DÉTERMINATION DES ASCENSIONS DROITES ET DES DÉCLINAISONS

301. — Nous avons passé en revue les divers moyens d'obtenir les positions géographiques , lorsqu'on connaît les ascensions droites et les déclinaisons des astres. Nous allons maintenant parler du problème inverse, qui consiste à obtenir les coordonnées des astres lorsqu'on connaît la latitude. Ce problème important pour les astronomes est souvent utile aux géographes, quand, pour les longitudes, par exemple, ils ont déduit la position de la lune de celle d'une étoile voisine peu connue, dont ils peuvent plus tard fixer la position. La détermination des ascensions droites et des déclinaisons par les instruments méridiens ne présente pas de difficulté. La lunette méridienne donne directement les difTérences d'ascension droite, et le cercle mural les différences de déclinaison après les corrections de réfraction. Ce dernier donne même directement les distances pojaires, lorsque par les lectures faites aux passages supérieurs et inférieurs d'une circompolaire, on a déterminé la lecture du cercle répondant au pôle, ou mieux encore, quand, par un pointé nadiral, on a la lecture répondant au zénith, d'où, avec la latitude connue, on déduit celle qui répond au pdle.

La méthode des latitudes par les distances zénithales circumméridiennes mesurées au théodolite ou au cercle répétiteur donne les déclinaisons, quand la latitude est connue, car nous avons vu les moyens d'obtenir la valeur de / — D, et si / est connu on en tire D ou la déclinaison. Cette méthode suppose connue l'heure du passage méridien, laquelle suppose à son tour la connaissance de l'ascension droite de l'astre. Maison peut tirer approximativement de la série elle-même l'heure du passage méridien, en remarquant vers quel instantl'astre était le plus près du zénith. Si alors on prend des

/k7Â COORDONNÉES DES ASTRES

distances zénithales loin du méridien et vers le premier vertical, od aura l'angle horaire approché à l'aide de la déclinûson tirée du premier calcul. On en déduira l'ascension droite approchée, avec laquelle, en revenant à la série circumméridienne, on aura la déclinaison exacte, qui, reportée dans la série faite loin du méridien, donnera l'ascension droite. On a ainsi la détermination des coo^ données de l'astre par des observations de distances zénithales.

302.— Si on connaît simultanément la distance zénithale et l'azimut d'un astre, on aura sans difficulté son angle horaire et sa déclinaison, cardans le triangle pôle, zénith, astre, on connaît deux côtés, la distance du pôle au zénith, complément de la latitude, et la distance zénithale de l'astre, on connaît de plus l'angle compris qui est l'azimut; on pourra donc calculer le troisième côté, qui sera donné par les formules du n* 232, en y remplaçant P par a, D par A (en appelante la hauteur de l'astre, complément de la distance zénithale mesurée), et z par 90^ — D, D étant la déclinaison. Quand D est connu, la règle des sinus ou les formules du n"* 296 en y faisant les mêmes substitutions, donneront ensuite l'angle horaire P.

303. — Nous avons dit dans le n** 5 comment on peut avec le théodolite répétiteur obtenir simultanément la répétition en hauteur et en azimut. Pour pointer simultanément en hauteur et en azimut, on fixe la lunette dans l'un des deux sens, en azimutpar exemple, et dans une situation où l'astre doive, en vertu du mouvement du ciel, couper le fil correspondant de la lunette, puis on pointe l'astre dans l'autre sens sous l'autre fil» qui sera alors le fil horizontal dans le cas supposé ; alors avec la vis de rappel on tient l'astre bissecté par ce dernier fil j usqu'à ce qu'il rencontre l'autre fil, et on note l'instant de ce passage, à partir duquel on ne touche plus à l'instrument. On peut appliquer cette méthode à la différence des hauteurs et des azimuts d'un astre inconnu et d*un astre connu, à peu près de même hauteur et de la même région du ciel, afin d'éliminer le plus possible les anomalies de réfraction et les erreurs d'axes, qu'on peut diminuer encore en faisant trois séries, la première position directe de l'instrument, la seconde position inverse, et la troisième position directe, la seconde série étant double des deux autres. 11 est clair qu'en calculant, pour les instantsdes pointés sur rétoile connue, l'azimut et la hauteur de cette étoile , on aun les hauteurs et les azimuts de l'astre inconnu en y ajoutant les différences lues sur le limbe après chaque pointé à ce dernier

astre, ou, en d'autres termes, les différences des lectures consécutives quand l'instrument est répétiteur. Il est entendu que les différences de hauteur devront être corrigées de la différence des réfractions pour les distances zénithales des deux astres. Ayant les azimuts et les hauteurs de chaque observation, on calculera les ascensions droites et les déclinaisons correspondantes, dont la moyenne sera rapportée à l'instant moyen des observations sur l'astre inconnu. Cette méthode est surtout applicable à celles des comètes qu'on ne peut observer qu'à de petites hauteurs sur l'horizon, ce qui rend important de les comparer à une étoile voisine, à cause de l'incertitude de la réfraction. Nous avons d'ailleurs vu comment on observe ces astres avec l'équatorial.

En général, toutefois, les pointés simultanés en hauteur et en azimut doivent être abandonnés, sauf quand on dispose de peu de temps, comme il arrive souvent pour les comètes, dont d'ailleurs les positions ne peuvent être aussi exactement déterminées que celles des étoiles^ à cause des variations dans leur noyau ou leur région d'éclat maximum. Il vaut mieux, autant que possible, au lieu des pointés simultanés, employer les pointés successifs en hauteur et en azimut, et à l'aide de la loi des variations de l'un des éléments, on ramène au moyen du calcul les observations aux pointés simultanés. Les pointés simultanés en deux sens n'ont pas en effet autant de précision que les pointés dans un seul sens, car il y a dans un des sens à estimer un passage, et il faudrait que l'arrêt de la vis dans l'autre sens eût lieu à la fraction de seconde estimée, ce qui n'est guère possible. Toutefois, par la méthode de pointé du n* 133, et avec un instrument disposé en conséquence, on pourrait arriver à maintenir d'une manière continue un astre pointé dans les deux sens, en conduisant d'une main la vis de rappel azimutale, et de l'autre la vis de hauteur : alors, avec une pédale, on pourrait à une seconde précise de l'horloge désembrayer les roues conduisant les deux vis. Il est bon de remarquer que des observations simultanées de hauteur et d'azimut, dont la première, par exemple, donnerait l'heure de l'observation , permettraient de résoudre sans horloge une multitude de problèmes d'astronomie, car on peut obtenir les ascensions droites et les déclinaisons des astres à l'aide de simples observations d'azimut , comme nous allons maintenant le démontrer.

676 COORDONNÉES DES ASHUQS

Détermination des coordonnées des astres par des observations

azimutales.

304. — Actuellement, presque tous les travaux astronomiques sont fondés sur des observations faites dans le méridien. Or ces dernières observations présentent de très-graves inconvénients^ notamment pour la mesure des déclinaisons.

Parmi ces inconvénients il faut citer en premier lieu les réfractions et les flexions des cercles.

Les. réfractions présentent d'énormes incertitudes. Elles ne peuvent être calculées qu'en tenant compte de la température et de la pression barométrique dont elles dépendent, puisque ces deux éléments modifient la densité de l'air. Nous avons, dans des mémoires antérieurs, fait connaître un moyen d'obtenir la température exacte de l'air. La pression barométrique est mesurable a?ec une assez grande précision. Il semble donc que, dans ces condittons, on peut espérer connaître assez exactement la réfraction, mais il n'en est rien. En effet, ce n'est pas seulement la température générale de l'air du lieu qui détermine la réfraction pour l'observation présente , mais c'est en même temps la température de l'air en contact avec la surface de l'objectif. Ce n'est même pas cette dernière température seule qui agit , mais c'est aussi la nature des surfaces isothermes qui existent entre l'objectif et la région où l'air possède la température générale du lieu, région à partir de laquelle on pourra regarder les couches d'air de même température comme horizontales.

Pour faire voir le rôle de ces surfaces, considérons un instrument méridien placé dans une salle rectangulaire, et voyant le ciel par une fente horizontale dans un toit et par des fenêtres verticales, comme cela a lieu à l'Observatoire de Paris et dans la majorité des observatoires. La température intérieure diffère presque constamment de la température extérieure. Si elle est plus basse, et si on pointe par une des fenêtres verticales, le rayon lumineux, à la rencontre de couches d'air froid verticales, se rapprochera de l'horizon, et le froid de l'air voisin de l'instrument, loin d'avoir augmenté la réfraction, l'aura diminuée. L'inverse aurait lieu si la température était plus élevée dans la salle que dehors. Mais les

phénomènes seront encore plus compliqués que cela, parce que les couches isothermes ou plutôt les couches de même densité ne restent pas verticales, mais prennent des formes tout à fait inconnues etvariables, lesquelles doivent présenter ordinairement leur convexité à l'extérieur siTair est plus froid à l'intérieur qu'à Texte* rieur, et leur concavité dans le cas contraire. Généralement, toutefois, le froid intérieur doit diminuer la réhraction, tandis que le froid extérieur l'augmente, et de plus, l'angle du rayon lumineux et des normales aux surfaces rencontrées par lui pouvant être trèsgrand même pour de petites distances au zénith, les erreurs peuvent être très-notables. Dans ces circonstances, avec quelle température faire le calcul? II est évident que le mieux est de négliger tout ce qui passe entre l'objectif et la distance à laquelle l'air est à la température générale du lieu, et d'employer cette dernière température. Vouloir tenir compte de la température intérieure est absurde, puisqu'on ne sait pas dans quel sens elle a agi. J'insiste sur cette dernière remarque, parce que tous les astronomes ne semblent pas avoir réfléchi à ces considérations, et il a été proposé de se servir de la température intérieure (1). Mais, quoi que l'on fasse, on commettra toujours des erreurs. C'est en vain que Ton croirait s'en affranchir totalement en plaçant l'instrument dehors, à l'air libre. Le verre a un pouvoir émissit considérable^ et, par suite, l'objectif et aussi l'air ambiant prendront une température très-différente de celle de .l'air. Il se produira donc toujours un peu à la surface de l'objectif ce qui se faisait à l'ouverture des trappes.

Dans le sens azimutal, au contraire, tout est symétrique autour de l'objectif, puisqu'il n'y a pas de raison pour qu'il en soit autrement comme dans le sens vertical, où agit la pesanteur. Le vent seul peut influer ; mais quand il existe, lui-même empêche la température de l'objectif de différer notablement de celle de l'air, et, sauf auprès de l'horizon, les réfractions azimutales sont insensibles.

Ajoutons qu'en outre de l'action de la chaleur sur la densité de

(I) Pour juger de cette influence des trappes, le mieux serait de diviser les observations d*un môme astre en trois séries : celles pour lesquelles la température intérieure est supérieure à la température extérieure, celles pour lesquelles elle lui est égale^ celles pour lesquelles elle est inférieure. Alors on comparerait les déclinaisons fournies par chacune des séries.

un COORDONNÉES DES ASTRES

Tair, il u'est [Mis prouvé que la température n'ait pas une autre action sur le pouvoir réfringent de ce gaz. Gela a lieu pour certains corps, le verre, par exemple : chaud, il réfracte plus que froid.

L'humidité de Tair, si difficile à mesurer^ a aussi une petite influence sur le pouvoir réfringent, comme Fa prouvé Ârago avec un appareil interférentiel.

Il résulte donc de ce qui précède que, quand même les réfractions moyennes et la température de l'air seraient parfaitement connues, il serait encore impossible d'éliminer toute influence de la réfiraction sur la mesure des déclinaisons.

Le meilleur moyen d'étudier les réfractions est de combiner des observations azimutales avec des observations de hauteur, ce qui nous ramène à l'emploi de l'alt-azimut, qui non-seulement peut étudier les réfractions , mais encore afEranchir de leur influence les résultats.

Outre les erreurs produites par la réfraction, il y a, loi^qu on observe dans un sens vertical, déformation des cercles par la flexion provenant de l'action de la pesanteur. Ces déformations produisent des erreurs que le calcul ne peut faire connaître avec certitude. Il y a encore déformation par l'action de la température, qui diffère souvent notablement dans le bas et dans le haut de la salle. Ces diverses déformations se font d'ailleurs par sauts brusques et dépendent du temps pendant lequel le cercle reste dans chaque position.

De plus, les images des étoiles sont allongées dans le sens ve^ tical par la dispersion de l'atmosphère qui en sépare les couleurs, de sorte que la coloration et l'intensité de la lumière atmosphérique peuvent changer la situation du maximum de lumière. Tout le monde ne voyant pas les couleurs de la même manière, au même instant chaque observateur voit une situation différente à ce maximum ; de là des équations personnelles de pointé. Dans le sens azimutal rien de semblable n'a lieu, à cause de la symétrie des images.

Dans un mémoire en date du 26 janvier 1887 (voir les Comptes rendus de l'Académie des sciences) , M. Babinet présente des con* sidérations analogues aux précédentes, et que nous croyons devoir reproduire (1):

(0 Ces considérations précèdent l'eipoaition d*ane méthode pour la dé*

ET POSITIONS GfeOiJKAPHlOUES. M9

« Les inconvénients de remploi des angles mesurés dans le plan du méridien sont, dit-il :

(( 1* L'incertitude des réfractions avec les indications peu sûres du thermomètre et du baromètre ;

« 2"" La flexion et la déformation des limbes circulaires mobiles et d'une forme tellement complexe, que le calcul ne peut remédier à ces causes d'erreur ;

« 3* Le pointé par des fils horizontaux qui, avec la dispersion et l'absorption de l'atmosphère, n'ofiTre rien de fixe et varie avec le plus ou moins d'illumination du champ ;

» 4' L'imperfection de l'image focale de l'étoile, l'équation personnelle du pointé qui n'est pas compensée, et enfin l'erreur d'axe qui se manifeste quand on observe la même étoile circompolaire à deux hauteurs différentes. Quant aux erreurs de division, on suppose que, par des études très-laborieuses et dont Bessel nous a donné un exemple plus admiré qu'imité, on soit parvenu à en tenir compte dans toute l'étendue du limbe divisé.

« Il est évident que les arcs divisés horizontaux n'offrent aucun des inconvénients des arcs divisés sur un limbe vertical. D'abord on peut leur donner un diamètre quelconque, comme, par exemple, quatre mètres et plus; tandis que jusqu'ici, pour les limbes verticaux, la flexion des matériaux n'a pas permis de dépasser deux mètres.

« La réfraction agissant dans le plan vertical n'a aucune influence sur les erreurs azimutales. Il suffit de rappeler les observations merveilleuses faites à l'instrument des passages situé dans le premier vertical, pour établir la supériorité de ce mode d'observer. De plus, on supprime l'emploi du bardmètre, et surtout du thermomètre.

tt Les étoiles, par suite de la dispersion de l'atmosphère, qui est un quatorzième ou un quinzième de la réfraction totale, offrent un spectre allongé vertical qui, pour une réfraction d'une minute

termination des latitudes par des observations azimutales. Cet illustre savant a communiqué à T Académie des sciences^ le l'r janvier 1856^ un mémoire telatif à l'emploi des azimuts extrêmes de deux cîrcompolaires différentes dont on suppose les coordonnées connues. Ses deux autres mémoires du 26janTier et du 9 février 1857 sur la détermination de la latitude sont l*etatifs à remploi des observations d'une même étoile dans plusieurs azimuts^ notamment à Tazimut extrême et au passage au premier vertical.

480 COORDO\i\ËES DES ASTRES

vers la hauteur de i5 degrés, n'a pas moins de 4 secondes de dimension verticale, le long de laquelle l'absorption variable de l'atmosphère et l'imperfection de l'objectif répartissent d'une manière variable le maximum de lumière sur lequel pointe l'observateur. Ce centre d'intensité est donc essentiellement variable quand on bissecte l'image de l'étoile par un fil horizontal. Il n'en est pas de même pour la bissection de l'image par un 61 vertical. L'allongement de l'étoile en hauteur aide au contraire à l'exactitude de la bissection. Le pointé de la lunette méridienne qui est de cette espèce n'a jamais donné lieu à aucune remarque défavorable, pas plus que le pointé h. 01s verticaux dans l'instrument des passages placéest et ouest. »

On voit par ce qui précède combien sont nombreux les avantages des instruments azimutaux sur les instruments méridiens, et l'on s'étonne alors de l'emploi presque exclusif de ces derniers. Mais les causes en sont faciles à trouver. Les observations aziniutaies sont des observations de temps, puisqu'elles consistent à déterminer l'instant précis auquel un ostre passe par un azimut donné. Les observations au cercle murât sont, au contraire, des mesures d'arc, pour lesquelles il semble à priori que l'on peut obtenir un degré de précision plus grand que pour les mesures de temps. Je disà;)riori,caren réfléchissant à toutes les causes d'erreur des arcs verticaux, erreurs dont nous venons de parler, il est douteux que l'on puisse atteindre plus de précision. Quoi qu'il en soit, cette première impression est celle qui a déterminé le choii des cercles muraux pour les déclinaisons. Il faut y joindre, bu reste, un autre motif qui a dû exercer une grande influeDce. Au cercle mural, les différences de déclinaison des astres sont directement obtenues après les corrections plus ou moins bonnes de réfraction, tandis que, pour les déduire des observations azimntales, il faut des artifices de calcul que l'on n'aperçoit pas immédiatement. Le cercle méridien est donc plus élémentaire, c'est une raison pour qu'il ait été employé de préférence, mais non pour qu'il soit préférable.

*' ^s vu dans les n" 20 à 23, 43, 70 à 83 et 87 corameui

iger des erreurs de i'instrumenl, avec une Irôs-grande s mesures azimulales, c'est-à-dire tenir compte des d'axes, des erreurs de collimalion, de graduauon et berralion diurne. Dès lors, la seule objecUon que Ion

pourrait faire à Temploi des mesures d'azimut au lieu des mesures de hauteur au méridien pour la détermination des déclinaisons, serait de faire intervenir à la fois des mesures d'arc et de temps. Cette objection n'en est pas une, vu les incertitudes des mesures de hauteur, comme nous Tavons déjà dit ; mais« au reste, dans nos formules, nous allons faire voir qu'il est possible d'éliminer entièrement toute influence des irrégularités de marche de la pendule, quelque anormales qu^elles soient. De plus , et encore bien que ce ne soit pas nécess ire pour l'emploi de nos formules, nous rappellerons que nous avons indiqué dans les n*" 129 à 134 des procédés très-simples , par lesquels on peut transformer les observations azimutales en des opérations de pointé analogues au pointé des hauteurs méridiennes, et dès lors l'objection ci-dessus^ quoique sans valeur, disparaît totalement.

305. — Quant aux différences d'ascension droite, l'instrument généralement employé , savoir, la lunette méridienne, ou instru* ment des passages, est en réalité un instrument azimutal, puisqu'il a pour but d'observer l'heure des passages dans un même azimut, qui est le méridien. Cet instrument, s'il est parfaitement rectifié, donne directement les différences d'ascension droite des astres. Le mode d'observer étant le même que celui de l'alt-azimut , il ne semble pas, au premier abord, que nous ayons d'objection à faire à la lunette méridienne en faveur de ce dernier instrument. Mais, au contraire^ nous dirons que la limitation des observations à un seul azimut, limitation qui a lieu dans la lunette méridienne, est un énorme inconvénient, en ce que toutes les différences d'ascension droite sont entièrement affectées des erreurs de la pendule. Or, il est parfaitement connu que , quelques précautions que l'on prenne pour obtenir des pendules une marche parfaitement régulière, on ne peut les empêcher d'éprouver un grand nombre d'anomalies, dont nous avons parlé dans le n° 160.

L'expérience confirme sur ce point la théorie. Ainsi en comparant la marche diurne que prend la pendule sidérale de l'Observatoire de Paris, en été et en hiver, on voit que, malgré sa compensation, elle varie de un dixième de seconde environ par chaque degré de température. Or, comme il fait plus chaud le jour que la nuit, les horloges présentent une marche périodique, variable dans chaque saison et inconnue, dont le jour est la période. L'effet de cette période disparaît donc, dans le calcul du mouvement

âfô COORDONNÉES DES ASTRES

diurne delà pendule par le retour d'une même étoile au méridien. Si ensuite avec ce mouvement diurne ainsi obtenu, on applique les corrections nécessaires pour déduire des observations de passage ^ de deux étoiles leur différence d'ascension droite, on commet une erreur qui vient de ce qu'on s'est servi du mouvement diurne moyen, au lieu de l'avance horaire correspondant à l'intervalle des observations.

Les observations des mêmes étoiles, à part quelques étoiles brillantes, ne se faisant que la nuit , et spécialement dans la soirée, il ne peut y avoir compensation dans les moyennes , et l'on rapporte au ciel les variations inconnues du mouvement de l'horloge. C'est ainsi que les observations de Bradley donnent une variation périodique entre les différences d'ascension droite de deux groupes d'étoiles distants, variation s'élevant jusqu'à 0',420, et dont la périodicité est réglée sur lesi saisons. Les observations de Greenvnch de l'époque moderne donnent une variation analogue.

Nous venons de parler de la température, mais il existe dans les horloges, comme nous l'avons vu dans le n^ 160, beaucoup d'autres variations périodiques, les unes dépendant de la pression atmosphérique^ d'autres du mécanisme lui-même^ etc. Or, a^ec l'alt-azimut, on peut, comme nous le verrons plus loin , éliminer toute influence de l'horloge.

Nous n'avons jusqu'ici parié des avantages des instruments azimutaux sur les instruments méridiens qu'au point de vue de la précision des observations. Il est toutefois une autre considération qui , quoique secondaire , mérite cependant d'entrer en ligne de compte. Je veux parler de la commodité de l'observateur. Les observations azimutales d'un astre offrent en effet l'immense avantage de pouvoir être faites pendant toute la durée de la présence de cet astre au-dessus de l'horizon, et elles ne sont pas restreintes à un seul instant très-court pouvant tomber aux heures les plus inconmiodes de la journée ou les plus fatiguantes de la nuit. Avec elles, on n'est pas exposé, après avoir veillé plusieurs heures pour attendre le moment favorable, à voir un nuage cacher l'astre au moment où on allait l'observer. Pour les déterminations d'azimut, on profite de toutes les éclaircies , ce qui permet d'observer plus fréquenmient^ et on peut choisir les instants où on est le mieux dispos, question très-importante au point de vue de la qualité des observations. Objectera«>t^n la plus grande longueur des calculs

de réduction? Cette objection n'est pas sérieuse. D'abord si, en effet, le calcul de réduction pour chaque observation est plus long, la précision des observations azimutales étant plus grande, une seule d'entre elles vaut une moyenne de plusieurs observations méridiennes. Elle offre même la certitude que la limite des erreurs est renfermée entre les limites restreintes où la probabilité seulement indique que doit être contenue la moyenne en question. Â ^alité, à supériorité même de précision, les calculs de réduction ne seront donc pas plus longs pour les observations azimutales que pour les observations méridiennes. Mais quand même la réduction serait plus longue, n'est-il pas préférable, au point de vue de l'astronome, d'employer quelques minutes de plus à faire les calculs, pour éviter de passer souvent plusieurs nuits à attendre le moment favorable pour une observation dont la réduction serait plus courte, et en présence de l'importance de la précision des résultats, doit-on s'arrêter à de pareilles objections ?

En résumé, lorsqu'on compare entre elles les déclinaisons et les différences d'ascension droite des étoiles fondamentales prises dans divers catalogues, on y remarque des discordances très-grandes, et qui proviennent du mode d'observation dont on s'est servi, c'est-à-dire de l'emploi exclusif des observations méridiennes; et il semble que, quant à présent, on a tiré de l'astronomie méridienne tout ce qu'elle peut donner comme précision. Pour aller plus loin, il faut donc recourir à de nouveaux procédés d'observation.

306. — La formule générale qui lie l'azimut d'un astre à son angle horaire et à sa déclinaison est, comme nous l'avons vu dans la note du n*" 115,

(1) sin / cos f = tangD cos/ — sin^ cota,

dans laquelle / est la latitude du lieu d'observation, f l'angle horaire et D la déclinaison de l'astre, a l'azimut à partir du point nord, compté positivement du nord vers l'ouest.

Si on fait plusieurs observations d'un même astre, c'est-à-dire si on note au moyen de l'horloge l'instant auquel cet astre passe par diverses positions de la lunette correspondantes à diverses lectures du cercle azimutal, on aura plusieurs équations de la forme de l'équation (1). /ou la latitude du lieu a la même valeur dans toutes

tiZà COORDONNÉES DES ASTBES

ces équations^ D ou la déclinaison de l'étoile peut également être regardée comme constante, car elle ne varie que de quantités négligeables dans l'intervalle des deux observations du même jour (1). L'angle koraire varie de quantités approximativement connues par la pendule, et le changement de l'azimut, en passant d'une observation à l'autre, est connu par la différence des lectures du cercle azimutal qui correspondent à ces observations.

Toutes les équations ne renferment donc que quatre inconnues, en supposant le mouvement de la pendule connu, savoir : /, f » D et a de la première observation. Si donc on a quatre observations d'une même étoile, on peut déterminer ces quatre inconnues opproximadvement. Je dis approximaiipemenij parce que nous avons supposé le mouvement de la pendule parfaitement uniforme. Après la détermination des valeurs approximatives, nous verrons le moyen de nous débarrasser de cette condition . Le mouvement moyen de la pendule est d'ailleurs connu si on a observé le retour d'un même astre au même azimut.

On facilite beaucoup la détermination des valeurs approchées de /, 9, D et a, si on a déterminé par les observations des azimuts extrêmes d'une même circompolaire la lecture du cercle azimutal qui répond au méridien. Cette opération peut être faite avec une grande précision, au moyen de Tobservation des azimuts extrêmes des circompolaires, comme nous l'avons vu dans les n"^ 1 1 4 à 119, et elle nous servira très*utilement à la détermination des valeurs exactes de /, ^ et D conmie à celle de leurs valeurs approchées ; conséquemment on doit à peu près la regarder comme indispensable. Les valeurs des azimuts des observations sont alors connues, et trois observations d'un même astre suffisent à déterminer /, 9 et D approximativement.

On a, en effet, les trois équations :

li) An reste, connaissant par une première approximation la valeur de rascension droite et de la déclinaison d*ane étoile, les formules de la no* talion et de Taberratiou font connaître la variation très-petite qne ces éiêments ont pu éprouver dans i^interralle de deux observations. Oo troave ces variations en tables dans les épbémérides pour les étoiles dites foodamentales. Sî Tastre observé n*est pas une étoile, on a également par les tables son changement de position dans rinterralle des observations. On peut donc faire le calcul en ayant égard à ces changements.

sin/cosf = tangDcos/ — siofcota (2) sin /cos (<p + m) = tang D cos / — sin (<p+ m) cot a, sin /cos (ip + m,) = tang D cos / — sin (<p + mi) cot a,

équations dans lesquelles on connaît a, «i, a,, et où m et mi sont donnés approiimativement par la pendule.

En retranchant les deux dernières équations de la première, on élimine D, et les deux équations résultantes divisées par cos f sont :

sin / (1 — cosm +sin m tang f) = cot a, cos m tang «p . . , + cot a. sin m — cota tang ^

^^ ^ sin/(l — cos m, + sin nti tang (p) = cot a. cos m, tang f

+ cot 0, sin m, — cot a tang «p.

En divisant ces deux équations membre à membre, on élimine sin /, et on a une équation du second degré en tang 9 d'où on tire deux valeurs de cette tangente, entre lesquelles il est facile de reconnaître à vue, d'après les conditions de l'observation, celle que Ton peut admettre. On ferait, au reste, disparaître tout doute par uQe quatrième observation. Substituant cette valeur dans l'une des équations (3) on a sin /, puis mettant pour / et f leurs valeurs dans la première des équations (2) on a tang D.

Les valeurs ainsi obtenues peuvent être considérées comme exactes si l'azimut a été bien déterminé, et si le mouvement de la pendule a été bien uniforme. Mais comme on n'est pas certain de cette dernière condition, elles ne doivent être considérées que comme des valeurs approchées. Nous allons maintenant examiner les procédés à employer pour avoir les valeurs exactes, lorsqu'on connaît déjà les valeurs approchées (1).

(i) En général^ la détermination des valeurs approchées est plus simple que nous ne venons de l*indiquer, parce qu^on peut recourir aux observations de hauteur^ et employer pour la détermination de Theure et de la latitude des étoiles de déclinaison et d'ascension droite assez bien connues. Dansée cas, les méthodes à suivre sont celles que nous avons déjà décrites. Toutefois^ nous avons dû indiquer le moyen d'obtenir les valeurs approchées en employant seulement quelques-unes des observations azimutales qui sont nécessaires pour les déterminations exactes que ces valeurs approchées vont nons faciliter. D'une part, on rend par là les déterminations entièrement possibles avec un instrument muni seulement d'un cercle azimutal sans cercle de hauteur; d'autre part, on peut employer.