisons prises dans les tables, de sorte que le résultat devient indépendant de ces dernières erreurs. Pour les éclipses de soleil, lavantage d'observations de la lune dans la même journée n'existe pas, ce qui rend plus douteuses les corrections tabulaires fondées sur les observations faites au premier méridien dans le voisinage de l'époque du phénomène. Mais si l'éclipsé a été observée au premier méridien, on retrouve, de la même manière que pour les occultations^ l'avantage d'un résultat indépendant des erreurs tabulaires. Dans les éclipses, on a toutefois à craindre un genre d'erreur de plus que pour les occultations, ce sont les erreurs des tables du soleil. Mais on a l'avantage de pouvoir les faire disparaître en effectuant directement des séries d'observations sur l'ascension droite et la déclinaison du soleil dans la station même où on obsene l'éclipsé, ce qui donne en des instants connus en temps du lieu la position du soleil sur le ciel; puis à l'aide du mouvement de l'astre indiqué par les tables, on calcule au moyen des intervalles écoulés les positions à l'instant des contacts observés. En ces instants, la position du soleil est donc déGnie^ sans que la longitude du lieu soit inter\'enue dans sa fixation, et en cela les choses se passent comme^ avec les occultations. Si l'éclipsé est observée au premier méridien, le soleil y élant alors observable, on peut déterminer la correction de la position donnée par les tables, et pourvu que les observateurs du premier méridien ne se limitent pas à une seule observation méridienne, mais emploient des séries d'observations azimutales, la correction sera très -bonne. Comme réclipse donne la correction de la différence d'ascension droite des deux astres, on en déduira la correction de l'ascension droite de la lune.

Si on a observé une occultation d'une étoile dont la position soit incertaine , il est clair qu'on doit la déterminer avant de faire le calcul.

281 . — I^es passages de Vénus et de Mercure peuvent donner les longitudes par des calculs identiques à ceux des éclipses. Nous n'avons donc pas à nous étendre davantage sur ce sujet. Ce que nous avons dit pour la prédiction des passages suffît pour l'indication de ce qu'il y a à faire pour les recherches des éléments du calcul dans les tables. Le reste est en tout semblable au calcul des éclipses. Toute fois, pour la détermination de la correction de la panUIaxe, nous rappellerons que la parallaxe des planètes en question étant égale à

ET POSITIONS GÉOGRAPHIQUES. m

celle du soleil divisée par le rapport connu de leur rayon vecteur géocentrique au rayon moyen de l'orbite terrestre, rapport que nous appellerons u, si nous appelons èp la correction de la parallaxe horizontale du soleil, la correction de leur parallaxe

sera- j^. Substituant cette valeur à 8E dans l'expression de oH'

que nous avons donnée pour les éclipses et les occultations, on aura l'expression de âD' à substituer dans les équations du n^ 279; mais il convient en même temps de faire varier la déclinaison apparente du soleil, c'est-à-dire de différencier l'équation (A) par rapport à D en même temps que par rapport à D' et a, et de remplacer è D

par—.* ipy xi^ étant la parallaxe de déclinaison du soleil et p la parallaxe horizontale employée dans le calcul ; de plus, èa, sera égal

à— j^, xi étant égal à la différence entre l'angle connu a et l'angle a^qui existe entre les ascensions droites vraies de la planète et du soleil, par 1& l'influence totale de l'erreur sur la parallaxe horizontale du soleil sera exprimée dans l'équation. Avec ces substitutions des expressions de ^D', ^D et Sa dans l'équation (A) différenciée, on aura à chaque station, par la condition de l'égalité des corrections de longitudes données par les contacts extérieurs, une première équation, et parcelle des mêmes corrections fournies par les contacts intérieurs, une seconde équation entre les corrections des déclinaisons et de la parallaxe du soleil et les corrections des sommes ou des différences des demi-diamètres. On tirera donc de l'ensemble des observations la parallaxe du soleil, en même temps que les longitudes; mais pour que cette détermination de la parallaxe solaire soit bonne, il faut que les stations soient très-différentes en latitude, de telle sorte que, par l'effet de la parallaxe, on voie de chacune de ces stations la planète décrire sur le soleil une corde très-différente (1),

(1) Remarquons que les corrections ^L de la longitude^ données par chaque contact^ ne sont^ au fond^ que les corrections sur les instants supposés des contacts^ en temps du premier méridien, instants qu'on a obtenus en retranchant une même longitude supposée des temps réels des contacts, de sorte que les intervalles adoptés pour les deux contacts, et dont la différence des valeurs de ^L est la correction, sont précisément les intervalles réellement observés entre ces contacts. En égalant donc à zéro la différence des valeurs de ^L pour les deux contacts intérieurs (ou la différences des

et en outre il faut que la planète ne décrive que de petites cordes sur le soleil. Quant aux déterminations de longitude, elles ne font, au contraire, que gagner à ce que la planète passe près du centre du soleil.

Nous ferons remarquer, en outre, qu'il y a, dans le cas des passages de planètes, avantage à effectuer le calcul des distances des astres par les longitudes et les latitudes, c'est-à-dire par la formule

sin* i A = sin" | (X' — X) + cosX cos X' sîn* | «

dans laquelle alors a représente la différence des longitudes apparentes des deux astres, X et X' leurs latitudes affectées de pa* rallaxes.

En effet, X etX' étant très-petits, on peut, dans la différenciation de la formule, négliger les termes en cos X sin V sin' | a et sin X cos V sin* | a , alors la difTérentielle de l'équation devient en renplaçant les différentielles par les variations

sin ASA =s sin (X'— X) 8 (X'— X) «t- cos X cos X' sin «Sa.

En appelant toujours ;? la parallaxe horizontale du soleil, nommons V, — X, la différence des latitudes vraies et a. la différence des longitudes vraies , de sorte que les effets de la parallaie

sont V — X— (V, —X,) et a — a, ; alors on a î «== '-^ip et

5 (V — X) = */ + ^'—^—C^'—^') ip , équation dans laquelle

&/ est la correction de la différence de latitude des deux astres. On voit ainsi que les erreurs particulières des latitudes du soleO et delà planète n'interviennent pas : leur différence seule influe.

valeurs de ^L pour les deux contacts extérieurs) , c'est-à-dire en égalant \t$ deux valeurs de ^L, données par ces deux contacts, l'équation obtenue ne fait qu'exprimer que le temps employé par la planète à décrire la corde sur le soleil a été précisément celui qu'on a observé. La méthode que nous venons d*exposer comme un simple corollaire de celle des occoltatioos est donc au fond identiquement la même que la méthode décrite dans les ouvrages d*astronomie pour le calcul de la parallaxe du soleil par les passage» des planètes inférieures sur son disque, méthode qui repose sur le temp:^ employé à décrire la corde. Nous ne trouvons aucun avantage à exposer ici cette dernière méthode, où on néglige des quantités que la nôtre, qui est aussi courtCj ne néglige pai.

Par rélimination de âL, chaque station donne deux équations de condition. Avec deux stations, on a donc quatre équations entre les quatre inconnues, ip, èljBi les corrections de la somme et de la différence des deux demi-diamètres. Mais les contacts extérieurs, surtout le premier, ne peuvent pas être observés avec une précision aussi grande que les autres. Toutefois, en négligeant le premier contact extérieur, on peut encore dans chaque station remplacer Téquation des contacts extérieurs en égalant la valeur de jL donnée par le dernier contact extérieur à la valeur de £ L donnée par les contacts intérieurs. Par là on évite l'emploi du premier contact, et le nombre des équations n'est pas diminué. Mais vu la petitesse du diamètre des planètes, Téquation des contacts extérieurs n'est pas assez différente de celle des contacts intérieurs pour bien déterminer toutes les inconnues. Comme en général, on a les observations à plus de deux stations très-diilérentes en longitude et en latitude, on peut, en n'employant que les contacts intérieurs, déterminer les inconnues , qui alors se réduisent à trois.

282. — Les plus graves erreurs à craindre étant toujours sur les diamètres, on suppose nulle, si on n'a que deux stations, la correction des latitudes ou des déclinaisons. C'est aussi ce qu'on fait pour les occultations si on n'a que l'immersion et Témersion observées dans une seule station ; il faut en plus dans ce cas supposer nulle la correction de parallaxe, mais on a une longitude indépendante du demi-diamètre de la lune. Pour les éclipses de soleil, comme pour les passages de planètes, les contacts extérieurs, surtout le premier, donnent des résultats très-inférieurs en précision à ceux des contacts intérieurs et à ceux des occultations. Ces dernières, dans lesquelles n'interviennent pas les erreurs des tables solaires, sont d'ailleurs toujours préférables aux éclipses de soleil pour la détermination des longitudes quand on peut observer l'immersion et l'émersion.

283. — Si, pendant une éclipse de soleil, on mesure à un instant donné la distance des cornes, on voit, en remarquant que le demiintervalle p des cornes est la longueur de la perpendiculaire abaissée sur la ligne des centces^ qu'on peut facilement, dans le triangle rectiligne formé par une des cornes et les centres des deux astres, obtenir la distance des centres qui forme un des côtés de ce triangle, car on connatt les deux autres côtés qui sont égaux aux demi-diamètres apparents p et p' des deux astres et lalongueur de la perpendiculaire abaissée sur ce troisième côté. En appelant \l et

U52 œORDONNÉES DES ASTRES

(I.' les angles au centre des deux astres, on a pour déterminer ces angles les deux équations

sin (A as E et sin [a' = v

p cos (I. et p' cos (I.' sont alors respectivement les distances du point de rencontre de la ligne des centres et de la ligne des cornes aux centres des deux astres, et suivant que la ligne des cornes est entre les deux centres ou extérieure à eux^ la somme ou la différence de ces quantités connues pcosfx. et p' cos\l' est la distance des centres. La distance des i^^ntres étant ainsi connue à l'instant de l'observation, il est évident qu'on peut calculer l'heure correspondante du premier méridien, exactement parla même méthode que pour les contacts, puisque les observations de contacts ne sont après tout que des observations de distances de centre. La seule différence est que dans les formules la somme ou la différence des diamètres est remplacée par la somme ou la différence, de pcos{Aet p' cos \tl . Dans les formules de correction pour les demi-diamètres etla parallaxe de la lune, si on remarque que p et p' diffèrent toujours très-peu l'un de l'autre^ de sorte que les angles (i. et [&' sont peu différents, on voit qu'on pourra à des quantités près du second ordre, remplacer la correction de p cos(i. + p'cos(^', ou celle de p cos(i(. — p' cos (I.' par la correction de la somme des demi-diamètres dans le premier cas ou de leur différence dans le second, correction multipliée par cos(x.„ (x.. étant la moyenne connue des angles fftet|i'.

Remarquons maintenant que peu de temps après le premier contact extérieur ou avant le dernier, une très-petite variation dans la distance des centres correspond à une variation considérable dans celle des cornes. Il en est de même dans le voisinage des contacts intérieurs, lors des éclipses totales ou presque totales. On voit donc que des mesures bien faites de distances de cornes seront préférables pour la détermination des longitudes aux observations des contacts, d'autant plus qu'on peut alors observer un grand nombre de ces dislances, afin d'avoir une bonne moyenne pour le résultat.

284. — Il faut noter toutefois que les longueurs mesurées des distances des cornes ont besoin d'une petite correction, provenant de ce que les deux cornes n'étant pas généralement à la même distance du zénith, leur écartement est un peu diminué par la

réCractioa. Cette correction est facile à obtenir, car nous avons vu (d°274) le moyen de calculer pour un instant quelconque l'angle de la ligne des centres et du vertical du soleil, angle d'où on tire Tan* gle de la ligne des cornes et de ce vertical. L'intervalle mesuré des cornes multiplié par le cosinus de cet angle est la différence de distance au zénith pour les deux cornes. Prenant alors dans les tables de réfraction la variation de la réfraction avec cette différence de distance zénithale pour la distance actuelle du so* leil au zénith, distance qu'on a calculée à l'aide de l'heure de Tobservation (n' 232) , on a la quantité dont doit être allongée la projection de la distance des cornes sur le vertical de l'une d'elles. Remarquons maintenant que la projection perpendi« culaire est égale à la distance des cornes multipliée par le sinus de l'angle de la ligne des cornes et du vertical du soleil, et que la réfraction en élevant le soleil dans son vertical diminue cette projection dans le rapport du sinus de la distance zénithale affectée de réfraction au sinus de la distance zénithale vraie du soleil ; on aura donc la projection en question , en la multipliant par le rapport inverse. Les deux projections, l'horizontale et la verticale , étant ainsi obtenues corrigées de réfraction, la somme de leurs carrés est le carré de la distance vraie des cornes.

Ces corrections de réfraction étant très-petites, et les incertitudes de la réfraction ne pouvant les altérer que d'une petite fraction de leur valeur, on voit que les corrections peuvent, à des quantités près du second ordre, être regardées comme exactes, et Terreur qui en résulterait sur la distance des centres est encore plus négligeable si les observations sont faites dans les moments favorables, puisqu'une très-forte erreur sur la distance des cornes n'en fait alors qu'une très-petite sur la distance des centres (0«

285. — L'angle de la ligne des cornes avec le vertical du soleil varie rapidement. Cette circonstance rend difficiles les mesures des distances de cornes. En général, l'angle avec le diamètre polaire est variableaussi.Toutefois, dans les éclipses centrales, ce dernier angle

(i) L'irradiation solaire (provenant de l'œil et de la lunette] ne modifie pas la distance des cornes, parce qu'elle augmente le diamètre solaire, en même temps qu*elle diminue le segment obscur de la lune de la même quantité. — Il est facile de voir que ces deux effets se compensent quant à l'écartement des cornes.

varie très-peu. Avec un équatorial, dans ce cas, les mesures seraient très-faciles à prendre en recourant à un objectif d'hélio* mètre ou à un micromètre à double image, ou enfin à mon micromètre à quatre images. Mais on peut toujours obtenir des mesures de distances de cornes au moyen de photographies instantanées faites sur coUodion sec, car le soleil trace son image en moins d*un centième de seconde. Dans ce cas, on fait passer rapidement une fente, découpée dans un écran, devant la glace coUodionnée, en réglant le passage de cette fente à une seconde exacte de l'horloge. On a ainsi à un instant connu avec précision une photographie du soleil éclipsé. Pour avoir sur la glace même l'échelle des minutes et des secondes d'arc, on peut faire deux photographies du soleil sur la même glace à deux instants. On déduit de la distance des centres des deux images l'espace linéaire parcouru, lequel répond à l'angle entre les deux positions apparentes de l'astre affectées de parallaxe et de réfraction à ces deux iostanU^, angle qu'on peut calculer, et on a ainsi sur la glace la ydleur linéaire de la minute d'arc.

Deux séries de mesures de distances de cornes faites l'une un peu après le commencement et l'autre un peu avant la fin de réclipse donnent la correction de la somme des diamètres comme dans le cas des contacts extérieurs (1 ). On a celle de la différence des diamètres par les séries obtenues un peu avant et un peu après la totalité dans le cas d'éclipsé totale.

286. — Dans une éclipse parfaitement centrale, l'angle de la ligne des cornes et du diamètre polaire du soleil est constant aux environs de la totalité avant et après. Il est très-variable dans cette circonstance si l'éclipsé n'est pas rigoureusement centrale. Il résulte de là un moyen très-curieux d'obtenir la plus courte distance des centres, à l'aide de mesures de l'angle de position de la ligne des cornes aux environs de la totalité, mesures prises avec réquatorial : le mieux ^ dans ce cas, est de recourir à la photographie. On dispose alors les glaces coUodionnées dans un

(1) Le demi -diamètre solaire ne peut être mesuré sur les plaques à eanse de l'irradiation et da manque de netteté parfaite de l'image sur les bords. Ce manque de netteté est moins important pour les distances des cornes, car l'incertitude est très-petite, et nous avons vu qu'une grande erreur sur les distances de cornes n'en fait qu'une très-petite sur les distances des centres, quand la ligne des cornes est une petite fraction du diamètre.

chAssis dont une garniture métallique porte des repères, à l'aide desquels la position du chAssis par rapport à la lunette peut être déterminée. Cette même monture^métallique renferme une pointe de diamant avec laquelle un trait peut être tracé sur le derrière de la glace mise en place, afin de former une ligne de repère identique pour toutes les glaces. La différence de l'angle de cette ligne et de la ligne des cornes dans deux épreuves obtenues Tune avant, l'autre après la totalité, et tout près de cet instant quand la distance des cornes est déjà petite, donne l'angle des deux lignes des cornes et par conséquent celui des deux lignes des centres (1).

Or, sur les deux épreuves, la longueur de la ligne des cornes donne la distance des centres : on connaît donc la distance des centres aux instants des deux épreuves et l'angle compris ; on peut, par conséquent, dans le triangle rectiligne formé par le centre du soleil et les deux positions relatives du centre de la lune, calculer la longueur de la ligne abaissée du centre du soleil sur le côté opposé. Cette distance est la plus courte distance des centres^ et on sait en outre de quel côté du centre du soleil elle a eu lieu.

Quand la ligne centrale du parcours de Téclipse est très-inclinée au parallèle du lieu d'observation, on voit que la position de ce lieu sur le globe est fixée par l'intersection de son parallèle de latitude et de la ligne sur laquelle existe dans le sens trouvé la distance des centres obtenus. Si donc, avec la latitude du lieu et une longitude un peu plus petite que la supposée, on calcule par les tables la plus courte distance des centres^ puis si on fait le même calcul pour une longitude un peu plus grande et la même latitude, une simple proportion donnera la longitude à laquelle avait lieu la plus courte distance observée, et cette longitude est celle de la station. L'heure de la station n'est intervenue ici dans le calcul

(i) Cet angleestmodifîéparlaréfraction; mais lesdeox épreuves étant faites à deux instants très-rapprochés^ sont sensiblement altérées de même et par conséquent la différence des deux angles peut être regardée comme indépendante de la réfraction^ à moins que Tastre ne soit très-loin du zénith. Nous avons vu précédemment le moyen de connaître les projections vraies (verticales et horizontales) de la ligne des cornes. Leur rapport est la tangente de l'angle vrai de la ligne des cornes et du vertical, tandis que le rapport des projections apparentes donne la tangente de l'angle apparent. La différence de ces deux angles est Tinfluence de la réfraction. La différence de ces influences ainsi calculéespour les deux épreuves donne la correction de Tangle observé.

que pour avoir raugmentation du demi-diamètre lunaire avec la hauteur. II suffit donc qu'elle soit seulement approximativement connue. La méthode que je viens d'exposer offre par conséquent le caractère curieux de ne pas exiger la connaissance exacte de l'heure de la station.

Mais toutefois il est préférable que cette heure soit connue, ainsi que les instants des deux épreuves, car alors on peut obtenir par les méthodes déjà exposées la correction de la différence des demi-diamètres des deux astres, correction qui influe un peu sur le résultat, et en tenant compte de cette correction, on a une longitude exacte.

J'ai imaginé la méthode que je viens de décrire à l'occasion de l'éclipsé du 7 septembre 1858, à Paranagui, où je l'ai appliquée. Cette application de la photographie à l'astronomie de précision est la première qui ait été faite (1 ) •

287. — Pour l'observation des passages de planètes, la photographie sera aussi d'un secours très-utile, car on pourra, sur des épreuves bien faites, obtenir les coordonnées des centres des deux astres, et par conséquent les distances de ces centres pour des secondes exactes de l'horloge en suivant le procédé que j'ai décrit, à moins qu'on ne préfère enregistrer sur un chronographe électri-

(1) Il avait été fait^ antérieurement^ des photographies du soleil et de la lune. Moi-même, j'en avais obtenu. Plusieurs années auparavant, j'aTiis déjà publié une méthode pour l'application de la photographie à Tobservatioa du soleil, et j*avais fait déjà quelques expériences dans ce but. Mais ces essais et ces méthodes ne s'appliquaient pas directement à la correction des positions astronomiques de la lune et du soleil et à la détermination des positions géographiques. Au sujet de l'application de la photographie à fastronomie, je mentionnerai ici que j'ai indiqué dans mon mémoire Sur ftnr plot des oburvaiions azmittales pour la dékrminaUon des posiUons géoçfrofhir ques et des coordonnées des astres un mode d'observation qui n'exigerait nullement l'emploi de photographies instantanées , en sorte qu'il est trèspratiquement applicable aux étoiles. Il repose sur les procédés de pointé que j'ai meutionnés dans le n^ 129, et par lesquels la situation de rinstru* ment, dont la lunette suit l'astre par TefTet d'un mouvement d'horlogerie, est enregistrée électriquement ou mécaniquement en un instant donné en même temps que l'heure correspondante de l'horloge.

Dans Touvrage que je viens de citer, j*ai indiqué un moyen trè»«iinp)« de faire, à l'aide d'un mouvement d'horlogerie, accompagner une étoile par la lunette de Faltrazimut, sans rien sacrifier des rectifications d'txes de ce dernier instrom^nt^

que rinstant de l'ouverture. Par cet emploi de la photographie on pourra multiplier les observations pendant la durée du passage.

Quand les planètes décrivent des cordes voisines du centre du soleil, on peut aussi, à l'aide de prismes biréfrittgents d'un angle bien connu, doubler dans la lunette d'un équatorial l'image solaire, do façon à voir l'une des images de la planète décrire une corde très-voisine du bord de l'une des images du soleil , dont la déclinaison apparente serait par là augmentée ou diminuée de l'angle connu du prisme. Il y aurait en cela un excellent moyen d'obtenir des distances des centres ; et les contacts extérieurs avec l'image solaire pourraient être aussi bien observés que les intérieurs, puisqu'il y aurait projection de la planète sur l'autre image solaire, de sorte qu'on la verrait venir. Si des observateurs veulent appliquer cette méthode lors des prochains passages de Vénus de 1874 et 1882, cette simple indication et les développements dans lesquels nous sommes déjà entré sur le calcul des passages leur suffiront pour comprendre comment doit être effectué le calcul.

288. — Les éclipses des satellites de Jupiter sont aussi employées à la détermination des longitudes terrestres. Ces éclipses présentant le même aspect en tous les points de la terre où l'astre est au-dessus de l'horizon, on voit que la différence des heures locales oti on note la disparition ou la réapparition des satellites est directement la différence des méridiens. Si le phénomène est observé sous le premier méridien, la longitude obtenue est indépendante des erreurs des tables des satellites. Elle en est affectée, au contraire, si on calcule la longitude avec la différence de l'heure observée à la station et de l'heure calculée pour le premier méridien. Le premier satellite, ayant des mouvements rapides, peut donner d'assez bonnes déterminations quand l'observation est faite en même temps sous un méridien bien connu, afin d'éliminer les erreurs tabulaires , qui sont assez grandes. Mais il faut pour cela que la lunette soit de même ouverture et de môme grossissement dans les deux cas ; car, les satellites ne disparaissant pas instantanément, l'instant où on juge la disparition complète ou le commencement de la réapparition varie avec la puissance optique de la lunette employée. Dans mon ouvrage VEspace céleste^ chapitre I", j'ai indiqué quelques précautions à prendre quand on veut employer les éclipses des satellites à la détermination de la vitesse de la lumière. Je ne re-

/i58 « COORDONNÉES DES ASTRES

tiendrai donc pas ici sur ce sujet. Le degré de transparence atmosphérique et la hauteur de l'astre exercent aussi une petite influence sur les instants d'apparition et de disparition des satellites.

Les éclipses deS satellites de Jupiter sont annoncées par \e& éphémérideSy dans lesquelles un diagramme indique pour chaque jour de Tannée les positions relatives de ces petits corps, de bçon à les reconnaître les uns des autres.

289. — Pour bien voir les satellites de Jupiter, il faut une lunette d'un grossissement d'une trentaine de fois. Cette circonstance empêche d'observer leurs éclipses à bord des navires où ils donneraient les meilleures observations de longitude que l'on puisse avoir à la mer. Toutefois j'ai imaginé une disposition qui permettrait de les observer en mer. Elle est fondée sur ce qu'avec une lunette courte à grand champ grossissant trois ou quatre fois, on peut, même eo appuyant la main sur le bordage, tenir un objet pointé au milieu du champ malgré les mouvements du navire. C'est un fait dont je me suis assuré par expérience. Or, si on disposait une lunette d'un grossissement de trente-deux à trente-cinq fois, repliée deux fois sur elle-même à l'aide de prismes à réflexion totale, de telle sorte que cette lunette fût courte et que son oculaire placé au milieu de sa longueur fût perpendiculaire à la direction dans laquelle cette même lunette doit viser, et si de plus à cette lunette était accolé un chercheur à grand champ grossissant deux ou trois fois seulement, il serait possible à un observateur détenir ce chercheur pointé sur Jupiter et de garder les planètes au milieu du champ. Alors un autre observateur regardant dans l'autre lunette et dans la direction perpendiculaire à la lunette chercheur (et par conséquent dans une situation où les deux observateurs ne se gêneraient pas) verrait la planète et ses satellites en permanence, et l'observation serait possible. Un moyen analogue pourrait être essayé pour permettre en mer d'observer les distances lunaires avec des grossissements plus forts qu'avec les instruments actuels. Mais nous ne nous étejidrons pas davantage sur ce sujet (1).

(I) A terre, avec un cercle de réflexion soutenu par une monture parailactique, au lieu d*ètre tenu à la main, une fois rinstrument amené dans le plan des deux astres, et de façon à ne plus pouvoir tourner qu'autour de l'axe pola'ure, on pourrait employer un fort grossissement pour la mesure des distances lunaires. Dans ce cas, avec les disUwces zénithales apparentes observées des deux astres, on obtiendrait l'angle aximutal entre

290. — Les observations des contacts de la lune avec le cône d'ombre lors des éclipses de lune sont trop douteuses, et les instants de ces contacts eux-mêmes trop variables pour que les éclipses de hme puissent être employées à la détermination des longitudes. Mais, dans Téclipse de 185S, je me suis assuré avec M. Goujon, qiii observait à côté de moi, que deux observateurs peuvent, à deux ou trois secondes près^ observer Tarrivée du bord de Tombre sur une tache bien définie de la lune. Si donc on adoptait dans les observatoires du premier méridien l'usage de noter les heures d'arrivée de l'ombre sur certains points bien. définis de quelques taches dont les dessins seraient publiés par ces observatoires, il résulte de ce que ces instants sont exactement les mêmes par toute la terre en temps du premier méridien^ que les voyageurs pourraient, dans les éclipses de lune, observer les même contacts de lombre avec lès taches adoptées. Les différences des heures obtenues pour douze ou quinze taches et des heures qui seraient notées au premier méridien donneraient pour la longitude une moyenne plus sûre que les éclipses des satellites de Jupiter, et à cause de l'absence de toute influence des erreurs des tables lunaires sur les instants rigoureusement identiques dans les diverses stations, le résultat vaudrait presque autant que les contacts dans les éclipses de soleil.

Détermination de F heure et de la longitude par des observations

dazimut.

291 • ^ La détermination de l'heure avec la lunette méridienne par les observations des passages au méridien, est au fond une dé-

les positions apparentes; avec cet angle azimutal et les distances zénithales apparentes corrigées de réfraction, on aurait la distance apparente des centres affectée de parallaxe seulement, et conséquemment on aurait identiquement à résoudre le même problème que pour les éclipses. Cette manière de diriger le calcul aurait le très-grand avantage de ne pas faire intervenir les distances zénithales observées de la lune , sinon pour la correction de réfraction, qui est très-petite quand l'astre n*est pas près de l'horizon. En mer même, toutes les fois que la latitude est bien connue, il est préférable, pour le calcul des distances lunaires^ de calculer plutôt que d'observer les hauteurs apparentes de la lune. Ce n*est que quand la latitude est mal connue, qu'il y a, comme nous l'avons dit dans le n"" 266, avantage à observer ces hauteurs plutôt qu'à les calculer.

termination de Tbeure par des observations d'azimut. Les développements dans lesquels nous sommes entré dans la première partie de cet ouvrage au sujet de la théorie des instruments méridiens, nous dispensent de revenir ici sur ce point.

Toutefois, nous ajouterons que si l'astre observé possède un diamètre apparent, la moyenne des instants des passages des deux bords donnera l'instant du passage du centre au méridien. Mais sî un seul bord a été observé, il y a une correction à faire pour déduire de l'instant du passage du bord celui du centre.

Remarquons d'abord que la réfraction et la parallaxe n'a^ssent pas sur la durée du passage au méridien, non plus que l'accroissement du diamètre apparent de la lune avec sa hauteur au-dessus de l'horizon^ car quand un bord de l'astre arrive au méridien d'un lieu^ il est dans le môme méridien au centre de la terre, et la réfraction et la parallaxe ne font que déplacer ce bord dans son plan.

Gelaposé,sinousappelonspledemi-diamètreangulaired'unastre, l'arc d'équateur compris entre les méridiens de son centre et de son

bord est — ^, en appelant D la déclinaison. Si maintenant nous cos D' '^'^

appelons m l'accroissement horaire de l'ascension droite de l'astre

en une heure de temps moyen ou 1^0*9*^8565 de temps sidéral,

m étant donné par les éphémérides, m q^AQ ogg» ^^ l'accroissement en une heure de temps sidéral, accroissement que nous appellerons m'. L'angle horaire de l'astre^ au lieu de croître de 18* par heure, ne croîtra donc que de 15* — m'. On a alors la proportion suivante en appelant t la durée du passage

cosD

(15 — mO cos D*

On ajoute cette durée à l'heure du passage pour le bord occidental ou premier bord de l'astre, on la retranche pour l'autre bord, et on a l'heure du passage du centre au méridien.

En remarquant que le temps vrai est presque ^al au temps moyen, on peut admettre sans erreur senûble que le soleil décrit exactement 15* de l'équateur par heure de temps moyen;

ET POSITIONS GÉOGRAPHIQUES. m

alors l'arc d'équateur — ^r est décrit dans le temps moyen exprimé par Tir^-TT- Quand on observe les heures du passage du

soleil avec une horloge de temps moyen, jjr^ — |r est alors en temps

de oetinstrument la différence des temps du passage du bord et de celui du centre. Pour les planètes dont les diamètres sont très-petits elles mouvements horaires d'ascension droite peu considérables, on peut aussi négliger ces derniers mouvements et admettre que

,„ rx est en temps sidéral la durée du passage de leur demi- IScosD '^ r o

diamètre*

292. — L'instant du passage du soleil au méridien marque midi vrai. En ajoutant au temps alors noté à Thorloge la différence du temps moyen et du temps vrai, donnée sous le nom d'équation du temps dans les éphémérides pour chaque jour de Tannée à midi du premier méridien, on aie temps de l'horloge correspondante midi moyen , et on en tire la correction de l'horloge. Il est clair que l'équation du temps doit être interpolée entre celles des deux midis consécutifs du premier méridien aGn de l'avoir pour un certain instant, par exemple, pour le midi d'un autre lieu. Pour cela, on ajoute à midi la longitude occidentale de ce lieu, et on a l'heure du premier méridien pour laquelle il faut calculer l'équation du temps entre le midi de la date et le midi suivant. D'une manière générale, on a l'équation du temps pour un instant quelconque d'un lieu en ajoutant à l'heure de ce lieu sa longitude occidentale et cherchant pour l'heure obtenue du premier méridien la valeur de l'équation du temps. L'équation du temps jointe à l'angle horaire du soleil obtenu par une méthode quelconque est l'heure moyenne du Ueu. En retranchant l'équation du temps de l'heure moyenne, on a au contraire l'angle horaire du soleil. Les éphémérides, du moins le Nautical Almanac^ donnent l'équation du temps pour midi vrai et pour midi moyen. La première est celle avec laquelle on calcule pour passer du temps vrai au temps moyen, c'est-àdire pour avoir le temps moyen, connaissant l'angle horaire du soleil, angle qui est nul au méridien ; la seconde, pour passer du temps moyen au temps vrai, c'est-à-dire pour avoir l'angle horaire, connaissant le temps moyen.

Â62 GOOBDONNÊES DES ASTRES

Le calcul de Theure moyenne par l'angle horaire du soleil peut se faire de la même manière que pour les autres astres, à Taide de son ascension droite d'où on tire l'heure sidérale qu'on transforme en temps moyen, et le problème inverse se fait en opérant en sens inverse comme pour les autres corps célestes. Le but de Téquation du temps est uniquement d'abréger ces transformations, car les résultats sont identiques par les deux méthodes. En donnant l'équation du temps dans les éphémérides, on a pour but unique d'abréger le calcul aux marins dont les observations ont lieu à peu près toutes sur le soleil.

293. — Si on a déterminé par des observations de passages d'étoiles l'état de son chronomètre en temps sidéral , on déterminera avec la lunette méridienne l'heure sidérale du passage d'un bord de la lune au méridien, et, par suite, à l'aide de la correction que nous venons d'indiquer pour le demi-diamètre, on aura l'heure du passage du centre. Cette heure sidérale est l'ascension droite de la lune quand elle passe au méridien du lieu. Si on cherche dans les éphémérides l'heure moyenne du premier méridien pour laquelle la lune avait cette ascension droite, et si on transforme cette heure moyenne en temps sidéral, la différence avec l'heure sidérale du passage de la lune au méridien du lieu en question est la longitude de ce lieu. Afin d'éliminer le plus possible les erreurs de la pendule ou du chronomètre , on choisit, pour la détermination de l'heure, des étoiles passant à peu de distance de la lune, les unes avant, les autres après. On prend en outre, autant que possible, des étoiles dont la déclinaison difTère peu de celle de la luoe, afin que les erreurs instrumentales soient sensiblement les mêmes pour les étoiles qui donnent l'heure et pour la lune. De cette manière ces erreurs, dont au reste on tient compte, influent le moins possible sur la différence du temps des passages, différence qui, jointe à l'ascension droite de l'étoile, donne l'heure sidérale du passage de la lune. Pour chaque jour de l'année^ le Nautical Abnanac indique certaines étoiles dont il donne les positions calculées. On a d'autant plus d'avantage à s'en servir, que ces étoiles sont autant que possible observées dans les observatoires en même temps que la lune. Si donc on emploie les observations d'un observatoire pour corriger les éphémérides, comme nous l'avons dit n* 262, on a l'avantage que les erreurs sur les ascensions droites des étoiles observées disparaissent du résultat du calcul des longitudes.

294. — Nous avons vu dans la première partie de cet ouvrage les moyens d'obtenir le méridien avec un théodolite ou un ait-azimut, soit en y appliquant la méthode de la lunette méridienne, soit à Taide d'un des azimuts extrêmes d'une circompolaire connue, ou mieux encore au moyen des deux azimuts extrêmes d'une même circompolaire. On peut donc déterminer l'azimut d'une mire éloignée. Dans la méthode des azimuts extrêmes on pointe alternativement à la mire et à l'étoile, dont on a l'azimut pour chaque pointé. La différence de la lecture faite sur la mire et sur l'étoile, différence ajoutée ou retranchée de la lecture sur l'étoile conformément à la direction de la mire choisie, donne l'azimut de la mire pour chaque observation, car ici si on a soin de lire les angles chaque fois, ce ne sont pas comme pour les distances zénithales les arcs doubles qu'on obtient, mais bien des arcs simples. La moyenne des azimuts de la mire fournie par l'ensemble des observations donne alors l'azimut de la mire, indépendamment des lectures intermédiaires si l'instrument est répétiteur, puisqu'une de ces lectures, si elle est trop grande ou trop petite altère deux déterminations en sens contraire exactement de la même quantité.

Il importe que pendant ces opérations la lunette inférieure du théodolite soit pointée sur la mire, afin de s'assurer si l'instrument n'éprouve pas un déplacement azimutal, et pour tenir compte des déplacements qui peuvent se produire entre les pointés avec la lunette supérieure sur l'étoile ou la mire. Pour la précision des mesures, la lunette inférieure devrait être munie d'un micromètre afin d'obtenir la mesure des déviations inévitables qu'éprouvent surtout les instruments portatif pendant la durée d'une série d'observations. Les constructeurs de ces instruments négligent ordinairement cette précaution, et cette circonstance fait que la lunette inférieure ne rend qu'imparfaitement les services auxquels elle est destinée; car il ne sufiQt pas de savoir que l'instrument a dévié, vu qu'on peut considérer qu'on le sait d'avance puisqu'il dévie toujours, l'essentiel est de mesurer la quantité de cette déviation pour en corriger les observations. A défaut de micromètre à la lunette inférieure, on peut placer h une distance d'une centaine de mètres de l'instrument une règle horizontale divisée en portions égales, et on pointe la lunette inférieure sur une des divisions de cette règle. Avec la lunette supérieure, on peut alors mesurer sur le limbe l'angle que sous-tend l'intervalle d'un certain nombre de di-

visions, ce qui fait connaître Tangle que représente une division de la règle, dans la situation où on l'a placée. Si alors l'instrument dévie, on peut estimer la quantité de la déviation avec assez de sûreté. H importe de remarquer que la mire peut être différente pour les deux lunettes, celle de la lunette inférieure n'étant destinée qu'à accuser les déviations de l'instrument. Pour la lunette supérieure, la mire doit être très-éloignée , afin de pouvoir être observée avec la môme mise au point que les astres. Mais comme les mires éloignées sont sujettes à varier d*azimut à cause de la réfraction latérale dans les couches d'air, inégalement chaudes, en contact avec le sol, il y a avantage, toutes les fois que c'est possible, à lui substituer un collimateur.

295. — L'azimut de la mire étant connu , supposons qu'on observe -à un instant donné l'angle azimutal compris entre cette mire et une étoile connue, on en déduira, après correction des erreurs instrumentales, l'azimut de l'étoile, et si surtout celle-ci est voisine du méridien, on peut se proposer de déduire de cet azimut l'angle horaire de l'étoile, et par suite l'heure correspondante. Pour cela, abaissons du pôle P un arc de grand cercle perpendiculairement au vertical de Tétoiledont nous connaissons l'azimut, et nommons M le pied de cet arc perpendiculaire et Z le zénith. Dans le triangle rectangle PZM, dont l'angle PZM égale l'azimut observé a et dont l'hypoténuse PZ égale le complément de la latitude ou 90*-—/, on a, en appelant f l'angle au pôle,

sin / =s cot a cot 9, et tang FM = cot / cos f .

La première équation détermine l'angle f et la seconde donne ensuite la valeur de l'arc PM. Si maintenant du pôle comme centre, avec un rayon égal à la distance polaire de l'étoile 90*— D, nous décrivons un arc de cercle, cet arc coupera en deux points le vertical ZM, et les angles horaires de ces deux points représentent les deux solutions du problème. Ces deux points sont d'ailleurs à égale distance du pied M de Tare perpendiculaire abaissé du pôle sur le vertical considéré, et chacun d'eux forme avec le pôle et le point M un triangle rectangle en M dont l'hypoténuse, qui est égale à 90* — D, et le côté PM sont connus.

En appelant donc ^ l'angle au pôle dans ce triangle, il vient

tang PM a= cot D cos ^;

ET POSITIONS GÉOGRAPHIQUES. /i65

éliminant tang PM entre cette équation et la précédente, on a

. tanff D

ces 4» = , ^ , CCS (P.

^ tang l ^

tang

On transforme cette équation en une autre en retranchant chaque membre de l'unité. On la transforme en une seconde équation en ajoutant Tunité à chaque membre. Puis, en divisant membre h membre les deux équations ainsi obtenues, et remarquant que

^-p;^ = tang44,,ona

® ^^ tang /+ tang Dcosip

équation qu'on rend logarithmique en posant tang D cos f = tang 0 et il vient '

^"^ **""sin(/+ô)

Or^ pour l'un des deux points d'intersection, l'angle horaire est égal h celui du point M moins l'angle <|;, et pour l'autre à ce même angle horaire de M plus l'angle ^. Les deux solutions du problème sont donc 9 — <|f et <p + <|f, et l'équation qui donne l'angle f peut

d'ailleurs s'écrire tang 9 = -r*-}-

° ^ sm /

Dans ces formules, on considère l'angle horaire comme positif à l'ouest et négatif à l'est, l'azimut a est compté à partir du pôle vers l'ouest. On peut regarder / comme toujours positif, pourvu qu'on compte les azimuts à partir du pôle de l'hémisphère de la station. Si on les compte toujours du pôle nord vers l'ouest, il faut regarder /comme négatif dans l'hémisphère austral. Mais il est toujours plus commode de compter les azimuts à partir du pôle de son hémisphère. On n'éprouve pas d'embarras pour savoir laquelle des deux solutions doit être adoptée. La hauteur de Tastre sur l'horizon estimée à vue, le côté du ciel où il était situé ou la connaissance de l'heure approchée lèvent toute incertitude sur le choix de la solution à adopter. S'il restait quelque doute^ ce qui ne pourrait avoir lieu que si la valeur de ^ était trèspetite, une seconde observation faite un plus tard le lèverait en donnant l'heure sidérale du lieu.

/Î06 COOKDONNÉES DES ASTRES

Toutefois, si / tend vers zéro, 9 tend vers 90", et dans les formules^ précédentes cos ^ et tang ^ tendent vers §. Dans ce cas, on tire de réquation qui donne tang f . la valeur de cos f en sinus f , valeur qui est cos <p=sin /sin f tang a et en la reportant dans l'équation qui donne cos ^^ on a cos 4»= tang D cos /sin f tang a. On en tire comme précédemment Texpression de tang*| ^ qui est, en posant tangv=tangDcos/sin9,

.,, cota — tangv cos(a-f-v)

tanff 7 <b = ^^ = — ^ r'

^ *^ cota + tang V cos (a — v)

Cette formule convient aux basses latitudes et ne tend vers l que si a tend vers 90"*, mais dans ce cas Tangle horaire ne peut non plus être obtenu par l'azimut.

296. — Le problème inverse du précédent, et qui consiste à calculer l'azimut d'un astre après avoir, à l'aide de l'heure du lieu, trouvé son angle horaire^ est très-simple à résoudre. Nous avons vu en effet dans la note du n"* 115 qu'en appelant P l'angle horaire d'un astre^ l'azimut a est lié à cet angle horaire par la relation suivante,

sin /cosP=: tangDcos/ — sinPcola,

a étant toujours compté du pôle vers l'ouest, P étant positif à l'ouest, négatif à l'est, et en faisant les mêmes remarques que précédemment pour le signe de la latitude. De là on tire

(i) tang a = ^ ^'° ^

^ ' tang D cos / — sin / cos P

équation qu'on rend logarithmique en posant cos P cot D = tangp, d'où

.^^„ tangPsiDp

^ cos(/+P)

Cette formule cesse d'être applicable quand Pz=90*, car alors p = 0 et tang P=oo , de sorte que la valeur de tang a est 00 X 0 ou indéterminée. Cependant dans ce cas la formule pri^*

mitive (Odonne tanga=— -^^— ^ Lors donc que P est voisin

de 90*, il vaudra mieux rendre la formule logarithmique en posant

et il vient

ET TOSITIONS GÉOGRAPHIQUES. 4«7

tangDcot/

. — cosYSinP

tang a = -. — ^^ — i rr

sin / (cos Y + P

Le problème qui nous occupe peut encore être résolu par les analogies de Néper, car en appelant a Tazimut et b l'angle à l'é-* toile compris entre le pôle et le zénith, ces analogies donnent

u,.gJ(.-») = e«HP^^.

Les deux angles |(a + 6) et^ (a — b) étant ainsi connus, leur somme est Tangle a cherché.

297. — La détermination de l'heure par l'observation de l'azimut d'une étoile de faible décUnaison et voisine du méridien peut se faire sans l'emploi d'une mire éloignée pour la lunette supérieure, si on prend la différence d'azimut d'une étoile très-voisine du pôle comme la polaire dans l'hémisphère boréal ou «r octant dans l'hémisphère austral , car l'azimut d'une telle étoile varie très-lentement, et à l'aide des formules précédentes son azimut est obtenu avec une grande approximation si on connaît l'heure à peu près. On obtient alors l'azimut très approché de l'étoile de faible déclinaison, et cet azimut donne uue heure trèsapprochée à l'aide de laquelle on peut avoir l'azimut exact de l'é» toùe voisine du pôle, et par suite celui de l'étoile destinée à faire connaître l'heure qu'on a alors exactement. A cause des réfractions terrestres, ce procédé est beaucoup plus sûr que l'emploi des mires. Toutefois, dans les très-basses latitudes, on ne peut pas obtenir l'azimut exact par les étoiles très-voisines du pôle, car ces étoiles se trouvent dans la zone des réfractions anormales. Mais, dans ce cas, si nous considérons une étoile située dans l'équateur,

tansT P auquel cas tang D = 0, l'équation (1) donne tang a = ." . >

formule qui montre que quand P est grand et / voisin de zéro, a reste très-voisin de 90®; par conséquent, dans cette circonstance^ l'azimut varie très-peu avec l'heure de l'observation. Dans les bas-

ses latitudes, au lieu donc de prendre pour repère unccirvompolaire \oisine du pôle, il faut prendre une étoile aussi voisine que possible de l'éguateur et située loin du méridien. Il faut, au contraire, choisir pour la détermination de l'heure une étoile voisine du méridien et de quelques degrés de déclinaison de signe contraire à celle de la latitude du lieu, afin que cette étoile ne soit pas trop près du zénith, chose à éviter à cause des erreurs instrumentales et de l'incommodité de l'observation zénithale.

298. — Si pour obtenir l'heure par les azimuts, on avait employé le soleil au lieu des étoiles, et si on ne s'était pas servi de mon procédé pour obtenir l'azimut du centre, mais si on avait visé à un bord latéral, il faudrait ramener l'observation à ce qu'elle aurait été au centre de l'astre, en corrigeant l'observation de la différence d'azimut du bord et du centre. Si on appelle z la distance zénithale vraie du centre du soleil , qu'on connaît approximativement d'après l'heure approchée de l'observation, et si on nomme p le demi-diamètre et a la différence d'azimut du centre et du bord, la règle des sinus donne dans le triangle formé par le vertical du centre de l'astre, celui du bord et le demi-diamètre du soleil, triangle rectangle au bord du soleil,

ta\ sîn P

(2) sma = -- — T,

^ ' sm 5

et on a ainsi a sur la valeur duquel n'agissent ni la réfraction ni la parallaxe.

La même formule donnerait la différence d'azimut du centre et du bord de la lune; seulement il faudrait substituer à p la valeur du demi-diamètre apparent de la lune, c'est-à-dire du demi-diamètre horizontal augmenté pour la hauteur de l'astre sur l'horizon. Dans la formule précédente, on mettra pour z sa valeur donnée par la règle des sinus dans le triangle pôle, zénith, centre de Tas-

sin P cos D tre, valeur qui est . , . v, dans laquelle a est l'azimut du ^ sm(ffit:a} ^

bord observé ; puis on substitue pour a dans cette expression de :

sa valeur approchée, donnée par une première approximation

obtenue en négligeant a lors de la substitution de celte expre>-

sion de z dans Téquation (2). On évite parla le calcul de l'anple 2.

299. — Pour la lune, soit qu'on ait mesuré directement l'azimut de son centre par ma méthode de pointé, soit qu*on ait réduit le$

observations du centre à celles du bord par la formule précédente, Tsamutobtenu doit être corrigé de la parallaxe azimutale, qui, bien que très-petite, n'est pas négligeable, comme nous l'avons vu. On a alors Tazimut vrai de Tastre, avec lequel on peut déterminer la longitude de la station. Gomme manière de diriger les observations, on peut soit déterminer les instants des passages de la lune et d'une étoile par le même azimut, auquel cas les heures des passages de l'étoile donnent l'azimut dans lequel la lune a passé à des instants connus, soit mesurer les différences d'azimut de la lune et d'une étoile voisine à peu près de même hauteur, de façon à rendre aussi petite que possible l'influence des erreurs d'axe, dont d'ailleurs on tient compte. On calcule alors les azimuts de l'étoile d*après l'heure des pointés effectués sur elle, et en ayant égard aux différences, on en déduit les azimuts de la lune qu'on corrige de parallaxe. Quelque soit le mode d'observation employé, on arrive donc à connaître les azimuts vrais de la lune à des instants connus.

Si on ajoute à l'heure sidérale de l'observation la longitude occidentale supposée du lieu, exprimée en temps, on a l'heure sidérale approchée correspondante du premier méridien ; nous l'appellerons /o. En nommant p un très-petit intervalle de temps, on cherche dans les éphémérides pour les instants /« + ^ et t» — ^ (qu'on réduit en heure moyenne du premier méridien) les ascensions droites de la lune et les déclinaisons correspondantes qu'on corrige des erreurs tabulaires, puis on calcule successivement l'azimut de la lune à la station avec les éléments obtenus pour l'instant to — ^ et pour l'instant U+^k l'aide des formules du n"" 296. La différence k des azimuts ainsi calculés représente la variation de l'azimut pour une différence 2 ^ sur la longitude, et en appelant k! la différence connue de l'azimut observé et de l'azimut calculé pour les éléments de l'instant /« — 0? on ala proportion k:2P :: U : x d'oîi on tire la valeur de x, et alors t^ — p + a: est l'heure sidérale du premier méridien répondant à l'heure sidérale de l'observation dans la station. La différence est la longitude du lieu.

Pour que cette méthode donne de bons résultats, il faut que les azimuts de la lune soient observés quand cet astre est près du méridien. Toutefois, quand la déclinaison de la lune est vers son maximum de variation, ils peuvent être mesurés jusqu'aux environs du premier vertical.

470 COOHDONIIÈES DBS iiSTBES

Le procédé d'observation qui ooosisie à mesurer la différaice d'azimut de la lune et d'une étoile située vers la même hauteur^ est supérieur en précision à celui qui consiste à observer les passages par le même vertical, parce qu'en employant les procéda de pointé que j'ai indiqués dans les n^l33 et 134, on évite à peu près Complètement toute intervention des erreurs personnelles, qui De sont pas les mêmes pour une étoQe et le bord de la lune. Il faut toutefois pointer au vertical du centre de la lune en employant mon procédé du n* 40. Or, ce procédé, même en ne prenant de segment que sur un seul bord, peut être considéré comme indépendant de l'erreur d'horizontalité du fil de la lunette y pourvu que l'angle du fil et de l'horizon ne soit que de quelques secondes. En effet , Terreur sur l'azimut du centre est égale au demi-diamètre de la lune multiplié par le sinus de Finclinaison du fil et divisé par le sinus de la distance au zénith, c'est-à-dire qu'à 30* du zénith l'erreur ne serait encore que de i centième de l'inclinaisoD du fil; or on peut rendre celui-ci horizontal à 4 ou 5 secondes près, même pour de faiblesgrossissements. Ainsi, on n'aura à craindreque des erreurs de 4 ou 5 centièmes de seconde d'arc sur l'azimut, pour de grandes hauteurs où ces erreurs ont précisément le moins d'importance. En outre, par les procédés indiqués n"** 103 et 124, l'inclinaison du fil peut être connue avec un degré d'exactitude plus grand que celui que je suppose ici et de façon à en tenir compte et à corriger le résultat. Son influence se renverse d'ailleurs en observant dans les positions directes et inverses.

Avec le procédé où on n'observe pas les deux astres dans le même vertical, on introduit la mesure des différences des arcs azimutaux compris entre eux , mais ici on peut répéter l'observation avec l'instrument répétiteur, et comme les lectures int^médiaires n'interviennent pas dans le résultat, les erreurs de lecture et de graduation sont pour ainsi dire annulées, comme dans tous les cas où on se sert des instruments répétiteurs. Il convient dans ce cas de prendre les différences d'azimut, alternativement dans la position directe et dans la position inverse de l'instrument, ce qui n'empêche pas les arcs de se sommer sur le limbe. Par là les erreurs instrumentales tendent à s'éliminer, et cela a lieu même pour le défaut d'horizontalité du fil de la lunette, comme nous l'avons dit plus haut. En même temps, puisque le cercle de hauteur n'intervient pas dans les mesures d'azimut, on a l'avantage

de pouvoir observer les doubles distances zénithales de l'étoile et de les sommer sur le limbe» de façon à obtenir par ces distances l'état du chronomètre à l'instant même des observations. Gomme le pointé simultané en hauteur eten azimut n'est pas rigoureux, onne fait pas ces deux pointés simultanément, on s'arrange pour faire les deux pointés en hauteur au moment du renversement de l'instrument, alors que les deux limbes azimutaux (cercle gradué et alidade) sont solidaires; on note les instants de ces pointés en hauteur, et alors on peut choisir pour l'observation de hauteur une étoile autre que celle dont on compare l'azimut à celui de la lune. Il est bien entendu que les niveaux sont lus après chaque pointé soit en hauteur, soit en azimut, et il est tenu compte des correc*tions indiquées par ces lectures. Par ce procédé, on peut choisir une étoile placée le plus avantageusement possible pour une bonne détermination de l'heure, et on a pour ainsi dire simultanément l'état du chronomètre et l'azimut de la lune, puisque cet état est déterminé entre les deux observations de l'azimut, position directe et inverse, et se rapporte sensiblement à l'instant moyen de ces deux observations. On peut d'ailleurs , comme nous l'avons déjà vu, changer d'étoile dans cette détermination d'heure, afin d'observer vers la même hauteur des deux côtés du méridien pour mieux éliminer l'influence des réfractions et des flexions (i).

La méthode que je viens de décrire est bien supérieure à celle des passages méridiens de la lune, car, outre qu'elle permet d'obtenir un grand nombre de déterminations dans la même journée, l'avantage de la substitution des pointés aux estimations des passages est considérable au point de vue de la précision, surtout h cause de la suppression à peu près radicale de l'effet des équations personnelles.

300. — Le degré de précision auquel on peut parvenir dans l'e»timation des passages décroît beaucoup plus rapidement que le grossissement de la lunette; c'est un fait que l'expérience indique et dont la raison s'aperçoit aisément en remarquant qu'en même temps que le déplacement apparent de l'astre dans la lunette diminue comme le grossissement, l'angle sous-tendu parles fils au centre de l'objectif croît en raison inverse de la longueur focale de

(0 On pourrait, mais avec moins d'avantage, faire Topération inverse, c'est-à-dire déterminer la longfitnde parles hauteurs etrheurepar les azimuts,

ce dernier. Or, lorsqu'il s'agit du bord de la lune, qu'on suppose être sous l'axe du fil, sans jamais en être rigoureusement sûr, la précision de l'estimation des passages dépend à la fois de cet angle et de la rapidité du mouvement de l'astre. Chacun a sa manière de Étire mordre le fil sur le bord, et il en résulte que la différence d'ascension droite de la lune et d'une étoile se trouve différente pour chaque observateur, lorsqu'il la déduit des passages qu'il a observés. Ces différences deviennent considérables avec les petits instruments, car si avec une lunette longue grossissant de 100 à 120 fois, on estime passablement les dixièmes de seconde, on arrive à peine à estimer le quart de seconde avec certitude pour un grossissement d'une trentedne de fois, surtout quand la lunette est courte. Dans ce cas les équations personnelles atteignent facilement la demi-seconde, c'est-à-dire le quart de seconde en plus ou en moins quand il s'agit de la différence de pointé entre le bord de la lune et une étoile. Or, la seconde de temps correspond à 30 secondes de temps de longitude. Deux observateurs avec les instruments de voyage peuvent donc trouver des différences constantes de longitude atteignant jusqu'à 45 à 16 secondes de temps ou 4 minutes d'arc. Avec de forts instruments, les résultats sont cinq à six fois meilleurs. Ceci montre combien il serait importantque les artistes se décidassent à mettre toujours de fortes lunettes sur les instruments.

Les occultations, à cause des dentelures du bord de la lune, les éclipses, à cause de celles des bords des deux astres (car les facules solaires font saillie sur le bord du disque), permettent ausà des erreurs assez grandes; mais du moins ici les erreurs personnelles sont sans influence. En comparant les observations du diamètre solaire données à diverses époques par les éclipses, j'ai remarqué qu'il ne faudrait peut-être pas regarder ce diamètre comme constant. Il paraîtrait exister une petite périodicité comme pour les taches de la surface. Je ne fais ici qu'indiquer ce sujet, qui ne m'a été signalé que par quelques observations et qui mérite une étude approfondie. Gomme la photosphère est composée de nuages lumineux flottants dont l'épaisseur, vue de la terre, représente plusieurs secondes et se montre assez variable d'après l'étude des taches, on conçoit qu'il ne peut exister une très-grande fixité dans la hauteur de la limite supérieure, et que, outre les anomalies irr^ulières, les mômes causes périodiques qui font ouvrir

la photosphère peuvent modifier la hauteur moyenne de ces nuages.

En résumé, la méthode du n"* 299 pour déterminer la longitude à l'aide des azimuts de la lune, est le procédé le plus exact qu'on puisse employer pour obtenir une longitude à l'aide d'observations lunaires.