Dans une chaîne de triangles tels que AA'A", A'A"A

A^A'^A^ dans laquelle les latitudes de tous les points

A'', A"*, A„ An sont déduites de celles de A et A', il est évident que les erreurs sur les latitudes vont en croissant, à mesure qu'on s'éloigne des deux points primitifs, si les latitudes de ces deux premiers points sont en erreur. Supposons qu'en Aq on détermine la vraie latitude astronomiquement et qu'on trouve la différence %. Si la valeur de k convenant à la région est exactement connue, on pourra modifier la latitude de A' d'une trèspetite quantité, par exemple l'augmenter de X, et recommencer le calcul, la différence sera alors % avec la nouvelle latitude. Une proportion donnera ensuite la vraie augmentation x à faire à la latitude de A' pour satisfaire à celle de Ag. En effet, on aura

d'où ^ xX

Si la latitude de A' a été très-bien déterminée, cette valeur de:r sera alors la déviation de la verticale de A' par les attractions locales, et en calculant de nouveau toutes les latitudes avec celle de A ainsi corrigée, on aura les latitudes exactes. Si on détermine les latitudes astronomiques en tous ces points, leurs différences avec les latitudes calculées seront les déviations de la verticale en tous ces points par les attractions locales, en supposant exactes les deux latitudes extrêmes A et Aq. Or, pour le milieu de la région des triangles, les erreurs sur les latitudes de A et de An influent très-peu ; et si d'ailleurs on calcule les déviations en prenant successivement pour point de départ et d'arrivée tous les autres points, et en partant de leurs latitudes astronomiques, la moyenne des déviations de la verticale ainsi obtenues en un point du milieu de la région des triangles sera la déviation réelle par rapport à l'ensemble de la région considérée. On voit qu'on peut ainsi obtenir toutes les déviations locales des latitudes.

La bande de terrain renfermant la chaîne des triangles peut être dans son ensemble inclinée au méridien; les azimuts de deux côtés, l'un au premier, l'autre au dernier triangle, et les latitudes extrêmes nous permettront d'appliquer la méthode que nous avons indiquée pour la détermination de k. Si donc on a déterminé les latitudes astronomiques de tous les sommets, les comparaisons avec les latitudes calculées nous donneront les déviations de la verticale dans le sens du méridien, et les comparaisons avec les longitudes, les déviations perpendiculaires au méridien sous l'influence des attractions locales.

343. — Si une chaîne de triangles est très-longue et suit à peu près le méridien, condition peu favorable à la détermination de k parles azimuts comparés aux extrémités, on peut encore obtenir k au moyen des deux latitudes des extrémités et de celle d'un point du milieu déterminées directement.

Ainsi> on a, pour pouvoir effectuer les calculs, déterminé les latitudes de deux points voisins A et A, puis ensuite deux autres latitudes, l'une d'un point A,, l'autre d'un point A^ à l'extrémité de la chaîne.

On calculera pour l'aplatissement k supposé la correction à faire à la latitude de A' pour satisfaire à cdle de A| comme nous l'avons dit, puis avec cette latitude corrigée, on effectuera le calcul

jusqu'en An, où on trouvera une diffërence [a avec la latitude astronomique de ce point.

On prendra ensuite un autre aplatissement un peu plus grand ou plus petit, k ; on corrigera pour cet aplatissement la latitude de A' pour satisfaire à celle de A. , puis on fera le calcul de toute la chaîne avec cette latitude corrigée et cet aplatissement^ et on trouvera pour la latitude Aq une autre différence ft'; on aura alors la proportion

(4.'— [jl: K — k :: [A : y,

d'où

et k+y est l'aplatissement convenant à la région.

Si la valeur obtenue pour y est très-petite, on pourra s'arrêter h cette approximation, sinon, on recommencera avec deux nouvelles valeurs de k renfermant entre elles la valeur de A+y donnée par la première approximation, et on aura une valeur définitive de k par le même procédé.

L'avantage d'obliger la latitude de A' à satisfaire à celle de A. , au lieu d'employer celle de A', vient de ce que, toute la chaîne étant déduite des deux latitudes rapprochées A et A', leurs erreurs auraient trop d'importance. En satisfaisant à une autre latitude éloignée, les erreurs de latitude ne se trouvent plus multipliées dans la même proportion. Mais la latitude de A' a été nécessaire pour simplifier les calculs. Si elle n'avait pas été déterminée, on aurait besoin d'y substituer une latitude approchée pour pouvoir effiectuer les calculs, et cette latitude se trouverait ensuite corrigée par la méthode indiquée, après quoi elle serait connue.

Si une chaîne de triangles a été menée obliquement au méridien, la même méthode pour déterminer k par les latitudes est applicable. La combinaison avec la détermination par les azimutii peut donner en outre des équations de condition entre les erreurs d'observation et les déviations de la verticale, équations dont le nombre varie suivant les conditions de l'opération et la multiplicité des triangles.

A LA GÈCXHIAPHIE. 555

Des diverses combinaisons d observations qu^on peut employer pour fixer sur la surface terrestre la position dun point par rapport à un ou plusieurs autres.

344, — Un point étant défini par deux coordonnées, savoir : sa latitude et sa différence de longitude avec un autre point connu, il s'ensuit qu'il faut toujours deux observations pour fixer ces deux coordonnées.

Si Tune des observations consiste en une détermination directe de la latitude, on peut déduire l'autre coordonnée de la fixation de l'azimut dans lequel un point connu est vu du point dont on veut les coordonnées, ou par celui dont ce dernier est vu du point connu. Ces deux cas ne comprennent qu'un seul et même problème. En effet, on connaît les deux latitudes des deux points et Tazimut dans lequel un de ces points est vu de l'autre. On déduira la différence des longitudes des deux points en question par la méthode que nous avons déjà indiquée.

Mais, au lieu de l'azimut dans lequel une des stations est vue de l'autre, on peut du point cherché mesurer l'angle azimutal compris entre deux autres points connus. C'est un cas que nous n'avons pas encore examiné et dont nous allons traiter, après avoir passé en revue les diverses observations qui peuvent fixer la position d'un point.

Si la latitude du point dont les coordonnées sont cherchées n'a pas été déterminée, ces coordonnées peuvent être déduites des deux angles réduits à l'horizon que de chacun des deux points connus, le point en question fait avec l'autre point connu. Ce cas nous ramène à la résolution d'un triangle dont on connaît un côté et deux angles adjacents, cas que nous avons déjà examiné. En effet, l'angle au centre de la terre entre les deux points connus est un côté que nous avons indiqué le moyen d'obtenir, et comme nous pouvons avoir en chacun des points connus l'azimut de l'autre par le calcul, il s'ensuit que, même si on s'était contenté de mesurer l'azimut du point cherché, au lieu de mesurer l'angle entre le point cherché et l'autre point connu, ce dernier angle serait connu par la différence des deux azimuts. Les deux cas se réduisent donc encore à un seul que nous avons déjà examiné, et sur lequel nous ne reviendrons pas.

556 GÉODÉSIE APPUQUÉE

Mais on peut encore définir le point cherché par l'angle compris entre deux points connus et l'azimut de Tun d'eux, le tout mesuré de ce point lui-même.

On peut encore le définir par son propre azimut vu d'un point connu, et par Tangle entre deux points connus observé du point cherché, ou bien par Tazimut d'un point connu vu du point cherché. On peut en outre le définir par deux angles observés du point cherché, chacun entre deux points connus.

Ces divers procédés comprennent tout l'ensemble des moyens que l'on peut employer pour déterminer par des observations géodésiques la position d'un point à la surface de la terre. D y a sept cas, dont deux ont déjà été examinés ; nous allons étudier les cinq autres, qui sont alors :

1^ La latitude et l'angle compris au point cherché entre deux points connus;

2** L'angle compris au point cherché entre deux points connus et l'azimut de l'un d'eux, ou celui d'un troisième point connu ;

3*^ L'azimut du point cherché vu d'un point connu et l'angle entre deux points connus, observé du point cherché ;

4"" L'azimut du point cherché vu d'un point connu et l'azimut d'un autre point connu vu du point cherché ;

S** Deux angles observés du point cherché, chacun entre deux points connus.

345. — Premier cas. On connaît la latitude d'un point et l'angle azimutal observé en ce point entre deux autres points connus. On demande la différence de longitude avec un de ces deux derniers points.

On obtient d'une manière trèsapprochée la position du point cherché par un moyen très -simple.

Soient A et A' (flg. 57) les deux points connus , B le point dont on veut la position , a l'angle observé en B entre A et A', c'est-à-dire l'angle azimutal ABA', et X la latitude de B.

Si nous négligeons l'effet de la

sphéricité de la terre dans l'espace

^^' "• du petit triangle A B A' , supposons

que nous menions la ligne AA', élevons en son milieu D la pc^

pendiculaire DF, et menons par le point A une ligne qui fasse avec AA' un angle égalà90<» —g-, cette ligne rencontrera DF en

un certain point G, et on aura l'angle AGD =2- Si on joignait

G à A', on aurait de même A'GD =5' ^^ P^^ conséquent AGA'

=^a. Menons maintenant un cercle par les points A, A' et G, nous en obtiendrons le centre en élevant une perpendiculaire sur AG en son milieu K, et cette perpendiculaire coupera DF en un point 0, qui sera le centre du cercle passant par AA'G. Si maintenant, avec OA comme rayon, nous décrivons le cercle, ce cercle jouit de la propriété que si on joint un point quelconque I de sa circonférence à A et à A' , l'angle A1A = AGA'= a. Ainsi le point cherché est sur le cercle A' AGI. Menons maintenant le mé~ ridien AM de A, prenons sur ce méridien une distance AN égale à la différence des latitudes de A et de B qui est connue, et par N élevons une perpendiculaire à ce méridien. Ce sera le parallèle de B sur la figure , les deux points d'intersection B et B' satisferont l'un et l'autre à la condition de posséder la latitude X et de voir un angle a entre les points AÂ, et ce seront les seuls points satisfaisant à cette condition. On voit ainsi que le problème a deux solutions. Le point B n'est donc pas complètement défini, à moins qu'on ne connaisse en outre l'azimut approché de l'un des points A et A', azimut à l'aide duquel on reconnaîtra lequel des deux points B ou B' doit être adopté. U est donc utile d'avoir cet azimut approché à l'aide de la boussole ou de toute autre manière approximative, et alors le problème est défini. Un azimut grossièrement obtenu suffit dans ce cas. L'azimut , ici , ne joue que le rôle de renseignement ; nous ne le considérons donc pas comme observation. La latitude de B et l'angle a sont les deux quantités qui, mesurées avec soin, donnent la vraie position deB.

Si les points A et A' sont déjà marqués sur une carte, la construction que nous venons d'indiquer exécutée sur la carte, fait connaître la position du point B. En topographie, quand les côtés du triangle sont petits, cette construction est parfaitement suffisante. La même construction est employée pour les cartes marines ans le levé de ces cartes, et son approximation est aussi suffisante

par rapport aux incertitudes sur les latitudes et sur les angles a mesurés à bord (1).

346. — Mais si les points A, B, Â' sont très-distants, et si les observations ont été bien faites , et c'est un cas qui arrive à terre dans les opérations de géodésie expéditive où la précision n'est pas sacrifiée , mais seulement où les procédés employés doivent dispenser de se transporter en tous les points ; on peut encore obtenir la position de B avec toute la précision désirable et même tenir compte de Taplatissement terrestre. Pour cela, on corrigera de la manière suivante la position approchée de B, obtenue gra« phiquement ou par calcul. Au moyen de la valeur connue dek, on ramènera les latitudes de A, A' et B aux latitudes géodésiques , en en retranchant les valeurs calculées pour i par la formule du n* 194. Puis à l'aide des azimuts approchés de A et A' vus de B, on calculera les valeurs correspondantes de ^ du n« 320. (Il est clair que si on veut une grande précision, on a dû mesurer en B les hauteurs h et h' de A et de A' au-dessus de l'horizon.) La différence des valeurs de p pour A et A' est la correction à appliquer à rstngle a pour le rendre géodésique, et il est évident que vu la petitesse de p et de p', les azimuts approchés ont été suffisants pour avoir la valeur ^' — p au degré d'approximation du centième de seconde. Nous appellerons donc a. l'angle a ainsi corrigé et qui sera connu, et on voit que la solution du problème se trouve ramenée au cas de la sphéricité de la terre.

Gela posé, avec la différence approchée de longitude entre le point B et les points A et A' et avec les latitudes géodésiques de ces trois points, on calcule dans le triangle au pôle PAB dont les côtés PA et PB et l'angle compris P sont connus , Tazimut de A vu de B. Ce calcul se fait par les mêmes formules que le calcul de Tazimut d'un astre dont on connaît l'angle horaire et la déclinaison, en remarquant qu'ici l'angle horaire est remplacé par la différence P des longitudes et la déclinaison de l'astre par la latitude géodésique du point A^ tandis que la latitude géodésique de B remplace la latitude /du lieu dans la formule du n** 296. On calcule ensuite

(1) Il est clair d'ailleurs qu'au liett de construire le triangle rectilîgne AA'G^oQ pourrait le calculer par la trigonométrie rectilîgne et obtenir le rayon du cercle et la position de son centre ; la géométrie analytique damnerait ensuite les coordonnées des points D et B*, qu'on pourrait aussi obtenir par une solution trigonométrique.

dans le triangle PÂ'B l'azimut de À' vu de B, en remarquant que l'angle au pôle Â'PB égale P plus la différence connue de longitude entre A et A'. Nous appellerons F cet angle. Alors la différence a des azimuts ainsi calculés de A et A! doit être égal à a.. Si elle ne Test pas, on augmente les différences P et F de longitude avec A et A' d'une petite quantité [& , et on calcule dans cette nouvelle hypothèse la différence des azimuts »i. En appelant alors x la correction à appliquer aux valeurs P etF supposées, on a la proportion

ce qui donne la valeur de x. Les vraies différences de longitude du point B avec A et A' deviennent alors P-+- a: et P' + ar, et le point B dont la latitude était connue est alors entièrement déterminé.

On voit donc que si, en faisant une opération de géodésie expéditive, on est, dans une chaîne de points reliés par des azimuts ou des triangles, obligé de renoncer à la mesure d'azimuts astronomiques, ou de deux au moins des angles d'un triangle, une latitude combinée avec l'angle réduit à l'horizon compris entre deux points connus permet de relier les deux parties de la chaîne de façon à appliquer l'étude de la variation des azimuts aux deux bouts de la chaîne à la détermination de l'aplatissement de la région , et de plus on voit que les différences de longitude seront bien déterminées , pourvu toutefois que l'angle ABA' ne soit pas trop petit , auquel cas les erreurs d'observations auraient une grande influence. La même chose a lieu pour les autres cas indiqués dans le n"^ 344, comme nous allons maintenant le voir.

347. — Deuxième cas, — On connaît l'angle compris au point B entre deux points connus A et A' et l'azimut a de l'un de ces derniers. A, par exemple. On demande la latitude et la longitude de B.

On obtient facilement la position du point B^ graphiquement par une construction analogue à celle du cas précédent. Soient A et A' (fig. 58) les deux points connus. On cherche , comme dans le cas précédent le centre 0 du cercle qui jouit de la propriété que tous les points de la circonférence voient l'angle a entre A et A'. Pais, menant le méridien AM de A , on mène du point A une ligne AN suivant l'azimut 180* + a. Le point B d'intersection

de cette ligne avec le cercle est le point cherché. En efEel,

en menant le méridien de B paralltte à celui de A , l'azimut de A vu de B sera égal à a.

Cette construction suffit pour la topographie et se fait directement sur la carte. Elle suffit aussi pour les cartes marines , sauf le cas de distances très-grandes, et se fait également sur la carte.

Si on veut une plus grande approximation, on calcule, à l'aide de la latitude approchée de B déduite de la Fig. 68. construction précédente, la valeur

de ^, de manière à ramener l'azimut observé de A à Famiut géodésique, opération pour laquelle la connaissance de la latitude approchée est sui&sante. On ramène aussi l'angle entre A et A' vu de B à l'angle géodésique correspondant, comme dans le cas précédent. Puis on calcule la latitude géodésique correspondant à la latitude supposée de B, ainsi que les latitudes géodésiques de A et de A'. Par là le problème se trouve ramené au cas de la sphère.

Gela posé, prenons pour première hypothèse la latitude géocentrique supposée de B, et dans le triangle PAB, calculons l'angie au pôle, c'est-à-dire la difiërence de longitude de A et B par les formules ordinaires. Ajoutant cet angle à la différence de longitude des points A et A', on a l'angle au pôle avec A', et on en tire l'azimut de A' vu de B dans l'hypothèse en question. La différence avec l'azimut de A vu de B donne l'angle entre les points A et A' dans cette même hypothèse. On fait alors une seconde hypothèse (trè&-voisine de la précédente) sur la latitude de B, et on recommence ces calculs de manière à avoir dans cette seconde h)'pothèse l'angle entre les mêmes points. Par une proportion on trouve ensuite, comme dans le cas précédent, la latitude géodésique de B répondant à l'angle observé entre A et A'. Puis, avec cette latitude exacte, on calcule la différence de longitude de A et B dans le triangle A P B^ et enfin avec la latitude géodésique on obtient la latitude astronomique correspondante.