Supposons une série de points consécutifs A, A', A

de même niveau au-dessus de la surface terrestre, et tels que les azimuts astronomiques pris de l'un quelconque de ces points sur le point précédent et le suivant diffèrent de 180"*. 11 en résulte que, si la terre était sphérique, tous les points A, A', A" seraient compris dans un même plan passant par le centre de la terre, et par conséquent renfermés dans un arc de grand cerde. A cause de la courbure de la terre, les points Ao, et A, 4., tus de An ne seront pas dans l'horizon astronomique de A^^ puisque nous supposons ces points de même niveau : ils se montreront un

peu en dépression de petites quantités que nous appellerons â et A', et qui dépendent des distances des points Aq . , à Âq et Âq ^. , à Âq. 11 en résulte, ainsi que nous l'avons vu précédemment , que si nous tenons compte de la forme ellipsoïdale de la terre, les azimuts géodésiques de An , et A^ + , vus de An ne seront pas opposés de ISO"" exactement, comme les azimuts astronomiques, puisque leurs hauteurs au-dessus de Thorizon seront — à et — h. Donc, avec la forme ellipsoïdale de la terre, la série des points A, A', A''. . . ne sera pas comprise dans un môme plan passant par le centre de la terre, et la ligne formée par leur réunion, si nous les supposons infiniment rapprochés, sera une courbe à double courbure. Une ligne définie à la surface de la terre, comme nous venons de l'indiquer, porte le nom de ligne géodésique.

Prenons l'expression de la variation des azimuts géodésiques en fonction de la latitude sur une ligne de cette nature.

Appelons /, la latitude astronomique du point An . < et /, celle du point An, et /, — «\ et /, — i, les latitudes géodésiques des mêmes points. Appelons de plus a', l'azimut géodésique du point An vu de An.i et a', celui de An^. , vu de An.

Soient PAn » (fig. 80) le méridien de An - „ PAn celui An, PAn -, An ost alors égal à 180* — a',. Or, dans le triangle sphérique PAn-, An, on a par la règle des sinus

sin A»,| A.P cos (/, — t,)

sin a\

pris de A|

cos (/, — t'a)

Or les azimuts astronomiques de A„., et An 4 diflêrent de 180®, et en appelant — A" la hauteur de An-, vu de An et — hl celle de An+, vu du môme point An, les azimuts géodésiques diffèrent de 180® de la quantité p, — pô le point An 4., n'est donc pas sur l'arc du grand cercle An, An prolongé, mais sur un arc^partant de Ai, et qui fait l'angle p, — p, avec cet arc.

En effet, l'azimut géodésique de An-, vu de An est 180® + An-i A„P; l'azimut astronomique était donc 180^-4- A„i An P — p,, et conmie l'azimut astronomique de An+, diffère de 4 80® de celui An,, l'azimut astronomique de A„+, vu de A„ est An- , An P — p, ; pour le transformer en azimut géodésique, il faut y ajouter p. : donc l'azimut géodésique de An+t vu de An est

An — , An" "H P«"~P,«

biU GÉODÉSIE APPLIQUÉE

Or nous aurons ^, en remplaçant h dans l'expression générale de p par — h" et Tazimut astronomique a, par Ao, A» P — P„ ce qui donne, en négligeant le terme du deuxième ordre en tang k' et les termes du troisième ordre en t,

p, = i sin^ ï sin 4(A... A.P — p,) — *"sinisin(A.„ , A. P— p.)-

Nous aurons ^, en remplaçant de môme h par — K et a, par 1 80« + A, , A» P — p, d'où

p, = 5àniism2(A.,A.P — p,) + *'sint8in(A.,A.P— p.)

et par conséquent

p,- p. = - (*' + *") sinisin (A... A.P-P.).

p, est une quantité de l'ordre du carré de i par son premier terme , et de l'ordre iK ou du deuxième ordre par son second terme. On peut donc le négliger dans le sinus de (An.iAnP — Pi), et on ne commet par là sur la valeur de p, — p , qu'une erreur du troisième ordre en t\ on peut donc à volonté remplacer sin(A.. AbP — p.) par sin An , A» P ou par sin (A»^. A^P + p, — p,) puisque p, est du même ordre que pi, c'est-à-dire par l'azimut géodésique de Aq h. i vu de Aq, azimut qui ne diffère que d'une quantité infiniment petite de l'azimut de Aq vu de An. ., de sorte que

p, — p, = — (A' 4- A") sin • sin a'.

car K et W étant du premier ordre, la substitution de l'une à l'autre des deux quantités en question, qui ne diffèrent que d'une quantité du premier ordre, est exacte à une quantité près du second ordre en K^ quantité qui devient égale à zéro à la limite.

En menant un plan par la normale de A„ et par A^ . , , la normale de Ab et celle de A„. projetée sur ce plan feront un triangle avec la ligne An An-i. Or la somme des trois angles du triangle est égale à deux angles droits. L'angle entre les deux normales est donc égal à la différence des deux autres angles avec deux angles droits, différence qui est égale elle-même à K + A", à une quantité près du second ordre^ qui s'anéantit en passant aux infiniment petits, et qui provient de ce que la normale en

An , fait un angle infiniment petit avec le plan du triangle. H 4- A" est donc égal au petit arc compris entre An, et A„, lequel est lui-même égal à la différence des latitudes astronomiques, divisée par le cosinus de Fangle a,. En appelant donc e//la dif-

/// férence des latitudes astronomiques, on a — {K -h A") = 1

puisque dans le cas présent dl est négatif, car les latitudes vont en diminuant. Par conséquent p, — p,=-h{//sinitanga',, à une quantité près du troisième ordre en f, car en passant aux infiniment petits les termes en A*, que nous avons négligés, disparaissent comme étant des infiniment petits du second ordre. Gela posé, l'équation

sin A.i A. P cos (f, — i)

sina'i cos (f, — t,)

donne, en posant An - 1 An P = a'i + a,

sin o'i cos g + sin g cos a\ cos(/t — t,)

sin a\ cos (4 — t.)*

Si on suppose le triangle très-petit, auquel cas cosa=l aui termes près de Tordre a*, qui en passant aux infiniment petits deviendront égaux à zéro, on a

cos (/| — •,) — cos(/, — O . , sm a = — iJ 'Jj- rr-2 2^ tanga',,

cos (/a — t,) ^

ou encore

81Q a = -— ..^ ■* tang a ,.

cos {/, — g ° '

Si on passe aux infiniment petits, auquel cas 4 — l^ = dl et

sin|f/i + /t— (n + t,)) j, — î,=: — di et enfin j : = tang (/ — i)

eus *j ^^" jj

en appelant l^-^i la latitude géodésique correspondant au point considéré, on a

a = tang (/ — t) tang a\ (dl — d i).

Dr a+ ^2 — Pi est la variation da\ de l'azimut géodésique, on a donc l'équation

da\= tang a\ [tang (/ — t) (dl — dt) -h sin idl]

516 GÉODÉSIE APPUQUÉE

dans laquelle a', est Tazimut géodésique d'un point quelconque de la ligne géodésique et / sa latitude astronomique, et cette équation différentielle est rigoureuse aux quantités près du troisième ordre en t, qui sont entièrement négligeables.

Pour intégrer cette équation, nous remplacerons sin t par sa valeur en fonction de /, laquelle est, comme nous Tavons \u, sin t = A sin 2 / + i A;* sin 4/, expression dans laquelle k =

5— -5——^, M désignant l'aplatissement terrestre.

L'équation devient alors

cota',dû'. = tang(/ — t)(d/— dt)+.A:sin2/rf/ + i*'sîn4/rf/,

dont l'intégrale est

log sin a', = — log cos (/ — t) — ^ ^ cos 2 / — j^ k^ cos 4 /+ conslanta.

On fera disparaître la constante en remarquant que cette équation doit satisfaire à l'azimut primitif A„ et à la latitude géodésique primitive /« — tV En substituant donc ces valeurs à a, et /dans l'équation précédente et en retranchant l'équation ainsi obtenue de la précédente, il vient

(A) log sin a\ — log sin A , = log cos (/. — t'o) — log cos (/ — 1) + i^ (cos2 /« — cosS/) + iA;' (cos4/o— cos4 0,

équation rigoureuse à des quantités près du troisième ordre eo 1, complètement négligeables.

Si nous posons

\k{co% 2 /«— cos2/) + 1 A* (cos 4 /« —cos 4 /) =log(i| l'équation devient

^ ' sin A, cos(/— i)

Remarquons maintenant que

cos2 {« — cos2 /=2 sin (/ — /«) stn(/ + /,) cos4/o— cos4/=2sin2(/ — /o}sinS(/+/.);

on a donc

*sin(/— /o)sin{/-h/o) + i*•sin2(/-/o)sin2(/+W• |A=e

Nous allons maintenant développer Téquation (B) jusqu'aux quantités de Tordre k^.

Pour cela développons \l jusqu'aux quantités de cet ordre, en négligeant les quantités de Tordre supérieur, il vient

jA=i + *8in(/— /o)8in(/+/o) + i*'sin2(/ — /o)sinî(/+/o)

+ i *» sin» (/ — /o) sin- (/+ /o).

Développons maintenant — 7737T jusqu'aux termes de l'ordre A'. En remarquant que cos i^ =l/l — sin* f „ = 1 — \ sin' i^ aux termes près du quatrième ordre en i„, c'est-à-dire en A:, puisque t. est de Tordre de A, et de même que cos î = 1 — \ sîn* f , si nous mettons pour sin i^ sa valeur sin i^-= k sin 2l^+ \ A* sin 4 /^ et pour sin i sa valeur sin t = fc sin 2 / + 1 A* sin 4 /, Tune et l'autre exactes jusqu'aux termes de Tordre h?^ il vient, en négligeant les termes de Tordre supérieur à A%

cos (A

f — e) cos / \

cos \l- + 2 *• (sin* /— sin* /o) - 4 Aj« sin ' / (sin* h— sin* l)\

+/) sin 2 (/o— 0 — 2 *• (2— cos 2 1) sin (/o— l) sin {/o4-/)\ Substituant cette valeur dans Téquation (B), il vient

,nl sin a, COS/o , . COS/o i^n t\ i n , i\

(C) '-r-^= 7+ * 7 sin(/o — l)s\n (/o + /)

^ ' sm A, cos / cos / '

+ *• îHl's r i sin 2 (/o — /) sin 2 {U -h'O — 2 (2-.cos 2 /) sin {U -Osin (/o +/)— fsin» {U— /) sin* (/o + /)l.

Remarquons maintenant que, si la terre était sphérique, on

aurait

sinfl^ cos /p.

sinA, cos/ '

MB GtoDÊSIE APPUQUÉE

En appelant a. la valeur de d^ donnée par cette équation et flo 4- a sa valeur donnée par l'équation (C) , on a

sin (flo "H g) sin Op cos » -t- cos Cq sin «

sinA, ~" sin A,

sin d cos /

ou en remplaçant ^jj^par sa valeur— rj, et en négligeant le

carré de sin | a

sin (gp + g) cos/o,^ cos Aq sin « sin A, ^cos/ sin A,

En substituant dans l'équation (G), il vient donc

(D) sin.= «A^*£2!i.sin(^.-/)sin(/.-hO

sin A, . . cos/p r • • r. /t « . «. #t

-— - ** 5 {sin2(/p —0 sin 2(/o+/)

cosa© cos/L* ^ ' \«-T-/

— 2 (2— cos 2 Osin (/«—/) sin(/p + /) — | sin» (/o — O sin» (/«+/)].

Telle est l'expression de la valeur de a ou de la correction à appliquer à l'azimut calculé dans l'hypothèse de la terre sphérique pour avoir cet azimut dans l'hypothèse de la terre ellipsoïdale.

325. — Sin Ai sin (/p — /) est nul dans le méridien ou A, = 0, et si la distance des deux points considérés est petite, il est nul aussi perpendiculairement au méridien» car alors sin (4 — /) est à peu près égal à zéro et tend vers cette valeur à la limite. Donc, si od considère deux points peu éloignés placés sur une même ligne géodésique, c'est quand cette ligne fait un grand angle avec le méridien et avec la perpendiculaire à ce cercle que a est maximum. Nous avons déjà reconnu en effet antérieurement quec*est pour l'azimut de 45** que les différences entre les azimuts astronomiques et géodésiques sont maxima. C'est donc dans cet azimut que la déviation, par l'effet de la forme ellipsoïdale de la terre, se fait le plus sentir.

Sin (/o -4- /) est maximum quand /p -h / = 90« , c'est-à-dire quand la latitude moyenne de la ligne géodésique est de 43*. Pour une même valeur de (/« — /), le produit sin (/. — /)sîn (/p + /) sera donc maximum pour 4 + / = 45*. Ainsi, si on sup-

cos / pose Tare 4 — / très-petit, auquel cas j diffôre peu deTunité,

la valeur maximum de a aura lieu pour Âi = iS"" et /+/o=

Voyons quelles seront dans cette condition les valeurs de a, en

remarquant que pour u = sjtb, k = ^^ et log A = 7,51641.

Si on fait 4 — / = 10% on trouve, en ayant égard seulement au terme du premier ordre en k , que a = 1' 26",71 ; si on a égard au terme en â*, c'est-à-dire à la valeur complète, on trouve que la vraie valeur de a est T 26",12. Le terme en ^ n'influe donc sur la valeur de a que de 0",S9. Ceci prouve le peu d'importance de ce terme qui, dans les conditions que nous venons d'examiner, se trouvait dans les conditions du maximum du facteur principal de ses deux derniers termes, car pour 4+ /sQO"*, le facteur sin (/« — l) sin {l^ + l) est maximum ; le terme renfermant sin 2 (/o — l) sin 2 (/o + /) est alors égal à 0, car sinl80* = 0.

Pour déduire de l'équation (G) la valeur de sin a, nous avons négligé un terme en sin* j a. Or, pour la valeur déjà considérable que nous venons de supposer à /» — /, et qui dépasse la longueur de la plupart des opérations géodésiques que l'on a à faire, en levant une carte, on voit que, dans les conditions de maximum, \ a n'atteint pas 45''. Or, dans ces conditions, sin * ^ a égale à peu de chose près k ', quantité de l'ordre que nous avons négligé. Donc la formule (D) est exacte aux termes près de l'ordre A', qui sont complètement négligeables, comme le prouve au reste le peu d'importance du terme en k^^ lequel n'est qu'une fraction de seconde.

Si, toujours dans les mêmes conditions de 4 + / == 90"* et At = 45% on fait 4 — / = 5% on trouve que a = 0' 50",23 en ayant égard au premier terme en k. Le terme en A' influerait à peine sur cette valeur.

Si maintenant nous voulons voir ce que a deviendrait dans les basses latitudes, en faisant toujours Aj ^ 45", /« — /= 5** et l^ + /= 40% d'où 4= 22%30' et /= 17%30', on trouve, en ayant égard seulement au terme du premier ordre en k^ que a =: 0' 35'',68 si on néglige le terme en k^.

Supposons maintenant que, dans les mêmes conditions de lati-

tude, c'est-à-dire pour /. — / = 5* et /. -*- / = 40**, on suppose l'angle Ai beaucoup plus petit que 45"*, par exemple, de 20'', on trouverait alors, en négligeant le terme en A:*, qui est à peu près insensible, a =13",32.

Ainsi, même dans ce cas, qui est un des plus défavorables, puisque la latitude est petite et l'angle avec le méridien petit, les différences entre les azimuts calculés dans l'hypothèse de la terre sphérique et dans sa condition réelle d'un aplatissement de ^ dépasse encore d'une manière notable les limites d'erreur des observations.

Vu l'influence presque nulle du terme dépendant du carré de A, on voit que la difiérence a entre les azimuts réels à l'extrémité d'une ligne géodésique et les azimuts calculés à partir de celui du point de départ dans l'hypothèse de la terre sphérique sont sensiblement proportionnels à k. Si donc dans une région de la terre, comme cela a lieu en France, par exemple, l'aplatissement

répondant à cette région a une valeur double de la valeur ^^ïë Qu^

nous avons admise dans les calculs précédents, on voit que la valeur de a sera doublée. C'est-à-dire que , pour la latitude moyenne de 45'' et des arcs de lO*', une différence de cet ordre sur l'aplatissement se manifesterait par un excès de déviation de 1' 26'', et pour un arc de S'', par un excès de déviation de 50", pour un azimut de 45^* au départ ; et pour le même azimut et une latitude moyenne de 20^" , les excès de déviation seraient de 36", et atteindraient encore 13" pour un azimut de20\ De telles déviations seraient facilement indiquées par les observations , et même on pourrait en manifester une petite fraction. Ce fait prouve donc que, par des observations azimutales convenablement dirigées, on peut déterminer la valeur de k qui convient à la région qu'on explore, avec une approximation qui devient très-notable pour des arcs courts, même dans les basses latitudes si l'azimut de départ est d'environ 43% et cette approximation devient très-grande pour les latitudes voisines de 45"".

Si, au lieu d'un azimut de départ de 45% on prenait un azimut de 13S^, les déviations seraient encore plus grandes pour une même valeur des différences et des sommes des latitudes; seulement dans ce cas /« — / devient négatif, car / serait plus grand que/o. La valeur de a serait donc négative. Mais sa grandeur ab-

solue serait supérieure à celle qui a lieu pour Tazimut de départ

de 43", car le facteur — j serait plus grand que l'unité pour /

plus grand que /«, tandis qu'il était plus petit pour / plus petit que /o, et, comme conséquence, cos a^ serait plus petit que pour

Tazimut de 45", car sin 135** = sîn48* et sina,= JsînA.;

cos/ ^

donc^o serait plus grand pour Ai = 1 3S^ qu'il n'est pour A« = 4S%

sin A

et par conséquent cos a» serait plus petit, le facteur ^, comme

cos Oq

le facteur — j, serait donc plus grand pour A,= 135**, que pour

Pour A, = 225**, les valeurs de a seraient égales, toutes choses semblables d'ailleurs, à celles qui ont lieu pour A,=: 135", ou en général pour A, =180"+ m, elles seraient égales à ce qu'elles sont pour A| = 180* — m, seulement le signe serait contraire, car sin (180" +m)=z — sin (180" — m). Il y aurait donc écart semblable du méridien pour les angles correspondants 180"+ m et 180« — m. La même chose a lieu pour les angles m et — m.

Si A, était beaucoup plus grand que 45", mais encore assez loin de 90", comme pour Ai= 70", à moins d'opérer sur des arcs trèslongs, on ne pourrait pas employer entre les latitudes des points extrêmes d'aussi grandes différences que pour des valeurs plus

sin A

petites de Aj ; mais comme par compensation le facteur î-

serait beaucoup plus grand, les déviations seraient encore trèsnotables.

Ainsi, en réalité, les différences d'azimut aux deux extrémités d'une même ligne géodésique de quelques degrés de longueur font connaître l'aplatissement convenant à la région explorée, pourvu que ces azimuts diffèrent d'une vingtaine de degrés du méridien ou de l'arc perpendiculaire.

326. — Il faut remarquer que les différences azimutales aux deux extrémités de la ligne géodésique, différences dont nous avons parlé jusqu'ici, se rapportent aux azimuts géodésiques des deux extrémités de la ligne et non aux azimuts astronomiques. Mais nous avons vu que l'azimut astronomique a égale l'azimut géodésique a^ moins la quantité p qui n'est que d'une fraction de seconde, tant

que h est voisin de zéro. Les difiTérences entre les azimuts astronomiques a et a! des deux extrémités de la ligne sont donc sensiblement égales aux différences entre les azimuts géodesiques a^ et â\, et cela d'autant plus que les valeurs de ^ sont presque égales aux deux extrémités de cette ligne. En effet on a

« = «, — p==a, — ^(sin^tsinSa + atangAsina) o'= o', — p'=a', — i (sini i8in 2 o'+ 2tangA'siiio');

on a donc

a — a'=fl, — «', — ^ sin|t (sin2a— sinâa') — i*(taDgAsina

— tangA'sinaO, ou

a — a'= û, — o', — t sin i » sIr (a — a') cos(a + a') — î(tangAsiDa

— tangA'sina')

Or a diffère peu de a'; a — a' est donc un très-petit arc ; t sin { i sin (a — 0% qui est âéjà du deuxième ordre en t devient donc une quantité du troisième ordre, et si de plus a diffère peu de 45"*, auquel cas a + a' diffère peu de 90"", cos (a + a!) diffère peu de zéro, t sin \ i sin (a — a') cos (a + a') devient donc du quatrième ordre dans ce dernier cas. Si donc h et h' sont nuls, on a a — d = ^i — ^1^ d^s quantités près du troisième ou du quatrième ordre. Si h et h' ne sont pas rigoureusement nuls, mais sont très-petits et de même signe, la différence tang A sin a — tang h' sin a' est aussi une quantité presque nulle ; son produit par t sera donc également négligeable. Il n'y a conséquemment que si h et h* étaient un peu grands que la différence des azimuts astronomiques différerait d'une quantité appréciable de celle des azimuts géodésiques ; mais pour les azimuts pris sensiblement dans l'horizon astronomique, onaa — a'=a| — a'|à moins d'un centième de seconde près.

Donc la différence entre les azimuts astronomiques obserfés aux deux extrémités d'une ligne géodésique est altérée d'une quantité a représentée par la formule (D), quantité que fera connaître la différence entre la différence réellement observée et celle que le calcul donnerait dans l'hypotbèse de la terre sphérique en partant de l'azimut de l'une des extrémités. En substituant pour a cette valeur dans l'équation (D), on peut en tirer la valeur correspondante de i.

Dans la formule (D) , Tazimut A| est Tazimut géodésique de la ligne géodésique au point de départ. Mais, cet azimut ne différant de l'azimut astronomique que d'une quantité du second ordre en i et par conséquent en kj tant que h est nul ou voisin de zéro , on voit qu'on peut substituer dans la formule (D) l'azimut astronomique connu du point de départ à l'azimut géodésique, qui est inconnu tant qu'on ne connaît pas k^ et cela à une quantité près du troi* sième ordre en i.

327, — Dans le calcul de la formule (D), nous avons supposé tous les points de la ligne géodésique de même niveau. Mais cette suppo* sition,que nous avions faite pour simplifierla démonstration, n'est pas nécessaire, et la formule (D) est exacte, même dans le cas où la ligne géodésique suivrait les aspérités du sol.

Pour le faire voir, nous remarquerons que dans la démonstra* tion de la formule (D) , la condition du niveau de la ligne géodésique n'est intervenue que pour nous permettre de négliger les termes en A'* et A"*, — h' et — h" étant la dépression d'un point vu du point contigu, parce que, pour des points de môme niveau, la dépression h est un infiniment petit du 1" ordre, ce qui rend A' du 2' ordre, et par conséquent égal à zéro.

L'expression générale de p est en effet, en négligeant les termes du 3"* ordre en t ,

p = -siniisiû2a,+itangAsina, +^sini taûg'Asin 2ai.

Or appelons toujours comme précédemment — h' la hauteur d'un point A^- , vu de A„, et — h" celle d'un point A»+, vu de A„, L'azimut géodésique de A„, vu de A„ est 180** + A„ ^ An P ou 180** + a, en posant A„«, AnP= a. Son azimut astronomique est donc 1 80* -4- a — pi , et comme l'azimut astronomique de A„+ , diffère de 180® de celui de A»-», il faut y ajouter P» pour le transformer en azimut géodésique, de sorte que l'azimut géodésique de An^.vu de A„est«-4-p,— pi.

Or nous aurons p, comme précédemment en remplaçant h dans l'expression générale de p par — A" et a, par l'azimut astronomique a — pi, ce qui donne

p, = isinitsin2(a— PO— «tangA"sîn(a— p.)

+ i sin • tang' A" sin 2 (a — p,).

GÉODÉSIE APPUQUÉE

d'où

Nous aurons ^i en remplaçant de même h par — h et Ot P^ 180*+ (a— p,), d'où

p, = 1 sîn \ i sîn 2 (a — p,) 4-« tang K sin (a— pj

+^ an t' tang* A' sin 2 (a— p,),

p, — p. = — «(tangA* +tang A'08in{a— p.) 4- 1 sin î sin 2 (a — p.) (Ung* A"— tang» A*).

Gela posé, considérons une portion de la ligne géodésique qui

se relève, de sorte que A« (fig. 51) est plus ^^ haut que A, . , , et A,+ , plus haut qne A„ et menons les normales en ces trois points. L'élément infiniment petit A« i A« A^^.! de la ligne géodésique peut être regardé comme se confondant avec sa tangente à des quantités près infiniment petites, et dès lors h'=—h" à une quantité près infiniment petite. *

Or, cette quantité infiniment petite est égale à l'angle de deux

normales consécutives, ou à • On a donc A'-h A"=

' cosa cosa

comme dans le cas où les points auraient été de niveau. En effet,

dans le triangle formé par deux normales consécutives et la ligne

qui joint les deux points où ont été menées ces normales, la somme

des deux angles de cette ligne de jonction avec les normales est

égale à 180*, moins l'angle des deux normales, qui est

AjmI

n«. SI.

cosa

et de

plus la sonune des deux angles A et A' est égale à la sonune des angles en question diminuée de 180*, puisque les angles A et K sont deux angles avec les perpendiculaires aux normales^ et non avec oes normales eUesHoièmes*

La différence est donc précisément égale à — — — ,etparcon-

dl

oosa

séquent, quel quesoit A', on a A' +h" =•

Dévdoppons maintenant sin (a— p.) et sin 2(a--^) dans la valeur que nous avons donnée ci-dessus pour ^ — p. , et remu^

quons que p, étant de Tordre i, on peut faire cos^i=l à des quantités près de Tordre t*. Or, comme le premier terme de la valeur de p, — p, est de Tordre t, et le second terme de Tordre i', ce remplacement de cos p, par Tunité est possible à des quantités près de Tordre f, que nous négligeons. Sin p, peut à plus forte raison être remplacé par p, à des quantités près de Tordre î'. En développant donc, faisant ces substitutions, mettant pour p, sa valeur et négligeant les quantités de Tordre i', et enfin substituant pour t* la valeur correspondante isint, il vient, en remarquant de plus que cos asina= ^ sin 2 a

p, — ft = — t ( tang /«' + tang A") sina

■4-^ sin t tang A" (tang h' + tang A") sin 2 a.

Or, de Téquation A' + A"=— — ontireA'=— A" —,

^ cosa cos a

d'où

tong A'=— tang /'a"+ — "^ =— tang A"— (l+tang* A") -li-. ^ ^ \^ cosay ^ '^ ' cosa

en négligeant les infiniment petits du deuxième ordre : donc

tang A' + tangA^s — (1 -4- tang* A") J^L;

cosa

en substituant, il vient, en remarquant que la substitution de

dl dl . 11 j . . .

tang par exige celle de « par sm t,

'^cosa cosa ° *^ '

p, — p^ = (1 + tang» A") sin t tang a dl

dl

— (l+tang* A'O sinUin t tang A" sin 2 a •

â cos a-

p^ — p^ étant un infiniment petit du premier ordre, on peut comme précédemment à des quantités pf es infiniment petites du deuxième ordre, remplacer a par a + p» — Pi ou par a. ; on a donc définitivement

p, — p, = (1 -4- tang* A") sin î tang a, dl

-— (4 + tang* h") un i sin t tang h" sin 2 a,

dl

2 ^ cos a,

Si on supposait les divers points de niveau, auquel cas A"=o, la

526 GÉODÉSIE APPUQUËE

formule se réduirait à ^ — p,=siiit tangage//, formule que nous avons employée pour la démonstration de la formule (D).

Mais si tang A", sans être rigoureusement nul, est de Tordre t\ on a également, en négligeant les termes du troisième ordre en iy

Pt — p. — sin t tang a, dlj

Donc la formule (D) ne cesse pas d'être exacte aux termes près du troisième ordre en i, que nous avons négligés pour l'obtenir.

Mais tang h" peut même n'être pas sans cesse de l'ordre t sur toute la longueur de la ligne géodésique, et cependant la formule (D) être encore exacte ; car d'abord le terme en sin 2a, étant multiplié par tang h"j change de signe avec l'inclinaison, et comme en passant par-dessus les aspérités du sol, h" change de signe continuellement , ce terme s'annulera sensiblement dans Tintégrale de ^, — ^,, et comme il est déjà du deuxième ordre en t, dans l'équation différentielle, il est complètement négligeable. Quelles que soient donc les grandeurs par oh passe A", on peut faire simplement p, — p, = sin t (1 + tang* h") tang a.rf/. D'un autre côté, comme il arrive dans le tracé des lignes géo-* désiques que h" n'atteint jamais que quelques degrés, tang 'A" est une quantité toujours très-petite et à peu près de l'ordre t. En faisant donc pa — ^, = sin i tang a. d/, on ne conmiet en réalité qu'une erreur du deuxième ordre en t, sur les points où h^ atteint ses plus grandes valeurs. Mais l'erreur sur l'intégrale ne serait du même ordre que si h" conservait toujours ses grandes valeurs sur la tots^ité de la ligne géodésique, ce qui n'a pas lieu, car souvent il s'annule ou au moins devient négligeable. L'erreur sur l'intégrale tombera donc beaucoup au-dessous des erreurs du deuxième ordre en t , et par conséquent on peut toujours considérer l'équation (D) conmie exacte aux termes près du troisième ordre, même quand la ligne géodésique n'est pas de niveau.

328. — Dans la pratique, on ne peut pas tracer sur la sur&oe du globe une ligne géodésique par points contigus ; on est obligé de donner aux lignes de visée une certaine longueur, et il en résulte qu'oo ne peut que placer une série de jalons distants les uns des autres, et dont on considère l'ensemble comme indiquant le parcours de la ligne géodésique. La différence entre cette manière de procéder et l'hypothèse de la contiguïté que nous avons supposée pour la

démonstration de la formule (D) consiste uniquement en ce que, dans le cas de la contiguïté, dl est un infiniment petit du premier ordre, de sorte qu'en négligeant son carré, nous ne négligions rien, tandis que dans le cas de la pratique, dl n'est pas infiniment petit; mais pourvu qu'on n'étfiJt)lisse qu'une faible distance entre les signaux consécutife^ de sorte que dl soit un très-petit arc, son carré sera négligeable, et en n'y ayant pas égard, on retombera sur la formule (D) . Cette formule, calculée dans l'hypothèse de la contiguïté, est donc applicable au cas de la pratique, pourvu que l'intervalle des signaux ne dépasse pas quelques centaines de mètres, de sorte que dl soit d'une fraction de minute. Si, dans la formule (D), on néglige les termes en t*, dl peut môme atteindre quelques kilomètres, et on a encore, aux quantités près de l'ordre t%

(E) sin a = 2ÎB-A» k ^5i^ sin (/« — /) sin (/« + /).

' cos ao cos / ^

Il est bon de noter d'ailleurs que l'écart entre les stations a pour effet de réduire les valeurs maximum de l'angle A, de sorte que la ligne géodésique tracée passant par les points culminants des inégalités du sol, ne suit pas, comme dans l'hypothèse de la contiguïté, la totalité des contours des inégalités du sol, conune pour descendre dans les plus grandes dépressions. Sous ce rapport, les conditions de la pratique rendent moins sensible encore l'influence du défaut de niveau de la ligne géodésique.

Supposons donc qu'en un certain point A on détermine la latitude /o6t l'azimut astronomique a d'un autre point voisin Â'^ choisi dételle sorte que cet azimut fasse un grand angle avec le méridien et avec sa perpendiculaire ; supposons ensuite qu'on se transporte au point Â', et qu'on place un signal en un autre point voisin et exactement opposé A'', c'est-à-dire dont l'azimut difière de ISO"" exactement de celui de A. Après quoi on se transportera en A" et on y placera un signal en autre point opposé A"', dont l'azimut diffère de ISO"" de celui de A', et ainsi de suite. Supposons qu'on soit arrivé enfin en un point Aq, où on s'arrêtera, et où on déterminera la latitude, que nous appellerons /, et où on mesurera par des observations célestes l'azimut astronomique du point précédent Ab .1. En retranchant 180^ de cet azimut^ on aura l'azimut du

528 GfM»>ÉSfE AFFUQUÉE

point, que, si nous avions continué la ligne, nous aurions appelé À. ^ I ; nous appellerons d cet azimut.

Gela posé, il est évident que si la terre était sphérique, les points A, Â', Â'', Â"'... Ab seraient sur un arc de grand cercle de cette sphère, et par conséquent Tazimut du point A. ^ i vu de A. serait donné par l'équation

cos/.

.1 ^VJ »o

cos/

sin a o = r^ sin a

en appelant d^ la valeur qu'il aurait alors.

Mais la terre n'étant pas sphérique, les points en question, au lieu d'un arc de cercle représenteront une ligne géodésique, et en appelant k l'aplatissement correspondant de la région considérée, l'azimut du point A.^| vu de A^, serait égal à l'azimut a. calculé dans l'hypothèse de la terre sphérique et en sufqposant l'azimut primitif A, au lieu de a^ A. étant égal à l'admut géodésique ou a-i- p, lequel azimut ^o serait augmenté de la quantité a donnée par l'équation (D). On a donc

sin «o = ? sm(a -h a).

cos I ^ • • /

Or pétant une quantité du deuxième ordro en t, pourvu que le niveau de A. diffère peu de celui de A , si nous n^ligeons provisoirement les quantités du deuxième ordre, nous pouvons poser

aux quantités près de cet ordre sin a^ = sin a'. = — r'sîntf,

et nous avons vu de plus qu'on peut remplacer A, par a dans l'équation (D) aux quantités près du troisitoae ordre.

Ayant donc calculé d.y on comparera la valeur à l'azimut ob* serve a', et la difleronce d — a'« qui devient alors une quantité connue est égale à a, qui se trouve ainsi connu.

Reportons cette valeur de a dans l'équation (E) qui n'est autre que la formule (D) dans laquelle on néglige le terme en i*, et remarquons que dans cette formule (E) on peut remplacer A, par a et €!• par a', aux quantités près du troisième ordre. H vient en faisant cette substitution et résolvant l'équation (E) par rapportait

. ^ sinacoso^ cosf

■~ sina co6<»sin(/o — /)8in(£,-|-//

et cette valeur de k est exacte à des quantités près du second ordre.

Si on veut avoir la valeur de A à des quantités près du troisième ordre, on pourra , à l'aide de cette valeur très-^ipprochée de k^ calculer l'angle % entre le zénith vrai et le zénith apparent pour le point de départ A. Â l'aide de cette valeur de % on calculera ^ qui est donné par la formule.

p = - (sin I i sin â ai+2 tang h sin a^ .

On connaîtra alors l'angle A, = a + p et l'équation sin a» = — j-sîn (a + p)= j sin A, fera connaître l'angle ««• Substituant alors pour k^ sa valeur approchée dans le terme en Af de l'équation (D), on aura numériquement la valeur de ce terme, que l'on retranchera de la valeur connue de sin a. Appelant m la valeur de sin a diminuée de celle du terme en A* et qui sera ainsi connue, on aura aux quantités près du troisième ordre

. m C06 Oo cos /

»== — : : : — : — rr r

ttcosap cosi

sin A, cos /« sin (/« — 0 sin (/« + 0

et comme les quantités du troisième ordre sont entièrement négligeables, on voit qu'on pourra regarder la valeur dé k comme exactement connue.

329. — Dans ce qui précède, nous avons supposé quelaligne AA. était exactement une ligne géodésique , c'est-à-dire que les points

consécutifs A, A', A" A» étaient exactement à 180"* les uns des

autres en azimut. Dans la pratique, cette condition est à peu près impossible à remplir. Mais heureusement elle n'est pas nécessaire

pourvu que les latitudes astronomiques des points A, A' A.

soient déte^^inées. D est bon toutefois^ à cause des erreurs possibles sur ces latitudes, que les divers points consécutifs soient presque opposés, c'est-ànlire qu'ils ne s'éloignent pas beaucoup de la ligne géodésique qui réunit les points extrêmes.

Pour le faire voir, soient (fig. 62) P le pôle, PA, PA'

PAn les méridiens des divers points A, A' A«.

Supposons qu'en tous les points A, A', A" A^ on ait déter-

miné la latitude, et qu'en A, on ait déterminé l'azimut astronomique PAÂ' de A', puis qu'en A' on ait mesuré l'angle azimutal AA'A", puis en A\ l'angle A' A" A"", et ainsi de suite jusqu'en A. où on détenninera l'azimut astronomique

* Aj|A,i«,.

Si la terre était sphérique , dans le triangle PAA', on connaîtrait les côtés PA et PA\ compléments des latitudes, et l'angle PAA' Fig. 52. mesuré. On en tirerjut donc l'angle PA'A

sîn PA dont le sinus est égal à . j^., sin PAA'. L'angle PA'A étant

° sm PA °

ainsi déterminé, on aurait l'angle PA'A", qui est égài à l'angle

mesuré AA'A" — PA'A. Alors dans le triangle PA'A", on aurait

les deux côtés PA' et PA", compléments des latitudes de A' et A"

etl'anglePA'A'', on pourrait donc calculer de môme l'angle PA"A,

d'où on tirerait l'angle PA"A', et ainsi de suite jusqu'à A^ , où on

aurait l'angle F A» A^ . ..

Mais la terre n'étant pas sphérique, tous les angles PA'A, PA''A', etc., sont un peu modifiés, de sorte que l'angle final PAn An ., déduit du calcul dans l'hypothèse delà terre sphérique, difière de l'angle PA,;Am.. réellement observé^ et nous allons faire voir que la différence est du môme ordre de grandeur que celle qu'on aurait obtenue sur l'azimut final de la ligne géodésique

kdd'cT o^., A»^ en calculant cet azimut dans l'hypothèse de

la terre sphérique, auquel cas la ligne géodésique se confond avec un arc de grand cercle.

En effet, en appelant toujours /« la latitude du point A et f la latitude du point A', /'' celle du pointW', et ainsi de suite, si nous prenons sur la ligne géodésique qui va de A à A^ le point a' qui a la môme latitude que A', et si nous appelons toujours Ai l'azimut géodésique de départ [de cette ligne au point A, nous aurons pour la différence entre l'azimut final de la ligne géodésique Ao', azimut calculé dans l'hypothèse de la terre sphérique, et l'azimut réel, une quantité a donnée par l'équation (D). De môme, pour le point d* de la ligne géodésique Ao'a" . . . . A» , qui a la môme latitude que A" , nous aurons également une différence donnée par réquation(D) en substituant à l'azimut géodésique A| au départ en A, l'azimut géodésique de départ qui a lieu en d^ et ainsi de suite; et c'est la somme

de ces déviations qui se reporte sur l'azimut final calculé dans

l'hypothèse de la terre sphérique^ et qui donne la différence ob-

senée en A«.

Or, si on considère la ligne géodésique menée de A à A', la

différence en A' entre l'azimut observé et celui qui aurait été calculé

dans l'hypothèse de la terre sphérique est également donnée par

la formule (D), et puisque nous supposons que les points A' et a

ont même latitude, les angles (/„ — /) et (4 + /) sont les mômes

dans les déviations a calculées par cette formule pour ces deux'

points; la même chose a lieu pour les valeurs du coefBcient

cos/

—7. Les deux déviations ne diffèrent donc qu'en ce que les azi-

muts en A des deux lignes géodésiques kci et AA' diffèrent un

sin A peu, ce qui change la valeur du coefficient î. Mais comme

^ ° COSOtt

nous avons supposé le point A' peu distant de la ligne géodésique

Aa'a'^....An, ies angles Ai diffèrent peu l'un de l'autre pour les

points A' et a', et il en est de même alors des angles a^^ puisque

cos/ Oo est donné par l'équation sin a^ = — j sin Ai , dans laquelle

cos/

— TT a la même valeur pour A' et a'. Donc les deux valeurs de

sin A

7r~ diffèrent peu. Il en est de même pour les lignes géodésiques

o'a" et A'A"iqui ont même différence de latitude à leurs extré^ mités, et dont les azimuts de départ ne sont pas non plus trèsdifférents , et ainsi de suite. La somme des déviations a sur la

hgne brisée AA' A" A» sera donc à la somme des déviations sur

la ligne géodésique Ao'o"..... A^, dans un rapport très-voisin de l'unité, puisque pour chaque portion correspondante, le rapport

sm A

entre les valeurs de • reste toujours voisin de l'unité pour

cos«o

les fragments Aj^ Aj^., et «itat-,. Donc la déviation totale sur l'azimut PAnA„ , sera à celle qui a lieu sur l'azimut de l'extré- ^té de la ligne géodésique AA^ dans un rapport très -voisin de l'unité, et cela d'autant plus que les rapports pour les divers ^agments de la ligne ont, tout en restant voisins de l'unité, été ^Qtôt plus grands, tantôt plus petits que sur la ligne géodésique. Ainsi on pourra, pour obtenir la valeur de A, substituer à la ligne

géodésique AA» une ligne brisée entre A et A^ , pourvu qu'on dét^mine les latitudes en chaque point de brisure et l'angle azimutalde brisure. On obtiendra alors la valeur de k avec le môme d^gré d'approximation que si on avait tracé la ligne géodésique elle-même. Remarquons de plus qu'en négligeant les termes du second ordre en kj chacune des déviations partielles sur un sèment de la ligne brisée est proportionnelle à k. Leur somme ou la déviation totale est donc proportionnelle à k^ comme dans le cas de la ligne géodésique.

330. — On voit donc qu'on pourra obtenir la valeur de k répondant à une région du globe, en déterminant les latitudes d'une

série de points A, A\ A'' An, et les angles azimutaux A A' A",

A' A" A", etc., ainsi que les hauteurs au-dessus de l'horizon de chaque point vu de l'autre, et enfin les azimuts astronomiques

des deux extrémités de la ligne brisée A A' A" An, c'est-à-dire

l'azimut astronomique de A' vu de A, et celui de An - , vu de A^.

Pour cela, on calculera, comme nous l'avons dit précédenmient, l'azimut astronomique de An , vu de Ag en partant de celui de A' vu de A dans l'hypothèse de la terre sphérique, et nous appellerons B la valeur obtenue ; puis on fera le même calcul pour un aplatissement arbitraire k (le mieux est de choisir l'aplatissement moyen de la terre). Nous appellerons B' la valeur ainsi obtenue; on aura alors aux termes près du second ordre, en appelant V l'azimut donné par l'observation

puisque les déviations sont proportionnelles à k. De cette pnqiortion on tirera une valeur de k exacte aux quantités près du second ordre. Nous verrons plus loin le moyen de l'obtenir aux quantités près du troisième ordre ; mais auparavant il faut que nous indiquions avec détails comment, dans l'hypothèse de l'aidatissement A', on calculera l'azimut de An-i vu de An à l'aide de celui de A' vu de A.

331. — Pour cela, nous corrigerons d'abord de la réfraction terrestre les hauteurs d'où chaque signal a été vu de l'autre. Cette correction est facile et nous allons indiquer le moyen de h faire. Soit h la hauteur au-dessus de l'horizon d'où le point A' a été vu de A , et h celle d'où A a été vu de A' {h! sera négatif si h est positif). Dans le triangle formé par le pAle et les deux

A hk GÉOGRAPHIE. 533

points A et A', calculons, à l'aide de leurs latitudes astronomiques et de Tazimut A' vu de A, Tare AA' dans l'hypothèse de la terre sphérique. Cet arc représenterait l'angle des deux normales en A et A', si la terre était réellement sphérique, et il n'en diffère que d'une quantité excessivement petite et négligeable à cause du peu de distance des points A et A.Le calcul se fait d'ailleurs par les formules (1) (3) (4) du n^ 319, formules qui donnent l'angle P. La règle des sinus qui convient dans ce cas, puisque A A étant très-petit est bien donné par son sinus, donne ensuite

. . . , sin F ces r

smAA = : y

sma

dans laquelle /' est la latitude de A' et a, l'azimut de A vu de A. Gela posé, soit A 0 (fig. S3) la normale en A et AO la normale en A. L'angle AO A ou l'angle des normales, que nous appelons fi, nous est donné par ce qui précède. En appelant hi la hauteur vraie de A vu de A, on a A' A 0 = 90" -i- Aj, et en appelant h\ la hauteur de A vu de A, l'angle A A 0 = 90* -i- h\. Or les trois angles du triangle sont ^aux à deux angles droits, on a donc

90» + A, +90° + A', + n = 180% ou

Mais le rayon lumineux, au lieu de décrire la ligne droite A A, a décrit la courbe AcA! h cause de la réfraction; A' a donc été vu trop haut de A d'une quantité (t égale à l'angle entre la tangente à cet arc et la corde AA, de sorte qu'on a A|=A — (a. De plus, A a été également vu de A, trop haut et d'une quantité égale à l'angle entre la tangente à l'arc AcA! ^<8. 53. et la corde A A, lequel angle est aussi sensiblement égal àfx, comme l'a fait voir M. Biot dans son Mémoire sur la réfraction. (Les différences que l'expérience a indiquées entre cette hypothèse et la réalité sont d'ailleurs d'un ordre tellement petit qu'elles ne peuvent introduire d'erreur dans le cas présent, même quand les observations n'auraient pas été simultanées, mais faites dans deux états atmosphériques différents.) On a donc h\:=h — (ji. Substituant ces valeurs de hx et A', dans l'équation A, + h\ + n =0, il vient

A+A'+ns=2[ji,

53& GËX)DÈSIE APPUQDËE

équation qui donne la valeur de {&, puisque hj h et n sont connus, et, par suite, on en tire les hauteurs i^es Ai et A'i, par les équations A,=A — (A et A'i=A' — (t.

332. — Les observations se trouvant ainsi ramenées à ce qu'elles auraient été sans la présence de Tatmosphère, on calcule, à l'aide de la valeur k' adoptée pour l'aplatissement, la valeur de l'angle t aux points A et Â', et on en tire les latitudes géocentriques 'o — *o9 1 — t^ des points  et Â'. Puis, à l'aide de l'azimut a et de la hauteur A, on calcule la valeur de p par les formules que nous avons données , et on en tire pour l'aplatissement supposé l'azimut géodésique a -h ^ de  vu de A'. Le triangle P A A' se trouve alors ramené à un vrai triangle sphérique dans lequel les cAtés PA et PA égaux aux compléments des latitudes géocentriques lo — h et t — iy sont connus ainsi que l'angle P A A', supplément de l'azimut géodésique a+ ^. On en tire donc l'angle P A' A par la règle des sinus , qui convient dans ce cas, puisque nous supposons que les azimuts choisis ne sont pas voisins de 90*. L'angle P A A + 180"* est l'azimut géodésique de A vu de A. A l'aide de la latitude r de A', de la valeur i de t et de la hauteur A'„ corrigée de réfraction, à laquelle A a été vu de A et enfin de l'azimut géodésique de A vu de A\ on calcule la différence ^ des azimuts géodésiques et astronomiques^ de sorte que 180^ + PA A — p'est l'azimut astronomique de A vu de A. (Si A\ est très-petit, la valeur de ^1 ainsi obtenue est exacte aux termes près du troisième ordre en t ; mais, si A'^ est grand, il est bon de calculer ^ une se» conde fois en substituant l'azimut astronomique donné par la première approximation de l'azimut géodésique, et on a ^' à une quantité près du troisième ordre : c'est cette nouvelle valeur de ^ qu'on emploie pour avoir l'azimut astronomique de A vu de A'.)

L'azimut astronomique de A vu de A' étant ainsi obtenu, on en retranche l'angle azimutal A A A" mesuré, et on a l'azimut de A vu de A. On se trouve alors, pour le triangle PA A', dans les mômes conditions qu'on se trouvait à l'origine pour le triangle P A A. On y corrige les hauteurs de la même manière de l'effetde la réfraction ; on transforme le triangle en triangle géodésique, et on calcule l'angle P A' A' ; on en tire de même l'azimut astronomique de A vu de A", et, en en retranchant l'angle A' A'^A", on a l'azimut de A*' vu de A". On peut alors calculer le triangle PA"A*, et ainsi de suite jusqu'au dernier, pour lequel on a alors dans

l'hypothèse de kz=ik l'azimut final deÂo.i vu de An. En le comparant à l'azimut obsenré et à celui qu'on a calculé dans l'hypothèse de la terre sphérique, on peut alors obtenir la valeur de k par la proportion du n^ 330 (1).

La valeur de A; étant connue, à des quantités près du deuxième ordre en i, on aura par la méthode de l'interpolation proportionnelle, cette valeur avec une approximation plus grande et atteignant jusqu'aux termes du troisième ordre, que nous avons négligés dans nos formules. Pour cela, on prendra deux valeurs de A, l'une un peu plus petite, l'autre un peu plus grande que la valeur obtenue par la première approximation , et on fera de nouveau successivement le calcul avec chacune de ces valeurs. En appelant alors B| l'azimut final donné par la plus petite des deux valeurs supposées , que nous appellerons k^^ , et B, l'azimut final donné par la plus grande que nous appellerons k^ , appelant toujours B" l'azimut observé, nous aurons pour trouver la correction X à appliquer à k^ pour avoir la vraie valeur de k la proportion

Ba— B, :K — k, :: B"— B, : j7, d'où

et A;. + ^ est la vraie valeur de k.

333. — Il est bon de rappeler ici ce que nous avons démontré dans le chapitre des parallaxes, à savoir que , dans le calcul des angles t entre le zénith vrai et le zénith apparent, il n'est pas néces* saire de tenir compte de l'altitude des stations au-dessus du niveau

(1) U importe de remarquer que dans ce cas les erreurs dans le calcul des réfractions sont sans influence sur le résultat, à cause de leur peu d'influence sur h^ lequel lui-même intervient si peu, à cause de la petitesse de ^, même pour de grandes yaleurs de h. Si donc on n'a pas mesuré les hauteurs réciproques, mais Tune d'elles seulement^ on peut faire \k =. 0,08 n, Texpérience ayant appris que le facteur 0,08^ assez variable d^ailleurs, convient à la moyenne des cas.

Ainsi, si du point A, par exemple, on a mesuré la hauteur apparente h de A', on diminuera h de la quantité 0,08 AO A', ou 0,08 n, puisque nous avons appelé n l'angle A 0 A', A 0 A' étant d'ailleurs calculé comme nous l'avons dit précédemment, et on aura la hauteur vraie ht de A' vu de A. On en déduira la hauteur vraie A' de A, vu de A' à l'aide de Téquation A|+ h'+ nz=zo dans laquelle h^ et n seront alors connus.

536 GÊODtSIE APPUQUÉE

de la mer. Ce calcul se fera donc en employant directement les latitudes astronomiques observées, et on aura les latitudes géodési- ^ues exactes en retranchant les angles t des latitudes mesurées. Mais dans le calcul effectué dans Thypothèse de la terre sphérique» les latitudes astronomiques observées doivent être diminuées de l'augmentation qu'elles subissent par l'effet de l'altitude sous l'influence de la rotation terrestre^ augmentation qui , comme nous l'avons vu dans le chapitre des parallaxes, a pour expression, en appelant H la hauteur de la station au-dessus du niveau de la mer et R le rayon terrestre moyen,

sin2/H i sinrR288*

Mais, en général, cette correction est négligeable ; elle ne devrait ôtre prise en considération que pour de très-grandes valeurs de H, comme nous Tavons déjà vu en la démontrant. En ai^liquant la correction que nous venons d'indiquer, les résultats deviennent complètement indépendants de l'altitude des stations employées, aussi bien pour les stations extrêmes que pour les stations centrales.

334. — Le seul inconvénient qu'il y a pour la détermination de la valeur de A à ce que les points A, A', A" ... A» ne soient pas sur une même ligne géodésique, c'est que les latitudes des points intermédiaires A', A" . . . Aq.. interviennent dans le calcul de la valeur de A;, tandis que, dans le cas où les points sont sur une même ligne géodésique , nous avons vu que cette valeur s'obtient sans avoir 4gard aux latitudes des points intermédiaires, dont elle est alors indépendante. Or, dans la détermination des latitudes des points intermédiaires, on commet de petites erreurs d'observation, et en outre les attractions locales elles-mêmes introduisent, en modifiant la direction de la verticale, de petites anomalies indépendamment des erreurs d'observation. La valeur de A: se trouve donc modifiée par ces petites erreurs. Mais heureusement, pourvu qu'on choisisse les points A', A" . . . Aa.xde manière à s'écarter peu de la ligne géodésique de A à Ag , ce qui a lieu si les points consécutifs , au lieu d'être rigoureusement opposés en azimut, ne font entre eux en les comptant dans le même sens que des angles voisins de 180", tantôt en plus, tantôt en moins, les erreurs

sur les latitudes intermédiaires^ quelle que soit leur origine» n'influent pas sensiblement sur le résultat.

En efiet, les déviations de la verticale ne modifient pas sensiblement sur les azimuts, car elles n'atteignent jamais que quelques secondes, et elles sont très-petites par rapport aux valeurs maximum de l'angle i qui, connue nous l'avons vu, en passant des azimuts astronomiques aux azimuts géodésiques, n'influe lui-môme que d'une fraction de seconde à ses valeurs maximum. Une déviation de 10", ou 70 fois moindre environ que la valeur maximum de i, ne ferait donc sur les azimuts astronomiques qu'une différence de moins d'un centième de seconde, si h est petite comme il arrive dans les opérations, et cela quel que soit d'ailleurs le sens de cette déviation. On peut donc considérer que les déviations de la verticale, aussi bien dans le sens du méridien que dans le sens perpendiculaire, ne modifient pas les azimuts observés , tant que A est petit, et il est toujours facile de choisir des stations de manière à satisfaire à cette condition.

Les azimuts n'étant pas modifiés, les déviations de la verticale par les attractions anormales n'agissent sur le calcul que par une modification des latitudes, et par conséquent de la même manière que les erreurs d'observation. Or, si une latitude d un des points intermédiaires est supposée trop grande par exemple, sa différence avec celle du point précédent sera trop petite et, avec celle du point suivant, trop grande de la même quantité. Dès lors la formule (D) appliquée entre ce point et le point précédent donnerait pour a une valeur trop petite; appliquée entre le môme point et le point suivant, elle donnerait une valeur trop grande à très-peu près de la

cos/ siniV

môme quantité, pourvu que — f ■' sin (4+/) y conserve sen-

cos * cos a^

siblement la môme valeur, ce qui aura lieu si les trois points sont presque en ligne droite, et ce qui aurait exactement lieu s'ils étaient sur la môme ligne géodésique. Il y a donc compensation des trè&-petites erreurs introduites par les latitudes des points intermédiaires, s'ils sont placés dans le voisinage de la ligne géodésique de A à An, de telle sorte que les angles formés par trois d'entre eux soient toujours voisins de ISO**. Il faudra donc, autant que possible, satisfaire à cette dernière condition, si on se propose d'obtenir par la méthode que nous venons d'indiquer la détermination de la valeur de kj et alors la valeur obtenue sera

538 GtODÈSIE APPUQUtE

indépendante des déviations de la verticale aux points intermédiaires. EUe sera indépendante également des déviations de la verticale 9 c'est-à-dire des attractions locales dans le sens perpendiculaire au méridien pour les points extrêmes. U n'y aura que les déviations dans le sens du méridien qui, affectant les latitudes des points extrêmes, pourront avoir une influence dans le calcul. Mais Terreur résultante sera elle-même du deuxième ordre. En effet, supposons qu'on ait mené une ligne géodésique entre les points A et An, la déviation a en A^ sera donnée par l'équation (D), dans laquelle l'arc /« — / sera toujours un arc de plusieurs degrés ; une erreur de quelques secondes sur cet arc et sur l'arc beaucoup plus grand /» + / est la seule erreur que les erreurs des latitudes extrêmes puissent introduire. Or, en mettant pour a sa valeur déduite de l'observation, l'erreur sur k sera, par rapport à la valeur de k, de l'ordre de l'erreur sur /« — /, c'està-dire de l'ordre de 1" ou 2" par rapport à un degré, ou de 37^ à j^ de la valeur dé k. Donc on peut considérer la valeur de k comme complètement indépendante de toutes les déviations de la verticale par les attractions anormales même aux points extrêmes.

Il est encore bon de remarquer que s'il existe beaucoup de points d'observation entre A et A., les déviations des latitudes intermédiaires parles attractions anormales, ainsi que les erreurs sur les latitudes, tendraient à se compenser les unes les autres quand même les divers points ne seraient pas dans le voisinage de la ligne géodésique menée de A à «, et il en résulterait que l'erreur restante serait à peu près du même ordre que l'erreur sur les latitudes extrêmes dans le cas de cette ligne géodésique. Ainsi, bien qu*0 soit préférable de choisir les stations dans le voisinage de cette ligne, des stations intermédiaires quelconques pourraient encore conduire à une valeur de k qu'on pourrait regarder comme indépendante des déviations anormales de la verticale par les attractions locales.

335. — Considérons deux points A et A' visibles l'un de l'autre quoique très-éloignés. Aiqpelons toujours /« la latitude de A, t celle de A! et a l'azimut de A' vu de A.

Si la terre était sphérique, l'azimut de A vu de A' serait, eo l'appelant ISO*" + a» donnée par l'équation

C08 /« ^. ' smao= résina.

A LA GÉOGRAPHIE. 5Sd

Mais avec l'aplatissement A, cet azimut, en appelant t» et t* les angles aux points  et Â' entre le zénith vrai et le zénith apparenty serait, en l'appelant 180 + Oi , donné par l'équation

Cherchons, aux termes près de l'ordre k*, la différence a, — a», différence que nous appellerons a. Et remarquons d'abord que, comme nous l'avons vu précédemment ,

cos{lo-q c^ 52i^-sin(;,-f)sin{/,+0,

cos (/ — f ') cos / cos / ^ ' ^ '

et que ^1=^0 + «, de sorte que sin (^i + P') = sîn a^ + cos ao sîn a + cos ûo sin P' et sin (a + Po) = sin a + cos a sin p©. On a alors

sin ùo + cos ao sin a = S^^sina+U ^^ sin (/o— Osin (/o+O sin a

+ ^^^y.^^°~^y cos a sin po — sin p' cos ap.

Or, si A est petit, po et p' peuvent déjà être regardés comme du second ordre en s. De plus, ils sont presque égaux, cos a dif-

cos (l ^^ f ^

(Ôre très-peu de cos a^ et — 7^ — ^ diffère peu de l'unité. Donc

^ cos (r — I ) "^

— ^.J?~ ^1 cos a sin po — cos a sin p' peut être regardé comme

sensiblement nul, et certainement il est au plus du second ordre en k*. Nous pouvons donc le négliger et en ayant égard à ce que

sin «o = Ti sin a, il nous viendra

cos /

sin a = z . K

sin a « cotlo ... m • /# . m

* z sin (/o— 0 sra (/o + 0*

cosco cosr ^ f \^ f

C'est-à-dire que la déviation observée sur la visée directe de Â' à A sera, aux termes près du second ordre, termes qui sont presque nuls, double de ce qu'elle aurait été sur le dernier élément de la ligne géodésique menée de  à Â^

Il y a donc un grand avantage à substituer les visées directes entre deux points très-éloignés à la ligne géodésique qui les joint,

et par là on augmente à la fois la précision du résultat et la simplicité de Topération.

Si entre deux points A et An éloignés de S à 6"" en latitude, on peut, en quatre ou cinq visées, relier A» à A par une chaîne combinée d'azimuts et de latitudes, les termes du second ordre négligés entre les points deux à deux ne se trouveront répétés que quatre ou cinq fois. Par conséquent, ils n'atteindront pas encore une valeur appréciable et pourront continuer d*6tre négligeables.

La déviation finale sur Tazimut du dernier point déterminée par la méthode que nous avons donnée sera donc sensiblement double de celle dont nous avons obtenu l'expression. On voit donc qu'on n'a pas avantage à suivre la courbure de la ligne géodésique, et qu'en appliquant à de longues visées la méthode que nous avons indiquée, on arrivera à déterminer^ A; avec une approximation à peu près double de celle que nous aurait donnée la ligne géodésique, puisque les différences entre l'azimut observé à l'extrémité de la ligne brisée et l'azimut calculé dans l'hypothèse de la sphéricité de la terre seront doublées et atteindront, par conséquent (pour l'aplatissement moyen de ôtt» 9 au quarante-cinquième parallèle, pour

une différence de K"" en latitude,et pour des azimuts d'environ 48*), jusqu'à l'40'', et pour un aplatissement deux fois plus fort, comme celui delà France, jusqu'à 3' 20''. On voit donc avec quel degré remarquable d'approximation la valeur dek pourra ôtre obtenue. L'emploi des azimuts pour déterminer la valeur de k par les procédés que nous avons indiqués est préférable à la mesure directe des arcs de méridien et de parallèle, car le résultat est indépendant des attractions locales même pour les points extrêmes. Il n'en est pas de même pour les arcs de méridien et de parallèle, pour lesquds l'influence des erreurs d'observation et des déviations de la verticale sur les différences de latitude ou de longitude des extrémités de l'arc mesuré se portent en entier sur la valeur qu'on attribue aux arcs en question, puisqu'on suppose que la mesure obtenue s'applique à un arc trop grand ou trop petit d'une quantité précisément égale à ces erreurs. De plus, comme précision, les azimuts, même abstraction faite de cet avantage, remportent encore sur la méthode de comparaison des arcs de méridien et de parallèle, et ils ont encore l'avantage d'une simplicité d'observation remarquable et de la suppression de la nécessité de mesurer des bases,

A Lk GÉOGRAPHIE. 5&I

chose qui n'est pas toujours possible, du moins dans les pays trèsaccidentés.

336. — Lorsque les latitudes d'une série de points A, A', A" . . . Au ont été déterminées, ainsi que Tazimut de A' vu de A, et la série des angles azimutaux A A' A", A' A" A'", A" A*' Axy, etc., nous avons déjà vu, en traitant de la détermination de A;, comment on obtient les azimuts de A" vu de A', de A'" vu de A" et ainsi de suite, qu'on calcule alors avec la vraie valeur de k. Dans chacun des triangles PAA', PA' A'', etc., on peut donc déterminer, par la méthode que nous avons exposée dans le n^ 319, les angles P, ou les différences de longitudes des points A et A', A' et A", etc., et par suite les différences des longitudes des divers points A', A". . . • An avec A. Ces différences de longitude ainsi ob* tenues sont indépendantes des déviations de la verticale dans le sens perpendiculaire aux méridiens, aussi bien que les azimuts qui les ont donnés. Elles seraient aussi indépendantes des déviations dans le sens des latitudes, si ce n'est que les latitudes entrant dans le calcul et étant affectées par ces déviations, les influences en question se reportent par là sur les différences de longitude. Mais si par les méthodes que nous exposerons plus loin, on corrige les latitudes des influences des attractions locales, les longitudes calculées, comme nous venons de le dire, en sont complète* ment indépendantes.

On voit donc que si une opération du genre de celle que nous venons d'indiquer était faite dans un pays bien pourvu de télégraphes électriques, et si on déterminait avec précision par des observations astronomiques les différences des longitudes entre le point A et les points A', A''. . . . A„, la différence des longitudes astronomiques ainsi obtenues et de celles qu'on déduirait du calcul que nous avons indiqué ferait connaître en chaque point la différence des déviations de la verticale dans le sens perpendiculaire aux méridiens, au point A et à chacun des points A', A". . . •

An»

Si donc du point A , on faisait dans divers azimuts une chaîne d'opérations comme celles que nous avons indiquées, par exemple dans les azimuts de 43"", 135^,225* et 31S^, on aurait, en supposant nulles les déviations en tous les points, sauf en A, une série de valeurs de la déviation en A, dont la moyenne pourrait être regardée comme la déviation au point A, par rapport à son

542 GËODËSœ APPUQUÊE

vrai méiiâien détenniné par la courbure de l'ensemble de la région considérée.

A défaut de rélectricité pour déterminer les différences des longitudes, les signaux de feu pourraient être employés ; mais le moyen est beaucoup moins exact.

337. — Dans toute la théorie qui précède, nous avons considéré la terre comme un ellipsoïde de révolution. Si elle était un ellipsoïde à trois axes, ou mieux encore, comme elle est réellement, un sphéroïde avec beaucoup d'irrégularités dans sa courbure, ce qui précède est également applicable ; seulement la valeur de k ainsi obtenue s'applique à l'elÛpsoîde de révolution osculateur à la régioa considérée. Pour le faire voir, supposons en effet que Téquateur soit une ellipse et prolongeons le méridien des points A et A. jusqu'à l'équateur. Ces plans méridiens sont normaux à Téquateur et à la surface terrestre aux points A et A„. Si l'ellipsoïde était de révolution, ils se couperaient suivant l'axe terrestre ; s'il n'était pas de révolution, ils se couperaient suivant une autre ligne perpendiculaire à l'équateur. Du point où cette ligne rencontre l'équateur, point que nous appellerons G et qui sera différent alors du centre de la terre, menons les rayons vecteurs G A et G An qui font avec l'équateur des angles que nous considérons alors comme la latitude géodésique des points A et An (laqudle latitude n'est plus géocentrique). Menons dans le méridien de A. une ligne GA' ^ale à G A, et &isant avec l'équateur l'angle égal à la latitude géodésique de A, le point A' sera alors le rabattement du point A sur le méridien de A.. Par les points A et A' menons alors une ellipse dont le centre soit en G, et l'axe sur l'équateur (ce sera le grand axe à cause de l'aplatissement réel de la terre). Une ellipse dont le centre et la direction des axes sont connus, est définie par deux points. Notre ellipse est donc bien définie. Supposons alors qu'elle tourne autour de son petit axe qui passe parle centre G et qui est perpendiculaire à l'équateur. En tournant, cette ellipse décrira un ellipsoïde de révolution qui passera par le point A , et cet ellipsoïde de révolution se confondra à cause de la petitesse de l'arc A An avec la surface terrestre dans cette région. Donc, dans notre opération, nous pouvons supposer que la terre est l'ellipsoïde en question dont nous déterminons l'aplatissement k par les formules que nous avons données.

On voit donc que toute la théorie que nous avons exposée est

A LA GtOGRAPRIE.

indépendante en réalité de toute hypothèse sur la forme de l'en* semble de la terre. Supposons maintenant que l'opération que nous avons indiquée soit faite sur diverses parties d'un même méridien, la moyenne des valeurs de k sera l'aplatissement moyen de ce méridien.

Supposons que l'aplatissement soit ainsi déterminé sur plusieurs méridiens. Si les valeurs de l'aplatissement sont égales sur tous, alors la terre est dans son ensemble un ellipsoïde de révolution. S'ils diffèrent, l'ellipticité dans le sens de l'équateur est manifeste et peut être focilement déterminée. Outre la forme générale et d'ensemble, on posséderait en outre la connaissance des anomalies qu'elle éprouve dans les diverses régions explorées.

Ainsi donc, sans la mesure d'aucun arc de méridien ou de parallèle, on peut arriver à une connaissance exacte de la forme de la terre, par de simples déterminations de latitudes et d'azimuts astronomiques et cela avec plus de précision que par les mesures elles-mêmes de méridien et de parallèle.

Résolution des triangles géodésiques.

338. — Supposons qu'on ait déterminé la latitude des deux points A et A' (fig. 54), l'azimut de A' vu de A et les deux angles A"AA', A"A'A d'un troisième point A" avec les points A et A' ainsi que les hauteurs auxquelles chaque point est vu de l'autre, et proposons-nous d'en déduire la latitude du point A", et sa différence de longitude avec A.

Nous pouvons d'abord ramener le triangle AA'A'', à un triangle sphérique, en prenant en place des latitudes astronomiques /« et / de A et de A', leurs latitudes géodésiques /« — t,,, / — t', tp et i' étant des quantités que nous savons calculer quand nous connaissons 4 et fo* Nous substituerons aussi à l'azimut astronomique a de A' vu de A, l'azimut géodésique correspondant a H-p, que nous appellerons a,, p est connu et donné par les formules que nous avons déjà exposées. Gela posé, par les formules (1), (3), (4) du n^" 319, nous déterminerons l'angle P, différence de longitude entre A et A', et nous en déduirons

l'arc  Â' par la formule des sinus, applicable dans ce cas, puisrque cet arc est très-petit. Cette formule nous donne sin AÂ' =

— — ços^j---«j^ jj^^g obtiendrons l'azimut géodésique a'. de A sin a

vu de A' par ]a formule

. , cos (/o — «o) •

Si l'arc a\ était voisin de 90*", cette formule ne le donnerait pas avec précision, mais comme on connaît maintenant les trois côtés du triangle PAA', on a aussi o', par la formule

, , cos^(/o + r-«'o-<^4-S)sini(8+f-/o+t;-0 ^ ^ *~ sin^(a4-/o— f +»'— to)cos4 (/p+ /' — to — r— «)'

en appelant $ l'arc AA' qui est connu.

L'azimut géodésique ISO"" + a\ étant connu, on a l'azimut astronomique correspondant en calculant la valeur p. correspoDdante de p, et 180'' + a'. — ^i est l'azimut astronomique. En y ajoutant l'angle observé AA'A'', on a l'azimut astronomique de A!' vu de A'. On calcule la valeur correspondante de p, et en l'ajoutant avec son signe à l'azimut astronomique, on a l'azimut géodésique de A" vu de A'. La différence entre les azimuts géodésiques connus de A'' et de A vus de A', est alors l'angle AA'A" ramené au triangle sphérique. Nous appellerons 9' cet angle.

Nous ramènerons de même l'angle A' AA'' à ce qu'il doit être dans le triangle sphérique, car , connaissant l'azimut astronomique de A' vu de A et l'angle mesuré A' A A'', on en tire l'azimut astronomique de A'' vu de A. On calcule les valeurs de ^ qui correspondent aux azimuts de A' vu de A et de A" vu de A, et en ajoutant ces valeurs à ces azimuts, on a les azimuts géodésiques correspondants, dont la différence est dans le triangle sphérique l'angle cherché A'AA" que nous appelons f .

Le triangle AA' A" se trouve donc ramené à un triangle rigoureusement sphérique, dans lequel on connaît le côté AA'= j et les angles A'AA"=?et AA'A"^9'. Proposons-nous de trouver lecôtéAA"=*'.

De A, abaissons l'arc perpendiculaire AD sur A'A'\

Dans le triangle ÂA'D nous aurons, en posant l'angle DAA' = OetDAA"=6',

cotO =:tangf'cos$.

Cette première équation nous fait connaître 0 dont la valeur étant fournie par une cotangente est bien donnée. On a ensuite

(p = 6 + e' d'où 6' = (p— 0,

équation qui nous fait connaître V qui peut être négatif. Maintenant, dans le triangle rectangle DAA', on a

tang AD = tang B cos ^, et dans le triangle DÂÂ"

tang AD = tang AA" cos V ; égalant les deux valeurs de tang AD, il vient

tangAA"=tangS^,

équation qui nous donne le c6té AA'' par sa tangente, c*est-à-Klire dans de bonnes conditions, quelle que soit sa grandeur.

Le côté AA'' étant ainsi déterminé, on connaît dans le triangle PAA" le côté PA=90'— (/o— lo), le côté AA"=y et l'angle PAA" ou l'azimut géodésique m de A'' vu de A, diminué de 180% si A" est à l'est de A. On connaît donc deux côtés et l'angle compris. On a coDséquemment le côté PA'', par la formule générale

ou

ou

cos F A" = cos 8'sin (/o— »o) + sin fi' cos (/« — ù) cos m, cos F A" = sin [U — ù + S') — 2 sin ^ cos (/« — U) sin» -J m,

1— sin(to— to-4-fiO+2sinycos(/o — to)sin4m î + sin (/o — to 4- ô') — 2 sin 5' cos(/o —Ù) sin* i m*

ou encore

cos» [45»— i (/o— lo + «')] — *»n ^' cos (/«— lo) sin» im'

ÔA6 GÉODÉSIE APPLIQUÉE

équation qu'on rend facilement propre au calcul des logarithmes en divisant le numérateur et le dénominateur du second membre par sin [45»— ^4 — Ù + S')] cos [45«— | (/.— t, + *')] et en posant

2 sin y cos (/q -io) 8in4m

cos(/o~io+ô') --^^«Y, et il vient

tang^P A" = tang[45*'— 4(/o- to+«0 + y] *^8 [48«— è{'o— i.+«')]

On peut aussi, au lieu de la transformation précédente, employer les autres transformations de la formule générale que nous avons eu occasion d'indiquer précédenunent.

Le côté PÂ'' étant ainsi connu, son complément est la latitude géodésique de A". Maintenant, dans le triangle P A A", on a

. n sin S' sin m sm P = « . p.;r y sm PA

ce qui fait connaître la différence de longitude de A et A!\

Dans le triangle P A A', où on connaît les trois côtés, Tangle P A" A peut être obtenu par sa tangente, comme nous Tavons indiqué précédemment, et on en déduit Tazimut géodésique de A vu de A\ Si on voulait celui de A' vu de A", on remarquerait que dans le triangle PAA" on connaît PA et PA', et que Tare A A' est donné dans le triangle A A' A' par Téquation

5inA'A'' = !ÎÎLl^îlAil',

smtp

et connue A A" est un petit arc, sa valeur est bien donnée par son sinus. (On aurait pu d'ailleurs déterminer primitivement l'arc A A", au lieu de l'arc A A".) Alors dans le triangle P A'A'', dont on connaît les trois côtés, on a facilement l'angle PA"A, et par suite l'azimut géodésique de A' vu de A".

De la latitude géodésique de A^, on peut tirer la valeur de la latitude astronomique. En effet, en appelant l la latitude géodé^ sique d^un point et / sa latitude astronomique, on a

/^ = /— t et i=Asin2/-h}**sin4/.

i étant très-petit, on a sa valeur par une première approxima-

A h^ GÉOGRAPHIE. bip

tion en remplaçant / par /' dans son expression ; on a alors une valeur très-approchée de «, et on en tire une valeur très-approchée de/, qui est l=::P +t; substituant cette nouvelle valeur pour / dans l'expression de i, on a la vraie valeur de i avec une approximation suffisante, et on en tire la vraie valeur de /•

Les azimuts astronomiques se déduisent ensuite des azimuts géodésiques en calculant les valeurs de ^ correspondantes. Ainsi, on a la latitude astronomique de A'', sa différence de longitude avec A et A', et les azimuts de A et A' observés de A". La hauteur du point A, vu de A", a d'ailleurs été donnée par l'équation

dans laquelle h est la hauteur connue de A'' vu de A, et h! la hauteur. cherchée de A vu de A", et 8 l'arc A A". On a de môme la hauteur de A', vu de A", par une équation semblable. (Tl va sans dire que les hauteurs de A", vu de A et de A', ont été corrigées de la réfraction par la méthode abrégée que nous avons donnée.)

339. — Si nous considérons une suite de triangles AA'A", A'A"A", A"A'"A,^, etc. (fîg. 55), il est évident que si on a déterminé les latitudes de A et A', Tazimut de A' vu de A (azimut que nous supposons n'être pas voisin de 90*), et les divers angles A'AA", A A' A", AA"A'", A'' A' A'", etc., on peut, par la mé- fL< thode qui précède, obtenir les latitudes de tous les sommets A", A'", A^^, A^, etc., et leurs différences de longitude avec A, ainsi que les azimuts astronomiques de tous les côtés de ces triangles. En effet, la résolution du premier triangle A A' A" nous fera, d'après ce qui précède, connaître la latitude de A", sa différence de longitude avec A, le côté A' A" (qui peut être sans inconvénient voisin du premier vertical) et l'azimut de A' vu de A"; et comme la latitude de A' est connue, on voit que le second triangle est autant, connu que le premier l'était à l'origine. On peut donc le résoudre et obtenir la latitude de A'*' et sa différence de longitude avec A" et par suite avec A', le c6té A" A'" et l'azimut de A'" vu de A, ce qui permet* tra de résoudre le troisième triangle, et ainsi de suite. On arrive

5&8 GiODÊSIE APPLIQUÉE

ainsi de proche en proche à connaître les positions géographiques de tous les sommets des triangles, et il est bon de noter qu'il a suffi pour cela de mesurer seulement deux angles de chaque triangle.

340. — Si Ton a mesuré les trois angles dans chaque triangle, il n'y a qu'avantage, parce qpie les erreurs d'observation peuvent 6tre réparties entre les angles, conmie nous allons le faire voir, et de plus on peut simplifier la résolution des triangles en les r^ardant comme rectilignes. Pour le montrer, nous allons rappeler ici la remarquable démonstration, due à Legendre, au sujet d'une propriété très-curieuse des triangles sphériques à côtés très-petits.

Considérons un triangle sphérique dont nous appellerons a, by c les côtés et A, B, Clés angles (fig. S6). On a l'équation

cos c = cos a cos 6 +sina sin b cos C,

JL

ou

cosc — cosacos&=sinasin&cosC.

Substituons aux sinus et cosinus de a, 6, e leurs à développements en fonction des arcs, qui sont, en Fig. 50. négligeant les termes du cinquième ordre en a, é, e,

• iw û* • • ■« M o* • ,1» . a* sin*!"

sma = asinl"-- -- smM" cosa = l— — «n i H st — y

et des expressions analogues pour les sinus et les cosinus de & et de e. Le sinus de V est introduit dans les formules parce que nous supposons a, b, c exprimés en secondes, et alors a sin 1^', b sin i", c sin 1'' sont les valeurs de a, 6, c en fonction du rayon, valeurs qui doivent entrer dans les développements.

En effectuant les substitutions, développant les produits, et négligeant les ternies du cinquième ordre en a, 6, c, il vient en divisant par sin' 1"

abli— ^ sm» 1 " j cos C = ^ S.

En multipliant les deux membres par

sinM".

A LA GtOGRAPHIB. 5i|9

et remarquant que

^l 2l+*:smM")(l4-2l+^iaM")

en négligeant les termes en sin M", il vient

a» -f- ft* — c»

ab cos C =

+ 5j sinM',

cosC = . \^ ■ h ^^ — i — -^-4 smM".

Cela posé, concevons un triangle rectiligne À' B' G' formé des côtés a, b^ c ayant même longueur que ceux du triangle courbe, c'est-à-dire dans lesquels nous prenons pour unité de longueur l'arc del^'en fonction du rayon multiplié par la longueur du rayon de la sphère, sur laquelle était inscrit notre triangle sphérique. Pour déterminer l'angle G' nous avons

d'où

cos» C'=l — sin" C = (g'+ft* — g')'

d'où encore

— 4 o» ft*8in*C' = (o' 4- *• — C'Y — Aa* b\

Or le second membre de cette équation est précisément le numérateur de la deuxième firaction de l'expression de cos G. Par conséquent cette deuxième fraction est

donc on a

(0*4- 6* — c')*— 4 g* 6' ab sin* C . 24 aé ~ 6 '

casC = cosC'-î^$l^'8inM".

Or, si du point A' on abaisse la perpendiculaire A' D sur B' G\

560 GÉODfiSOB AFniQCÈE

^ A' Yl

onaA'D:=6smG'9etlasiirGuxSdutriaDg^est^aleà ^ >

oa^abàn C',donc

co6G=oo6C— I Ssm* rsinC.

Posons maintenant

nous aurons

oosC=soosC — sinS sinC,

en faisant oos ^ = 1, c'est-à-dire en n^Iigeant les termes de Tordre i\ Si on égale cette valeur de cos C à la précédente, on en tire

et comme an ^ = ^ sin i"

d==JSsmr.

Tdie est l'expression de la différence entre l'angle du triangle sphérique et l'angle correspondant du triangle rectiligne à oMés égaux.

Cette expression est une fonction symétrique des cAtés a, bj c. La valeur de ^ est donc la m&ne pour les trois angles; pareonséqurat on a

C=C + iSsml", B = B'4-iSsînr, A=A'+i Ssinr.

En Eadsant la somme de ces trois équations et remarquant que dans le triangle rectiligne A' + B' + C = 180*, U rient

A-hB +0= I80» +Ssin i",

expression dans laquelle S sin 1" rqirésente un nombre défini de secondes. En dfet, les o6tés a, i, e du triante étant exprimés eo secondes, S est le produit de deux nombres de secondes ; son produit par sin 1", représente doue directement un nombre de secondes.

Ainsi la somme des trois angles de tout triangle qihérique à petits côtés surpasse i80* d'une petite quantité dont l'expression est S sin 1". Cette quantité est ce qu'on a^peUe F excès sphé^ rique.

34 1 •<— De plus, on peut toujours former un triangle rectiligne dont

les côtés sont égaux à ceux d'un triangle sphérigue inscrit sur une sphère de rayon donné. Dans ce dernier triangle, les angles sont chacun plus grands que leur correspondant dans l'autre d'une quantité égale au tiers de l'excès sphérique. Ainsi, si on retranche le tiers de l'excès sphérique de chaque angle mesuré dans le triangle sphérique, on peut ensuite traiter ce dernier comme un trian • gle rectiligne.

Cela posé, supposons qu'on ait mesuré les trois angles d'un triangle  Â' A'' à la surface de la terre supposée sphérique ; faisons la sonmie de ces trois angles, elle surpassera 180® d'une certaine quantité qui serait rigoureusement égale à l'excès sphérique, si les trois angles avaient été rigoureusement mesurés. Mais s'ils renferment des erreurs, la somme sera égale à 180'' + l'excès sphérique -f- la somme des erreurs, ou 180® 4- «, en appelant a la somme de l'excès sphérique et des erreurs, somme qui sera ainsi connue. Si nous voulons répartir ces erreurs également sur les trois angles, en considérant les erreurs comme égales sur chaque angle, ce qui est ce qu'on peut supposer de plus probable, on voit qu'on transformera le triangle en triangle rectiligne en retranchant de chaque angle observera, puisque l'excès sphérique se répartit également sur les trois angles, comme nous voulons le faire pourlasomme des erreurs.

Ainsi, dans le triangle A A' A'', en appelant f, l'angle A' A A" ainsi corrigé, (f\ l'angle AA'A" également corrigé et ^'\ l'angle A A" A' corrigé, et nommant toujours^ le côté A A' {8 représentant un nombre de secondes), on a

Xk" = B'^ A'A" = 5?lMi,

sin ç , sm «p ,

et on aura ainsi très-simplement les côtés A A" et A' A" directement exprimés en secondes, dans la condition de probabilité la plus favorable pour le minimum d'erreur provenant des erreurs commises sur les angles.

C'est de cette manière que les triangles de la série AA'A", A' A" A'", etc., doivent être résolus si tous les angles ont été mesurés. Pour une extrême exactitude, les angles A' A A'' et A A' A'' ont dû d'abord être ramenés à la sphéricité parfaite du triangle au moyen des valeurs de ^, conmae nous l'avons indiqué, et après le premier calcul et après avoir déterminé les azimuts

552 GËODËSŒ APPLIQUÉE

très-approchés de A et A' vus de A", on calcule les valeurs de p correspondantes, et on en tire la très-petite correction qui ramène Tangle A' A'' A également à la sphéricité parfaite. C'est avec les trois angles ainsi ramenés à la sphéricité parfaite qu'on fait la somme des trois angles pour avoir la différence avec 180°, qu'on partage en trois et qu'on retranche de chaque angle.

Si on n'a.que deux angles de mesurés. A' A A'', AA' A",on peut après les avoir ramenés à la sphéricité, supposer le triangle recti* ligne, et si on calcule l'un des côtés A A'', qui est ainsi connu trèsapproximativement, son produit par sinA'AA' et par sial" fait connaître le facteur par lequel il faut multiplier A A', pour avoir Ssinl'', ou l'excès sphérique, qui, à cause de sa petitesse, est ainsi connu avec une approximation suffisante. Retranchant le tiers de cet excès sphérique de chacun des angles A' A A" et A A' A", on a réellement ramené le triangle à un triangle rectiligne. On a donc immédiatement les côtés AA" et A'A" exprimés en seconde, et le troisième angle A A'' A' qui est égal à ISO*" moins la somme des deux autres. En y ajoutant le tiers de l'excès sphérique, on a l'angle sphérique AA' A", et le triangle se trouve entièrement résolu.

Tel est le parti qu'on peut tirer de la propriété de Vexcès sphérique de Legendre, pour la résolution des triangles géodésiques déterminés par des angles, des latitudes et un azimut d'un côté.