ÉLÉMENS DE L'ORBITE D UINE PLANÈTE

le temps périodique est diminué dans le rapport de la racine carrée du nombre qui exprime la masse du soleil ou l'inertie, à laraicine carrée de la somme des nombres qui expriment les masses du soleil et de la planète j et en général, quelles que soient les masses de deux corps qui tournent auttour l'un de l'autresous l'influence de la loi Newtonienne sur la gravité, le carré de leur temps périodique sera exprimé par une fraction dont le numérateur est fle cube de leur distance moyenne, c'est-à-dire du plus graind demi-diamètre de leur orbite elliptique , et dont le dénominateur est la somme de leurs masses. Lor sque l'une des masses est incomparablement plus grande que l'autre , on rentre dams la loi de Kepler; mais lorsqu'il en est autrement , la proposition ainsi généralisée tient lieu de cette loi. Dans le système du soleil et des planètes , toutefois , la correction numérique ainsi introduite dans les résultats de la loi de Kepler est trop petite pour être de quelque importance, la masse de la plus grande des pllanètes ( Jupiter ) étant beaucoup moindre que la millième partie de celle du s.oleil. Nous apprécierons bientôt , cependant , toute l'importance de cette généralisation , quand nous en serons aux satellites.

422. 11 conviendra d'abord d'expliquer par quel système de calcuU' expression de l'orbite elliptique d'une planète par ses élémiens peut se comparer avec l'observation , et comment nous pouvons nous comvaincre que les données numériques contenues dans une table de ces élémens; pour tout le système , en offrent réellement un tableau véritable , et fournissent les moyens d'en déterminer l'état à chaque instant , parla seule application des lois de Kepler. Or , cela exige que l'on connaisse , pour chaque planète, 1°. la grandeur et la forme de l'ellipse de son orbite î T. la situation de cette ellipse dams l'espace, à l'égard de l'écliptique, et d'une ligne fixe qui est tracée dans ce plan ; 3^ le lieu qu'occupait la planète à une époque donnée, et son temps périodique ou vitesse angulaire moyenne, ou, comme on l'appelle, son mouvement moyen.

La grandeur et la forme d'une ellipise sont déterminées par sa plus grande longueur et sa moindre largeur , ou ses deux principaux diamètres ; mais, pour les usages astronomiques, il vauit mieux employer le demi grand diamètre ( ou la moitié de la plus grande longjueur ) et l'excentricité , ou la distance du foyer au centre , qui est ordinairement estimée en parties de la première. Ainsi , une ellipse , dont la longueur est de 1 0 et la largeur de 8 parties d'une échelle , a pour demi grand diamètre 5 , et pour excentricité 3 de ces parties ; mais lorsqu'elle est évaluée en parties du demi diamètre, regardé comme unité , l'excentricité est exprimée par la fraction 3/5.

424. L'écliptique est le plan auquel un habitant de la terre rapporte le plus naturellement les autres parties du système solaire , comme une espèce de plan normal j et le grand diamètre de son orbite pourrait être pris pour ligne de départ dans ce pian , ou pour origine du calciul angulaire. Si le grand diamètre était fixe, ce serait la meilleure origine possible des longitudes ; niais comme il a un mouvement ( quoique excessivement lent ), il n'y a , dans le fait , aucun avantage à compter depuis le grand diamètre plutôt que depuis la ligne des équinoxes j aussi les astronomes préfèrent-ils cette dernière, en tenant compte de sa variation par l'effet de la précession , et la rétablissant , par le calcul de chaque instant , dans une position fixe. Or, pour déterminer, par rapport à ce plan , la situation de l'ellipse décrite par une planète, il faut connaître trois èlémens : 1". V inclinaison du plan de l'orbite de la planète au plan de l'écliptique ; 2°. la ligne selonlaquelle ces deux plans s'entre-coupent , laquelle passe nécessairement par le soleil , et dont la position relativement à la ligne des équinoxes est par conséquent donnée eu déterminant sa longitude. Cette ligne est appelée la ligne des nœuds. Lorsque la planète est dans cette ligne, au moment où elle passe du côté sud au côté nord de l'écliptique , elle est dans son nœud ascendant, et sa longitude en ce momen*

m TRAITÉ D'ASTRONOMIE. - LIEU HÉLIOCENTRIQUE D'UNE PLANÈTE. CHAPITRE Vlll.

est l'élément appelé la longitude du nœud. Ces deux données déterminent' la situation dupUn de l'orbite ; et il ne reste plus , pour la détermination complète de la situation de 1 orbite de la planète, qu'à savoir comment elle est placée dans ce plan qui (puisque le soled en occupe nécessairement un foyer ) est déterminé en hxant la longitude de son périhélie, ou le lieu qu'occupe l'extrémité du plus praud diamètre la plus rapprochée du soleil. ^

425. Les dimensions et la situation de l'orbite de la planète ainsi déterminées Il ne reste plus, pour en acquérir la connaissance complète, qu'à déterminer les circonstances de son mouvement dans l'orbite fixée d'une manière si précise

, '.P^P'^ remplir ce but, il suffit de connaître le moment où elle est, soit au penhelie , soit a tout autre point de son orbite bien déterminé, et toute sa période; car ces circonstances étant connues, la loi des aires détermine le lieu à tout autre instant. Ce moment s'appelle ( lorsque le périhélie est le point choisi le passage périhélie, ou, lorsque quelque point de l'orbite est fixé, sans la mei^ tion spéciale du périhélie , l'époque.

426. Nous avons donc sept circonstances particulières , ou élémens , à établir avant de pouvoir soumettre au calcul l'état du système à un moment donné Mais des qu ils sont connus, il est aisé de déterminer les positions apparentes de chaque planète, telles qu'on les verrait du soleil, ou qu'on les voit de la terre a un moment quelconque. La première s'appelle le lieu héliocentrique , la seconde celui géocentrique , de la planète.

Anl^r ^^^."^"ïençons parles lieux héliocentriques. Soient ( fig. 62 ) S le soleil, AH1> 1 orbite elliptique de la planète , dont le foyer S est occupé par le soleil et dont A est le périhélie. Représentons par NT la projection de l'orbite sur le plan de lechptique, entre-coupant la ligne des équinoxesST en T, qui par conséquent, est le point d'origine des longitudes. SN sera la ligne des nœudset SI nous supposons B du côté sud, et A du côté nord de l'éclip tique, et que la direction du mouvement de la planète soit de B en A , N sera le noeud ascendant et l'angle ySN la longitude du nœud. De même , si P est le lieu de la planète, dans un moment quelconque, et s'il est projeté, ainsi que le périhélie A sur 1 cchptique , aux points p, a, les angles ySp , YSa , seront les longitudes neliocentriques respectives de la planète et du périhélie, dont la première doit être déterminée , et la dernière est un des élémens donnés. Enfin, l'angle wSP est la latitude héliocentrique de la planète , qu'il faut aussi chercher.

au péri l'orbite

étant connu , la loi de proportionnalité des aires avec les temps employés à les parcourir, donne la grandeur de l'aire ASP. Le cas ainsi posé, c'est par un pro blême de pure géométrie que l'on détermine l'angle correspondant ASP , que 1 on appelle la vraie auomalie de la planète. Ce problème est du genre appelé transcendant, et a été résolu par un grand nombre de formules plus ou moins compliquées. Il ne présente cependant aucune difficulté particulière, et se résout dans la pratique avec beaucoup de facilité, au moyen de tables formées dans ce but , adaptées w cas de chaque planète particulière.

429. La vraie anomalie étant ainsi obtenue , il faut chercher la distance anpulaire de la planète au nœud, ou l'angle NSP. Or, les longitudes du périhélie et du nœud étant respectivement T« et yN, qui sont données ; leur différence aN est aussi donnée , et 1 on connaît également l'angle N du triangle sphérique rectangle ANa inclinaison du plan de l'orbite sur l'écliptiquc. De là , nous calculons lare N A, 1 angle NSA, qui, ajouté à ASP, donne l'angle NSP demandé. AU moyen de cet angle , regardé comme îa mesure de l'arc NP, hypoténuse dw