GÉODÉSIE APPLIQUÉE A U GÉOGRAPHIE

319. — Nous avons déjà vu dans les n**" 294 et 296 le moyen de déterminer l'azimut d'un point quelconque à Taide du théodolite. Dans les n*** 138, 139 et 149 nous avons indiqué le moyen de Tobtenir avec le cercle répétiteur ou avec les instruments de réflexion. Ces numéros contiennent entièrement la théorie des relèvements astronomiques. Nous pouvons donc maintenant nous proposer de déterminer les différences de longitude de deux points à l'aide de la latitude et de l'azimut dans lequel une des deux stations est vue . de l'autre.

Si la terre était rigoureusement sphérique, le problème qui nous occupe serait des plus simples. Soient en effet /. la latitude de l'une des stations  (fig. 48), 4 la latitude de l'autre station B, et a. l'azimut de B vu de Â.

Parle centre de la terre et la station A menons le plan méridien qui coupera la surface terrestre suivant l'arc de grand cercle PÂM,

P étant le pôle de l'hémisphère de la station Â. Par le centre de la terre, menons également le plan méridien passant par B, et dont la trace sur la surface sera l'arc de grand cercle PB; enfin, par le centre de la terre et par les points Aet B menons un plan dont l'intersection par la surface terrestre sera l'arc de grand cercle AB.

Fig. M.

Dans le triangle PÂB, nous connaissons le côté PÀ qui est égal au complément de la latitude de  ou à 90''— /„ et le cAté PB qui est égal au complément de la latitude de B ou à 90** — A, et nous connaissons l'angle MÂB, qui n'est autre que a. ou Tazimut de B vu de  (nous supposerons désormais les azimuts comptés à partir du méridien vers l'ouest, en prenant pour point de départie côté du méridien opposé au pôle), et par conséquent nous connaissons l'angle PAB qui n'est autre que 180'» — MAB ou 180" —a,. Nous connaissons donc deux côtés et l'angle opposé à Tun d'eux; le triangle est défini, et conséquemment nous pouvons déterminer l'angle P, qui n'est autre que la différence des longitudes des deux stations A et B.

Prolongeons le côté AB et abaissons de P l'arc de grand cercle PN perpendiculaire sur AB.

Dans le triangle PNA, on a en faisant l'angle NPA=f

ou

cosPA = cotNPA cotNAP

sin/, = cotf cota,,

d'où

(1) tangç = - — -.

"^ tanga, sm/,

On a de plus

tang PN = tang PA cos NPA = cot /, cos ff. Dans le triangle rectangle NPB, on a de même

tang PN = tang PB cos NPB = cot 4 cos (P 4- ?). Éliminant tang PN entre ces deux équations, il vient

cot /, cos çp = cot A cos (P -H <p);

ou en remplaçant cos 9 par sa valeur en sin f déduite de l'équation (1)

(2) cos (P + <p) = tang /, tang a, cos A sin <p.

L'angle P étant très-petit, il en résulte que dans le cas où Tangle f est lui-même petit, cette formule donnant l'angle P+? par un cosinus, ne pourrait le faire connaître avec exactitude; il faut donc, pour qu'elle s'applique à tous les cas, la transfonDer

en une formule donnant l'arc par la tangente. En retranchant de l'unité les deux membres de l'équation (2), on obtient une autre équation qui, divisée par celle qu'on obtient en ajoutant l'unité aux deux membres de cette môme équation (2) devient en remarquant que 1— cos (P+<p) = 2 sin» {{P+ ?), et 1 + cos (P + ç) = 2cos4(P + ç),

tang« i (P+ ç) = *-tang4tanga,cos/.sin9 o 2\ T/ 1 4-tang/, tanga, cos/, sinf

tang« i (F + ?) = cota^-tang/^cosAsiny ^ ^^ ^' cota, + tang/, cos/, siny

Cette formule est facilement rendue logarithmique en posant

(3) tang U cos /, sin (p =: tang 6.

n vient alors

A moins que a, ne soit voisin de 90°, cette formule donnera toujours l'angle P + 9 avec exactitude, et comme avec l'équation (1) l'angle 9 est aussi donné par la tangente avec exactitude, on aura l'angle P. Quand a^ est de 90**, auquel cas 9 et par suite 0 sont égaux à zéro, le second membre de l'équation (4) se réduit à §. Mais ceci n'est pas un inconvénient, car on ne peut se proposer de déterminer la différence de longitude de deux points à l'aide de leurs latitudes et de l'azimut de la ligne qui les joint, quand cet azimut est voisin du premier vertical. On n'aura donc pas à faire usage de l'équation (4) dans les conditions où la valeur du second membre tend vers § , ni par conséquent dans les cas où le pied de l'arc perpendiculaire PN tomberait entre  et B. Si l'angle MÂB ou a^ (positif ou négatif) est plus petit que 90*", comme valeur absolue, le point N sera du côté opposé à B par rapport à  ; on considérera a, comme positif, dans le calcul, et on prendra, pour la valeur de la tangente f (P + 9), l 'angle positif plus petit que 90^ Si a^ est plus grand que 90'' comme valeur absolue (mais avec le signe + ou le signe — ), le point B sera entre  et N, et en employant a^ comme positif dans le calcul, auquel cas tang ax est négatif, 9 est négatif, et on prend pour tang i (P + 9) la valeur négative.

320. —Mais la terre n'est pas rigoureusement sphérique, il en résulte que les \erticales des points  et B ne rencontrent pas Taie terrestre au môme point, et cette circonstance empêche de traiter le triangle PÂB comme un triangle sphérique. Toutefois, supposons que nous menions du centre 0 de la terre les rayons O et OB aux points  et B, ces rayons prolongés couperont une sphère décrite du centre de la terre, avec le rayon équatorial pour rayon , en des points Â' et B' dont les latitudes seront les latitudes géodésiques des points  et B| et en appelant t, et i, les distances angulaires des zéniths vrais et apparents aux points  et B, leurs latitudes géodésiques seront /, — 1„ /, — t,, /, et /, étant les latitudes astronomiques, et I. et t, de petits arcs que nous savons calculer (n"" 194) , de sorte que A — *i et/, — I, ou les latitudes des points A' et B' nous seront connues. Or le plan passant par Taxe delà terre etle point  renferme le point Â'; le plan passant par le même axe et par B renferme le point B'; donc la différence des longitudes des points Â'etB est égale à celle des points  et B. Si donc Tazimut du point B' vu de Â' pouvait être conclu de celui du point B vu de Â, nous pourrions, par les formules précédentes, résoudre le triangle sphérique Â' B' P, dont l'angle P n'est autre que la différence des longitudes des points  et B. Proposons-nous donc de déduire de l'azimut de  vu de B celui de Â' vu de B'. Soient 0 (fîg. 49) le centre de la terre, OÂZ' la verticale géodé-

sique du point A, ÂZ sa verticale apparente ou verticale astronomique, et le plan OPZZ'M le méridien de A, qui renferme les deux zéniths Z etZ', FA son interseo tion par la surface terrestre.

L'azimut astronomique du point B mesuré de A est l'angle des deux plans ZAB et OPZZ'M. L'azimut géodésique du point B vu de A sera l'angle des plans Z'AOB et OPZZ'M, et c'est précisément l'azimut du Fig. w. poî'^^ B' vu de A, car ces deux derniers

points sont situés dans le plan Z'AOB, qui passe par la verticale

OAZ' du point A.

Gela posé, considérons le point A comme centre de la sphère étoilée, soit PM le méridien, Z et Z' étant les deux zéniths de A; appelons z la distance ZB du point B au zénith astronomique Z

de A, distance qui a été observée, et soit Oi Tazimut astronomique BZM observé. Appelons a\ Tazimut géodésique BZ'M cherché, et soit aussi z! la distance inconnue du point B au zénith géodésique. L'arc ZZ' =zi nous est d'ailleurs connu. Gela posé, dans le triangle ZZ' B, on a

cos z' = cos z cosî -H sin z sin i cos a, . , sin a, sin z

sin «' — : } —

sin a I cos z = cosz' cos t — sin z' sin t cos a\ .

Substituons dans cette dernière équation les valeurs de sinz' et cos 2' déduites des deux premières, remplaçons cos z{l — cos* t) par cos z sin'i, et divisons par sin i sinz, cette équation devient

coi z sin t = cos i cos ai — sin a, cot a^.

En faisant z =90' — A, h étant la hauteur du point B au-dessus de l'horizon astronomique de a et résolvant par rapport à cot a\ , puis posant a\ = ai + ^, développant cota'i, et multipliant les deux membres par tang a^ + tang ^, il vient

i — langa, tang p =cost — tang A -^^^+ cos «cotai tang p

cos 0|

— taDgAtang6 4i5i.

^^ *^ sm a,

en remplaçant 1 — cosi par 2 sin* 5/, multipliant par sin a cosezi , et résolvant par rapport à tang ^, il vient après réduction

, . 4 ^^ û sin* i t sin 2 a, + tang h sin t sin a, (a) tang p = - — ^ ^. , . . — 4 2 - — L. .

^ 1 — 2sm^icos"a, — tangAsmicosa,

Si on suppose que A =0, auquel cas le point B serait dans l'horizon astronomique de A, la formule se réduit à

i.x 4 o sin* il sin 2 a,

(*^ ^^g>^=|-2sLétcos'a;

ou si on néglige les termes du 4' ordre en sin ' ^ t, elle devient simplement

{c) tang p = sin' i i sin 2 a.,

510 GÉODtSIE APPUQCËE

OU encore

à cause de la petitesse des arcs c et p.

La valeur maximum de ^ aura donc lieu pour les valeurs maiima de t et de sin 2 a^. Or, la valeur maximum de sin 2ai a lieu pour a. = 45*, auquel cas sin 2a, = 1. La valeur maximum de ^ sera donc^t sin 4< au "U'd^ré de latitude où test maximum et devientde678"enle calculant avec l'aplatissement moyen de la terre. En donnant à t cette valeur, on voit que la valeur maximum de p est alors de 0",557, et l'erreur commise en négligeant les termes du 4* ordre n'est que de 0",00000i5, ce qui nous montre d'une part que ces termes sont entièrement n^ligeables, et d'autre part que la différence entre les azimuts astronomiques et géodésiques n'est jamais que d'une fraction de seconde, tant que le point B est dans l'horizon astronomique de Â, ou distant de cet horizon seulement de quelques minutes, auquel cas le terme tang A sin t sin a, est du même ordre de petitesse que le terme sin*| c sin 2at.

32 i. — Mais avant de passer outre, faisons encore une remarque au sujet de la formule complète (6), qui a lieu quand A=0, c'est-à-dire quand B est dans l'horizon de Â.

Considérons un second point B' également dans l'horizon de A et dont l'azimut astronomique, au lieu d'être Oi, soit 180*4-01 y de telle sorte que les deux azimuts astronomiques de fi et de B' afférent exactement de 180*. Remarquons alors que sin 2 (180* -|.a4) = sin2ai, et que cos*(180* + a,)=cos*<7i. Les valeurs de p seront donc égales pour les points B et B^, de sorte qu'en appelant k cette valeur, l'azimut géodésique de B deviendra Ot +k et celui de B* sera 180* +a,+k. Dans ce cas, les deux azunuts géodésiques différeront de 180* comme les deux azimuts astronomiques, n est au reste belle de reconnaître géométriquement qu'il devait en être ainsi. En effet, les points B et B* étant l'un et Vautre dans l'horizon astronomique de A et à 180* l'un de l'autre sont en ligne droite avec le point A. En menant par la Ugne AB et par la verticale géodésique un plan , l'angle de ce plan , avec le méridien de A, n'est autre que l'azimut géodésique de B; mais le plan qui contient AB contient AB", puisque Afi et AB' sont deui portions d*une même ligne droite ; donc l'azimut géodésique de B' est égal à celui de B«

Cette propriété cesse dès que les points B et B', quoique toujours opposés par leurs azimuts astronomiques, sont au-dessus ou audessous de Thorizon astronomique de Â, quand môme ce serait de la même quantité h^ car alors ces deux points ne sont plus en ligne droite avec A , et le plan passant par AB et la verticale géodésique ne renferme plus B\ C'est ce que nous apprend la formule complète (a).

Si en effet nous remplaçons dans cette formule a^ par 180®+ ai afin d'avoir la valeur de ^ pour le point B', elle devient

. g sin* ^ % sin 2 a, — tang A sin î sin a,

^^7^ 1 — 2 sin' { % cos* a^ + tang A sin % cos a^

car sin (180° -H a,) = — sin a, et cos (180'» + «,)=? — cos a,.

On voit donc que les termes renfermant h changent de signe. Les valeurs de ^ ne sont donc plus égales pour les points B et BS quoique ces points soient à une même hauteur au-dessus de l'horizon astronomique de A, et en appelant ^i la valeur répondant au point B, p, celle qui répond au point B', l'azimut géodésique de B devient a^ + pi et celui de B' devient 180*> + ai 4- p,. La différence de ces deux azimuts géodésiques est alors de 180*-i- p, — p„ tandis que celle des azimuts astronomiques était de 180**.

322. — Reprenons maintenant la formule générale (a), elle peut s'écrire, en négligeant les termes du 3* ordre en i , et en remarquant que 2 sin ai cos ai = sin 2ai,

taDgp = sin*i isinS a. + tang A sin t sin a^ -{-^ tang* A sin' i sin 3 a expression qui peut se remplacer par la formule plus simple

|i = > (sin^ i sin 2 a, + 2 tang A sin a, + tang* A sin isin 2 a).

Remarquons que le terme \ tang* h sin i sin 2 Oi a la même valeur pour ai = a: et ai = 180" + a:, de sorte qu'il n'influe pas sur la différence des azimuts géodésiques de 2 points de même hauteur au-dessus de l'horizon astronomique de A, et dont l'azi^ mut astronomique diffère de 180^, quelle que soit cette hauteur; c'est donc le terme i tang h sin a^ qui seul change de signe dans ce cas.

Le terme \ i tang' h sin i sin 2 a^ est ordinairement négligea*

ble. Sa valeur maximum a lieu pour a^ = iS"", auquel cas sin 2 a, := 1; en donnant alors à i sa valeur maximum de 11' 18", la valeur maximum de ce terme devient 1", 1147 tang* A, et si on fait À =S®,25', cette valeur n'est encore que 0",01. Pour toute valeur de h inférieure à S^^^SS' (et tel est le cas ordinaire dans les opérations géodésiques) le terme en question sera donc de moins d'un centième de seconde. Ce terme est donc négligeable, pour toutes les valeurs de h inférieures à S% c'est-à-dire dans le cas des opérations géodésiques. Tant que h est inférieur à cette limite, la valeur de ^ se réduit donc à

p = --(sin \ % sin 2 a, -i- 2 tang h sîn a,).

Telle est l'expression simplifiée et suffisamment exacte de la différence des azimuts géodésiques et astronomiques.

323. — Si donc on a la latitude astronomique A d'un point A, et la latitude astronomique /, d'un point B et l'azimut astronomique a^ du point B vu de A, on calculera les latitudes géodésiques il — «1 et /, — «a des points A et B, et la valeur de p, et alors, avec ces deux latitudes géodésiques et l'azimut géodésique a, + p, on calculera par les formules (1), (3), (4) du n"" 319 l'angle Pqui est la différence de longitude des points B et A. Telle est la solution très- simple du problème proposé de la différence de longitude de deux points dont on connaît les latitudes et l'azimut de la ligne qui les joint , en ayant égard à la forme ellipsoïdale de la terre. L'altitude des stations au-dessus du niveau de la mer n'influe pas sur le calcul des angles t, comme nous l'avons vu en traitant des parallaxes, de sorte qu'on n'a nullement besoin d'avoir égard à cette altitude.