XII INTRODUCTION

et la règle des sinus

sinfr = sinasinB.

On a encore

tang c = tang a cos B.

cosC =sinBcosc.

cotB = cot6sinc.

cos a = cot B cot C.

Nous rappellerons enfin que dans les cas où les triangles sphériques obliquangles ne peuvent être résolus directement par les formules générales et leurs transformations, on divise ces triangles en deux autres triangles rectangles au moyen d'un arc de cercle abaissé d'un sommet perpendiculairement sur le côté opposé, et les formules précédentes donnent les moyens de résoudre le problème.

Comme dans chaque cas qui se présentera nous disposerons les formules de la manière la plus commode pour sa solution, nous ne nous étendrons pas ici sur ce point.

Sur les ëphémérides.

Les éphémérides, dont les principales sont en France la Connais-sanee des temps, et en Angleterre, le Nautical Almanae, sont publiées pour toutes les années et longtemps à l'avance, par les soins d'administrations spéciales. Elles donnent à midi moyen pour tous les jours de Pannée les positions apparentes du soleil, de la lune et des planètes principales. Pour la lune, les ascensions droites et les déclinaisons sont même données d'heure en heure. Ces tables renferment, en outre, les positions apparentes d'un certain nombre d'étoiles, données de dix jours en dix jours, l'indication des étoiles de première grandeur qui seront occultées par la lune, les distances de la lune au soleil ou aux principales planètes, ainsi qu'à un certain nombre d'étoiles choisies, distances données à des instants indiqués du premier méridien, enfin la liste des éclipses des satellites de Jupiter.

Chaque volume des ouvrages que je viens de citer est accompagné d'instructions détaillées sur la signification des éléments qu*il renferme. Il serait donc inutile d'entrer ici dans des détails à ce sujet.

Quand on a besoin de connaître les positions d'un astre, on doit donc les chercher dans les éphémérides, pour l'instant du premier méridien répondant à celui de la station, instant qu'on connaît en ajoutant à l'heure de sa station la longitude de cetle-ci comptée à l'ouest. Dans la

INTRODUCTION. Xill

majeure partie des cas, une proportion entre les éléments du midi précédent etceux du midi suivant, ou bien de l'heure précédente et de l'heure suivante, suffît pour obtenir les valeurs répondant à l'instant en question. U est facile de comprendre que cette manière d'opérer est légitime, quand les positions ont peu varié dans l'intervalle, et surtout quand les variations pour un même intervalle varient peu dans la table. Mais, s'il en est autrement, il Ciut recourir à l'interpolation. Voici la règle à suivre.

Supposons, par exemple, qu'on trouve dans la table, pour l'élément qu'on veut obtenir, une certaine valeur, à l'instant T du premier méridien, et qu'on veuille la valeur pour l'instant T+t. Soit k l'intervalle existant dans les tables entre les instants du premier méridien pour lesquels Télément cherché est donné par ces tables, de telle sorte que nous trouvions dans celles-ci les valeurs pour les instants T, T-+-Ap, T-I-2A-, T-t-3*, etc., et soient i/io, mi, ms, m,, etc., ces valeurs, itio étant celle qui répond à l'Instant T. Appelons différences premières les différences de deux de ces nombres consécutifs, différences secondes les différences des différences premières consécutives, différences troisièmes les différences des différences secondes, et ainsi de suite, nous aurons

Différences premières, m, — m© = A, ; m, — wi, = A', ; »t, — m, = A", . . . Différences secondes. A'. — A, = A, ; A", —A', = A', ... Différences troisièmes. A', — A, = A3, et ainsi de suite.

On démontre, dans le calcul des différences finies, la formule suivante qui donnera la valeur m de l'élément cherché pour l'instant T+t:

m-i««+j^A. + -j-^A,-i. j-^— A,.f- etc.

C'està Paide de cette formule qu'on trouve les valeurs intermédiaires à celles des tables. Si on se limite au terme en A^ on a alors Tinterpolation proportionnelle qui revient à une simple proportion. En général, on trouve dans les tables que les A, sont constants, c'est-àdire que leurs différences successives A, sont en dessous de la limite de précision à laquelle on s'arrête. On limite alors la formule au terme en A,, c'est-à-dire qu'on fait dans la formule A3 et toutes les différences suivantes égales à zéro. Ce n'est guère que pour la lune, dont le mouvement est rapide, et lorsqu'on veut interpoler sa longitude et sa latiludequine sontdonnées dans les tables que de l^heuresen 12heures, qu'on a besoin de A,. J'ai déjà dit que les ascensions droites et les

XIV IWTRODUCTION.

déclinaisons de la lune sont données d'heure en heure, ce qui fait que pour ces derniers éléments, on n'a jamais besoin de dépasser les différences secondes.

Les ascensions droites et les déclinaisons des étoiles varient à cause de leur mouvement propre et à cause de la précession, de la nutation et de l'aberration. Les éphémérides ne donnent les positions apparentes que d'un petit nombre d'étoiles. Or il arrive souvent qu'on a besoin de connaître à un instant donné l'ascension droite d'une autre étoile inscrite dans les catalogues avec sa position moyenne pour le 1*' janvier d'une certaine année. Le catalogue des étoiles de l'ascension britannique donne ces positions pour l'année 1850. Si nous appelons T la date d'un catalogue, et si on veut la position pour le 1®' janvier d'une autre année, T + t antérieure ou postérieure à T, en appelant a' et D' l'ascension droite et la déclinaison moyenne, cherchées pour l'année T + <9 et nommant a et D la déclinaison pour Tannée T du catalogue, quantités inscrites dans ce catalogue, |a et [if les mouvements propres annuels en ascension droite et en déclinaison inscrits dans les tables; enfin m et m' les mouvements annuels de l'ascension droite et de la déclinaison, dus à la précession et inscrits dans les catalogues, et n et n* les variations de ces mouvements en un siècle, ou variations séculaires, on a pour les valeurs de a et D les deux équations

expressions k l'aide desquelles on aura les ascensions droites et les déclinaisons moyennes pour le 1*' janvier de Pannée T+^ Dans le catalogue de l'ascension britannique, les quantités m', [if et n* se rapportent aux distances au paie nord ; il faut alors remplacer dans l'expression précédente D' et D par M et A, qui représenteront alors les distances au pôle nord, et on en tire la déclinaison.

a' et D' étant ainsi connus pour le i" janvier de l'année pour laquelle on veut la position à un jour quelconque, on réduit la date en fraction de l'année, réduction qu'on trouve déjà faite dans la connaissance des temps, on y ajoute la fraction du jour réduite en fraction de l'année. Nous appellerons t la fraction de l'année ainsi obtenue ; et si de plus nous appelons Q la longitude vraie du soleil, ^ celle de la lune, Q la longitude moyenne du nœud de la lune, enfin tù l'obliquité de l'écliptique, éléments qu'on prend dans les éphémérides, on a avec

LNTRODUCTION . xv

la constante 20'',463deStruve pour TaberratioD et la constante 9'',2236 de Peters, en posant