Reprenons la formule générale

sin /cos (p = tang D cos / — Ma (p cot a.

Si les valeurs approchées de /, f, D et a, correspondantes à une observation d*un astre, sont connues, nons devrons' satisfaire à réquation (l)en y substituant, pour l : l+èl; pour ç : ç +^?; pourD :D + ^D; et pour a: a-^èa; ^/, ^9, ^D et ia étant de très-petites quantités dont nous négligerons les carrés et les puissances supérieures, et ^ a représentant Terreur sur la lecture du limbe répondant au point nord. La formule (1) devient alors :

(4) (cos/coBf-t-tangDsinQ 8{-f-(cot a cos«p — sin /sinf)o7 — 008 Tsec' D 80 — sin (p cosec* aSa 4- sin / cos 7 — tang D cos / + sin f cot a = 0.

On ne peut pas observer deux étoiles à la fois ; mais au bout de 2 ou 3 minutes, on peut avoir observé une seconde étoile de déclinaison D' et présentant sur la première un excès d'asoension droite Â, ly et  étant également aiqproximativement connus. L'angle horaire de cette seconde étoile sera égal à celui de la première étoile à l'instant de son observation, augmenté en secondes d'arc de 15 fois l'intervalle en secondes de temps qui sépare les instants des deux observations, et diminué de l'excès d'ascension droite. Or, quelque mauvaise que soit une horioge, elle donne avec une très-grande approximation un intervalle de deux ou trois minutes. En effet, les variations anormales du mouvement diurne d'une pendule passable seront inférieures à une seconde, et il n'y a que celles d'une très-mauvaise horloge astronomique qui pourraient atteindre 8 secondes. Quelque mauvaise que soit la pendule, son mouvement diurne d'avance ou de retard à un instant quelconque peut toujours être considéré comme connu à S secondes près. Or, 3 minutes font -^ de jour.

L'erreur d'une horloge , sur la durée de 3 minutes, ne pourra

pour avoir les valeurs approchées, les observations qui sont néoessiires pour les déterminations exactes affhmchies de la pendule, et il deTÎeol alors inutile de faire des obsenrations spéciales pour les valeors tpprodiées, cuusidératioD qui peut être très «utile dans beaucoup de cas, où le tempf de Tobservation est plus précieux que celui que Ton emploierait plus tird à la réduction.

ET POSITIONS GfiOmAPUIQUBS. AS7

donc pas excéder xh àe seconde, ou un centième de seconde environ, et elle sera très-loin d'atteindre cette valeur avec une pendule seulement passable. Une quantité de cet ordre échappant à nos sens et étant inférieure aux erreurs d'observation^ on peut considérer l'intervalle de deux observations aussi rapprochées conune parfaitement et exactement mesuré par l'horloge (1)< L'erreur sur l'angle horaire 91 de la seconde étoile doit donc être considérée comme égale à l'erreur sur l'angle 9 de la première observation^ moins l'erreur sur la différence d'ascension droite ; on a donc

il et èa sont les mêmes d'ailleurs que dans l'équation précédente.

La seconde observation donnera donc l'équation suivante :

(co8 / cos 9t +tangiy sinQi/ (cot a, cos <pt — sin l sin 9,) ($9 — 8Â) — cos I sec* D'êD' —

-H (cota, cos 9, — sm Isin9,} («9 — 8Â) — cosi sec* D'«D' — sin 9, cosec' aM + sin / CO89, — tang D' cos {+ sin 9, cot Oi = o.

(i) Cette intenrention de la pendule, déjà si réduite, disparaîtrait même totalement, s'il y avait deux observateurs et deux instruments, et si on employait la méthode de pointé indiquée dans le no 433, conformément à la remarque faite dans la note du même numéro. — Dans ce cas, la réitération des observations, effectuée avecia précaution que chaque observateur obser. vât à la seconde observation Fétoile que l'autre observait à la première, aurait pour effet défaire disparaître toute inquiétude au sujet d'une influence personnelle des observateurs. J'ajouterai au reste que j'ai même reconnu qu'il existe une disposition d'instrument qui permettrait h un observateur de tenir pointés à la fois deux astres rapprochés ou distants, avec la même précision que s'il en observait un seul. Cette disposition est fondée sur l'application d'un même mouvement parallactique communiqué simultanément aux lunettes de deux ait-azimuts, et sur une disposition des lunettes, par laquelle on observerait dans une direction fixe et identique pour les deux instruments; un seul oculaire servirait pour les deux lunettes, la moitié supérieure du champ se rapportant à l'une des lunettes, la moitié inférieure à l'autre. Les positions des fils correspondants seraient alors définies par les objectifs eux-mêmes suivant le procédé du jop 61, procédé qui permet de recourber les lunettes sans inconvénient. Ce qui précède suffit pour faire comprendre les principes d'après lesquels devrait être construit l'instrument en question; je ne m'étendrai pas ici davantage sur cet appareil auquel serait applicable le système de pointé du n* 133.

En éliminant jf entre (4) et (5), et en posant pour abréger :

cos/cos«p + tangDsiQ/=M ; cotacdbf — sia/sin9 = N;

— cos/sec*D= G ; — sin<pcosec' a= P;

CCS / CCS <p, + tang D' sia / = M' ; col a, cos f , — sia / sîn 9, = N';

— cos / sec" D'=0' ; — sin <p, cosec' a^=P';

sic/ eos9 — tangDcos /+sin 9 cot a = Q; sîn / cos f , — lang D' cos / -f- sin îp, cot a, = Q',

il vient l'équation générale :

(6) (MN' — M'N) «/-+-NN'8A + 0N'«D — O'NSD'

+(PN' — PTO «a + QN' — OTi = 0.

Cette formule est indépendante de Tangle 9, et renferme les cinq inconnues ^l, èa, ^A, ^D^ ^D'.

En faisant plusieurs autres observations azimutales des mêmes étoiles^ on a plusieurs équations semblables, renfermant les cinq mêmes inconnues, sans introduction d'aucune nouvelle inconnue. Si le nombre des couples d'observations des deux éloiles dépasse cinq, on a donc le moyen de déterminer les cinq inconnues par la méthode des moindres carrés, qui est facilement applicable dans ce cas.

Ordinairement, on peut obtenir immédiatement les valeurs de /, A, a, D et D' assez approchées pour que les correciions iij ^a, ^A, ^D et ^D' soient très-petites. S'il en était différemment, on substituerait dans les équations générales au lieu de /, A, a, D et ly les valeurs 1+ */, A + *A, a + *a, D + M, et D' + jD', données par la première approximation, et on déterminerait de nouvelles corrections beaucoup plus approchées, et ainsi de suite, jusqu'à ce que les corrections fussent négligeables. Mais, en général, une première approximation suffit.

La détermination de a peut être faite avec une très-grande précision, comme nous l'avons vu n"^ 114 à 119, par les observations des écarts extrêmes des circompdaires. En opérant de cette manière, on n'a que quatre inconnues i/, M, ^D, ^D'pour deux étoiles. Lorsqu'on a ùii dans un même lieu un grand nombre d'observations de beaucoup d'étoiles, / est déterminé par l'ensemble de toutes les observations, et, par conséquent, est connu avec une grande exactitude. On reporte alors ctOe valeur de / dans les équations

ET POSITIONS GÉOGRAPHIQUES. tiS9

données par chaque série d^observations, et on détermine pour chaque groupe les valeurs de ^D, ^D' et $ A.

La difierence des lectures du cercle azimutal répondant aux azimuts extrêmes d'une même circompolaire, différence qui peut être déterminée avec une grande précision, et dont la moitié fait coDoaltre la grandeur de lazimut extrême , donne d'ailleurs, entre la latitude du lieu et la déclinaison de l'étoile observée, comme nous l'avons vu dans le n"" 120, l'équation

I cosD cos / = -i-t — ,

sina

a étant l'azimut extrême de l'étoile. On peut tirer un grand parti de cette équation pour l'élimination de i /, et sa détermination après l'obtention de jD.

De plus, si on faisait un catalogue d'étoiles fondamentales, les observations des étoiles dont on voudrait déterminer l'ascension droite seraient généralement combinées deux à deux d'un grand nombre de manières^ de sorte qu'on aurait plusieurs relations entre des sommes de différences d'ascensions droites. Ces relations augmenteraient la précision des résultats, en ce qu'elles diminueraient le nombre des inconnues, sans réduire le nombre des équations.

En reportant dans les équations données par une seule étoile, telles que (4) et (5), les valeurs de la latitude, de l'ascension droite, de la déclinaison et de l'azimut ainsi déterminées, on obtient la valeur de la correction ^f de l'angle horaire, ;et par suite l'état de la pendule en cet instant.

On voit donc^ par ce qui précède, que des observations azimutaies seules pourront donner la latitude, l'heure, le méridien, les déclinaisons et les ascensions droites des astres et par conséquent des mesures de longitudes. 11 va sans dire que nous avons supposé dans ce qui précède que les observations sont au préalable corrigées par les formules données dans les numéros 20 à 23, 45 et 87 des erreurs provenant des inclinaisons d'axes de l'instrument , de la collimation de la lunette ainsi que de l'aberration diurne.

308. — Afin de bien faire comprendre les précautions exigées par la méthode qui précède, nous allons d'abord jeter un coupd'œil sur

A90 GOORDOmiEES DES ASTRES

les situations des astres dans lesquelles on ne peut pas observer. Si Tune des deux étoiles (que nous appellerons E), celle de déclinaison D, par exemple, qui ont concouru à la formation de Tune des équations de la forme de l'équation (6) , a été obsenée dans le plan que l'on suppose être le méridien, auquel cas les valeurs approchées de a et de f à substituer dans cette équation sont zéro, on a alors sin f = o ; cot a = oo ; cosec a = co ; cos 9 = 1 ; cos a = < . La valeur de N se réduit à cosec a ou i l'infini, et celle de P à o x oo • Pour voir alors ce que devient l'équation (6), nous en diviserons tous les termes par N qui, comme nous venons de le dire, est égal à cosec a ou à l'infini.