Troisième cas. — L'azimut du point B dont on veut la

position est mesuré d'un point connu A'' {fig. 59) , et on a Tangle entre deux autres points connus A et A'« On demande la latitude du point B et sa différence de longitude avec A.

Graphiquement, pour la topographie et les cartes marines, la solution de ce problème est des plus simples.

On fait sur les points A et A' la construction indiquée dans les deux cas précédents. Puis, au point

A'', on mène le méridien A''M et la ligne A F faisant avec le méridien A" M l'angle a observé. On a deux points d'intersection en B et B'. Un azimut grossièrement approché de Tun des points A' ou A étant connu, fait savoir lequel des points B ou B' doit être choisi.

Si ensuite on veut corriger les positions approchées, ce problème se traite comme le précédent par deux hypothèses très^ voisines, renfermant entre elles , autant que possible, la vraie latitude du point B. On ramène les latitudes, l'azimut de B vu de A" et l'angle entre les points A' et A vus de B aux quantités géodésiques correspondantes, et, pour chaque hypothèse, on calcule la différence de longitude de B et de A'', d'où on tire les différences correspondantes avec A et A'. On calcule alors dans les deux hypothèses l'angle entre les points A et A' , et par une proportion on trouve la latitude pour laquelle l'angle calculé serait égal à l'angle observé. La latitude de B étant ainsi connue, sa longitude se détermine dans le triangle au pôle A" P B. Le cas où le point A" se confondrait avec A' rentre dans le précédent.

349. — Quatrième cas. — On connaît l'azimut du point cherché B vu d'un point connu A et l'azimut a d'un autre point connu A' vu du point B.

La construction graphique dans ce cas est plus simple encore que la précédente. Du point A on mène une ligne dans l'azimut de B et du point A', une autre ligne dans l'azimut ISO"" -h a. L'intersection de ces deux lignes donne le point B.

Si on veut une grande précision, on corrige la position de B> à l'aide de sa latitude approchée, en ramenant les azimuts astrono-

iniques aux azimuts géodésiques. On calcule les latitudes géodésiques des trois points. Puis, avec la latitude supposée de B,on calcule sa différence de longitude avec A; on en tire la difierence avec A', puis on calcule l'azimut de A' vu de B. On fait les mômes calculs pour une seconde hypothèse (très-voisine de la première) sur la latitude de B, et par une proportion on trouve la latitude intermédiaire pour laquelle l'azimut de A' vu de B est égal à Tazimut observé. On a ensuite dans le triangle APB la différence vraie de longitude entre A et B.

350. — Cinquième cas. — Du point cherché B, on a observé les angles compris entre deux premiers points connus A et A\ puis entre deux autres points connus A" et A", angles réduits à l'horizon.

Gomme construction géométrique, ce cinquième cas ne présente pas plus de difficulté que les autres. Sur les deux premiers points A et A', on construit comme précédemment le cercle d'où ces points sontvus en faisant entre eux l'angle horizontal observé. On fait ensuite la construction correspondante sur les points A" et A"*, et les deux points d'intersection des circonférences de ces deux cercles satisfont au problème. Un azimut approché relevé à la boussole sur l'un des quatre points A, A', A'' ou A'', foit savoir lequel des deux points d'intersection doit être adopté.

Si on veut pousser plus loin l'approximation, on ramène comme précédemment tous les angles mesurés et toutes les latitudes au cas de la sphère. Puis avec la latitude géocentrique supposée et la loogitude supposée du point B, on calcule l'angle entre les points A et A' comme dans les problèmes précédents. Modifiant un peu la latitude, on répète le calcul, et par une proportion on a pour la longitude supposée la latitude répondant à l'angle observé.

On fait ensuite une seconde hypothèse très-approchée de la première relativement à la longitude, et on cherche de même pour cette seconde longitude la latitude correspondante l'angle observé entre les points A et A' •

Gela posé^ avec la première longitude supposée et la latitude correspondante satisfaisant à l'angle observé entre A et A', on calcule l'angle entre A" et A'''. On fait le même calcul pour la seconde longitude supposée et la latitude correspondante. Une proportion entre les longitudes fait alors connaître la longitude exacte satisfaisant à l'angle observé^ et une proportion entre les latitudes

donne la vraie latitude géodésique, qu'on transforme en latitude astronomique, et le problème est résolu.

Il est évident que deux des quatre points pourraient se réduire à un seul, et la solution serait la même. Un point est donc défini par les angles horizontaux compris entre trois points connus.

351 . — La construction graphique de ce cinquième cas est trèsemployée par les marins, pour savoir à quelle distance le navire se trouve des points connus d'une côte. Us relèvent pour cela les azimuts avec la boussole marine , et effectuent la construction sur la carte. La construction se simplifie beaucoup quand on connaît la variation du compas, car alors Tazimut de deux points suiBt, ce qui ramène au deuxième cas, le plus fréquemment employé. La construction de ce deuxième cas se simplifie d'ailleurs en menant des deux points connus deux lignes dans les azimuts où ils sont observés, l'intersection de ces deux lignes est la position du navire sur la carte, position dont on connaît alors la longitude et la latitude. Ce procédé est celui par lequel on peut rectifier à bord, quand on passe près de côtes connues, l'état du chronomètre par rapport au temps du premier méridien, comme nous l'avons dit dans le n^ 164.

Quand on n'aperçoit pas deux points d'une côte, mais un seul point lointain, on relève l'azimut de ce point en notant l'heure de l'observation, puis, au bout d'un instant, on répète l'opération. Si alors on a eu soin de mesurer avec le loch la vitesse du navire, on peut, en ayant égard au sens de la marche, connaître, par la réduction de la route effectuée dans l'intervalle^ la distance des deux points d'observation et l'azimut de la ligne qui les joint. Dans le triangle considéré comme rectiligne formé par ces deux positions et le point de la côte, on connaît donc un côté et les deux angles adjacents; on en tire la longueur d'un des côtés. Traçant alors, à partir du point de la côte en question, une ligne dans l'azimut de ce côté et prenant sur cette ligne la longueur obtenue, on a la position approchée du navire à l'instant de l'observation. On a donc encore dans ce cas la correction de l'état du chronomètre par rapport au méridien, si on a soin de déterminer l'heure locale.

Lorsqu'on effectue des sondages pour les cartes nautiques, les divers procédés que nous venons d'indiquer sont également employés pour obtenir la position des points où on a fait les sondages

064 GÉODÉSIE APPUQUÉE

qu'on inscrit sur la carte. Il est bien entendu que, dans ce cas, on se limite aux solutions graphiques.

Considératioîis sur la mesure des dimensions de la terre.

352. — Si on suppose la verticale astronomique d'un certain point prolongée jusqu'il la rencontre de l'axe terrestre, ce point de rencontre sera, partout ailleurs qu'à l'équateur, différent du centre de la terre. Une sphère ayant pour centre le point de rencontre en question, et pour rayon la distance de ce dernier point au point de la surface dont on a prolongé la verticale, sera osculatrice à la surface terrestre en cette région de la surface, car une verticale astronomique n'est autre qu'une normale à la surface du globe. C'est en considérant les triangles géodésiques comme des triangles sphériques sur les sphères osculatrices ainsi menées qu'on a, pour la détermination des dimensions de la terre, calculé les arcs de méridien et de parallèle; pour cela on a démontré que la longueur des côtés sur le triangle ellipsoïdal peut, sans erreur sensible, être considérée comme égale à celle des côtés du triangle sphérique sur cette sphère osculatrice^ du moins dans l'étendue des triangles géodésiques qu'on peut obtenir par les observations. On considère alors les normales aux trois angles de ces triangles comme rencontrant l'axe terrestre au môme point, ce qui n'est pas rigoureusement vrai, mais toutefois n'introduit pas d'erreur appréciable.

U est facile d'obtenir en fonction du rayon équatorial le rayon de la sphère osculatrice en question. Nommant A le point où l'on veut ce rayon, / sa latitude astronomique, / — t sa latitude géodésique, et r' le rayon géocentrique en ce point A, rayon dont nous avons rappelé l'expression en fonction du rayon équatorial (n^" 193), la perpendiculaire abaissée du point A sur l'axe terrestre a pour longueur r' cos (/ — i).

Or, cette perpendiculaire est égale au rayon R de la sphère osculatrice en question , multiplié par le cosinus de la latitude

-rx j n ,cos(/ — f)

astronomique. On a donc R=r — ^ — j — --

La différence des longitudes de deux points est la môme sur Tellipsolde et sur la sphère osculatrice menée, comme nous venons de le dire ; on voit donc que, si par les procédés que nous avons précédemment indiqués, on connaît cette différence pour deux points rapprochés, on peut, avec les latitudes astronomiques des deux points en question, dont les compléments sont les distances polaires, et avec cette différence de longitude, calculer sur la sphère osculatrice la longueur de l'arc de cercle unissant ces deux points. On emploiera pour cela les formules du n^ 216, en y remplaçant D par la latitude tistronomique du deuxième point et P par la

différence des longitudes : z est alors Tare cherché, j^ ^ R , expression dans laquelle 17 est le rapport de la circonférence au diamètre, représente donc la longueur métrique de la distance des deux points en question sur la surface terrestre.

Nous avons vu (n""' 342 et 343) comment, dans une chaîne de triangles, on arrive à corriger la différence des latitudes astronomiques de deux points voisins, au moyen des latitudes de deux points très-éloignés. Si donc on a mesuré la distance linéaire de ces deux points, on en tirera, en égalant l'expression précédente à cette distance, la valeur de R, et par suite celle du rayon r', et enfin celle du rayon équatorial r correspondant à l'aplatissement de la région, rayon lié à r' par l'équation du n"* 193. Ce procédé est au fond identiquement le même que celui qui consiste à cal* culer la longueur des côtés de tous les triangles pour les projeter sur le méridien, car dans le cas présent on a corrigé les latitudes des deux points voisins à l'aide de celles des points éloignés, ce qui revient au môme.

L'aplatissement de la région étant connu par les procédés que nous avons indiqués, il est facile d'en conclure la longueur des arcs de méridien et de parallèle. On voit donc que notre mode de solution des problèmes géodésiques est aussi bien applicable à la mesure de la terre qu'à la géodésie expéditive. Seulement cette dernière, seule utile pour la géographie proprement dite^ ne nécessite pas la connaissance de la longueur du rayon terrestre. Quand alors on veut la distance de deux points, on suppose, au contraire, le rayon connu, et en substituant cette valeur dans les expressions précédentes, on a la distance métrique des deux points, distance qu'on mesure au contraire dans les opérations pour déterminer les

566 GÉODÉSIE APHJQDÉE

dimensBOQS du gl<^, mais dont on n'a pas besoin pour la géographie qui n'emploie que les distances angulaires.

Réduction à F axe du signal et nivellement.

333. — Les seuls cas où, dans la géodésie expéditive, on a besoin de la distance réelle de deux points sont : 1* pour la réduction des observations à Taxe du signal; 2'' pour les nivellements géodésiques. Dans ces cas, on a toujours cette distance avec une approximation sufiBsante par le procédé que nous venons d'indiquer et qui consiste à supposer le rayon terrestre connu.

La réduction à Taxe du signal devient nécessaire parce que le plus souvent on ne peut placer Tinstrument au point même du signal, ou du moins dans sa verticale. Supposons qu'il s'agisse d'un azimut. On place l'instrument tout près du signal, et on mesure sa distance à ce signal, soit directement, si c'est possible, soit par un petit triangle. On prend ensuite l'angle (réduit à l'horizon) entre le signal et l'objet B dont on veut l'azimut. Soit a la distance du signal projetée sur l'horizon, p cet angle et d la distance approchée de B à l'instrument, on a pour la correction y à appliquer à l'azimut de B observé afin de le rapporter au signal A, l'équation

a sin fi

le signe — se rapportant au cas où le point A est entre l'instrument et le point B, le signe + au cas où l'instrument est entre les deux points A et B. On reconnaît d'ailleurs et à première vue si cet angle y doit être ajouté à l'azimut observé pour avoir celui de B vu de A ou s'il doit être retranché. Si l'instrument et les points A et B sont presque en ligne droite, une erreur sur « ne fera pas d'erreur appréciable sur la correction y, et cette correction sera très-petite. SU s*agit de ramener à l'axe du signal l'angle entre les deux points éloignés B et C, on calcule la correction y sur l'azimut de chacun de ces points, et la somme ou la difiérence de ces deux \aleurs de y est la correction de l'angle cherché. Les conditions du problème indiquent sans peine si c'est une sonmie ou une difTérence qui doit être employée.

A LA Géographie:. 567

354. — Supposons qu'on ait déterminé, comme nous Tavons dit précédemment, l'angle formé, au centre de la sphère osculatrice en un point donné, par les rayons menés à deux points A et B, et de plus qu'on ait mesuré les hauteurs réciproques de A et B, ou même seulement que, de l'un de ces points A, par exemple, on ait mesuré la hauteur de l'autre, auquel cas on connaîtra, après la correction de la réfraction terrestre (n*" 331 et note du n"" 332), la hauteur vraie du point B vu de A. Alors, dans le triangle rectiligne formé par le centre 0 de la sphère osculatrice, et les points A et B, on connaît l'angle AOB au centre de la sphère, angle que nous appellerons G, et l'angle BAO, que nous appellerons 180° — z; on connaîtra donc le troisième angle ABO en retranchant de 1 80^ la somme des deux autres, de sorte que ABO=z — G. Si donc on a, comme nous l'avons indiqué précédemment, déterminé le rayon OA de la sphère osculatrice, rayon que nous appellerons / (nous supposons que l'altitude du point A au-dessus du niveau de la mer est jointe au vrai rayon R calculé, comme nous l'avons dit (n* 382), pour la surface de la mer, et c'est cette somme que nous appelons r' ), on aura la longueur du côté AB par la règle des sinus qui donne

AB= -: — — p- Nous appellerons m cette longueur AB, qui sera

ainsi connue (1).

Si alors on appelle h Texcès inconnu de l'altitude du point B par rapport à celle du point A, de sorte que / + A soit la distance du point B au centre 0 de la sphère osculatrice, le triangle OAB donne

[r' -4- hy = r'* -4- tii*H- awr' cos z,

d'où en développant et négligeant le carré de A, vu la petitesse de h par rapport au rayon de la terre

équation qui fera connaître la différence h existant entre le niveau

(1) m pourrait aussi être connu au moyen d'une base mesurée et à l'aide d*un triangle rectiligne dont le point A serait Tun des angles. H arrive quelquefois, dans la géométrie expéditive^ qu'on détermine ainsi à l'aide de petites bases Téloignement d'un sommet qu'on craint de ne plus revoir^ et près duquel on ne pourra passer dans le cours de son voyage.

des deux stations A et B. Si, au contraire, on supposait que m n'eût pas été déterminé, et que la différence h du niveau eût été donnée par des observations barométriques, cette équation résolue par rapport à m, en prenant le signe + pour le radical donnerait la distance m. On en déduirait ensuite l'angle AOB au centre de la terre par la règle des sinus, ce qui permettrait de corriger de la réfraction l'angle z^ et un nouveau calcul donnerait la distance m et l'angle AOB. Si alors on connaît l'azimut de B vu de A, ainsi que la latitude de B ou celle de A, on connaîtra dans le triangle sphérique PAB formé par le pôle et les points A et B, deux côtés et l'angle compris, et il deviendra facile de calculer la latitude du second point et la différence de longitude entre les deux stations. On voit ainsi le parti que, dans la géodésie expéditive, on peut dans certains cas tirer des altitudes barométriques, par exemple, à proximité de sommets très-élevés d'une chaîne de montagnes, et surtout dans la zone inter tropicale où le baromètre n'éprouve que de très-petites variations irrégulières , de sorte qu'un petit nombre d'observations permettent de calculer l'altitude d'un point (1) .

3S5. — Il est bien rare dans les voyages d'exploration, au milieu des continents, qu'on puisse obtenir les altitudes par une chaîne d'opérations commencée depuis le niveau de la mer. C'est alors au baromètre qu'on a recours, et en réalité, vu les incertitudes de la réfraction terrestre, ce nivellement est au moins aussi exact que le nivellement géodésique dont nous venons d'indiquer les principes. Nous ne nous étendrons pas ici sur le calcul des nivellements barométriques, calcul pour lequel Y Annuaire du bu-^ reau des longitudes donne une instruction et des tables. Toutefois, nous signalerons qu'il arrive souvent qu'on ne peut avoir des observations barométriques correspondantes à celles de la station et faites dans un lieu du voisinage d'altitude connue. C'est un grave inconvénient et qui exige dans la zone tempérée de bien longues séries d'observations, pour qu'on puisse supposer avoir la' moyenne du lieu et la comparer à la pression moyenne au niveau

(1) Dans les hauteurs réciproques, il y a à faire souvent des réductions à Taxe du signal de la même manière que dans le sens des azimuts et par le môme procédé. Il est sous-entendu ici que nous supposons ces réducUon^^ faites.

A LA GÉOGRAraiE. 569

de la mer. Dans la zone équatoriale, cinq à six jours d'observation suffisent; seulement, il faut avoir bien soin, dans le calcul, d'admettre pour pression moyenne au niveau de la mer celle qui répond à la latitude de la station, car la pression moyenne au niveau des mers varie avec la latitude. Dans V Annuaire de la Sodété météorologique de France^ j'ai donné une formule qui in* dique la pression moyenne au niveau de la mer en fonction de la latitude.

Dans les nivellements faits dans les voyages d'exploration, quand onnepeutséjournerquepeude temps en chaque point, on mesure, autant que possible, géodésiquement les différences d'altitude des divers points où on fait les observations barométriques; il devient alors possible de comparer tous les nivellements barométriques obtenus dans une région étendue, et d'employer les observations faites en un grand nombre de points à la détermination de l'altitude d'un point pris pour niveau général de la carte. Par là, on a une bonne mesure de l'altitude de ce point, à cause du nombre des observations, et les différences obtenues géodésiquement avec les autres points servent à fixer l'altitude de ceux-ci.

356. — Si, d'un point situé près d'un rivage, on mesure la dépression de l'horizon de la mer, il est facile de voir qu'avec la formule de ladépression que nous avons donnée n"* 147, on pourra obtenir l'altitude de ce point. Ici encore c'est le rayon de la sphère osculatrice qui devra être employé comme rayon de la terre. Une grande incertitude règne toutefois au sujet du coefficient à employer pour la réfraction dans le calcul de la dépression. Au lieu de 0,08, M. de Tessan, par une belle série d'observations faites dans le voyage de la Vénus^ a trouvé qu'en général pour de petites hauteurs, le coefficient est de ^ à j^, c'est-à-dire environ 0,05. Le mélange de l'air par l'agitation des vagues est la cause à laquelle ce savant hydrographe attribue avec raison la diminution du coefficient. On a imaginé, sous le nom de dépressiomètre des instruments destinés à mesurer à la mer la dépression de l'horizon. Le plus simple est celui de M. Daussy. Il consiste en un cercle de réflexion, sur la grande alidade duquel est placé un petit miroir auxiliaire faisant l'angle de 45^ avec le petit miroir ordinaire, et couvrant environ la moitié de la partie étamée. En amenant le grand miroir à donner une image qui coïncide avec celle de ce petit miroir dont la perpendicularité du limbe se

570 GÉODÉSIE APH^IQUÉE

vérifie par cette coïncidence, et en faisant alors la lecture, il suffit ensuite de déplacer le grand miroir à l'aide de son alidade, de façon à avoir Timage d'un côté de l'horizon, tandis que le miroir auxiliaire donne l'image de l'autre côté. En faisant coïncider ces images opposées, auquel cas le grand miroir est presque perpendiculaire au miroir auxiliaire, la différence de la lecture alors obtenue et de celle que donnent les images en coïncidence, représente l'angle dont l'excès sur 180'' est le double de la dépression de L'horizon. A l'aide de cette disposition, on voit que le oerde de réflexion peut mesurer des angles de plus de 180''. D atteint, en effet, jusqu'à 230".

Opérations à la boussole et tracé des routes.

3S7. — Quand, par les procédés que nous avons indiqués, on a déterminé les positions d'une série de points remarquables d'une région, points reliés entre eux par des chaînes de triangles ou d'azimuts et de latitudes, on fixe les points secondaires par rapport à ceux-ci, à l'aide des diverses méthodes indiquées ; seulement on peut alors se dispenser de la mesure des azimuts astronomiques, et on accélère le travail par l'emploi des azimuts obtenus à la boussole. D importe toutefois de connaître la déviation de l'aiguille hors du méridien, afin d'en corriger les observations : cette opération est facile. A l'aide de pointés à la boussole, effectués sur le soleil ou les étoiles, quand ces astres ne sont pas très-élevés sur l'horizon, on a l'azimut magnétique de ces astres à des instants connus, et si on calcule à l'aide de l'heure de l'observation leurs azimuts astronomiques, la différence avec leur azimut magnétique est la correction à appliquer aux azimuts donnés par la boussole, pour avoir dans cette région les azimuts astronomiques. Cet angle est ce que les marins appellent la variai tion du compas. Il diffère de la déclinaison magnétique en oe que celle-ci est la déviation de l'axe magnétique de l'aiguille, tandis que la variation est celle de son axe de figure dans la position que l'aiguille occupe dans l'instrument. En renversant les aiguilles, de sorte que la face supérieure devienne inférieure, la moyenne des variations obtenues dans les deux cas est la dé-

clinaison magnétique. Ce renversement n'est possible que dans des boussoles faites dans ce but et qu'on appelle boussoles de déclinaison. Il est clair qu'on n'a pas besoin de la déclinaison ma* gnétique absolue dans les opérations topographiques ou dans la marine, puisqu'on détermine la variation dans la situation de l'aiguille.

358. — Les fers des navires produisent des déviations dans les boussoles. Siy dans un port, on connatt la déclinaison magnéti*que, on peut, en déterminant la variation de la boussole à bord, obtenir les erreurs que donne la boussole pour les diverses direc* tiens qu'occupe le navire par rapport au méridien. On corrige alors par une masse de fer convenablement placée l'effet de la déviation des fers du bâtiment, puis on détermine les erreurs res* tantes, qui sont ensuite petites. Cette opération s'appelle le ré< glage des boussoles. A part le procédé que nous venons d'indiquer pour obtenir la variation de la boussole, ce réglage n'appartient plus à l'astronomie appliquée^ et sort du cadre de cet ouvrage. Nous ne nous y arrêterons donc pas davantage.

Mais il existe une précaution que les bons navigateurs ne négligent jamais ; c'est de déterminer fréquemment à bord la variation de la boussole, en recourant soit au soleil, soit aux étoiles, car il ne faut jamais compter trop aveuglément sur le réglage, qui est toujours imparfait. Quant à la vraie direction de la marche du na« vire, on sait qu'à cause de la déviation de ce dernier sous l'action du vent, elle est donnée, non par la direction du navire lui-même, mais par celle de son sillage, dont on a soin de déterminer l'angle avec la direction du navire. Quand il n'y a pas de courants et quand la variation de la boussole est bien déterminée^ les erreurs que les marins commettent sur l'estime de la route sont peu considérables. Il en résulte que, si de grandes différences existent entre le déplacement du navire d'après l'estime et d'après les positions déterminées astronomiquement, ces différences doivent être attribuées aux courants, dont alors la direction et la vitesse se trouvent données par ces différences.

359. — Si, en faisant la carte géographique d'un pays, on note, en se rendant d'un point connu à un autre point connu peu distant, la direction de la route suivie à chaque instant et l'heure correspondante, spécialement à chaque changement de direction, et si la vitesse dans la route a été constante, on peut facilement tracer

sur la carte la route parcourue, et ce tracé ne nécessite pas la connaissance de la vitesse ni celle de la variation de la boussole. En effet, on projette les durées de la marche dans chaque sens sur le méridien de la boussole et sur la perpendiculaire à ce méridien, en ayant soin, bien entendu, de donner des signes contraires aux routes nord et sud, ou est et ouest. Si alors on appelle m la sonune des projections sur le méridien et n la somme des projections perpendiculaires, la longueur de la route sera l/^m* + n*, c'estràdire que l/^n?+n* serait le temps qu'avec la même vitesse on aurait mis à parcourir la distance rectiligne des deux points. Cette distance étant connue si ceux-ci sont déterminés, on en déduira la vitesse. Si la vitesse a varié dans des rapports connus approximativement, on multiplie les temps employés dans chaque section de la route par des coefficients, avant de les projeter, et par là on les ramène à une des vitesses prises pour types. On a alors par le môme procédé cette dernière vitesse et, par suite, les autres.

De plus, - est la tangente de l'angle de la route moyenne avec le

méridien de la boussole; car dans un petit espace la ligne loxodromiqtte ou faisant le même angle avec tous les méridiens, se confond avec l'arc de grand cercle, et celui-ci se confond sensiblement avec la ligne droite ; or, comme il est facile, à l'aide des positions connues des deux points limites, de calculer l'azimut astronomique de la ligne qui les unit, on en tire l'angle du méridien astronomique et de la boussole. On peut alors tracer chaque section de la route sur la carte en direction et en longueur, de telle sorte que les deux extrémités du tracé soient rigoureusement aux deux points en question. Si la route ne fait qu'un petit angle avec le méridien, et si on connaît la variation de la boussole, on a en projetant directement les routes sur le méridien, le temps m employé à parcourir la difTérence de latitude des deux points, différence dont on peut connaître la longueur métrique, et en divisant cette longueur par m on a la vitesse employée, vitesse avec laqueUe on peut ensuite tracer la route. On voit donc que la connaissance des latitudes suffit, dans ce cas, pour effectuer le travail. Si, le long du cours d'une rivière, on rattache tous les 5 à 6 milles à une grande triangulation générale un point de la rive, ou si on détermine les latitudes, cette méthode est applicable au tracé du cours de la rivière parcourue dans une barque, surtout en ayant

A Lk GtOGRAPUlË. 573

soin de temps à autre de déterminer la vitesse du courant, et de tenir compte^ quand il y a lieu, des variations de vitesse de la barque. U est évident, dans ce cas, que les erreurs que Ton peut commettre sont de Tordre de celles du tracé graphique lui-même, et cela à cause du rapprochement des points bien déterminés.

Méthode employée pour tracer le cours du Rio de San^Francisco.

360. — Cependant, j'ai cru devoir, dans le Rio de San-Francisco, employer une méthode encore plus précise, méthode que j'ai imaginée pour le tracé du cours des rivières. Elle est fondée sur l'emploi de la lunette de Rochon, n° 153. Une règle noire de 2 mètres de longueur,suspendueverticalementet portant trois signaux blancs, distants de 1 mètre, était portée le long d'une des rives par un canot qui s'arrêtait fixement contre la rive, à une certaine distance; d'un point de l'autre rive, on mesurait la distance avec la lunette de Rochon et l'azimut avec la boussole ; puis avec une embarcation on remontait le long de la même rive en un autre point, d'où on mesurait de nouveau la distance à la règle, qui n'avait pas bougé, et l'azimut correspondant. Alors, restant en ce point, l'observateur faisait signe au canot de la règle d'aller plus loin. Ce canot s'arrêtait à un signal convenu. Là on prenait de nouveau la distance et l'azimut, puis, la règle restant en place, l'ob* servateur avançait une nouvelle fois le long de la rive, et ainsi de suite. On voit, de cette manière, qu'on pouvait tracer la position de la règle par rapport à celle de la première station, puis la position de la deuxième station par rapport à la première position de la règle, ensuite la deuxième position de celle-ci par rapport à cette deuxième station et ainsi de suite; de cette manière les deux rives étaient tracées par points. Dans un fleuve large, on peut relever de cette façon 5 à 6 milles marins par jour. De plus, quand on voyait des points remarquables , tels Tue des roches ou des pointes d'tle, on les relevait de deux stams, ce qui définissait leur position. J'ajouterai que, d'ailleurs, i latitudes étaient déterminées tous les 5 à 6 milles, et la orité des points oh ces latitudes étaient prises étaient rat-

blU GÉODÉSIE APPLIQUÉE

tachés à la grande triangulation géodésique, afin d'empêcher les erreurs de la lunette de Rochon de s'accumuler. Or ce procédé est si précis que les différences entre les latitudes conclues de l'opération de la lunette de Rochon et les déterminations directes ont toujours été inférieures à la limite des erreurs d'observation, c'est^-dire qu'elles n'ont pas dépassé 40 mètres^ même en ajoutant le travail de plusieurs jours consécutifs, de façon à représenter un intervalle de plus d'un demi-degré. Cette opération se trouvait^ par suite de la direction du cours du fleuve, &ite suivant un très-petit angle avec le méridien.

361. — En somme, l'opération que j'ai effectuée dans la province de Minas-Geraes du Brésil, pour tracer le cours du Rio de San-Francisco et du Rio das Velhas, dont j'ai publié les cartes dans mon ouvrage intitulé : Hydrographie du haut San-Franctsco ei du Rio das Velhas j se composait de cinq parties. — l"" Détermination des positions absolues des points principaux de la carte. 2® Triangulation géodésique entre les lieux où, soit des pointes de rochers, soit de petits buissons isolés et reconnaissables sur un sommet, soit des palmiers se projetant sur le ciel, soit enfin des dochers comme au Morro da Piedade et à Jaguara, à Sahara, etc. , soit des croix comme à Gurral d'el Rey , au Morro da Gruz de Sabara, etc. , permettaient d'avoir des signaux distincts. Une chaîne continue de bons signaux convenablement choisis a été établie le long du cours des deux rivières, et a formé une triangulation très-soignée, avec des triangles tantôt complets, tantôt remplacés par des latitudes et des azimuts. Cette opération donnait les différences de longitude des points principaux. 3® Cinquante-deux points le long des deux rivières ont eu leur latitude déterminée. Ces points étaient spécialement des confluents. Un grand nombre d'entre eux ont été rattachés par une triangulation à des sommets voisins, rattachés à leur tour à la triangulation générale, ce qui donnait les différences de longitudes de ces points. 4^ L'opération topographique dans le cours des rivières dont j'ai parlé plus haut 6° Enfin, le nivellement a été effectué au moyen du baromètre pour l'ensemble du niveau général, et les différences de nivellement géodésique ont été employées quand cela a été possible.

Ce que je viens de dire de mon opération du Rio de San-Francisco est pour indiquer par un exemple comment en général on doit lever les cartes. Le calcul appliqué à la triangulation à grande dis-

A LA GÉOGRAraiE. 575

tance effectuée entre Gurral d'el Rey, Piedade et notre station de José Marianna, cinquième carte de l'Hydrographie, m'a donné ^ pour l'aplatissement de la région. En ayant égard aux erreurs possibles et au voisinage de cette valeur de celle de ^ de l'aplatissement moyen, j'ai employé la valeur moyenne ^ pour le calcul, ne pouvant pas dans ces basses latitudes, regarder la détermination ^ comme bien sûre ; mais toutefois cette valeur me montrait que l'aplatissement moyen était, sans erreur sensible, applicable à cette région . Après la station de José Marianna, les triangles moins et endus et les signaux moins bons m'ont empoché de pouvoir employer cette partie de l'opération à augmenter la précision de la détermination &ite avec la première.

Les méthodes que j'ai employées de préférence ont été celles des hauteurs, et toutesles rectifications de l'instrument indiquées dans cet ouvrage ont été faites avec soin. J'ai toutefois employé quelquefois les autres méthodes. En somme^ j'ai eu à mettre en pratique, tant dans cette opération que dans celle que j'ai faite sur la côte de Pemambuco, à peu près la totalité des méthodes décrites dans cet ouvrage.